Nullstellen und Schnittpunkte: Aufgaben und Lösungen für Lineare und Quadratische Funktionen

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Paula🧬

1.12.2020

Mathe

Funktionen, Nullstellen, Schnittpunkte

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

Nullstellen und Schnittpunkte: Aufgaben und Lösungen für Lineare und Quadratische Funktionen

Dieser Leitfaden erklärt wichtige Konzepte der linearen und quadratischen Funktionen für Schüler:

Grundlegende Begriffe wie Steigung, y-Achsenabschnitt und Scheitelpunkt werden erläutert
Methoden zur Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten werden detailliert beschrieben
Eigenschaften von Potenz- und ganzrationalen Funktionen werden erklärt
Symmetrie von Funktionen wird anhand von Beispielen veranschaulicht

Der Leitfaden bietet eine umfassende Einführung in die Analyse verschiedener Funktionstypen mit praxisnahen Beispielen und Berechnungsmethoden.

1.12.2020

34661

Funktionen
Lineare Funktionen quadratische Funktionen
Begriffe rund um den Funktionsbegriff
Steigung wird mit m angegeben; Funktionswerte st

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Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Dieser Abschnitt erklärt, wie man Schnittpunkte zweier Funktionen berechnet:

Für lineare Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.
Die Gleichung wird nach x aufgelöst.
Der x-Wert wird in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt, um y zu erhalten.

Beispiel: Für f $x$ = x + 1 und g $x$ = 2x + 3 ergibt sich x = -2 und y = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.
Die Gleichung wird auf eine Seite gebracht und auf Null gesetzt.
Die quadratische Gleichung wird gelöst, entweder durch: a) Wurzelziehen b) pq-Formel

Highlight: Bei quadratischen Gleichungen ist die pq-Formel besonders nützlich: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² + q)

Für die Nullstellen einer quadratischen Funktion wird f $x$ = 0 gesetzt und die Gleichung gelöst.

Beispiel: Für f $x$ = -x² + x + 1 ergeben sich die Nullstellen x₁ = $1+√5$ /2 und x₂ = $1-√5$ /2.

Der Abschnitt betont, dass bei der Berechnung von Schnittpunkten immer gleichgesetzt und je nach Funktionstyp umgeformt oder die pq-Formel angewendet wird.

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Nullstellen und Eigenschaften von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Nullstellenberechnung für verschiedene Funktionstypen und die Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Für lineare Funktionen:

Die Gleichung wird auf Null gesetzt und nach x aufgelöst.

Beispiel: Für f $x$ = 2x + 2 ergibt sich die Nullstelle x = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die pq-Formel wird angewendet: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² + q)

Beispiel: Für f $x$ = 2x² - 4x - 6 ergeben sich die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = -1.

Potenzfunktionen $f(x$ = a·xⁿ):

Gehen immer durch den Punkt P $0/0$
Bei geradem Exponenten: Parabel, Funktionswerte haben gleiches Vorzeichen
Bei ungeradem Exponenten: Hyperbel, Funktionswerte wechseln Vorzeichen bei x = 0

Highlight: Der Koeffizient a bestimmt, ob der Graph gestreckt $a > 1$ oder gestaucht $0 < a < 1$ wird.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man den Koeffizienten a und den Exponenten n aus gegebenen Punkten ableiten kann.

Beispiel: Für den Punkt P $2/4$ bei einer Potenzfunktion mit a = 0,5 ergibt sich n = 3 durch Ausprobieren.

Diese Informationen sind besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und das Verständnis der grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen.

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Ganzrationale Funktionen und Symmetrie

Dieser Abschnitt behandelt ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften, insbesondere ihr Globalverhalten und ihre Symmetrie:

Ganzrationale Funktionen:

Sind Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen
Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion

Globalverhalten:

Für x → ±∞ betrachtet man den Teil mit dem größten Exponenten
Für x nahe Null betrachtet man den Teil mit dem kleinsten Exponenten

Beispiel: Für f $x$ = 3x + 2x² - 4x³ + 2 bestimmt -4x³ das Verhalten für x → ±∞

Symmetrie:

Achsensymmetrie: Tritt bei Funktionen mit nur geraden Exponenten auf Formel: f $x$ = f $-x$
Punktsymmetrie: Tritt bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten auf Formel: f $x$ = -f $-x$

Beispiel: f $x$ = 2x³ + 2x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da -f $-x$ = - $2(-x$ ³ + 2 $-x$ ) = - $-2x³ - 2x$ = 2x³ + 2x = f $x$

Diese Konzepte sind wichtig für die Analyse der Symmetrie von Funktionen und das Verständnis ihres Verhaltens für extreme x-Werte. Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen kann durch einfache Umformungen überprüft werden, was besonders für die grafische Darstellung und das Verständnis des Funktionsverlaufs nützlich ist.

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen:

Ausklammern und Nullproduktsatz: Faktorisiere die Funktion Setze jeden Faktor gleich Null

Beispiel: Für f $x$ = 0,3 · $x+4$ · $x-2$ · $x-1$ ² ergeben sich die Nullstellen x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = 1

pq-Formel für quadratische Terme: Verwende die Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² + q)

Beispiel: Für f $x$ = x³ - 2x² - 3x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2x - 3$
Nullstelle x₁ = 0
Für x² - 2x - 3 = 0: x₂,₃ = 1 ± √ $1² + 3$ = 1 ± 2 x₂ = 3, x₃ = -1
Wurzelziehen für einfache quadratische Gleichungen: Isoliere x² und ziehe die Wurzel

Beispiel: Für f $x$ = x³ - 2x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2$
Nullstelle x₁ = 0
Für x² - 2 = 0: x² = 2 x₂ = √2, x₃ = -√2

Diese Methoden sind essentiell für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und ganzrationaler Funktionen höheren Grades. Sie ermöglichen es, die x-Werte zu finden, an denen die Funktion die x-Achse schneidet, was für die Analyse des Funktionsverhaltens und die grafische Darstellung von großer Bedeutung ist.

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1. Dez. 2020

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Nullstellen und Schnittpunkte: Aufgaben und Lösungen für Lineare und Quadratische Funktionen

Paula🧬

@paula_251

Dieser Leitfaden erklärt wichtige Konzepte der linearen und quadratischen Funktionen für Schüler:

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Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Dieser Abschnitt erklärt, wie man Schnittpunkte zweier Funktionen berechnet:

Für lineare Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.

Die Gleichung wird nach x aufgelöst.

Der x-Wert wird in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt, um y zu erhalten.

Beispiel: Für f $x$ = x + 1 und g $x$ = 2x + 3 ergibt sich x = -2 und y = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.

Die Gleichung wird auf eine Seite gebracht und auf Null gesetzt.

Die quadratische Gleichung wird gelöst, entweder durch: a) Wurzelziehen b) pq-Formel

Highlight: Bei quadratischen Gleichungen ist die pq-Formel besonders nützlich: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² + q)

Für die Nullstellen einer quadratischen Funktion wird f $x$ = 0 gesetzt und die Gleichung gelöst.

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Nullstellen und Eigenschaften von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Nullstellenberechnung für verschiedene Funktionstypen und die Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Für lineare Funktionen:

Die Gleichung wird auf Null gesetzt und nach x aufgelöst.

Beispiel: Für f $x$ = 2x + 2 ergibt sich die Nullstelle x = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die pq-Formel wird angewendet: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² + q)

Beispiel: Für f $x$ = 2x² - 4x - 6 ergeben sich die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = -1.

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Beispiel: Für den Punkt P $2/4$ bei einer Potenzfunktion mit a = 0,5 ergibt sich n = 3 durch Ausprobieren.

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Ganzrationale Funktionen und Symmetrie

Dieser Abschnitt behandelt ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften, insbesondere ihr Globalverhalten und ihre Symmetrie:

Ganzrationale Funktionen:

Sind Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen

Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion

Globalverhalten:

Für x → ±∞ betrachtet man den Teil mit dem größten Exponenten

Für x nahe Null betrachtet man den Teil mit dem kleinsten Exponenten

Beispiel: Für f $x$ = 3x + 2x² - 4x³ + 2 bestimmt -4x³ das Verhalten für x → ±∞

Symmetrie:

Achsensymmetrie: Tritt bei Funktionen mit nur geraden Exponenten auf Formel: f $x$ = f $-x$

Punktsymmetrie: Tritt bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten auf Formel: f $x$ = -f $-x$

Beispiel: f $x$ = 2x³ + 2x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da -f $-x$ = - $2(-x$ ³ + 2 $-x$ ) = - $-2x³ - 2x$ = 2x³ + 2x = f $x$

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen:

Ausklammern und Nullproduktsatz: Faktorisiere die Funktion Setze jeden Faktor gleich Null

Beispiel: Für f $x$ = 0,3 · $x+4$ · $x-2$ · $x-1$ ² ergeben sich die Nullstellen x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = 1

pq-Formel für quadratische Terme: Verwende die Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² + q)

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Faktorisiere: 0 = x $x² - 2x - 3$

Nullstelle x₁ = 0

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Beispiel: Für f $x$ = x³ - 2x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2$

Nullstelle x₁ = 0

Für x² - 2 = 0: x² = 2 x₂ = √2, x₃ = -√2

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Grundbegriffe der Funktionen

Dieser Abschnitt führt wichtige Begriffe im Zusammenhang mit linearen und quadratischen Funktionen ein:

Die Steigung einer Funktion wird mit m bezeichnet und gibt an, ob der Graph ansteigt oder fällt.

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion.

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für x eingesetzt werden können.

Der Funktionswert beschreibt, was für f $x$ herauskommen kann.

Definition: Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man die Funktionsgleichung f $x$ = mx + n für lineare Funktionen bestimmt:

Mit zwei gegebenen Punkten

Mithilfe der Steigung und zwei Punkten

Mithilfe des y-Achsenabschnitts und zwei Punkten

Beispiel: Für die Punkte P₁ $2/4$ und P₂ $0/-2$ wird die Steigung m mit der Formel m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ berechnet.

Abschließend werden ganzrationale Funktionen kurz eingeführt, deren Definitionsmenge meist ℝ oder ℝ{2} ist.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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