Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein zentrales Konzept in der Analysis. Er stellt eine fundamentale Verbindung zwischen Differentiation und Integration her.
Der Satz besagt: Ist f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a,b] und F eine dazugehörige Stammfunktion, dann gilt:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Diese Formel ermöglicht es, bestimmte Integrale mithilfe von Stammfunktionen zu berechnen.
Definition: Eine Stammfunktion F heißt Stammfunktion von f, wenn gilt F'(x) = f(x).
Der Hauptsatz unterscheidet zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen:
- Unbestimmte Integrale:
- Stellen die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion dar
- Schreibweise: ∫f(x) dx = F(x) + C
- C ist eine beliebige Konstante
Beispiel: Für f(x) = 2x ist F(x) = x² eine Stammfunktion. Alle Stammfunktionen haben die Form x² + C.
- Bestimmte Integrale:
- Haben Integrationsgrenzen und beschreiben einen Flächeninhalt
- Ergeben einen konkreten Zahlenwert
- Schreibweise: ∫[a,b] f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) - F(a)
Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 3 im Intervall [2,4]:
∫[2,4] f(x) dx = [F(x)]42 = F(4) - F(2)
= (1/3·4³ + 2·4² + 3·4) - (1/3·2³ + 2·2² + 3·2)
= 196/3 - 50/3 = 146/3
Highlight: Die Integralfunktion ist selbst eine Stammfunktion von f. Sie ist definiert als F(t) = ∫[a,t] f(x) dx.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bietet eine elegante Methode zur Berechnung von Integralen und zeigt die tiefe Verbindung zwischen Differentiation und Integration auf.
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1st f eine Stetige Funktion auf dem Intervall [a; 6] und F
eine dazugehörige Stammfunktion,](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FQqSjdXUbmRhEyKbrHLXS_image_page_1.webp&w=2048&q=75)