Verhalten ganzrationaler Funktionen: Analyse und Eigenschaften
Das Verhalten ganzrationaler Funktionen lässt sich durch systematische Analyse ihrer charakteristischen Eigenschaften verstehen. Besonders wichtig ist dabei das Verhalten der Funktion in der Nähe des Nullpunkts sowie im Unendlichen.
Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Summe von Potenzen mit natürlichen Exponenten darstellen lässt. Der höchste auftretende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Bei der Analyse des Verhaltens nahe Null spielt die niedrigste Potenz in der Funktionsgleichung eine entscheidende Rolle. Sie bestimmt, ob sich der Graph nahe Null wie eine Gerade, Parabel oder Hyperbel verhält. Betrachten wir beispielsweise die Funktion fx = 2x³ + 2,5x² - 3x - 1. Hier ist die niedrigste Potenz der lineare Term -3x, weshalb sich die Funktion nahe Null wie eine fallende Gerade verhält.
Beispiel: Bei der Funktion fx = 4x³ + x² - 1 dominiert nahe Null der konstante Term -1, während für große x-Werte der Term 4x³ bestimmend wird. Dies führt zu einem charakteristischen Verlauf mit einem y-Achsenabschnitt bei -1.
Das Verhalten für x → ±∞ wird hauptsächlich durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei ungeraden Exponenten verläuft der Graph für x → +∞ nach oben und für x → -∞ nach unten. Bei geraden Exponenten zeigt der Graph in beide Richtungen nach oben oder unten, abhängig vom Vorzeichen des führenden Koeffizienten.