Nullstellen und Symmetrie ganzrationaler Funktionen: Aufgaben und Lösungen

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kaya

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Klassenbester Student

17.4.2021

1609

EF M GK
2. Klausur 11.11.2020
1. Prüfungsteil: Ohne Taschenrechner (20 min.)
Aufgabe 1:
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen un

Nullstellen und Symmetrie Ganzrationaler Funktionen

Die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen erfordert systematisches Vorgehen. Bei Funktionen wie f(x) = (x + 2)(3x² + 3x - 18) wendet man zunächst die Linearfaktorzerlegung an. Der erste Faktor ergibt direkt x = -2 als Nullstelle. Für den zweiten Faktor nutzt man die p-q-Formel oder quadratische Ergänzung.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt. Bei ganzrationalen Funktionen entspricht die Anzahl der Nullstellen maximal dem Grad der Funktion.

Bei Funktionen höheren Grades wie g(x)=x⁴-8x³ hilft die Substitutionsmethode. Man fasst x³ als neue Variable auf und löst zunächst eine quadratische Gleichung. Durch Rücksubstitution erhält man dann alle Nullstellen.

Beispiel: Bei der Funktion i(x)=x²-4 ergeben sich durch Faktorisierung die Nullstellen x₁,₂ = ±2. Die Funktion schneidet die x-Achse also bei -2 und +2.

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Symmetrieeigenschaften und Globalverhalten

Die Symmetrie einer Funktion lässt sich anhand der Exponenten analysieren. Gerade Exponenten führen zu achsensymmetrischen Graphen zur y-Achse, ungerade Exponenten zu punktsymmetrischen Graphen zum Ursprung.

Merkmale: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt. Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt f(-x) = f(x).

Das Globalverhalten beschreibt das Verhalten einer Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt der höchste Exponent mit seinem Vorzeichen, ob der Graph für x→±∞ nach oben oder unten verläuft.

Beispiel: Die Funktion f(x) = x⁶ - 2x⁴ - 3x² hat für x→±∞ positives Verhalten, da der Term mit dem höchsten Exponenten x⁶ dominiert.

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Graphen Zuordnen und Analysieren

Bei der Zuordnung von Funktionsvorschriften zu Graphen muss man systematisch vorgehen und das Globalverhalten sowie lokale Eigenschaften untersuchen. Wichtige Kriterien sind:

Verhalten für x→±∞
Symmetrieeigenschaften
Nullstellen und Extrempunkte
Verhalten nahe x=0

Vokabular: Das Globalverhalten einer Funktion wird durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Gerade Exponenten führen zu U-förmigen, ungerade zu S-förmigen Verläufen.

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Anwendungen Ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen finden praktische Anwendung bei der Modellierung realer Situationen. Ein Beispiel ist die Beschreibung einer Wildwasserbahn durch f(x) = -0,7x⁴+6,8x³-21,4x²+21,9x.

Praxisbeispiel: Die Nullstellen dieser Funktion geben die Punkte an, wo die Bahn die Wasseroberfläche durchbricht. Lokale Maxima entsprechen den höchsten Punkten der Bahn.

Die Analyse solcher Funktionen erfordert:

Bestimmung der Nullstellen für Ein-/Austrittspunkte
Untersuchung der Extremwerte für Höchst-/Tiefpunkte
Betrachtung des Gesamtverlaufs für die Streckenführung

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Symmetrie und Globalverhalten Ganzrationaler Funktionen

Die Symmetrie Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik, besonders bei ganzrationalen Funktionen. Bei der Analyse der Symmetrie unterscheiden wir zwischen achsensymmetrischen und punktsymmetrischen Funktionen.

Definition: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f(-x) = f(x). Dies tritt bei Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten auf.

Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor. Ein Punktsymmetrische Funktion Beispiel wäre f(x) = x³ - 3x, bei der f(-x) = -f(x) gilt. Die Analyse der Exponenten ist entscheidend für die Bestimmung der Symmetrieart.

Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt ihr Verhalten für x → ±∞ und wird maßgeblich durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Bei der Beschreibung des Globalverhaltens müssen folgende Aspekte berücksichtigt werden:

Vorzeichen des führenden Koeffizienten
Grad der Funktion (höchster Exponent)
Verlauf in den Quadranten

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x⁶ - 2x⁴ - 13x² bestimmt der Term x⁶ das Globalverhalten. Da der Koeffizient positiv ist und der Exponent gerade, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.

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Nullstellen und Eigenschaften Ganzrationaler Funktionen

Die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen ist ein zentraler Aspekt der Funktionsanalyse. Für Funktionen dritten Grades (nullstellen funktion 3. grades formel) und vierten Grades (nullstellen berechnen funktion 4. grades) gibt es verschiedene Lösungsansätze.

Merke: Bei der Bestimmung von Nullstellen höheren Grades ist oft eine Faktorisierung oder die Verwendung des Horner-Schemas hilfreich.

Das Globalverhalten beschreiben umfasst auch die Analyse der Steigung und des y-Achsenabschnitts. Bei einer Funktion wie g(x) = -x³ - x² + 1 ist der y-Achsenabschnitt +1, und die negative Basis führt zu einem Verlauf im 2. und 4. Quadranten.

Highlight: Die Kombination aus Symmetrie, Nullstellen und Globalverhalten ermöglicht eine vollständige Charakterisierung einer ganzrationalen Funktion.

Für das Funktionen Graphen zuordnen ist es wichtig, systematisch vorzugehen: