Was sind Nullstellen überhaupt?

Stell dir vor, du schaust auf einen Graphen und fragst dich: "Wo berührt oder schneidet er die x-Achse?" Genau das sind die Nullstellen! Sie zeigen dir, bei welchen x-Werten die Funktion den Wert null hat.

Um Nullstellen zu berechnen, setzt du die Funktion immer gleich null: f(x) = 0. Das ist dein Startpunkt für jede Berechnung.

Merke dir: Bei Nullstellen ist y immer gleich null - deshalb heißen sie auch so!

Die pq-Formel - dein Werkzeug für quadratische Funktionen

Die pq-Formel ist super praktisch für Funktionen wie f(x) = x² + 3x - 5. Die Formel lautet: $x = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

So wendest du sie an: Erst setzt du die Funktion gleich null, dann markierst du p (der Wert vor x) und q (die Zahl ohne x). Bei x² + 3x - 5 = 0 ist p = 3 und q = -5.

Wichtige Regeln: Vor x² darf keine Zahl stehen (sonst musst du erst durch diese Zahl teilen), und q darf kein x enthalten. Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine Lösung.

Tipp: Aus minus mal minus wird plus - das vergessen viele bei der Berechnung!

Übungen zur pq-Formel meistern

Hier siehst du, wie die pq-Formel in der Praxis funktioniert. Bei x² + 6x + 5 = 0 ist p = 6 und q = 5.

Einsetzen: $x = -3 ± \sqrt{9 - 5} = -3 ± 2$. Das ergibt x₁ = -1 und x₂ = -5.

Manchmal steht vor x² noch eine Zahl, wie bei 8x² + 4x - 4 = 0. Dann teilst du alles durch 8 und erhältst x² + 0,5x - 0,5 = 0.

Wichtiger Check: Wenn $(\frac{p}{2})^2 - q$ negativ ist, kannst du keine Wurzel ziehen - dann hat die Gleichung keine Lösung. Bei null unter der Wurzel gibt es genau eine Lösung.

Praxis-Tipp: Rechne immer Schritt für Schritt und kontrolliere deine Vorzeichen!

Ablesen von Nullstellen bei Linearfaktoren

Manchmal kannst du Nullstellen direkt ablesen, ohne zu rechnen! Das geht bei Linearfaktoren - das sind Klammern mit x-Werten drin.

Bei f(x) = $x-3$$x-1$²$x+2$ siehst du sofort: x₁ = 3, x₂ = 1 und x₃ = -2. Du setzt einfach jeden Klammer-Ausdruck gleich null.

Der Trick: Bei $x-3$ = 0 ist x = 3, bei $x+2$ = 0 ist x = -2. Das Vorzeichen dreht sich um!

Auch bei f(x) = x³ - 9x = x$x² - 9$ = x$x-3$$x+3$ liest du ab: x₁ = 0, x₂ = 3, x₃ = -3.

Super einfach: Linearfaktoren sind wie ein Geschenk - die Nullstellen stehen praktisch schon da!

Ausklammern und Substitution

Wenn alle Terme ein x enthalten, kannst du ausklammern. Bei f(x) = x³ - 2x² klammerst du x² aus: x²$x - 2$ = 0. Das ergibt x₁ = 0 und x₂ = 2.

Substitution brauchst du bei besonderen Potenzen wie x⁴ und x². Bei f(x) = x⁴ - 7x² + 12 ersetzt du x² durch z: z² - 7z + 12 = 0.

Mit der pq-Formel erhältst du z₁ = 4 und z₂ = 3. Rück-Substitution: x² = 4 ergibt x = ±2, x² = 3 ergibt x = ±√3.

Merkhilfe: Ausklammern, wenn überall x steht - Substitution bei "geraden" Potenzen wie x⁴, x⁶!