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Funktionen, Nullstellen, Schnittpunkte

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- Grundbegriffe von Funktionen - lineare Funktion - quadratische Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Globalverhalten, Achsen- und Punktsymmetrie) - Nullstellen berechnen - Schnittpunkte berechnen

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Lineare Funktionen Definitions menge: Funktionen quadratische Begriffe rund um den Funktionsbegriff Steigung: wird mit m angegeben; Funktionswerte steigen an; fällt y-Achsenabschnitt: gibt den Punkt an, an dem der Graph die y-Achse Schneidet. → der y- Wert = 0 Scheitelpunkt: höchster bzw. tiefster Punkt der quadratischen Funktion Funktionswert: Was kann alles für f(x) herauskommen? Funktion: Bei einer Funktion wird jedem x-Wert f(x) = 3x +n = 3.2 +n 4 →y Achsenabschnitt bestimmen mit 6 +n Was kann für * eingesetzt werden? meist D: TR Wenn nur eine bestimmie Zahl nicht eingesetzt werden darf : DF: R/{2} Wenn nur positive / negative Zahen eingesetzt werden dürfen: Df: TR² Funktionen ↳keine Funktion, weil x-Werle haben zwei y-Werte 4 = =2=n => f(x): 3 tkr Funktionsgleichung für f(x)=mx+n 1) 2 Punkie gegeben: Z.B. P₁ (2/4) P₁ (0/-2) →m bestimmen mit m = y₂-y₁ = (-2)-4 = = 6 = 6 = 3 8 Х2-Ха I Pa in f(x) 1-6 - umformen ganzrationale Funktionen → RR, TR, ↳ Funktion oder Steigt der Graph? genau ein + TR/{2} y-Wert zugeordnet 2 darf nicht eingesetzt werden 2) mithilfe der Steigung & zwei Punkten → umformen 3) mithilfe des y-Achsendosch. & zwei Punkten m berechnen Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen Beispiel: f(x)= x + 1 => Gleichsetzen und nach x auflösen 1 - 1/1/2 1-1/2 x 3x+1= = 2x + 1 글 داس 2/1/2 = 2x GIN 121/1/2=512x m|0|1 ↑ = x h(²²) = 2√²/²/² + 1/1/20 S (3/11) x=3/ 10 einfügen, um y zu erhalten nun in eine Gleichung 1) Wurzel ziehen: 0= 2x² - 48 48= 2x² 24 = x² √24 und S - Quadratische Gleichungen 1 +48 1:2 15 X₁ = X₂=- IL = {√24; -√24} √24 h(x)...

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= 2x + 1/2 || 11 1:5.x 2) pq Formel X₁₁2 = ± √(-2)² + 3 = 4+√ 16 +3 = 4± √ig 0 = 3x² -24x -9 0x²8x -3 von zwei quadratischen Beispiel: f(x) = x₁ = 4+ √19 IL = { 4 + √19¹; 4-√19" i => Gleichsetzen 3 2 X₁,2= 2 ± √ √3)² + X₁₁2 = ± √ √ 121 X₁,2 = 3/2 + 1/125 X₁ = x₂ = 4-√19 -x²+x+1 2x² - 4x-7 -3x² + x + 1 = -4x-7 -3x² +5x+8 = 0 5 x²-x-1=0 w/00 x in f(x) ƒ ( ² ) = -(±Ð³² + ( ²³² ) + ₁ Jau 100 + x + 1 Bei dem Berechnen der Schnittpunkte wird immer gleichgesetzt und je nach Funktion umgeformt oder die pq-Formel angewendet. 1:3 Ip-q- Formel und X₂ in f(x) f (-1) = −(−1)² + (-1) + 1 = −1 S₂ (1-31) x₂ = -1 .-31 = - auf eine Funktionen und g(x) = 2x² −4x - 7 S₂ (-1/-1) 3,4 => in Gleichung einsetzen für y Seite umformen 1-2x² 1+ 4x 1+7 1:(-3) I pq - Formel Nullstellen von Geraden und Parabeln bestimmen lineare Funktion f(x) = 2x + 2 0 = 2x + 2 -1 = x Potenzfunktionen 1-2 1:2 gerader Exponent Koeffizient a>o Koeffizient aso Eigenschaften: gehen durch P (010) quadratische Funktion Funktionsgleichung ablesen: f(x) Z.B. 2. Punkt ablesen 2.B. P (2/4) 4= 0,5-2 1:0.5 8=2" durch ausprobieren → = 2x² 4x -6 0 = 2x² - 4x - 6 0 = x² - 2x - 3 - ²/² ± √( 2² ) ² + 3 +3 1± √√√4 X1,2 = X₁ = 1+√4 a> 1 → Graph gestreckt → a= Stauch- bzw. Streckfaktor 0<a<1 → Graph gestaucht = 1. a an Stelle x = 1 ablesen (1/0,5) → a=0,5 n= 3 ungerader Exponent x₂ = f(x) = a.xn 1:2 Ip-q- Formel 1-√4 = 3 gerader Exponent → Parabel; Funktionswerte gleiches Vorzeichen ungerader Exponent → Hyperbel; Funktionswerte wechseln Vorzeichen bei x = 0 negativ zu positiv bei a>0 und positiv zu negativ bei aso → Funktion n-ten Grades a>0 Koeffizient a<o Koeffizient -Ganzrationale Funktionen Globalverhalten Verhalten für x gegen unendlich und minus unendlich X→∞ Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen Exponent der größten Potenz von * heißt Grad Höchste Polenz von X gibt Anzahl der Nullstellen an lim man betrachtet den Teil mit dem größten Exponent Z.B. f(x) = 3x + 2x² - 4x + 2 Globalverhalten für x→ ± 00 f(x) → 9(x) = - 4x⁰ 00 + 4x => lim f(x) → ∞0 x → 00 lim X-8 f(x) →-00 Symmetrie Achsen- und Punktsymmetrie x18 Achsensymmetrie ↳nur gerade Exponenten (wenn ablesbar) Formel: f(x) = f(-x) Funktion auf Achsensymmetrie prüfen: Bspl.: 1) f(x)=2* + 2* -X => f(-x) = 2 2* = 2* +2* = f(x) ↳ Achsensymmetrie zur y-Achse Punktsymmetrie ↳ nur ungerade Exponenten Formel: f(x) = -f(-x) Funktion auf Punktsymmetrie prüfen: Bsp.: 1) f(x)= 2* + 2* -f(-x) = -2* + (-2)* = -2¯* - 2* * f(x) 2) f(x) == => f(-x) = ↳keine Punkts. *** 11 2) f(x) = x/2 Verhalten für x nahe Null man betrachten den Teil mit dem kleinsten Exponent /ohne Exponent Z.B. f(x) = 3x + 2x² - 4x² + 2 Globalverhalten für x nane Null f(x) → g(x) = 2x² lim *+0 ↳der Graph weist nahe der x-Achse eine parabelförmige gestreckte Polenzfunktion auf * | * # f(x) ↳ keine Achsens. 1 - f(-x) = -(=-x²) = -1² = = = = = f(x) ↳ Punktsymmetrie zum Ursprung Nullstellen von ganzrationalen Funktionen mittels Ausklammern: Nullproduktsatz f(x) = 0₁3. (x+4) · (x-2) ·(x-1)² 0 = 0.3 (x+4) (x-2) (x-1)² x₁ = -4 x₂ = 2 X3 = 1 • √ (²) ² - 9 mittels P-9-Formel: ± √ f(x)= x³2x²-3x 0 = x³ 2x² - 3x 0 = x (x²³-2x-3) X2,3 = x²-2x-3 = // ± √(²) ²+3 = 1± √√4 X₁ = 0 X₂=3 →NPS Ip-q-Formel = 1± 2 x₂ = -1 oder f(x)= x³ - 2x 0 = x³2x 0 = x (x²-2) X ₁ = 0 X2,3 = 0= x²³-2 2=x² x₂ = √2 1+2 x3 = - -√2

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= 2x + 1/2 || 11 1:5.x 2) pq Formel X₁₁2 = ± √(-2)² + 3 = 4+√ 16 +3 = 4± √ig 0 = 3x² -24x -9 0x²8x -3 von zwei quadratischen Beispiel: f(x) = x₁ = 4+ √19 IL = { 4 + √19¹; 4-√19" i => Gleichsetzen 3 2 X₁,2= 2 ± √ √3)² + X₁₁2 = ± √ √ 121 X₁,2 = 3/2 + 1/125 X₁ = x₂ = 4-√19 -x²+x+1 2x² - 4x-7 -3x² + x + 1 = -4x-7 -3x² +5x+8 = 0 5 x²-x-1=0 w/00 x in f(x) ƒ ( ² ) = -(±Ð³² + ( ²³² ) + ₁ Jau 100 + x + 1 Bei dem Berechnen der Schnittpunkte wird immer gleichgesetzt und je nach Funktion umgeformt oder die pq-Formel angewendet. 1:3 Ip-q- Formel und X₂ in f(x) f (-1) = −(−1)² + (-1) + 1 = −1 S₂ (1-31) x₂ = -1 .-31 = - auf eine Funktionen und g(x) = 2x² −4x - 7 S₂ (-1/-1) 3,4 => in Gleichung einsetzen für y Seite umformen 1-2x² 1+ 4x 1+7 1:(-3) I pq - Formel Nullstellen von Geraden und Parabeln bestimmen lineare Funktion f(x) = 2x + 2 0 = 2x + 2 -1 = x Potenzfunktionen 1-2 1:2 gerader Exponent Koeffizient a>o Koeffizient aso Eigenschaften: gehen durch P (010) quadratische Funktion Funktionsgleichung ablesen: f(x) Z.B. 2. Punkt ablesen 2.B. P (2/4) 4= 0,5-2 1:0.5 8=2" durch ausprobieren → = 2x² 4x -6 0 = 2x² - 4x - 6 0 = x² - 2x - 3 - ²/² ± √( 2² ) ² + 3 +3 1± √√√4 X1,2 = X₁ = 1+√4 a> 1 → Graph gestreckt → a= Stauch- bzw. Streckfaktor 0<a<1 → Graph gestaucht = 1. a an Stelle x = 1 ablesen (1/0,5) → a=0,5 n= 3 ungerader Exponent x₂ = f(x) = a.xn 1:2 Ip-q- Formel 1-√4 = 3 gerader Exponent → Parabel; Funktionswerte gleiches Vorzeichen ungerader Exponent → Hyperbel; Funktionswerte wechseln Vorzeichen bei x = 0 negativ zu positiv bei a>0 und positiv zu negativ bei aso → Funktion n-ten Grades a>0 Koeffizient a<o Koeffizient -Ganzrationale Funktionen Globalverhalten Verhalten für x gegen unendlich und minus unendlich X→∞ Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen Exponent der größten Potenz von * heißt Grad Höchste Polenz von X gibt Anzahl der Nullstellen an lim man betrachtet den Teil mit dem größten Exponent Z.B. f(x) = 3x + 2x² - 4x + 2 Globalverhalten für x→ ± 00 f(x) → 9(x) = - 4x⁰ 00 + 4x => lim f(x) → ∞0 x → 00 lim X-8 f(x) →-00 Symmetrie Achsen- und Punktsymmetrie x18 Achsensymmetrie ↳nur gerade Exponenten (wenn ablesbar) Formel: f(x) = f(-x) Funktion auf Achsensymmetrie prüfen: Bspl.: 1) f(x)=2* + 2* -X => f(-x) = 2 2* = 2* +2* = f(x) ↳ Achsensymmetrie zur y-Achse Punktsymmetrie ↳ nur ungerade Exponenten Formel: f(x) = -f(-x) Funktion auf Punktsymmetrie prüfen: Bsp.: 1) f(x)= 2* + 2* -f(-x) = -2* + (-2)* = -2¯* - 2* * f(x) 2) f(x) == => f(-x) = ↳keine Punkts. *** 11 2) f(x) = x/2 Verhalten für x nahe Null man betrachten den Teil mit dem kleinsten Exponent /ohne Exponent Z.B. f(x) = 3x + 2x² - 4x² + 2 Globalverhalten für x nane Null f(x) → g(x) = 2x² lim *+0 ↳der Graph weist nahe der x-Achse eine parabelförmige gestreckte Polenzfunktion auf * | * # f(x) ↳ keine Achsens. 1 - f(-x) = -(=-x²) = -1² = = = = = f(x) ↳ Punktsymmetrie zum Ursprung Nullstellen von ganzrationalen Funktionen mittels Ausklammern: Nullproduktsatz f(x) = 0₁3. (x+4) · (x-2) ·(x-1)² 0 = 0.3 (x+4) (x-2) (x-1)² x₁ = -4 x₂ = 2 X3 = 1 • √ (²) ² - 9 mittels P-9-Formel: ± √ f(x)= x³2x²-3x 0 = x³ 2x² - 3x 0 = x (x²³-2x-3) X2,3 = x²-2x-3 = // ± √(²) ²+3 = 1± √√4 X₁ = 0 X₂=3 →NPS Ip-q-Formel = 1± 2 x₂ = -1 oder f(x)= x³ - 2x 0 = x³2x 0 = x (x²-2) X ₁ = 0 X2,3 = 0= x²³-2 2=x² x₂ = √2 1+2 x3 = - -√2