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Regelblatt: Bruchrechnen - Multiplikation Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem Zähler mit Zäh- ler und Nenner mit Nenner multipliziert werden. → Formel: → Klammern setzen, falls nötig! →Kürzen, falls möglich! Musterbeispiel: x+2 2x 2ax 3x + 6 11 11 (x + 2) 2ax 2x - (3x+6) a 2x (x + 2) a . 2x - (3x+6) . (x+2) a 3x + 6 (x + 2) a 3. (x+2) ac b d a c b.d 2x kürzen für x #0 3 im Nenner ausklammern (x+2) kürzen für x = -2 Regelblatt: Bruchrechnen - Addition, Subtraktion → Zunächst für alle Brüche einen gemeinsamen Nenner suchen, indem man das kgV (= kleinstes gemeinsames Vielfaches) der einzelnen Nen- ner bildet. Dabei empfiehlt es sich, alle Nenner in Produkte zu zerlegen und an- schließend jeden einzelnen Faktor in ausreichender Anzahl in den Hauptnenner zu übernehmen. → Auf diesen Nenner (= Hauptnenner HN) alle Brüche erweitern und zu einem einzigen Bruch zusammenfassen. → Eventuell Klammern setzen! → Kürzen, falls möglich! → Formel: Musterbeispiel: = 2 2x - 2 T VERK H с 5 6x+6 and b.d ± 3-r 3x² - 3 6x+6-5x +5-6+2x 6(x² - 1) c.b d.b 6(x+1)-5(x-1) - 2(3- x) 6(x² - 1) = = a d±b.c b-d aragen 2.3(x+1) 5. (x-1) 2(x - 1)-3(x+1) 6(x+1)⋅ (x-1) Nenner 1: 2 (1-1). Nenner 2: 2-3-(x+1) - Nenner 3: 3 (1+1)-(2-1) T →HN: 2-3 (1+1)(x-1) = 6(x² - 1) 3x +5 6(x² - 1) (3-x)-2 3(x²-1)-2 Regelblatt: Bruchrechnen - Division → Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den Divi- denden (1. Bruch) mit dem Kehrwert (= Reziprokes) des Divisors (2. Bruch) multipliziert. → Klammern setzen, falls nötig! →Kürzen, falls möglich! → Tipp: Doppelbrüche als Divisionsaufgabe schreiben. → Formel: Musterbeispiel: x-1 2x + 4 : 3 2+x = = = - 2101010 11 x-1 2x+4 a C 11 x-1 2+x 3 (x -...
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1) (2 + x) (2x + 4)-3 (x - 1)(2+x) 2(x+2) 3 ad DIC = a.d b. c Multiplikation mit Kehrbruch 2 im Nenner ausklammern Kürzen von (2+x) für x = -2 Regelblatt: Ausmultiplizieren von Klammern →Wird eine Klammer mit einem Faktor multipliziert, so wird der Fak- tor mit jedem in der Klammer stehenden Summanden bzw. Minuenden und Subtrahenden multipliziert. Die Teilergebnisse werden dann wie- der entsprechend addiert bzw. subtrahiert. Es gelten die Distributivgesetze für Multiplikation und Addition bzw Subtraktion. 1. Musterbeispiel: 3a (5a + b) = 3a 5a +3a b= 15a² + 3ab → Werden zwei Klammern miteinander ausmultipliziert, so wird jeder Summand der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen Klammer multipliziert. Steht in der Klammer eine Differenz, so wird dies mit Minuend und Subtrahend analog durchgeführt. 2. Musterbeispiel: (a + b) (c+d) = ac + ad + bc+bd (a + b) (c-d) = ac- ad + bc - bd. (a - b) (c-d) = ac-ad-bc + bd (3a-26) (5a + b) a(b + c) = ab + ac a(b-c) = ab - ac = = = За. 5а + 3a.b-2b-5a - 2b-b 15a²+3ab 10ab - 26² 15a²7ab-26² Regelblatt: Auflösen von Gleichungen nach Variablen - linear Wenn die Gleichung bzgl. der geforderten Variable linear ist, gilt: → Falls nötig Klammern ausmultiplizieren. →Alle Terme, die die geforderte Variable enthalten, nach links; restliche Terme nach rechts. →Geforderte Variable ggf. ausklammern. → Division mit dem Beifaktor der Variablen. (Definitionsmenge beach- ten!) Musterbeispiel: Auflösen der Gleichung a = bx + c(x + 1) mit b c nach x : Ausmultiplizieren: a = bx + cx + c • ,, nach links", alles andere ,,nach rechts": -bx- cx = -a+c • Ausklammern von x: x(-b-c) = -a + c tc - с ● . Division mit dem Beifaktor: x = . Vereinfachen: x = =8 -(a-c) ⇒ Ergebnis: x = (b + c) a c b + c Regelblatt: Auflösen von Gleichungen nach Variablen - höhere Potenzen Wenn die Gleichung bzgl. der geforderten Variable von höherer Potenz ist, gilt: →Falls nötig Klammern ausmultiplizieren. →Alle Terme, die die geforderte Variable enthalten, nach links: restliche Terme nach rechts. →Geforderte Variable ggf. ausklammern. → Division mit dem Beifaktor der Variablen. (Definitionsmenge beach- ten!) → Anschließend die entsprechende Wurzel ziehen. Achten Sie dabei auf die Anzahl der Lösungen. Bei Quadratwurzeln z.B. gibt es zwei Lo- sungen (+√ und -√), bei Wurzeln dritten Grades nur eine Lösung. Musterbeispiel: Auflösen der Gleichung A = 2(r³ + b) mit A,b,r> 0 und A> 2b nach r: Ausmultiplizieren: A = 2r³ +2b ,,r nach links": -27³ = -A+2b • Division mit dem Beifaktor: r³ = =+2b ● • Vereinfachen: 7³ . Wurzel ziehen: r = - (A-2b)³=4-2b V A - 2b Regelblatt: Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)2 = a² + 2ab +6² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - 6² Auflösen Durch Kenntnis der Binomischen Formeln ist ein effektiveres Ausmultipli- zieren bestimmter, häufig auftretender Termstrukturen möglich. Dazu → müssen Sie das Vorliegen einer binomischen Formel erkennen, → die richtige binomische Formel zuordnen, → die auszumultiplizierenden Elemente richtig den Variablen der entspre- chenden Formel zuordnen. Musterbeispiele: Formen Sie folgende Terme um: . 1. Binomische Formel: (x+3)² = x² + 6x +9 (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 2. Binomische Formel: (2s3t)² = 4s² - 12st +9t² 2 (1-3y)² = 2 (1-6y +9y²) = 18y² - 12y + 2 3. Binomische Formel: (a-2) (a + 2) = a² - 4 (3x-6)(x+2) = 3(x-2)(x+2) = 3(x² - 4) = 3r² - 12 Regelblatt: Binomische Formeln - Erkennen 1. Binomische Formel: (a + b)2 = a² + 2ab +6² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b² Das Ziel ist in der Regel die Umwandlung eines Terms in ein Produkt. Wenn Sie in einem Term die Struktur einer binomischen Formeln erkennen sollen, dann → müssen Sie den Term in die richtige" Reihenfolge bringen, → Vorzeichen und Quadratzahlen beachten, → wenn nötig gemeinsame Faktoren ausklammern. Musterbeispiele: Formen Sie folgende Terme mit Hilfe der Binomischen Formeln in ein Pro- dukt um: . 1. Binomische Formel: x² + 4x + 4 = (x + 2)² 4x² + 12xy +9y² = (2x + 3y)² 2. Binomische Formel: 9s²+36t²-36st = 9s² - 36st +36t² = (3s - 6t)² 2d² - 12dh + 18h² = 2 (d²-6dh +9h²) = 2 (d-3h)² 3. Binomische Formel: a² 16 = (a + 4)(a −4) -3x² + 12 = -3 (²-4)= -3- (x-2)(x+2) 2r¹-8=2(x²-4)= 2- (x²+2) - (x² - 2)
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Regelblatt: Bruchrechnen - Multiplikation Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem Zähler mit Zäh- ler und Nenner mit Nenner multipliziert werden. → Formel: → Klammern setzen, falls nötig! →Kürzen, falls möglich! Musterbeispiel: x+2 2x 2ax 3x + 6 11 11 (x + 2) 2ax 2x - (3x+6) a 2x (x + 2) a . 2x - (3x+6) . (x+2) a 3x + 6 (x + 2) a 3. (x+2) ac b d a c b.d 2x kürzen für x #0 3 im Nenner ausklammern (x+2) kürzen für x = -2 Regelblatt: Bruchrechnen - Addition, Subtraktion → Zunächst für alle Brüche einen gemeinsamen Nenner suchen, indem man das kgV (= kleinstes gemeinsames Vielfaches) der einzelnen Nen- ner bildet. Dabei empfiehlt es sich, alle Nenner in Produkte zu zerlegen und an- schließend jeden einzelnen Faktor in ausreichender Anzahl in den Hauptnenner zu übernehmen. → Auf diesen Nenner (= Hauptnenner HN) alle Brüche erweitern und zu einem einzigen Bruch zusammenfassen. → Eventuell Klammern setzen! → Kürzen, falls möglich! → Formel: Musterbeispiel: = 2 2x - 2 T VERK H с 5 6x+6 and b.d ± 3-r 3x² - 3 6x+6-5x +5-6+2x 6(x² - 1) c.b d.b 6(x+1)-5(x-1) - 2(3- x) 6(x² - 1) = = a d±b.c b-d aragen 2.3(x+1) 5. (x-1) 2(x - 1)-3(x+1) 6(x+1)⋅ (x-1) Nenner 1: 2 (1-1). Nenner 2: 2-3-(x+1) - Nenner 3: 3 (1+1)-(2-1) T →HN: 2-3 (1+1)(x-1) = 6(x² - 1) 3x +5 6(x² - 1) (3-x)-2 3(x²-1)-2 Regelblatt: Bruchrechnen - Division → Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den Divi- denden (1. Bruch) mit dem Kehrwert (= Reziprokes) des Divisors (2. Bruch) multipliziert. → Klammern setzen, falls nötig! →Kürzen, falls möglich! → Tipp: Doppelbrüche als Divisionsaufgabe schreiben. → Formel: Musterbeispiel: x-1 2x + 4 : 3 2+x = = = - 2101010 11 x-1 2x+4 a C 11 x-1 2+x 3 (x -...
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1) (2 + x) (2x + 4)-3 (x - 1)(2+x) 2(x+2) 3 ad DIC = a.d b. c Multiplikation mit Kehrbruch 2 im Nenner ausklammern Kürzen von (2+x) für x = -2 Regelblatt: Ausmultiplizieren von Klammern →Wird eine Klammer mit einem Faktor multipliziert, so wird der Fak- tor mit jedem in der Klammer stehenden Summanden bzw. Minuenden und Subtrahenden multipliziert. Die Teilergebnisse werden dann wie- der entsprechend addiert bzw. subtrahiert. Es gelten die Distributivgesetze für Multiplikation und Addition bzw Subtraktion. 1. Musterbeispiel: 3a (5a + b) = 3a 5a +3a b= 15a² + 3ab → Werden zwei Klammern miteinander ausmultipliziert, so wird jeder Summand der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen Klammer multipliziert. Steht in der Klammer eine Differenz, so wird dies mit Minuend und Subtrahend analog durchgeführt. 2. Musterbeispiel: (a + b) (c+d) = ac + ad + bc+bd (a + b) (c-d) = ac- ad + bc - bd. (a - b) (c-d) = ac-ad-bc + bd (3a-26) (5a + b) a(b + c) = ab + ac a(b-c) = ab - ac = = = За. 5а + 3a.b-2b-5a - 2b-b 15a²+3ab 10ab - 26² 15a²7ab-26² Regelblatt: Auflösen von Gleichungen nach Variablen - linear Wenn die Gleichung bzgl. der geforderten Variable linear ist, gilt: → Falls nötig Klammern ausmultiplizieren. →Alle Terme, die die geforderte Variable enthalten, nach links; restliche Terme nach rechts. →Geforderte Variable ggf. ausklammern. → Division mit dem Beifaktor der Variablen. (Definitionsmenge beach- ten!) Musterbeispiel: Auflösen der Gleichung a = bx + c(x + 1) mit b c nach x : Ausmultiplizieren: a = bx + cx + c • ,, nach links", alles andere ,,nach rechts": -bx- cx = -a+c • Ausklammern von x: x(-b-c) = -a + c tc - с ● . Division mit dem Beifaktor: x = . Vereinfachen: x = =8 -(a-c) ⇒ Ergebnis: x = (b + c) a c b + c Regelblatt: Auflösen von Gleichungen nach Variablen - höhere Potenzen Wenn die Gleichung bzgl. der geforderten Variable von höherer Potenz ist, gilt: →Falls nötig Klammern ausmultiplizieren. →Alle Terme, die die geforderte Variable enthalten, nach links: restliche Terme nach rechts. →Geforderte Variable ggf. ausklammern. → Division mit dem Beifaktor der Variablen. (Definitionsmenge beach- ten!) → Anschließend die entsprechende Wurzel ziehen. Achten Sie dabei auf die Anzahl der Lösungen. Bei Quadratwurzeln z.B. gibt es zwei Lo- sungen (+√ und -√), bei Wurzeln dritten Grades nur eine Lösung. Musterbeispiel: Auflösen der Gleichung A = 2(r³ + b) mit A,b,r> 0 und A> 2b nach r: Ausmultiplizieren: A = 2r³ +2b ,,r nach links": -27³ = -A+2b • Division mit dem Beifaktor: r³ = =+2b ● • Vereinfachen: 7³ . Wurzel ziehen: r = - (A-2b)³=4-2b V A - 2b Regelblatt: Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)2 = a² + 2ab +6² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - 6² Auflösen Durch Kenntnis der Binomischen Formeln ist ein effektiveres Ausmultipli- zieren bestimmter, häufig auftretender Termstrukturen möglich. Dazu → müssen Sie das Vorliegen einer binomischen Formel erkennen, → die richtige binomische Formel zuordnen, → die auszumultiplizierenden Elemente richtig den Variablen der entspre- chenden Formel zuordnen. Musterbeispiele: Formen Sie folgende Terme um: . 1. Binomische Formel: (x+3)² = x² + 6x +9 (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 2. Binomische Formel: (2s3t)² = 4s² - 12st +9t² 2 (1-3y)² = 2 (1-6y +9y²) = 18y² - 12y + 2 3. Binomische Formel: (a-2) (a + 2) = a² - 4 (3x-6)(x+2) = 3(x-2)(x+2) = 3(x² - 4) = 3r² - 12 Regelblatt: Binomische Formeln - Erkennen 1. Binomische Formel: (a + b)2 = a² + 2ab +6² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b² Das Ziel ist in der Regel die Umwandlung eines Terms in ein Produkt. Wenn Sie in einem Term die Struktur einer binomischen Formeln erkennen sollen, dann → müssen Sie den Term in die richtige" Reihenfolge bringen, → Vorzeichen und Quadratzahlen beachten, → wenn nötig gemeinsame Faktoren ausklammern. Musterbeispiele: Formen Sie folgende Terme mit Hilfe der Binomischen Formeln in ein Pro- dukt um: . 1. Binomische Formel: x² + 4x + 4 = (x + 2)² 4x² + 12xy +9y² = (2x + 3y)² 2. Binomische Formel: 9s²+36t²-36st = 9s² - 36st +36t² = (3s - 6t)² 2d² - 12dh + 18h² = 2 (d²-6dh +9h²) = 2 (d-3h)² 3. Binomische Formel: a² 16 = (a + 4)(a −4) -3x² + 12 = -3 (²-4)= -3- (x-2)(x+2) 2r¹-8=2(x²-4)= 2- (x²+2) - (x² - 2)