Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein zentrales Konzept in der Analysis. Er stellt eine fundamentale Verbindung zwischen Differentiation und Integration her.
Der Satz besagt: Ist f eine stetige Funktion auf dem Intervall a,b und F eine dazugehörige Stammfunktion, dann gilt:
∫a,b fx dx = Fb - Fa
Diese Formel ermöglicht es, bestimmte Integrale mithilfe von Stammfunktionen zu berechnen.
Definition: Eine Stammfunktion F heißt Stammfunktion von f, wenn gilt F'x = fx.
Der Hauptsatz unterscheidet zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen:
- Unbestimmte Integrale:
Stellen die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion dar
Schreibweise: ∫fx dx = Fx + C
C ist eine beliebige Konstante
Beispiel: Für fx = 2x ist Fx = x² eine Stammfunktion. Alle Stammfunktionen haben die Form x² + C.
- Bestimmte Integrale:
Haben Integrationsgrenzen und beschreiben einen Flächeninhalt
Ergeben einen konkreten Zahlenwert
Schreibweise: ∫a,b fx dx = F(x)ba = Fb - Fa
Beispiel: Für fx = x² + 4x + 3 im Intervall 2,4:
∫2,4 fx dx = F(x)42 = F4 - F2
= 1/3⋅43+2⋅42+3⋅4 - 1/3⋅23+2⋅22+3⋅2
= 196/3 - 50/3 = 146/3
Highlight: Die Integralfunktion ist selbst eine Stammfunktion von f. Sie ist definiert als Ft = ∫a,t fx dx.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bietet eine elegante Methode zur Berechnung von Integralen und zeigt die tiefe Verbindung zwischen Differentiation und Integration auf.
![Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
1st f eine Stetige Funktion auf dem Intervall [a; 6] und F
eine dazugehörige Stammfunktion,](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FQqSjdXUbmRhEyKbrHLXS_image_page_1.webp&w=2048&q=75)