Grundlagen Sek 1

Alternativer Bildtext:

mit einer Summe multipliziert, so muss man jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizieren a. (b + c) Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt: ein Produkt wird zur werden zwei Summen miteinander multipliziert, so muss man jeden Summanden oker ersten Klammer mit jedem Summan- zweiten Klammer multiplizieren (a + b) · (c・d) = a.c + a・d + b⋅c + b・d (a + b)² a² + 2ab + b² • (a - b) ² = a² - 2ab +62² (a+b) · (a - b) = 9²-6² Summe 1 2.5 Mehrstufige Z falcexperimente Plodregeln • 1. Pfadregel (Plodwetregel). -die Walirsheinlichkeit für ein Ergebnis bestimmt man, indem man die Telwalerscheinlichkeiten langs dis zugeliergen Pfades miteinander multipliziert -2. Pfadregel (Summenregel): zu fuleren verschiedene Pfade günstigen Ergeb nissen, so addiert man die wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade Baundiagramin: 315 ein Glücksrad bestelet aus 5 2 grawen und Broten ; es gleich großen Forbflächen, • dreimal gedrelit 1) Walscheinlichkeit nacheinander Rot-Grow - Rot zu drehen dass erscheint 1. Drelung 9 2/5 315 215 2. Drek 3 Drele Ergebnisse 999 $35 315 2159 9 3/5 45 3 315 2159 9 3r 2159 315 r D Produktregel 1) Pirgr) = 32/32 32/3 C enteget 17 979 grr F33 rgr год JJJ = 0.144 = 14, ५% = 2) P (2xg) - 233 +3 3 3 3 3 3 + ggr grg រ ما = 0.288 28,8% Austlammern Faktorisieren): • Austhammern ist die Umkehrung der Ausmultiplizierens • enthält in einer Summe so kann man diesen allem der Summanden den gleichen Faktor at gemeinsamen Faktor ausklammern. ax + ay-az = a (x + y = z) Vereinfachen von Bruchtermen (Kürzen): 1. Zerlegung des Zahlers und Nenners in ein Produkt 2. Kürzen gemeinsamer Faktoren im Zähler und Nenner 12xy + 6x² = 6 x q 7- (24+x) Addition und Subtraktion von Bruchtermen. 1. Suche nach dem Haupthenner (HU) - alle Nenner werden in Faktoren zerlegt - der HN ist das Product der jeweils höchsten Potengen aller vorkommender Faktoren 2. Erweitern auf HN jeder Bruch wird so geschrieben, dass der Nenner bereits in seine Faktoren gerlegt ist -jeder Bruch wird mit den zum HD fehlenden Faktoren erweitet 3. Zusammenfassen und vereinfaclien →ha + b a-b - 1 Go 4a6 6² 4ab = 2².a.b. 4a = 2².a HN: 2².a.6² = (a + b)-b 2²·a·b·b (a-6) 2².a 6².2². a = 40² 2².ab² - (69+6)⋅ 6+ (a −6)-4a - 1.6² 2 6.6² = hab +6² +4a²-4ab-b² 2².a.a 2².9.6² el's L 62 2².a.b² 2. ● 13. Wachstrom und Zerfall 9. 1 Exponentielles Wachstum und exponentieller zefal Exponentielles Wachstum wächst eine Größe in regelmäßigen (Zeit-) Abstanden immer um denselben (Wachstums-) Faktor an, spricht man von exponentiellem Wachstum oder exponentieller Zunalime AY Exponentieller Zerfall: BRUNNEN 19.2 Exponential funktionen Exponentialfunktion: • nimmt eine Größe in regelmäßigen (Zeit -) Abständen immer um denselben (Zerfalls-) Faktor ab, spricht man von exponentiellem Zerfall AY A X X · Exponentialfunktionen sind Funktionen mit der Gleichung X y = a.q Anfangswert mit 90 und 9 = 1 Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor 14 Multiplikation von Bruchtermen: •jwei Bruckterme werden multipliziert, indem man jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert Sax = Bax 26 Y 2by Division von Bruchtermen. 47 . zwei Bruchterme werden dividiert, indem man den ersten Bruckterm mit dem Kehrwert des zweiten Bruckterms multipli- ziert 3x BRUNNEN b Y Y ar 3bx 3x 16 1.2. Lösen von linearen Gleichungen und Ungkichungen Umformungsregeln zum Lösen einer Gleichung : •auf beiden Seiten einer Gleichung darf man dieselbe Zahl oder denselben Term subtrahieren • auf beiden Seiten einer Gleichung darf man mit derselben Zahl eine Multiplikation (Divison durchführen. -6x-27= 3 +21 = 18 Umformungsschritte zum Lösen einer Gleichung: 1. Klammern auflösen 2. Zusammenfassen 3. Sortieren 4. Variable isolieren →3 (4x-9)-x = 15x (6x + 7) 12x 27 x = 15x-6x-7 ^^x-27= 9x -7 1-9x 2x-27=7 +27 2x = 20 x= 10 Umformungsregeln zum Lösen einer Ungleichung: and < > oder <, > -die gleichen Aquivalenzumformungen wie eine Gleichung, mit einer Ausnahme bei negativen Zahlen -fühit man eine Multiplikation / Division mit einer negativen Zalil durch, dann muss man das Relationszeichen unkellen. + 4x=4> 7x+5 -3x-45 -3x29 x<3 1:2 1:(-3) • für Exponentialfunktionen gilt -die Variable x tritt in der Funktionsgleicluung als Exponent auf - für q = 1: Exponentielles Wachstum, der Graph der Funktion steigt 19 berechnet ach aus der prozentualen Wachs- tumsate p/ durch 9 = 1 + £ 100 - für Ocq<1: Exponentieller Zerfall, der Graph fällt 9= 1-0 100 9.3 Zinseszins Zinses finsrechnung: • die Zinsespinsformel für das Kapital K₂ nach n Cautit Kn= k₁9 Laufzeit: Zinsfakter: n Jaure Kapitel nach In Jahren Anfangskapi- q = d+p 100 tal: Ko n Jaliren 1.3 Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Proportionale Zuordnungen. eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem Doppeltem, Drei- einen x das Soppelte Dreifache,... & fache der anderen Große y jugeord- net wird Lösen von proportionalen Zuordnungen: • proportionale Zuordnungen können mit der Quotienten gleichung (verhältnisgleichung oder dem Diersatig gelöst werden - Lohn 5h 40€, Lohn 9th x - Quotientengleichung: X = 40 37 3/5 x = 40.37 Antiproportionale Zuordnungen: - Dreisatz +56 .37 x = 4.30 5h 40€ 1 h = 40 € 5 97h = 40.97 € • eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem Doppelten, Dreifaction,... k-fachen der einen Größe X die Hälfte der dritte Teil der k-te Teil einer anderen Grüße y zugeordnet wird Lösen von antiproportionalen Zuordnungen. -Produktgleichung: x-84-30 1:8 können mithilfe der Produktgleichung oder des umgekelirtin Dreisatges gelöst werden - Angalu: 4 Angali Länge: 30cm Lange 8cm + -37 - umgebeletter Dreisatz: -30cm = 4 Stück 7:30 1cm2 4.30 Stück 8cm = 4.30 Stück A n 4 .8 14 Prozent - und Einsrechnung Prozentrechnungs · Prozent bedeutet Hundertstel • in der Prozentrechnung G = Grundwert Zinsrechnung werden folgende Begriffe verwendet. - W = Prozentwert •Prozentsatz Teil vem Ganzen intell das Ganze der Grundwert G entspricht immer 100% und der Prozent- wert W entspricht p% daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung G = W 100 BRUNNEN •De Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentreclining • bei der Ensrechnung entspricht - der Grundwert G dem kapitalk - der Prozentsatz P. dem Zinssatz P den Zinsen Z - der Rozentwert W für & Tage Z₁ = k·pit 100-360 • es leitet sich folgende Grundformel für die Znsrechnung ab K = Z² (für ein Jahr) 100 P 1.5 Umrechnung von Größen Längenmaße: mm + Flächenmaße: 10. mm ² dividieren 400 cm 10 • Umrechnungsfall: 10 Ausnalime von min km (1000) . cm² für m Monate: Z₁₁ = k·p.m 100-12 multiplizieren dm 1100 10 1% = 1 100 dividieren dm ² 100 multiplizieren 1.000 100 Umrechnungszalel 100 • 1ha = 1 Hektar ; 1a = 1 Ar 34 km P a 100 ha 100 Whypo km² IM Raummaße (Volumeneisheiten): dividieren cm³ mm³ 14- Masseeinheiten! mg_ + Zeiteinheiten: 1000 Umrechnungsfall: 1.000 · 1l = 1dm³0 1m² = 1cm ³ • 1 l = 1.000 ml: 161 - 100 l i S 4 1.000 60 km n dividieren S 1.000 multiplizieren dividieren min Geschwindigkeiten & dividieren multiplizieren • Umrechnung zahl: 1.000 dm ³ 1.000 3,6 S multiplizieren GO g. multiplizieren • Umrechnungsfall: 60 1.000 # h + t 1.000 E •· Untechinungszalel: 36 1.6 Dreiecke und Vierecke allgemeines Dreieck: • Flacheninhalt: A = 4g ng • Umfang: U=a+6² c • Innenushkelsatz: α +B+y = 180° X A b a nal A B Quackat:• ein Quadrat besitzt. Seiten •Flächeninhalt: A=a² -Umfang una Parallelegramm & • Fläckeninhalt: A = ab •Umfang: U=2(a+b) Trapez vier rechte winkel und vier gleich lange. D .C -Rechteck:• ein Rechteck besitzt vier reclute Winkel und zwei Paare von gkich langen Gegenseiten D • Umfang: U₁2(a+b) Drochenviereck BRUNNEN a • Umfang: U = 4a A a A = ef 2 • beim Parallelogramm sind gegenüberligende Seiten gleich long and gegenüberliegende Winter greiche groß A = a. ha • Flächeninhalt: A = ef • Umfang: U=2(a+b) 2 Raute: •eine Raute hat vier gleich lange Seiten a 3 A a D d A 9 18 • je zwei gegenüberliegenate Winkel sind gleich groß "die Diagchalen & und ( schneiden einander reclitwinklig • Flächennhalt: A = a · ha A a B A • das Drachenviereck besitzt jwei Paar gleich langer Nachbarseiten •die Diagonalen schneiden sich im rechten Winkel, wobei eine Dia- gonale halbiert wird "das Trapez hat ein Paar parallele Seiten. • Mittelline m = 1 (a+c) 2 D C • Flächeninhalt: A = 1(a+c): h U=a+b+c+d • Umfang. √ B a C AF 124 A 9 B allc b с B 4 Kreis: -Kreis Llache A = πr²¹ oder A = ₁.d² • Kreisumfang: U = Zitr ocker u. 4ñ d ·Kreiszalel 13,14159 263,14 Kreisring Kreisbogen und Kreissektor • die Länge b und des Kreisbogens b die Flache A des Kreissektors Sind abhang'g vom Mittelpunktswin- kel 9 und vom Radius des Kreises • der Kreisbagen ist ein Teil des Umfangs -b=225.C 4 360° • der Kreissektor ist ein Teil der Kreisflöche A₁ = 1.² e 1.8 Potenzen und Wurzeln. Potenzen: . 4 ·a·a·a·a·a= anc-Exponent n-mal a₁ = a Rechnen mit Potenzen: • eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für ein Produkt, in dem der Faktor a n-mal vorkommt . T a = 1 Zehnerpotengen m+n ama a T i Basis fn = a am an a^.6" = (a.b)^. a^ 60 Potengen mit negativer Basis): • (-a) ² = + a² gerade politives Zahl Ergebnis Zaul • Benclete: - a" = -(a") 1 an = a m-n a 6 n ungerade negatives Ergebnis b Zehnerpotenzen haben die Basis 10 KS 14 H 106 = 1000.000 10-4 = 0,0001 H 1 16 Wurzeln die n-te Wurgel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b, für die fan a Wurplexponent ya - gitt Rationale Exponenten: nam a 2₁² · 46² = ¹a·b²; 4a: 96⁰ = n²" Poslikant =b = BRUNNEN = a m min/a 2. Linear Funktionen N 21 allgemeine Funktion Definition: eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jeder Zahl Zahly zugeordnet wird & X eine Zahl делал Darstellung: Wortverschrift Funktionsgleichung • Wertetabelle • Graph 2.2 lineare Funktionen Lineave Funktion: tent • Funktionen mit der Gleichung y=mx+n heißen lineare Funktionen V Zeichnen von Graphen: • Möglichkeit 1 2 Werte poare bestimmen -Punkte einzeichnen. -durcle Gerable verbinden. Steigung y-Achsenabschnitt •der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade • Möglichkeit 2 - Achsenaubschnitt auf dery-Ach- se markieren - Steigungsdreiecle einzeichnen Gerade einzeichnen 5 Graphen linearer Funktionen: •m<0 fallend • m = 0 parallel für ·m> 0 steigend ·A=0 ursprungsgerade (010) 2.3 lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichung - lineares Gleichungssytem: • eine Gleichung, die sich auf die Form cix+by = C heißt Lineare Gleichung • Lost man sie nach Grafische Lösung: gleichung y = mx + n • Zwei weare Gleichungen zusammen bilden ein Gleichungssystem • man kann ein Lineares Gis grafisch ocker rechnerisch lösen. → Ix - 3y = -6 I 3x - 2y = 10 Gesucht sind Zahlen für die Variablen x undy, erfüllen. 4 • I und II nachy auflösen • Graphen einseichnen " • Schnittpunkt ist $(614), d.h. x = 6 und dy = 4 3 I PAŹ x-Achse ú Gleichsetzungsverfahren. E Lasst auf so erhält man eine lineare Funktions- @ I x = 9,5 + 4y Tx = 6.5 +2,5y U 3 -x +4·(-2)=-9,5 -x-8 = -9,51 +8 x = 1,5 • die beide Gleichungen x - 3y = -6 1-k ·3y=-6-x > Joringen • Lose beide Greichungen nach derselben Variablen auf • beide Terme gRichsetzen 3 II 3x - 2y = 10 1-3x y = 3x 2 - 2y = 10-3x 1:(-2) 1: (-3) 5 Gleichung lösen Lösung in Ausgangsgleichung einsetzen und andere Variable be- rechnen I -x + 4y = -9,5 IT 2x - 5y = 13 21-I 9,5+4y = 6₁5 +2.5y 1-2,5-3,5 1₁51 = -3 1.1.5 y=-2 Einsetzungsverfahren • Lose eine der Gleichungen noch einer Variablen auf •setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein •Gleichung lösen in Ausgangsgleichung einsetzen und andere Lösung bestimmen →= I 6x + y = 4 Ⓒ BRUNNEN 6x +y = 4 1-6x @ I in I einsetzen y = 4-6x 3 6·(-1) + y = 4 (+6 V10 LS(-A(40)} Additionsverfahren: •multipliziere beide Gleichungen mit einer Zahl, scclass bei der Addition beider Gleichungen eine Variable wegfällt • addiere die beiden Greichungen Gleichung lösen • andere Variable durch Einsetzen bestimmen. + I 7x 3y = 17 I 8x - 4y = -A6 @ I 7x HE H I+I - 10x + 3 (4-6x) = 40 - 10x + 12-18 x = 401-12 -28x28 (-28) 3y =-11 8x - 4y = -16 56x-3y -56x-44 17 =-16 y Ⓒ y = -6 einsetzen in I 24:4 + 7x-3-(-6)=-17 7x + 18 = - 17 - 18 27 { (-51-6)} L = 6 Quadratische Funktion und Glei Gleichungen 3.1 Quadratische Funktionen Qudratische Funktion: • Funktionen mit der Funktionsgleichung y = ax ² +bx+c heißen quadratische Funktionen (a,b,c & R₁Q ≤0) • der Graph ist eine Parabel. Quadratische Funktion der Form y=x²² • der Graph der Funktion y = x² ist die Normalparabel; der Scheitelpunkt S(010) liegt in Koordinaten ursprung AY IS (010) Quadratische Funktion der Form y = ax ²: -5-4-3 • die Graphen der Funktion y = ax² sind Parabeln, die durch Streckung Stauparadel mit dem Streckfaktor a entstehen Spiegelung an der x-Achse aus • a > 1 Streckung Ocarl Stauchung a = -1 Spiegelung · a< -1 Spiegelung und Streckung -15050 Spregelung und Stauching 4Y 5- 14 y=x 3 ++ 2- Normalparabel A 1₁60=2x² f₂(x) = 1 x ² f3(N) --4x² 44(x) = -2² x ² a a Funktion der Form y = x² +n - die Normalparabel verschiebt sich um n-Einheiten langs der y-Achse S(oin) . Quadratische Funktion der Form y = (x-M) ²: BRUNNEN V £₂ • verschiebt sich um n-Einheiten entlang der x-Achse S(M10) allgemeine Form: Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion: W XX 3 +x f(x) = ax²+bx+c von allgemeiner Form zum Scheitelpunkt: • clie Form f(x) = a (x + d)² + e heißßt Scheitelpunktsform, weil man die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt able- f(x) = a (x +d)² +e sen kann "s(-dle) Ď Streckfaktor x = -b Za f(x) = x² + 2 f₂(x)=x²-1 Ys = C-6² ya Nullstellen einer quadratischen Fo • man kann den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion all- gemeiner Form durch Formeln bestimmen S (xslys) S Funktion: of f₁(x) = (x +4) ² f2(x) = (x-3)² • eine quadratische Funktion kann eine zwei oder keine NST haben • um diese zu berechnen setzt man die Funktion O 3.2 Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen: • Gleichungen der Form ax²+bx+C =0 nennen wir quadratische Gleichungen • mittels Division durch a kann jede quadratische Gleichung auf die Normalform x² + px +q = 0° gebracht werden Reinquadratische Gleichungen: • quadratische Gleichungen mit p =B und der Form x ² heißen reinquadratische Gleichungen folgende Falle sind unterscheiden: зи -9²0 es gibt zwei Lösungen x₁ = -14 und x₂ = 19² - 9=0: es gibt eine Lösung, nämlich x=0 g<0es • gibt keine reellen Lösungen x₁ = 2 11 = {2₁ -2] Quadratische Gleichung der Form x² + px = 0² x₂ = -2 • eine quadratische Gleichung der Form x² + "+px = 0 lost man. durch ausklammern von x. x² + px = 0 <=> x(x + x) = 0 • da ein Prodlukt genau dam null ist, wenn (mind.) ein Faktor null ist, erhält man die beiden Lösungen x₁ = 0 and x₂ = -p x² + 3x = 0 x(x+3) = O X₁0 0 = {0₁-3] allgemeine quadratische Gleichung x² + px + q = 0₁ =-3 • die allgemeine quadratische Gleichung x² +px +q=0 lost man mit der p-q- Formel: X112 = 0 + (12)²-q 2 • der Ausdruck unter dem Wurgelfeichen (£) ²-9 heipt Disterimi - nante • folgende Fälle sind zu unterscheiden. -850: es gibt 2 verschiedene Lösungen ·D=0: es gibt genau eine Loting, -D<O: es gibt keine Lösung - x² + 2x - 8 = 0 +9=0 + (( ² )² + 8² x₁ = -1 +9² -2 4 = {Z; -4} 9 x2 =-1-√3² = -4 - 1X₁ = X ₂ = = 1/² M Satz des Vieta: • ₁ und x2 shd genau dann die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + px + 9 = 0, wenn die beiden folgenden Gleichung en erfüllt sind: x ₁² x ₂ = 9 -P 4. Ähnlichkeit und Strahleusätze 4.1 Maßstab Maßstab: der Maßstab k einer Zeichnung oder Landkarte gibt das Ver- hältnis von Bildgröße (Lame in ther Zeichnung) zu Originalgró- ße (Länge in Wirklichkeit) an Maßstall k = Bild = Originalgröße = Bild Original • der Maßstab k kann auch als Quotient oder Dezimal bruch angegeben werden für den Maßstab k gilt: -Ock≤1: Maßstäbliche Verkleinerung - Ic= 1 identische Abbildung - k>1: mapstabliche Vergrößerung 14.2 Vergrößem und Verkleinern von Figuren Zentrische Streckung & • die zentrische Streckung ist eine Abbildung, die eine Figu Figuer mithilfe mithilfe eines Strectungszentrums & und kines Streckungsfaktors & maßstäblich vergrößert oder verkleinert • das Zentrum kann dafür beliebig gewänit werden • zu jeclem Punkt Poer Original ligler erhält man folgenderma- Ben den zugehörigen Bildpunkt pilder Bildfigur: - verbinde die Punkte Pund 2 und miss die lange der Strecke PZ trage von Z aus die Lange der Strecke ZPT - ZP⋅k auf der Geraden ZP³ ab, um den öldpunkt Pizu. erhalten Streckungsfaltor k: BRUNNEN der Streckungsfaktor k entspricht dem Maßstab als Bruck bzw. Definaldarstellung. Bildgröße t = Or Originalgröße Veränderung inderung des Flocheninhalts beider gentrischen Streckung: • wird eine Fläche mit dem Faktor k vergrößert oder verkleinert so ändert sich ihr Flächeninhalt A um den Faktor k² A₁-A-K² 4.3 Strahlensätze Strahlensätze • werden zuver 1 Strahlen mit demselben Anfangspunkt von zwei parallelen Geraden geschnitten, so gelten folgende Verhältnisse 1. die Längen der beiden Strecken auf dem einen Strahl ver- halten sich zueinander wie die hängen der entsprechenden Strecken auf dem anderen Stratil Der Satz E ZA AB des AV 3 Z.C S с A AC Z ZA ZB Z A = Z.C ZD 5 2. die Längen der Strecken auf den Parallelen verhalten sch wie die Längen der entsprechenden Strecken auf einem der beiden Strallien, ausgeliend vom Anfangspunkt Z D C A ZD B Pythagoras: • das Quadrat über der Hypotenuse eines reclitwinkligen Dreiecks ist hat den. Flächeninhalt wie die ate über den Katheten zusammen a² +6² = 0² ZA 23 5. Saty des Pythago Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck: •Hypotenuse B C Kathetica: Kathete A c B AC 30 • die Dreiecksseite, de dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse; se ist die langste Seite • die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen. Kathetin 2 с ट ZB AB A 3 20 CD 6 S 4 8 Frigonometric 16.1 Berechnung am rechtwinkligen Dreieck. Sinus, Kosinus und Tangens •der Sinus, der Kosinus und der Tangens eines Winkels. werden durch die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen. Dreieck bestimmt. • Sinx Gegenkathete. Hypotenuse COS = BRUNNEN tan = Berechnung der Größen: Kosinussatz Ahkathete Hypotenuse Gegenkatuete Ankathete 6.2 Sinus- und Kosinuissaty Sinussatz a Sinx Ankuthate word Gegenko. thate von B • sind von einem rechtwinkligen Dreieck neben dem Winkel weiter 2 Größen bekannt, darunter mindestens eine Seite, kann mon mithilfe - von Sinus, kosinus oder Tangens - des Satzes des Pythagoras" - der innenwinkelsumme alle weiteren Größen dieses Dreiecks bestimmen. b = c singe A sinß Gegenkatliste Ivona • in jedem Dreieck sind die Verhältnisse aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels gleich Hypotenuse • Ankathte von p 3 • in jedem Dreieck ist das Quadrat einer beliebigen Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten- longen vermindert um das Doppelte des Produkts aus diesen Seitenlängen und dem Kosinus des eingeschibssenen Winkels abế ả 26ccosa 6² = a² + c²-2ac cos B c²=a² +6²-2ab.cos je Föcheninhalt eines Dielecks: • von jedem Dreieck kann der Flächeninhalt berechnet werden, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind • A = A· Seite · Seite. Snus des eingeschlossenen Winkels 슬 6.3 Sinus und Kosinus im Einheitskreis Sinus und Kosinus im Einheitskreis. • im Einheitskreis kann man den Sinuswert des Winkels a direkt an der y-Achse ablesen, den Kosinuswert des Winkels a kann man direkt an der x-Achse ablesen ·es gilt - allgemein: Sin x = Gegenta, the te Hypotenuse - im Einheitskreis : sinx = y = x=y • es gilt: - allgemein: 1: cos x = Ankathete Hypotenuse - im Einheitskreis: Cos α = x 1 Wintel mit negativen Vorzeichen: Winkel mit gleichen. •Funktionswerten. -1. • Sin (x + 360°) = sin x · cos(x + 360°) = cos α -1 AY A yaank x -1 AY 4 • öffnet sich ein Winkel mit dem Uhrzeigersinn, so erhält der n negatives Vorzeichen. Winkel ein 1 X=COXA -1 C 6.4 Trigonometrische Funktionen - Sinus- und Kasinus (it) Sinusfunktion: Kosinusfunktion • Ordnet man jedem Winkel & seinen Sinuswert зи, Sinusfunktion mit der Funktionsgleichung y = sinx -277 Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion: erhält man. • ordnet man jedem Winkel a seinen Kosinuswert zu, die Kosnusfunktion mit der Funktionsgleichung y = cos K BRUNNEN • die Sinus- und Kosinusfunktion and periodische Funktionen, weil sich die Funktionswerte nach einem gewissen Abstand (Periode) immer wiederholen Gie beträgt bei beiden Funktionen 360° . Na 3 Воделтар: -77 α F 180° Y 2 AY Periode p 180° 10 2 B Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß: vom Grad- zum Bogenmaß: Sin x 7 COS X •clas Bogenmaßs ist die Länge des Kreisbogens b, der dem Win- kel & im Einheitskreis gegenüberliegt erhält man die lozi. 37 2 27 STY 2 • vom Bogen - zum α = X 180 IT Gradmaß: 10 die Funktionen. + -21Y • ordnet man jedem Bogenmaß x seinen Sinus- bzw. Kosinuswert zu erhält man die Shus bzw. Kosinusfunktion • in der graphischen Darstellung haben nun die x- und die y-Achse dieselben Haßeinheiten Netz = COS X : y = c = Ginx und 37 2 -21-31 . -7 y = Sinx Y = COS X : -π AY a 2 1-1 7. Körper 7.1 Darstellung von Körpern Schrägbild +1 aute -1 7 2 Periode 2 i 360° 2 اگر 2 27 Periode 2 ir 360° He t • dient der Darstellung eines räumlichen Eindrucks • die Kanten in dem Raum werden im 45° Winkel und auf die Hälfte gekürzt dargestellt. zweidimensionale Darstellung der Obefläche eines Körpers •Körper wird eintlang seiner Karten aufgeschnitten und in der Exene ausgebreitet X O 7.2 Berechnungen an Kömpelm Massenberechnung & • die Masse eines jeden Körpers ist abhängig von Volumen und der Dichte (p) des Materials, aus dem der Körper bestent • die Dichte p (rho) wird in Gramm pro kubikgentimeter oder entsprechenden Einheiten angegeben. BRUNNEN . . 3^ kg cm³ · V Prismen:• ein Prisma ist ein Körper mit kongruenter Grund- und Deckeflache und gleich langen, zueinander parallelen Seitenkanten • steleen die Seitenflachen senkrecht auf der Grundfläche, so spricht man von einem geraden Prisma Würfel - AG² = a ² -V=a³ dm ³ - A₁ = 4a² ・A = 2a²4a² Quader -A₁₂=a.b AG ·P V = a·b·c V = =Zac + 2bc -A₂ = 2 (ab+ac+bc) regelmäßiges dreiseitiges Prisma = √3²²0² 4 4 ^t 3a²h 53 A = 3ah A = √3a²3ah 2 regelmäßiges sechsseitiges Prisma | - Ag = 393' a2 2 -√ = 3√3²a² h 2 - A = Gah -A₂ = 3√3 a² + bah Zylinder - V = πr²h. -A₁ = 2πrrh - A = 2πr ² + Zirch 11. Pyramiden Ao - A = V 3 Kegel · V = 1. + Am ·h ·h -1.7.² h 3 8.1 Statistik Daten erfassen: Kugel · V = 4 ₁7 ₁1 ³ 3 A = 4₁7-1² 8. Daten und Zufall • Urliste: Sammlung der erfassten Daten • Rangliste: Geordnete Daten nach ihrer Größe · Strichliste: Häufigkeitstabelle der erfassten Daten •Gesamtzabil n: Anzalel der erfassten Daten • Absolute Häufigkeit: gibt an, wie oft ein bestimmter Wert vor- H: kommt • Relative Häufigkeit h: gibt an, wie oft ein bestimmter Wert im verhältnis zur Gesamtzabil der Daten vor- kommt Relative Häufigkeit - absolute Häufigkeit Gesamtzahl bzw. h = H₂ n Daten reduzieren zusammenfassen): • Modalwert (Modus): - Wert, der am häufigsten vorkommt • Arithmetisches Mittel m: -Summe aller Werd dividiert durch die Anzahl aller Werte n • Zentralwert Z-Wert, der genau in der Mitte aller erfassten Daten liegt, wenn sie der Größe nach geordnet sind --bei einer ungeraden Anzalel ist es der mittlere Wert - bei einer geraden Anzalel stellen 2 Werte in der Mitte der Mittelwert dieser beiden Werte ist i dann der Zentralwert Z (Median). • Spannweite ww = x max • mittere Abweichung a: Daten darstellen. • Saulendiagramm: -eignet sich zur Verdentlichung. zen oder zeitlichen Abläufer 6 44 5 5 BRUNNEN I 3 2 1 1 46% - Amin Maß für die Streuung der Daten, wo- bei die einzelnen Daten mit ckem arithme- tischen Mitel verglichen werden -die Summe der betragsmäßigen Unter- fum arithmetischien Mittel wird. durch die Anzahl der Werte in dividiert. schiede -α = 1x₁-M₁ + 1x₂-ml + 1x₂-mi +... *|xn-ml n 2 3 4 • Streifendiagramm. - sich eigne und Anteilen von einem Ganzen von Größenverhältnis- Darstellung es wird verwendet für die Darstellung der relativen Häufigkeit in % - dabei gilt. 1cm 2 10 46% 17% 13% von • Kreisdiagramm: es wird verwendet für die Darstellung der relativen Häufigkeit in % • dabei gilt: 3,6° = 1% 17% Entwicklungstenden- 24% 24% 13% 12 S Liniendiagramm M YA 6 5 5 2 1 A B C D E F • Boxplot - eine nach Rangliste geordnete Datenmenge wird in 4 große Teile ferlegt -teilt man die linke und die reclite Hälfte vom Zentral- wert (Median) aus jeweils wieder in zivei Hälfter, erhält man Viertel - der Zentralwert der linken Hälfte liegt 1. und 2. Vertel und wird als unteres Quartil qu (1. Quartil) bezeichnet →das 2. Quartil ist mit den Median identisch der Zentralwert der Recliten Hälfte liegt zwischen 3. und 4. Viertel und wird als oberes Quarting bezeichenst die beiden mittleren Viertel enthalten 50% der Daten und werden als Kasten, Box genannt, deurgestellt - die Box wird links vorm unteren Quartil, reclit vom cheren. Quart! begrenzt - der Median wird als Grich in der Box gekennzeichnet und Minimum und Maximum begrenzen die an die Box anschlie Benden Antennen Minimum qu Box Median gleich Graphische Darstellungen analysieren: 90 Maximum verdeutlichen • Statistiken dienen dazu, Sachverhalte zu • Mithilfe der graphischen Darstellung kann man sich schnell einen Überblick über vorhandenes Zabilenmaterial verschaffen. • durch geschickte Wall der Skolen oder durch ungleich- mäßige Einteilungen auf den Achsen können die Daten so manipuliert werden, dass ein bestimmter gewünschter Eindruck entstulit.