Nullstellen und Eigenschaften von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Nullstellenberechnung für verschiedene Funktionstypen und die Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Für lineare Funktionen:

• Die Gleichung wird auf Null gesetzt und nach x aufgelöst.

Beispiel: Für f(x) = 2x + 2 ergibt sich die Nullstelle x = -1.

Für quadratische Funktionen:

• Die pq-Formel wird angewendet: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² + q)

Beispiel: Für f(x) = 2x² - 4x - 6 ergeben sich die Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = -1.

Potenzfunktionen (f(x) = a·xⁿ):

• Gehen immer durch den Punkt P(0/0)
• Bei geradem Exponenten: Parabel, Funktionswerte haben gleiches Vorzeichen
• Bei ungeradem Exponenten: Hyperbel, Funktionswerte wechseln Vorzeichen bei x = 0

Highlight: Der Koeffizient a bestimmt, ob der Graph gestreckt (a > 1) oder gestaucht (0 < a < 1) wird.

Der Abschnitt erklärt auch, wie man den Koeffizienten a und den Exponenten n aus gegebenen Punkten ableiten kann.

Beispiel: Für den Punkt P(2/4) bei einer Potenzfunktion mit a = 0,5 ergibt sich n = 3 durch Ausprobieren.

Diese Informationen sind besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und das Verständnis der grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen:

1. Ausklammern und Nullproduktsatz:
   • Faktorisiere die Funktion
   • Setze jeden Faktor gleich Null

Beispiel: Für f(x) = 0,3 · (x+4) · (x-2) · (x-1)² ergeben sich die Nullstellen x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = 1

2. pq-Formel für quadratische Terme:
   • Verwende die Formel x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² + q)

Beispiel: Für f(x) = x³ - 2x² - 3x

1. Faktorisiere: 0 = x(x² - 2x - 3)

2. Nullstelle x₁ = 0

3. Für x² - 2x - 3 = 0: x₂,₃ = 1 ± √(1² + 3) = 1 ± 2 x₂ = 3, x₃ = -1

4. Wurzelziehen für einfache quadratische Gleichungen:

   • Isoliere x² und ziehe die Wurzel

Beispiel: Für f(x) = x³ - 2x

1. Faktorisiere: 0 = x(x² - 2)
2. Nullstelle x₁ = 0
3. Für x² - 2 = 0: x² = 2 x₂ = √2, x₃ = -√2

Diese Methoden sind essentiell für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und ganzrationaler Funktionen höheren Grades. Sie ermöglichen es, die x-Werte zu finden, an denen die Funktion die x-Achse schneidet, was für die Analyse des Funktionsverhaltens und die grafische Darstellung von großer Bedeutung ist.