Aufgabenstellung der Klausur

Die Klausur Geraden und Ebenen im Raum vom 13.09.2021 zeigt dir typische Prüfungsaufgaben. Du musst in 45 Minuten vier Aufgaben ohne Hilfsmittel lösen.

Aufgabe 1 prüft, ob Punkte eine Ebene aufspannen. Du berechnest die Spannvektoren und überprüfst auf Kollinearität. Falls eine Ebene existiert, stellst du die Parametergleichung auf.

Bei Aufgabe 2 unterscheidest du zwischen Geraden, die parallel zur Ebene verlaufen oder in der Ebene liegen. Eine Gerade liegt in der Ebene, wenn ihr Stützvektor in der Ebene liegt und der Richtungsvektor eine Linearkombination der Spannvektoren ist.

Aufgabe 3 verlangt die Berechnung einer Ebenengleichung durch drei gegebene Punkte - Standard-Vektorrechnung, die du im Schlaf beherrschst!

Grundlagen der Vektorrechnung - Taschenrechner freier Teil

Spannvektoren bilden die Basis für alle Ebenengleichungen. Du berechnest sie einfach durch Subtraktion: $\overrightarrow{AB} = B - A$.

Bei der ersten Aufgabe prüfst du, ob drei Punkte eine Ebene aufspannen. Der Trick: Wenn die Spannvektoren kollinear sind (einer ist ein Vielfaches des anderen), gibt es keine Ebene! Bei Teil a) sind die Vektoren kollinear, also keine Ebene möglich.

Die Parametergleichung einer Ebene hat immer die Form: $E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v}$. Den Stützvektor $\overrightarrow{p}$ wählst du als einen der drei Punkte, die Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ berechnest du durch Subtraktion.

Merke dir: Kollineare Spannvektoren = keine Ebene möglich!

Koordinatenebenen und ihre Parametergleichungen

Die Koordinatenebenen E₁₂, E₁₃ und E₂₃ sind besonders wichtig für räumliches Verständnis. Sie werden durch den Ursprung und die entsprechenden Einheitsvektoren aufgespannt.

Für E₁₂ $xy-Ebene$ verwendest du die Einheitsvektoren $\overrightarrow{e_1}$ und $\overrightarrow{e_2}$. Die z-Koordinate bleibt dabei immer null. Das Schema funktioniert für alle drei Koordinatenebenen gleich.

Bei der Lagebeziehung zwischen Geraden und Ebenen gibt es drei Möglichkeiten: Die Gerade schneidet die Ebene, verläuft parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene. Du prüfst das durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung.

Tipp: Bei Koordinatenebenen ist die Rechnung besonders einfach, weil viele Komponenten null sind!

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren ist dein Werkzeug für alle komplexeren Schnittpunkt-Berechnungen. Du bringst das Gleichungssystem in Stufenform und löst von unten nach oben auf.

Bei Aufgabe 5a startest du mit dem einfachsten Term: $6x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = 2$. Dann setzt du rückwärts ein und erhältst $x_2 = -7$ und schließlich $x_1 = -\frac{26}{4}$.

Aufgabe 5b zeigt das typische Vorgehen mit Zeilentransformationen. Du eliminierst systematisch Variablen, bis du eine Dreiecksmatrix erhältst. Das Endergebnis: $x_1 = -\frac{50}{8}$, $x_2 = 1$, $x_3 = -2$.

Der Würfel in Aufgabe 6 demonstriert praktische Anwendungen. Du bestimmst alle Eckpunkte durch Vektoraddition und stellst dann Ebenengleichungen auf.

Anwendungsaufgaben mit Hilfsmitteln

Im zweiten Klausurteil darfst du den Taschenrechner verwenden, musst aber trotzdem deinen Lösungsansatz ausführlich dokumentieren. Einfach das GTR-Ergebnis hinschreiben reicht nicht!

Aufgabe 6 behandelt einen Würfel mit den Eckpunkten A(0|0|0), B(0|3|0), C(-3|3|0) und E(0|0|3). Du bestimmst die fehlenden Punkte durch systematische Vektoraddition.

Die Ebene EBDG stellst du durch die drei Punkte B, D und G auf. Für den Schnittpunkt der Geraden CE mit dieser Ebene setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein.

Bei solchen Aufgaben ist strukturiertes Vorgehen entscheidend: Erst alle Punkte bestimmen, dann Ebenengleichung aufstellen, zuletzt Schnittpunkt berechnen.

Wichtig: Auch mit Hilfsmitteln musst du den mathematischen Ansatz zeigen!

Detaillierte Lösungsschritte für LGS

Die Lösung der linearen Gleichungssysteme zeigt das schrittweise Vorgehen beim Gauß-Verfahren. Bei System a) arbeitest du dich von der letzten Gleichung nach oben durch.

Aus $6x_3 = 12$ folgt direkt $x_3 = 2$. In die zweite Gleichung eingesetzt: $-4x_2 - 4 \cdot 2 = 24$, also $x_2 = -8$. Die erste Gleichung liefert dann $x_1 = -\frac{26}{4}$.

Bei System b) verwendest du Zeilentransformationen. Du multiplizierst Zeilen und addierst sie, um Nullen zu erzeugen. Die Matrix wird systematisch in Dreiecksform gebracht.

Das Endergebnis für System b) ist $(-\frac{50}{8}|1|-2)$. Solche Brüche sind völlig normal - lass dich nicht verunsichern!

Würfelgeometrie und Koordinatenbestimmung

Die Würfelaufgabe zeigt praktische Koordinatengeometrie. Du bestimmst systematisch alle Eckpunkte durch Vektoraddition der charakteristischen Würfelkanten.

Für Punkt D addierst du den Vektor $\overrightarrow{BC}$ zu Punkt A: $D = A + \overrightarrow{BC} = (-3|0|0)$. Ähnlich funktioniert es für alle anderen Punkte - immer die entsprechenden Kantenvektoren verwenden.

Die Ebenengleichung EBDG erstellst du mit den Punkten B(0|3|0), D(-3|0|0) und G(-3|3|3). Die Spannvektoren $\overrightarrow{BD}$ und $\overrightarrow{BG}$ bilden die Richtungsvektoren.

Für den Schnittpunkt der Geraden CE mit der Ebene setzt du die Parameterform der Geraden in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem.

Komplexe Anwendungsaufgaben

Aufgabe 7 behandelt Lichtausbreitung durch einen Schlitz. Das Licht vom Punkt L durch die Eckpunkte A und B erzeugt auf der Zeltwand das Bild CD. Du berechnest die Schnittpunkte der Lichtstrahlen mit der Ebene.

Die Zeltwand ist durch eine komplexe Parametergleichung gegeben. Für jeden Lichtstrahl stellst du eine Geradengleichung auf und suchst den Schnittpunkt mit der Ebene.

Aufgabe 8 zeigt orthogonale Vektoren und ihre Bedeutung. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$.

Die verschiedenen Teilaufgaben bauen aufeinander auf: Erst Orthogonalität zeigen, dann Ebenengleichung aufstellen, Punkte auf Zugehörigkeit prüfen und Schnittpunkte berechnen.

Praxistipp: Bei komplexen Aufgaben immer Schritt für Schritt vorgehen!

Prismengeometrie und Volumenberechnung

Das Prisma OABCDE mit dreieckiger Grundfläche zeigt komplexere räumliche Geometrie. Die Grundfläche OAB liegt in der xy-Ebene, die Deckfläche CDE ist um 9 Einheiten nach oben verschoben.

Für gleichschenklige Dreiecke prüfst du die Seitenlängen: $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$ bedeutet gleichschenklig. Der rechte Winkel bei B zeigt sich durch $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BO} = 0$.

Das Volumen eines Prismas berechnest du mit $V = Grundfläche \times Höhe$. Die Grundfläche des Dreiecks OAB erhältst du über das Kreuzprodukt oder die Formel für rechtwinklige Dreiecke.

Der Winkel im Punkt A folgt aus dem Skalarprodukt: $\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AO}| \cdot |\overrightarrow{AB}|}$. Mit dem Arkuskosinus erhältst du den gesuchten Winkel.

Lichtausbreitung und Streckenvergleiche

Lichtausbreitung folgt geradlinigen Bahnen - perfekt für Vektorgeometrie! Von Punkt L durch die Schlitzpunkte A und B entstehen Geraden, die die Zeltwand in den Punkten C und D schneiden.

Jeder Lichtstrahl wird als Gerade modelliert: $g: \overrightarrow{x} = L + t \cdot \overrightarrow{LA}$ für den Strahl durch A. Den Schnittpunkt mit der Zeltwand findest du durch Gleichsetzen mit der Ebenengleichung.

Bei Aufgabe 8 zeigst du Orthogonalität durch das Skalarprodukt: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$. Das bedeutet, die Vektoren stehen senkrecht aufeinander - wichtig für viele geometrische Konstruktionen.

Der Streckenvergleich zwischen CD und AB erfolgt über die Beträge der entsprechenden Vektoren. Du berechnest $|\overrightarrow{CD}|$ und $|\overrightarrow{AB}|$ und vergleichst die Längen.

Physik trifft Mathe: Lichtausbreitung ist pure Geometrie!