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Funktionsuntersuchung ALLE THEMEN

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 I
Funktion Jede Funktion f(x) ordnet jedem genau einen
Funktionswert
f(x)= y zu
Funktionen
Definitionsmenge (DD) > Menge aller x-Werte, den

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I Funktion Jede Funktion f(x) ordnet jedem genau einen Funktionswert f(x)= y zu Funktionen Definitionsmenge (DD) > Menge aller x-Werte, denen ein Funktions- weit zugeordnet werden. kann Wertemenge (IW) → Menge aller y-Werte (Funktionswerte) IW = TRo (oder: TR { f(x) = 0) 1 2 Bsp.: +² 11 ID = TR Zahlenmengen N = Natürliche Zahlen (1,2,3...) Z = Ganze Zahlen (-3, -2,-1,0, 1, 2, 3...) Q = Rationale Zahlen (z. B. 3, 81 6 1 R/Q - Irrationale Zahlen (Z.B. Vz, π) $) R = Reelle Zahlen (rationale + irrationale Zahlen) > alle Zahlen Lineare Gleichungen Lineare Funktion: f(x) = mx +n Quadratische Gleichunged Normalform f(x) = ax²+bx+c] Y₁ n Scheitelpunktsform f(x) = a (x-d)² + e →Y-Abschnitt → Scheitelpunkt (dle) P-9-Formed > &$ver-q ausmultiplizieren P-9-Formel quadratische Ergänzung Quadratische Ergänzung > f(x) = 2x² + 4x +3 = 2. (x²+2x) +3 = 2 · (x²+2x+1+1) + B = 2 · (x²+2x+1)-2+3 2.(x + 1)² +1 L у Schnittpunkter lineare Funktioner gleichsetzen 1 Vorzeichen - Öffnung nach oben/unter = a = Streckung (enger) = a < -1 / a>1/ Stauchung (weiter) = -1 < a < 1 4 A ausmultiplizieren m = Faktorisierte Form f(x) = a (x-r) (x+s), >Nullstellen (ro) (SLO) xxx +(x) = = = D₁=TR ²0 9(x)=√x = D₁² R₂ Binomische Formeld 1. (a+b)² = a² + 2ab + b² 2. (a-b)² = d²-2ab + b² 3. (a+b)²(a-b)² = a ²-6² 2 Satz des Pythagoras a²+ b² = c² quadratischer Funktionen gleichsetzen → P-9-Formel (Faktorisierte Form) Potenzfunktionen". Polenzfunktion n-ten Grades gerader Exponent f(1) = a₁ f(-1)= a gleiches Vorzeichen... W Bsp. ху Symmetrieeigenschaften achsensymmetrisch > gerade Exponenten f(-x) = f(x) Bsp. f(x)=x+x122x f(x)=xY : Koeffizient...

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Exponent f(x) = ax n Ungerader Exponent! f(1) = a (-1) = -a Wechsel Vorzeichen bei x = 0 Bsp. x5 f punktsymmetrisch >ungerade Exponenten f(-x) = -f(x) Bsp. f(x)=x²-x³ + √x +2 f(x)=x² Ganzrationale Funktionen Eine Funktion, die aus einer Summe/Differenz von Potenz funktionen besteht, nennt man ganzrationale Funktion. Bsp.: f(x) = 3x³-9x² +120 allgemein: f(x) = anx" + an-₁ X² (Ganzrationale Funktion 3-Grades) + an-2x tta₂x + a₁x²¹ tao N-1 7-2 FO Mehrfache Nullstellen Die Hochzahl (Grad) des Linearfaktors gibt die Mehrfachheit. der Nullstelle an Bsp.: f(x) = (x-a)²(x-b)³. (x-c) → doppelte Nullstelle bei a Nullstelle bei b → dreifache → einfache Nullstelle bei c Nullstellenberechnung Ablesen Bsp.: f(x) = (x-3). (x+7) Binom erhemen Bsp.: f(x)=x²-81 Aushlammern Bsp.: f(x)=x²-6x. 0 = x₁(x-6) P-q- Formell Bsp.: f(x)=x²-6x +5 0 = x² - 6x +5 Wenn.... X112 ×₁2=-²-² 3-√9-5 {3; -7} 10 = (x-9)⋅ (x + 9) (² 9; -9} 43063 X₁/2= ₁2 = 32 = 5 afdotcold 1+1+1+ •£= 1 × ₂ = 1 4²6; 13 + 10₂ 7 Schneidery →2 Lösungen - 1 Lösung → keine Lösung p=-6₁ 9=5 Erweiterung: Substitution Bsp.: •Waagerechte Tangente t berühren Quadratische Ergänzung Bsp.: f(x) = x² - 6x +5 -wangerechte Tangente t Schneiden f(x)=x4= 6x²+5 22=x4 Z=x² 0=2²-62+5 →p-q-Formel 0 =(²2-6x +91)-9+5) 0₁ = (x-3) ²-4 [+ 4 4 =(x-3)² √ 2 = x-3 X₁ = 5 -2 = x-3 x₂ = 1 425;1} mit GtR: Zoom > 2 Box / 2nd cale 2010 Graph angezeigt bekommen → Zoom Deiner nach oben → Zoom Fit Maximum/Minimum: 2nd calc >min/max Verständnis: !Dah so ein ist, wird das Steigungsdreiech auch winzig. → Steigung an einem Punkt Differenzenquotient f (xo+h)-f(x₂) h Mittlere Anderungsrate → Steigung der Selante durch Punlife P(xolf(xo)) + a (xo+h/ f(xoth)) (im Intervall [xo; xoth ]) Momentane Änderungsrate lim → Wenn h→0. geht (zB 0,0001), dann wird die Steigung an einem bestimmten Punkt bestimmt f(xoth) GTR: 2nd Tracedy/dx → x einsetzen → Ableitung von f'(x) bei Punkt x. ↑ f(x) → Ableitung (Steigung) von f an der fliol Stelle xo (7²(x)) (1 + f(x) Herleitung Bsp.: f(x) = x² + 2 f'(xo) = f(xo+h)-f(xx) = (x +h)² + 2) = ((x₂)² + 2) W h lim h=0 2x0th = 2x0 Bestimmungsmöglichkeiten der Ableitung a) geometrisch (Steigung Tangente vom Graphen ablesen) b) GTRI (5.0). c) Differenzenquotient für ho S Ableitung einer Funktion an der Stelle to 2 xoh th² = ²: (2x6th) = 2x0th h => f'(x₁) = 2x6 Xo T Q Steigingsdreiech *oth h •Selante -Tangente * an einem Punkt. + - 2x₂h th ²+2- h PN ( O Ableitungsregeln Potenzregel: f(x)=x^ gilt f'(x) =n-x^1 Bsp.: f(x) = x 4 f'(x) = 4x3 Summenregel! Herleitung: f(x) = g(x) +h(x) f (x +h)-f(xo] - [9(x₂+h) + U(xo+h)] - [g(xo] + k (xo]] h 11 = g(x+h)-g(x₂) h + le(xa+h)-le(xa) => f(x) = g(x) + k'(xo) Bsp.: f(x) = x + x² 3 f(x) = 4 x ³ + 3x² Faltorregel: Herleitung:... s.o. r-g(x₂+h) +9 (xo). h g(x₂ +h) - g(x₂) h => r. g'(x₂) → 9 (x₂) Bsp.: f(x) = 3x h^-30 g(x+1)=g(xo) tim ho h = r. g(xoth)-g(x₂) 2 An welchen x-Stellen hat der Graph (parallel zur x-Achse) → F'(x) = Nullstelle f(x) = 3.4x³ = 12x3 Zeichnen der Ableitungsfunktion In welchen Bereichen steigt/fällt der Graph? → f'(x) = <0 (unterhalb x-Achse) >0 (oberhalb der X-Achse) umstellen →g'(x) k (Koth)-k (xo) →→> 4' (x₂) h 3 An welchen X-Stellen hat der Graph (Extrempunkt der Steigung (am steilsten)) → f'(x) = maximal von f(x) die Steigung 0? ^f(x) von f(x) ene Wendestelle? 7 ! Ist eine Funktion nicht stetig, so ist die Ableitung nicht differenzier- bar (Kniche, Lichen) M

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