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Sharlin
21.11.2025
Mathe
Geometrie (Alles zum Abi)
1.204
•
21. Nov. 2025
•
Sharlin
@sharlinpohl
Willkommen in der Welt der Vektorgeometrie! Hier lernst du... Mehr anzeigen
Punkte werden als geordnete Zahlen-Triple in Zeilenform geschrieben, zum Beispiel A(2|3|4). Vektoren hingegen stehen in Spaltenform und zeigen eine Richtung an. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung (0|0|0) mit einem bestimmten Punkt.
Den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten berechnest du ganz einfach: Endpunkt minus Startpunkt. Also .
Bei der Vektoraddition rechnest du einfach koordinatenweise: Erste Komponente plus erste Komponente, zweite plus zweite, und so weiter. Das Gleiche gilt für die Subtraktion - alles schön der Reihe nach.
Merkregel: Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, in welche Richtung und wie weit du gehen musst!
Die Skalarmultiplikation verändert die Länge eines Vektors. Multiplizierst du mit 2, wird der Vektor doppelt so lang. Mit -1 drehst du ihn um 180°. Ein Skalar ist einfach eine normale Zahl, die den Vektor streckt, staucht oder umdreht.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel - das ist der gute alte Pythagoras in 3D!
Geraden haben eine feste Form: . Der Stützvektor gibt dir einen Punkt auf der Geraden, der Richtungsvektor zeigt, wohin die Gerade läuft. Der Parameter t kann jeden beliebigen Wert haben.
Tipp: Auch die Koordinatenachsen lassen sich als Geradengleichungen schreiben - das hilft bei vielen Aufgaben!
Eine Strecke ist eine Gerade mit Anfangs- und Endpunkt, eine Halbgerade hat nur einen Startpunkt. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit .
Ebenen brauchst du drei Dinge: einen Stützvektor zu einem Punkt auf der Ebene und zwei Spannvektoren, die nicht parallel sind. Die Formel lautet: .
Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, setzt du seine Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Bekommst du eine eindeutige Lösung, liegt er drin. Sonst nicht.
Wichtig: Die Spannvektoren müssen linearunabhängig sein - sonst spannst du keine Ebene auf, sondern nur eine Gerade!
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Die drei Koordinatenebenen sind: x₁x₂-Ebene (Boden), x₁x₃-Ebene und x₂x₃-Ebene.
Um einen Spurpunkt zu finden, gleichst du die Gerade mit der entsprechenden Koordinatenebene. Für die x₁x₂-Ebene muss die dritte Koordinate null sein.
Das entstehende Gleichungssystem löst du nach den Parametern auf. Dann setzt du diese zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den genauen Schnittpunkt zu bekommen.
Praxis-Tipp: Spurpunkte helfen dir dabei, Geraden zu zeichnen oder ihre Lage im Raum zu verstehen!
Hier suchst du die Schnittstellen einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Jede Achse lässt sich als Gerade darstellen: x₁-Achse, x₂-Achse und x₃-Achse.
Du setzt die Ebenengleichung mit der jeweiligen Achsengleichung gleich. Das ergibt ein Gleichungssystem, das du nach den Parametern auflöst.
Die Lösung setzt du dann in eine der Ausgangsgleichungen ein, um den Spurpunkt zu erhalten. So findest du heraus, wo die Ebene die Koordinatenachsen schneidet.
Merkregel: Spurpunkte auf den Achsen haben immer zwei Nullen als Koordinaten!
Das Skalarprodukt ist dein bester Freund, wenn du prüfen willst, ob zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen. Die Formel ist simpel: .
Wenn das Skalarprodukt null ergibt, dann stehen die Vektoren im 90°-Winkel zueinander. Das ist mega praktisch für viele Geometrie-Aufgaben!
Bei der Orthogonalität von Geraden brauchst du nur die Richtungsvektoren zu multiplizieren. Die Stützvektoren interessieren dich dabei gar nicht.
Easy-Check: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer 90° Winkel zwischen den Vektoren!
Den Winkel zwischen zwei Vektoren findest du mit der Formel: . Das Skalarprodukt teilst du durch das Produkt der beiden Längen.
Mit (dem Arkuskosinus) auf deinem Taschenrechner bekommst du dann den tatsächlichen Winkel in Grad. Wenn das Skalarprodukt null ist, hast du automatisch 90°.
Der Winkel zwischen sich schneidenden Geraden ist einfach der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Die Stützvektoren spielen keine Rolle.
Taschenrechner-Tipp: Nutze die Vektor-Funktionen deines GTR - das spart Zeit und verhindert Rechenfehler!
Wenn sich eine Gerade und eine Ebene begegnen, gibt es drei Möglichkeiten: Sie schneiden sich in einem Punkt, die Gerade ist parallel zur Ebene, oder die Gerade liegt komplett in der Ebene.
Du setzt die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich und erhältst ein Gleichungssystem. Hat es eine eindeutige Lösung, gibt's einen Schnittpunkt. Keine Lösung bedeutet parallel.
Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Gerade komplett in der Ebene liegt. Das erkennst du daran, dass sich die Gleichungen zu Identitäten wie t = s reduzieren lassen.
Systematik hilft: Arbeite immer die drei Fälle der Reihe nach ab - so verpasst du nichts!
Zwei Geraden im Raum können echt parallel, identisch, sich schneidend oder windschief zueinander liegen. Windschief bedeutet: Sie sind nicht parallel, schneiden sich aber auch nicht.
Zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Dann machst du eine Punktprobe: Liegt ein Stützvektor auf der anderen Geraden?
Falls die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setzt du die Geraden gleich. Gibt es eine Lösung, schneiden sie sich. Keine Lösung bedeutet: Die Geraden sind windschief.
Windschief: Stell dir vor, eine Gerade läuft auf dem Boden, die andere schwebt schräg durch die Luft - sie berühren sich nie!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sharlin
@sharlinpohl
Willkommen in der Welt der Vektorgeometrie! Hier lernst du alles, was du brauchst, um Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum zu verstehen und zu berechnen. Diese Themen sind super wichtig für deine Klausuren und helfen dir dabei, räumliches... Mehr anzeigen
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Punkte werden als geordnete Zahlen-Triple in Zeilenform geschrieben, zum Beispiel A(2|3|4). Vektoren hingegen stehen in Spaltenform und zeigen eine Richtung an. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung (0|0|0) mit einem bestimmten Punkt.
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Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel - das ist der gute alte Pythagoras in 3D!
Geraden haben eine feste Form: . Der Stützvektor gibt dir einen Punkt auf der Geraden, der Richtungsvektor zeigt, wohin die Gerade läuft. Der Parameter t kann jeden beliebigen Wert haben.
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Eine Strecke ist eine Gerade mit Anfangs- und Endpunkt, eine Halbgerade hat nur einen Startpunkt. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit .
Ebenen brauchst du drei Dinge: einen Stützvektor zu einem Punkt auf der Ebene und zwei Spannvektoren, die nicht parallel sind. Die Formel lautet: .
Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, setzt du seine Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Bekommst du eine eindeutige Lösung, liegt er drin. Sonst nicht.
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Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Die drei Koordinatenebenen sind: x₁x₂-Ebene (Boden), x₁x₃-Ebene und x₂x₃-Ebene.
Um einen Spurpunkt zu finden, gleichst du die Gerade mit der entsprechenden Koordinatenebene. Für die x₁x₂-Ebene muss die dritte Koordinate null sein.
Das entstehende Gleichungssystem löst du nach den Parametern auf. Dann setzt du diese zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den genauen Schnittpunkt zu bekommen.
Praxis-Tipp: Spurpunkte helfen dir dabei, Geraden zu zeichnen oder ihre Lage im Raum zu verstehen!
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Hier suchst du die Schnittstellen einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Jede Achse lässt sich als Gerade darstellen: x₁-Achse, x₂-Achse und x₃-Achse.
Du setzt die Ebenengleichung mit der jeweiligen Achsengleichung gleich. Das ergibt ein Gleichungssystem, das du nach den Parametern auflöst.
Die Lösung setzt du dann in eine der Ausgangsgleichungen ein, um den Spurpunkt zu erhalten. So findest du heraus, wo die Ebene die Koordinatenachsen schneidet.
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Das Skalarprodukt ist dein bester Freund, wenn du prüfen willst, ob zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen. Die Formel ist simpel: .
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Der Winkel zwischen sich schneidenden Geraden ist einfach der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Die Stützvektoren spielen keine Rolle.
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Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Gerade komplett in der Ebene liegt. Das erkennst du daran, dass sich die Gleichungen zu Identitäten wie t = s reduzieren lassen.
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Smarte Tools NEU
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Erfahre, wie man die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden bestimmt. Diese Zusammenfassung enthält Aufgaben, Lösungen und Erklärungen zu parallelen Linien und Schnittpunkten. Ideal für das Verständnis der Geometrie und zur Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheErforschen Sie die Lagebeziehungen zwischen Ebenen, einschließlich der Berechnung von Winkeln, der Bestimmung von Parallelität und Identität sowie der Schnittgeraden. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Parameter- und Koordinatenform. Ideal für Studierende der Geometrie und analytischen Geometrie.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Ebenen im Raum und die Anwendung von linearen Gleichungssystemen. Wichtige Themen sind die Orthogonalität von Vektoren, der Abstand von Punkten zu Ebenen, sowie die Berechnung von Winkeln und Volumina in einem prismatischen Kontext. Ideal für Studierende der Multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Vektoren, Abstandsberechnungen, orthogonalen Linien und der Berechnung von Volumen und Höhen von geometrischen Figuren wie Pyramiden. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Themen und Techniken, die für das Abitur relevant sind.
MatheEntdecken Sie Aufgaben zur analytischen Geometrie, die sich mit der Lage von Linien und Ebenen, dem Abstand zwischen Punkten und der Aufstellung von Gleichungen befassen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren, inklusive Lösungen und Erklärungen zu den Hesse-Normalform, Koordinatengleichungen und mehr.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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