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Kurvendiskussion & Quadratische Ergänzung - Alles einfach erklärt! PDF, Rechner, Übungen

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Kurvendiskussion & Quadratische Ergänzung - Alles einfach erklärt! PDF, Rechner, Übungen
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Natalia Brunsmann

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Die Kurvendiskussion ist eine grundlegende Methode der Analysis, um Funktionen zu untersuchen und ihre Eigenschaften zu verstehen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionen, Gleichungen, Potenzfunktionen und Ableitungen.

  • Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu
  • Lineare und quadratische Gleichungen werden in verschiedenen Formen dargestellt
  • Potenzfunktionen haben spezielle Eigenschaften je nach Exponent
  • Ableitungen beschreiben die Steigung einer Funktion an jedem Punkt

5.3.2021

3949

Tangentengleichungen

Diese Seite behandelt die Berechnung und Anwendung von Tangentengleichungen.

Die Tangentengleichung ist eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung und wird verwendet, um die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu beschreiben.

Definition: Die Tangentengleichung hat die Form y - y₀ = m(x - x₀), wobei (x₀, y₀) der Berührpunkt und m die Steigung der Tangente ist.

Die Seite erklärt den Prozess zur Bestimmung der Tangentengleichung:

  1. Berechnung des y-Werts am Berührpunkt: y₀ = f(x₀)
  2. Bestimmung der Steigung durch Ableitung: m = f'(x₀)
  3. Einsetzen in die Tangentengleichung

Beispiel: Für f(x) = x² an der Stelle x₀ = 2:

  1. y₀ = f(2) = 4
  2. f'(x) = 2x, also m = f'(2) = 4
  3. Tangentengleichung: y - 4 = 4(x - 2)

Highlight: Die Tangentengleichung ist besonders nützlich, um das lokale Verhalten einer Funktion zu approximieren und Linearisierungen durchzuführen.

Die Seite betont auch die Bedeutung der Tangentengleichung für die Kurvendiskussion und das Verständnis des Funktionsverhaltens an spezifischen Punkten.

3 Funktionen Funktion → Jede Funktion f(x) ordnet jedem genau einen Funktionswert f(x)=y zu Definitionsmenge (ID) » Menge aller x-Werte, den

Nullstellen und ihre Berechnung

Diese Seite konzentriert sich auf die Berechnung von Nullstellen verschiedener Funktionstypen.

Mehrfache Nullstellen werden durch die Hochzahl des Linearfaktors angezeigt. Es werden verschiedene Methoden zur Nullstellenberechnung vorgestellt:

  1. Ablesen (für faktorisierte Formen)
  2. Binomisches Theorem
  3. Ausklammern
  4. p-q-Formel
  5. Quadratische Ergänzung

Beispiel: Für f(x) = (x-3)(x+7) sind die Nullstellen direkt ablesbar: x₁ = 3 und x₂ = -7.

Highlight: Die quadratische Ergänzung ist besonders nützlich, um quadratische Funktionen in Scheitelpunktform zu bringen und damit die Nullstellen zu bestimmen.

Vocabulary: Eine mehrfache Nullstelle ist ein x-Wert, an dem die Funktion den y-Wert 0 hat und zusätzlich eine oder mehrere Ableitungen ebenfalls 0 sind.

Die Seite erklärt auch, wie man den Graphen einer Funktion mit einem Grafikrechner analysieren kann, einschließlich der Bestimmung von Maxima und Minima.

3 Funktionen Funktion → Jede Funktion f(x) ordnet jedem genau einen Funktionswert f(x)=y zu Definitionsmenge (ID) » Menge aller x-Werte, den

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Ableitungsregeln und Anwendungen

Diese Seite behandelt wichtige Ableitungsregeln und ihre Anwendungen in der Kurvendiskussion.

Die Potenzregel, Summenregel und Faktorregel werden hergeleitet und mit Beispielen erläutert:

  • Potenzregel: (x^n)' = n · x^(n-1)
  • Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Faktorregel: (c · f(x))' = c · f'(x)

Beispiel: Für f(x) = x² + x³ ergibt sich die Ableitung f'(x) = 2x + 3x² durch Anwendung der Summen- und Potenzregel.

Die Seite erklärt auch, wie man den Graphen der Ableitungsfunktion zeichnet und interpretiert:

  1. Steigende/fallende Bereiche: f'(x) > 0 bzw. f'(x) < 0
  2. Waagerechte Tangenten: f'(x) = 0
  3. Wendestellen: Extrempunkte von f'(x)

Highlight: Die Ableitung einer Funktion gibt wichtige Informationen über das Verhalten der Originalfunktion, wie Steigung, Extrempunkte und Wendepunkte.

Vocabulary: Eine Wendestelle ist ein Punkt, an dem die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

Die Seite betont, dass Funktionen stetig sein müssen, um differenzierbar zu sein, und dass Knicke oder Lücken die Differenzierbarkeit beeinträchtigen können.

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Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen

Diese Seite behandelt die Eigenschaften von Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen.

Potenzfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = ax^n, wobei a der Koeffizient und n der Exponent ist. Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen stark vom Exponenten ab:

  • Gerade Exponenten führen zu achsensymmetrischen Graphen
  • Ungerade Exponenten führen zu punktsymmetrischen Graphen

Ganzrationale Funktionen bestehen aus einer Summe oder Differenz von Potenzfunktionen.

Beispiel: f(x) = 3x³ - 9x² + 12x ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.

Definition: Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn f(-x) = f(x) gilt. Sie ist punktsymmetrisch, wenn f(-x) = -f(x) gilt.

Highlight: Die Symmetrieeigenschaften von Potenzfunktionen sind entscheidend für das Verständnis ihres Verhaltens und ihrer graphischen Darstellung.

Die Seite betont die Bedeutung des Exponenten für das Verhalten der Funktion, insbesondere in Bezug auf Symmetrie und Vorzeichenwechsel.

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Grundlagen der Funktionen und Gleichungen

Diese Seite führt grundlegende Konzepte der Funktionsanalyse ein.

Eine Funktion ordnet jedem x-Wert aus der Definitionsmenge genau einen y-Wert (Funktionswert) aus der Wertemenge zu. Verschiedene Zahlenmengen wie natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen werden definiert.

Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + n, während quadratische Funktionen in Normalform (f(x) = ax² + bx + c) oder Scheitelpunktform (f(x) = a(x-d)² + e) dargestellt werden können.

Definition: Die Definitionsmenge einer Funktion ist die Menge aller x-Werte, denen ein Funktionswert zugeordnet werden kann.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen (ℝ), während die Wertemenge alle nicht-negativen reellen Zahlen umfasst.

Highlight: Die quadratische Ergänzung ist eine wichtige Methode, um quadratische Funktionen von der Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln.

Die Seite erklärt auch wichtige Formeln wie die binomischen Formeln und den Satz des Pythagoras, die bei der Analyse von Funktionen hilfreich sein können.

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Differentialrechnung: Grundlagen

Diese Seite führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein.

Der Differenzenquotient wird als mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem Intervall definiert. Wenn das Intervall gegen Null geht, nähert man sich der momentanen Änderungsrate, die als Ableitung bezeichnet wird.

Definition: Der Differenzenquotient ist definiert als (f(x₀+h) - f(x₀)) / h und beschreibt die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten.

Highlight: Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x₀ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0.

Es werden drei Methoden zur Bestimmung der Ableitung vorgestellt:

  1. Geometrisch (Ablesen der Tangentensteigung)
  2. Mit einem Grafikrechner
  3. Durch Berechnung des Grenzwerts des Differenzenquotienten

Beispiel: Für f(x) = x² + 2 ergibt sich die Ableitung f'(x) = 2x durch Anwendung des Grenzwertprozesses.

Die Seite betont die Bedeutung des Steigungsdreiecks und der Tangente für das Verständnis der Ableitung.

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Tangentengleichungen

Diese Seite behandelt die Berechnung und Anwendung von Tangentengleichungen.

Die Tangentengleichung ist eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung und wird verwendet, um die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu beschreiben.

Definition: Die Tangentengleichung hat die Form y - y₀ = m(x - x₀), wobei (x₀, y₀) der Berührpunkt und m die Steigung der Tangente ist.

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Nullstellen und ihre Berechnung

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Ableitungsregeln und Anwendungen

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Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen

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Potenzfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = ax^n, wobei a der Koeffizient und n der Exponent ist. Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen stark vom Exponenten ab:

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Grundlagen der Funktionen und Gleichungen

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Eine Funktion ordnet jedem x-Wert aus der Definitionsmenge genau einen y-Wert (Funktionswert) aus der Wertemenge zu. Verschiedene Zahlenmengen wie natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen werden definiert.

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Differentialrechnung: Grundlagen

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Der Differenzenquotient wird als mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem Intervall definiert. Wenn das Intervall gegen Null geht, nähert man sich der momentanen Änderungsrate, die als Ableitung bezeichnet wird.

Definition: Der Differenzenquotient ist definiert als (f(x₀+h) - f(x₀)) / h und beschreibt die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten.

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