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Geraden und Ebenen
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Julia Reichle
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Zusammenfassung des Kapitels Geraden und Ebenen: Vektoren; Geraden und Ebenen im Raum; Gegenseitige Lage, usw. (Abitur BW 2021)
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IT. GERADEN IM RAUM - VEKTOREN Wiederholung Punkte: Punkt: P(x₁ 1x₂1x3) Vektoren Ortsvektor ä = | Vektor AB Produkt eines vektors: Linearkombination : = a az Betrag / Länge: Tal= || 291212 }] Summe zweier Vektoren: a+b a ₁ az a3 b₁-a₁ b₂-a₂ b3-a3 Lage zweier geraden: Punktprobe? Geradengleichung aufstellen: Nein, Mittelpunkt zweier punkte: Mab= Ebenen im Raum Geraden im Raum Geradengleichung: 9:x²= P²+r₁u r. Parameterform Beispiel: Identisch Parallel geg: A (ala₂ la3), B (b₁1b₂ 103) a + r. 9: x = ab r.a Ja E: x²= ² + r. u + s.v a₁ (a + b₁ | a² + b₂ | as+ b₂) 2 2 2 ra + s.b+t. S = E: x = a + r. ab + s. ac : beschreibt den weg vom ursprung zum Punkt A. beschreibt den Weg von Punkt A (a, laz laz) zum Punkt B (b, 102 103). = r. Ebenenguichungen um formen Spurpunkte = Drei Punkte in E, die nicht auf einer gerade liegen. 2 2¹ √an²+ a₂²+ a3² ant ba az + b₂ a3 + b3 / az a3 x^ Q₁ 9₂ +r. a3 2 Sind die Richtungs- vektoren vielfache ? = r. an r.az Tr. a3 b₁-a₁ b₂-a2 03-93 E: ax mit d ab Stūtzvektor Spannvektoren → pürfen keine Vielfache sein! Nein ac Parameterform: E: X²= a + r. ab + s. ac Koordinatenform: = aa₁ Geraden guichsetzen → Lösung? XA + bx₂ + Cx3 =d + baz + caz Schnittpunkt windschief Abstand zweier Punkte: AB=√(6₂₁-9₁₂)² + (b₂-Q₂)² + (bz-Q3)² -a 4x3 Nein, XAX is →X₂ Koordinatenform ursprung (01010) n = ab x ac mit 7 AB JOU E: ax₁ + bx₂ + CX3 =d a Normalen vektor = b ↳ Stent orthogonal zur Ebene E (E) B * 9 Gerade X₂ vielfachneit: (Richtungsvektoren) → Sie sind vielfache, wenn die Gleichung eine Lösung hat. Punktprobe: Der Ortsvektor des Punktes wird für (Stūtz eingesetzt: = P + ru vektoren) → Positiv, wenn jede Spalte das gleiche Ergebnis nat. Stūtzvektor u Richtungsvektor Gleichsetzen:...
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g=n → positiv, wenn die Guichung eine Lösung hat. (3) = + - (11) t. - 43. Skalar produkt = 2 Vektoren sind zueinander orthogonal (ab), wenn ab=0 gilt. Vektorprodukt axb= Merkhilfe: an az XXX 93 a₂b3-a3b2 аз ол - ал оз a₁ b₂- az b₁/ an az OT D₂ D3 BA D₂ Ebenen veranschaulichen Ebene mit 3 Spurpunkten: 4x3 ХА SA 53 Gegenseitige Lage von... gerade und Ebene Spurpunkte Spurgeraden Ebene geg: 9:x=+su S₂ E: ax +Dx₂ +cx3=d 4 (8) Ebene und Ebene geg: Ebene e mit ne und Punkt P Ebene F mit F und Punkt Q - X₂ Ebene mit 2 Spurpunkten: 4x3 52 +0 g und E schneiden sich Durchstoßpunk+ berechnen: a.(P₁ + S-U,) + D. (P₂ +5.4₂) + C. (P3+S·U3) = d ↳S berechnen und in g ein- setzen. P liegt in F/ Q liegt in E ↓ identisch X2 Ebene mit 1 Spurpunkt: 4x3 X₁² Skalar produkt von un Ja E und F sind identisch oder echt parallel T SA P liegt nicht in F/ Q liegt nicht in E ↓ echt parallel ne und n sind vielfache g liegt in E =0 Punktprobe mit dem Stūtzpunkt P Nein Merke: I wenn eine x-koordi- nate o ist, dann ist die Ebene para- llel zu dieser X-Achse siene Bsp. 2 · wenn zwei x-koordi- naten = 0 ist, dann ist die Ebene para- llel zu dieser xy X z Ebene siene Bsp.3 g ist echt parallel zu € +0 E und F schneiden sich in einer Geraden. ↳ Skalarprodukt von ME · NE =O E und F sind nicht orthogonal E und F sind orthogonal Einneitsvektor: n = ^
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g=n → positiv, wenn die Guichung eine Lösung hat. (3) = + - (11) t. - 43. Skalar produkt = 2 Vektoren sind zueinander orthogonal (ab), wenn ab=0 gilt. Vektorprodukt axb= Merkhilfe: an az XXX 93 a₂b3-a3b2 аз ол - ал оз a₁ b₂- az b₁/ an az OT D₂ D3 BA D₂ Ebenen veranschaulichen Ebene mit 3 Spurpunkten: 4x3 ХА SA 53 Gegenseitige Lage von... gerade und Ebene Spurpunkte Spurgeraden Ebene geg: 9:x=+su S₂ E: ax +Dx₂ +cx3=d 4 (8) Ebene und Ebene geg: Ebene e mit ne und Punkt P Ebene F mit F und Punkt Q - X₂ Ebene mit 2 Spurpunkten: 4x3 52 +0 g und E schneiden sich Durchstoßpunk+ berechnen: a.(P₁ + S-U,) + D. (P₂ +5.4₂) + C. (P3+S·U3) = d ↳S berechnen und in g ein- setzen. P liegt in F/ Q liegt in E ↓ identisch X2 Ebene mit 1 Spurpunkt: 4x3 X₁² Skalar produkt von un Ja E und F sind identisch oder echt parallel T SA P liegt nicht in F/ Q liegt nicht in E ↓ echt parallel ne und n sind vielfache g liegt in E =0 Punktprobe mit dem Stūtzpunkt P Nein Merke: I wenn eine x-koordi- nate o ist, dann ist die Ebene para- llel zu dieser X-Achse siene Bsp. 2 · wenn zwei x-koordi- naten = 0 ist, dann ist die Ebene para- llel zu dieser xy X z Ebene siene Bsp.3 g ist echt parallel zu € +0 E und F schneiden sich in einer Geraden. ↳ Skalarprodukt von ME · NE =O E und F sind nicht orthogonal E und F sind orthogonal Einneitsvektor: n = ^