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Geraden und Ebenen
29.6.2021
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I. GERADEN IM RAUM Wiederholung Punkte: Punkt: P(x₁1x₂1x3) Vektoren Ortsvektor a = Vektor AB = Betrag / länge : Produkt eines vektors: Summe zweier Vektoren: (9) Punk+probe? b₂-az Lage zweier geraden: Mittelpunkt zweier Punkte: Mab= Ebenen im Raum Identisch Parallel Parameterform E: X'= Beispiel: -|(3)| geg: A(anla₂ laz), B (b₁1b₂1b3) ↳g: x= a + r. ab = (81) Linearkombination: r·a+sb + t. 2 Geraden im Raum geradengleichung: 9:x=p+ru Geradengleichung aufstellen: +S-V a₁ a+b= --- ()-() = r. + r. ab + s. ac + b₁ | a² + b₂ | a³ + b³) Ebenenguichungen umformen a₁²+ a₂ + a3² ant ba az + b₂ a3 + b3 Spurpunkte = Drei Punkte in E, die nicht auf einer gerade liegen. : beschreibt den weg vom ursprung zum Punkt A. : beschreibt den Weg von Punkt A (a, laz laz) zum Punkt B (b₁ 102 103). AB J ursprung (01010) Sind die Richtungs- vektoren vielfache ? +r. b₁-a₁ b₂-a2 03-03. ab ● Nein B Stutevektor Spannvektoren → pürfen keine Vielfache sein! VEKTOREN Parameter form: E: X= a + r. ab + s-ac 9 Koordinaten form: E: ax₁ + bx₂ + Cx3 =d mit d = aan + ba₂ + caz Abstand zweier Punkte: AB=√(0₁-0₂)² + (b₂¬A₂)² + (b3− A3) X₂ Geraden gleichsetzen → Lösung? Schnittpunkt windschief P ū vielfachneit: X₂ Guichsetzen: g=n Koordinatenform E: ax + bx₂ + CX3 =d n = ab x ac mit n B *K (Richtungsvektoren) Sie sind vielfache, wenn die Gleichung eine Lösung hat. Punktprobe: Der Ortsvektor des Punktes wird für (Stūtz eingesetzt: = P+ru vektoren) ⇒ Positiv, wenn jede Spalte das gleiche Ergebnis nat. Normalen vektor = ↳ Stent orthogonal zur Ebene E →X₂ g Gerade Stütevektor Richtungsve ktor positiv, wenn die Guichung eine Lösung nat. = t. nh Skalar produkt = 2 Vektoren sind zueinander orthogonal (1b), wenn a∙b=0 gilt. Vektorprodukt |a₂b3- Q3bz axb=a3D₁-0₁...
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03 lan b₂- a₂ b₁/ Merknilfe: -an az 93 a₁² az- 05 OT ·D₂ 03 b₁ -D₂ -b3 Ebenen veranschaulichen Ebene mit 3 Spurpunkten: Tx3 S₂ Spurpunkte Spurgeraden Ebene Gegenseitige Lage von... gerade und Ebene geg: 9:x=+s-u E: ax₁ +bx₂ +Cx3=d 4 (8) X₂ Ebene und Ebene geg: Ebene e mit ne und Punk+ P Ebene F mit n I und Punkt Q Ebene mit 2 Spurpunkten: 4x3 ISA →X₂ 52 +0 g und E schneiden sich Durchstoßpunk+ berechnen: a.(p₁+S-u₂₁) + b.(P₂ +S-U₂) + C.(P₂+5.43) = d ↳S berechnen und in g ein- setzen. P liegt in F/ Q liegt in E ↓ identisch Ebene mit 1 Spurpunkt: X₂ Skalar produkt von un E und F sind identisch oder ecn+ parallel SA Pliegt nicht in F/ Q liegt nicht in E ↓ echt parallel ne und n sind vielfache 9 liegt in E X₂ =0 Punktprobe mit dem Stützpunk+ P Nein Merke: wenn eine x-koordi- nate o ist, dann ist die Ebene para- llel zu dieser X-Achse siene Bsp. 2 wenn zwei x-koordi- naten = 0 ist, dann ist die Ebene para- llel zu dieser xy X z Ebene siene Bsp.3 g ist echt parallel zu € +0 E und F schneiden sich in einer Geraden. ↳Skalarprodukt von ME · nF =0 E und F sind nicht orthogonal E und F sind orthogonal Einneitsvektor: no = in n