Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

36.246

•

13. Feb. 2026

•

5 Seiten

Nullstellen und Schnittpunkte: Aufgaben und Lösungen für Lineare und Quadratische Funktionen

Paula🧬

@paula_251

Dieser Leitfaden erklärt wichtige Konzepte der linearen und quadratischen Funktionen... Mehr anzeigen

1 / 5

# Funktionen

Lineare Funktionen - quadratische Funktionen - ganzrationale Funktionen

Begriffe rund um den Funktionsbegriff

Steigung: wird

Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Dieser Abschnitt erklärt, wie man Schnittpunkte zweier Funktionen berechnet:

Für lineare Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.
Die Gleichung wird nach x aufgelöst.
Der x-Wert wird in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt, um y zu erhalten.

Beispiel: Für f(x) = x + 1 und g(x) = 2x + 3 ergibt sich x = -2 und y = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.
Die Gleichung wird auf eine Seite gebracht und auf Null gesetzt.
Die quadratische Gleichung wird gelöst, entweder durch: a) Wurzelziehen b) pq-Formel

Highlight: Bei quadratischen Gleichungen ist die pq-Formel besonders nützlich: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² + q$

Für die Nullstellen einer quadratischen Funktion wird f(x) = 0 gesetzt und die Gleichung gelöst.

Beispiel: Für f(x) = -x² + x + 1 ergeben sich die Nullstellen x₁ = (1+√5)/2 und x₂ = (1-√5)/2.

Der Abschnitt betont, dass bei der Berechnung von Schnittpunkten immer gleichgesetzt und je nach Funktionstyp umgeformt oder die pq-Formel angewendet wird.

Nullstellen und Eigenschaften von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Nullstellenberechnung für verschiedene Funktionstypen und die Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Für lineare Funktionen:

Die Gleichung wird auf Null gesetzt und nach x aufgelöst.

Beispiel: Für f(x) = 2x + 2 ergibt sich die Nullstelle x = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die pq-Formel wird angewendet: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² + q$

Beispiel: Für f(x) = 2x² - 4x - 6 ergeben sich die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = -1.

Potenzfunktionen $f(x) = a·xⁿ$ :

Gehen immer durch den Punkt P(0/0)
Bei geradem Exponenten: Parabel, Funktionswerte haben gleiches Vorzeichen
Bei ungeradem Exponenten: Hyperbel, Funktionswerte wechseln Vorzeichen bei x = 0

Highlight: Der Koeffizient a bestimmt, ob der Graph gestreckt (a > 1) oder gestaucht (0 < a < 1) wird.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man den Koeffizienten a und den Exponenten n aus gegebenen Punkten ableiten kann.

Beispiel: Für den Punkt P(2/4) bei einer Potenzfunktion mit a = 0,5 ergibt sich n = 3 durch Ausprobieren.

Diese Informationen sind besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und das Verständnis der grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen.

Ganzrationale Funktionen und Symmetrie

Dieser Abschnitt behandelt ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften, insbesondere ihr Globalverhalten und ihre Symmetrie:

Ganzrationale Funktionen:

Sind Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen
Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion

Globalverhalten:

Für x → ±∞ betrachtet man den Teil mit dem größten Exponenten
Für x nahe Null betrachtet man den Teil mit dem kleinsten Exponenten

Beispiel: Für f(x) = 3x + 2x² - 4x³ + 2 bestimmt -4x³ das Verhalten für x → ±∞

Symmetrie:

Achsensymmetrie:
- Tritt bei Funktionen mit nur geraden Exponenten auf
- Formel: f(x) = f $-x$
Punktsymmetrie:
- Tritt bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten auf
- Formel: f(x) = -f $-x$

Beispiel: f(x) = 2x³ + 2x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da -f $-x$ = - $2(-x)³ + 2(-x)$ = - $-2x³ - 2x$ = 2x³ + 2x = f(x)

Diese Konzepte sind wichtig für die Analyse der Symmetrie von Funktionen und das Verständnis ihres Verhaltens für extreme x-Werte. Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen kann durch einfache Umformungen überprüft werden, was besonders für die grafische Darstellung und das Verständnis des Funktionsverlaufs nützlich ist.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen:

Ausklammern und Nullproduktsatz:
- Faktorisiere die Funktion
- Setze jeden Faktor gleich Null

Beispiel: Für f(x) = 0,3 · $x+4$ · $x-2$ · $x-1$ ² ergeben sich die Nullstellen x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = 1

pq-Formel für quadratische Terme:
- Verwende die Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² + q$

Beispiel: Für f(x) = x³ - 2x² - 3x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2x - 3$
Nullstelle x₁ = 0
Für x² - 2x - 3 = 0: x₂,₃ = 1 ± √(1² + 3) = 1 ± 2 x₂ = 3, x₃ = -1
Wurzelziehen für einfache quadratische Gleichungen:
- Isoliere x² und ziehe die Wurzel

Beispiel: Für f(x) = x³ - 2x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2$
Nullstelle x₁ = 0
Für x² - 2 = 0: x² = 2 x₂ = √2, x₃ = -√2

Diese Methoden sind essentiell für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und ganzrationaler Funktionen höheren Grades. Sie ermöglichen es, die x-Werte zu finden, an denen die Funktion die x-Achse schneidet, was für die Analyse des Funktionsverhaltens und die grafische Darstellung von großer Bedeutung ist.

Grundbegriffe der Funktionen

Dieser Abschnitt führt wichtige Begriffe im Zusammenhang mit linearen und quadratischen Funktionen ein:

Die Steigung einer Funktion wird mit m bezeichnet und gibt an, ob der Graph ansteigt oder fällt.
Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion.
Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für x eingesetzt werden können.
Der Funktionswert beschreibt, was für f(x) herauskommen kann.

Definition: Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man die Funktionsgleichung f(x) = mx + n für lineare Funktionen bestimmt:

Mit zwei gegebenen Punkten
Mithilfe der Steigung und zwei Punkten
Mithilfe des y-Achsenabschnitts und zwei Punkten

Beispiel: Für die Punkte P₁(2/4) und P₂(0/-2) wird die Steigung m mit der Formel m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ berechnet.

Abschließend werden ganzrationale Funktionen kurz eingeführt, deren Definitionsmenge meist ℝ oder ℝ{2} ist.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

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Paul T

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

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13. Feb. 2026

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Nullstellen und Schnittpunkte: Aufgaben und Lösungen für Lineare und Quadratische Funktionen

Paula🧬

@paula_251

Dieser Leitfaden erklärt wichtige Konzepte der linearen und quadratischen Funktionen für Schüler:

Grundlegende Begriffe wie Steigung, y-Achsenabschnitt und Scheitelpunkt werden erläutert
Methoden zur Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten werden detailliert beschrieben
Eigenschaften von Potenz- und ganzrationalen Funktionen werden erklärt
Symmetrie... Mehr anzeigen

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Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Dieser Abschnitt erklärt, wie man Schnittpunkte zweier Funktionen berechnet:

Für lineare Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.

Die Gleichung wird nach x aufgelöst.

Der x-Wert wird in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt, um y zu erhalten.

Beispiel: Für f(x) = x + 1 und g(x) = 2x + 3 ergibt sich x = -2 und y = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.

Die Gleichung wird auf eine Seite gebracht und auf Null gesetzt.

Die quadratische Gleichung wird gelöst, entweder durch: a) Wurzelziehen b) pq-Formel

Highlight: Bei quadratischen Gleichungen ist die pq-Formel besonders nützlich: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² + q$

Für die Nullstellen einer quadratischen Funktion wird f(x) = 0 gesetzt und die Gleichung gelöst.

Beispiel: Für f(x) = -x² + x + 1 ergeben sich die Nullstellen x₁ = (1+√5)/2 und x₂ = (1-√5)/2.

Der Abschnitt betont, dass bei der Berechnung von Schnittpunkten immer gleichgesetzt und je nach Funktionstyp umgeformt oder die pq-Formel angewendet wird.

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Nullstellen und Eigenschaften von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Nullstellenberechnung für verschiedene Funktionstypen und die Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Für lineare Funktionen:

Die Gleichung wird auf Null gesetzt und nach x aufgelöst.

Beispiel: Für f(x) = 2x + 2 ergibt sich die Nullstelle x = -1.

Für quadratische Funktionen:

Die pq-Formel wird angewendet: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² + q$

Beispiel: Für f(x) = 2x² - 4x - 6 ergeben sich die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = -1.

Potenzfunktionen $f(x) = a·xⁿ$ :

Gehen immer durch den Punkt P(0/0)

Bei geradem Exponenten: Parabel, Funktionswerte haben gleiches Vorzeichen

Bei ungeradem Exponenten: Hyperbel, Funktionswerte wechseln Vorzeichen bei x = 0

Highlight: Der Koeffizient a bestimmt, ob der Graph gestreckt (a > 1) oder gestaucht (0 < a < 1) wird.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man den Koeffizienten a und den Exponenten n aus gegebenen Punkten ableiten kann.

Beispiel: Für den Punkt P(2/4) bei einer Potenzfunktion mit a = 0,5 ergibt sich n = 3 durch Ausprobieren.

Diese Informationen sind besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und das Verständnis der grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen.

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Ganzrationale Funktionen und Symmetrie

Dieser Abschnitt behandelt ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften, insbesondere ihr Globalverhalten und ihre Symmetrie:

Ganzrationale Funktionen:

Sind Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen

Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion

Globalverhalten:

Für x → ±∞ betrachtet man den Teil mit dem größten Exponenten

Für x nahe Null betrachtet man den Teil mit dem kleinsten Exponenten

Beispiel: Für f(x) = 3x + 2x² - 4x³ + 2 bestimmt -4x³ das Verhalten für x → ±∞

Symmetrie:

Achsensymmetrie:

Tritt bei Funktionen mit nur geraden Exponenten auf

Formel: f(x) = f $-x$

Punktsymmetrie:

Tritt bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten auf

Formel: f(x) = -f $-x$

Beispiel: f(x) = 2x³ + 2x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da -f $-x$ = - $2(-x)³ + 2(-x)$ = - $-2x³ - 2x$ = 2x³ + 2x = f(x)

Diese Konzepte sind wichtig für die Analyse der Symmetrie von Funktionen und das Verständnis ihres Verhaltens für extreme x-Werte. Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen kann durch einfache Umformungen überprüft werden, was besonders für die grafische Darstellung und das Verständnis des Funktionsverlaufs nützlich ist.

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen:

Ausklammern und Nullproduktsatz:

Faktorisiere die Funktion

Setze jeden Faktor gleich Null

Beispiel: Für f(x) = 0,3 · $x+4$ · $x-2$ · $x-1$ ² ergeben sich die Nullstellen x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = 1

pq-Formel für quadratische Terme:

Verwende die Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² + q$

Beispiel: Für f(x) = x³ - 2x² - 3x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2x - 3$

Nullstelle x₁ = 0

Für x² - 2x - 3 = 0: x₂,₃ = 1 ± √(1² + 3) = 1 ± 2 x₂ = 3, x₃ = -1

Wurzelziehen für einfache quadratische Gleichungen:

Isoliere x² und ziehe die Wurzel

Beispiel: Für f(x) = x³ - 2x

Faktorisiere: 0 = x $x² - 2$

Nullstelle x₁ = 0

Für x² - 2 = 0: x² = 2 x₂ = √2, x₃ = -√2

Diese Methoden sind essentiell für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und ganzrationaler Funktionen höheren Grades. Sie ermöglichen es, die x-Werte zu finden, an denen die Funktion die x-Achse schneidet, was für die Analyse des Funktionsverhaltens und die grafische Darstellung von großer Bedeutung ist.

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Grundbegriffe der Funktionen

Dieser Abschnitt führt wichtige Begriffe im Zusammenhang mit linearen und quadratischen Funktionen ein:

Die Steigung einer Funktion wird mit m bezeichnet und gibt an, ob der Graph ansteigt oder fällt.

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion.

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für x eingesetzt werden können.

Der Funktionswert beschreibt, was für f(x) herauskommen kann.

Definition: Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man die Funktionsgleichung f(x) = mx + n für lineare Funktionen bestimmt:

Mit zwei gegebenen Punkten

Mithilfe der Steigung und zwei Punkten

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Beispiel: Für die Punkte P₁(2/4) und P₂(0/-2) wird die Steigung m mit der Formel m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ berechnet.

Abschließend werden ganzrationale Funktionen kurz eingeführt, deren Definitionsmenge meist ℝ oder ℝ{2} ist.

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Integrationsregeln und Anwendungen
Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
Mathe
11

Potenzfunktionen verstehen
Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
Mathe
11

Integralrechnung Grundlagen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
Mathe
11

Bruchrechnung verstehen
Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.
Mathe
6

Binomische Formeln verstehen
Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.
Mathe
7

Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse
Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.
Deutsch
11

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist
Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr
Deutsch
12

Der zerbrochene Krug
Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation
Deutsch
11

Abilernzettel Heimsuchung 2025
Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,
Deutsch
11

Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck
Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1
Deutsch
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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug
Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.
Deutsch
12

Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug
Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen
Deutsch
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Zusammenfassung Heimsuchung
ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung
Deutsch
12

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung
Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel
Deutsch
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