Hoch & Tiefpunkte (Ableitung)

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= x³-4x e) f(x) = 0,02x5-0,1x4 h) f(x)=-8-x(3-x)² + 2x 2. f'\ 4 0 O Fig. 2 2 Bestimmen Sie rechnerisch Hoch-, Tief- bzw. Sattelpunkte des Graphen von f. Skizzieren Sie anschließend den groben Verlauf des Graphen von f mithilfe dieser Informationen. a) f(x)=x² - 6x +11 b) f(x)= 3x2-2x+1 e) f(x)=x²-3x c) f(x)=2x²-16x +15 f) f(x)= x³-12x-5 i) f(x) = (x²-1)² h) f(x)=x²-3x³-2x² -2 -1. 3 Bestimmen Sie rechnerisch alle Extrempunkte des Graphen von f. Skizzieren Sie anschlie- Bend den groben Verlauf des Graphen von f mithilfe dieser Informationen und entscheiden Sie je- weils, ob es sich um ein lokales oder globales Extremum handelt. Überprüfen Sie Ihre Lösungen mit dem GTR. a) f(x) = 0,5x²2x d) f(x) = -0,5x4 + 2x³2x² g) f(x)=6-2x³+4x5-x4 X>4 5 Ay <0 Y 1. c) f(x) = x² + x³ f) f(x)=x6-x5-2x4 +6 i) f(x) = (2-x)³ + 1 0 f -1- 6 Fig. 3 14 8 -6 4. 12+ 01 2 Fig. 1 O Weitere Übungsaufga- ben befinden sich auf Seite 100 (Aufgabe 3 und 4). O Eine weitere Übungs- aufgabe befindet sich auf Seite 100 (Auf- gabe 5). Weiterführende Aufga- ben zum Erforschen von Funktionen mit Parametern befinden sich auf Seite 103 (Auf- gaben 18-21). O Eine weitere Übungs- aufgabe befindet sich auf Seite 100 (Auf- gabe 6). III Funktionsuntersuchungen 93 20) f(x)=x²-6x +11 f'(x)=2x-6 IXER f'(x)=0 0=2x-6 6=2x 3 = x Intervalle= (-∞0₁3) (3, +∞0) xyz2 f(x)=x²-6x+11 (3)=3²-6-3411 ->f'(2)= -2 x₂=4> F'(4) = 2 f(3)-2 c) f(x) = 3x²³ f'(x) = 9x² f'(n)=0 0=9x² 1:9 0 x² IV 1+6 X=0 1:2 x₁ = -1 x₂ = 1 -> Intervalle: (-2,0), (0₁+ ∞) x = 3 f '(-1) = 9 f'(^)=9 Skizze f -Lokole Minimun (Tiespunkt) and Sattelpungt ist 2 bei x=3 ť ť Skizze: f -> Funktion hat keine Wohalen. Sei Extremarente 40 Sattelpunkt. X x=0 Mathe: Hoch & Tiefpunkte (Ableitung) • Seite 91-93 einschließlich der Beispiele lesen und verständlich machen • Ein Merksatz (Anleitung) schreiben, wie man die Extremstellen/- punkte bestimmt • Die Aufgaben S. 93 Nr. 2a, d, e 3 Hoch- und Tiefpunkte In den vier Abbildungen sehen Sie die Graphen von zwei Funktionen und den zugehörigen Ab- leitungsfunktionen. Ordnen Sie zu. Begründen Sie Ihre Wahl. -7 f(x) > 0. -6 -5 H(xo I f(x)) Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich Extremstellen rechnerisch bestimmen lassen. Wenn eine Funktion f in der Umgebung von xo links von xo streng monoton zunimmt und rechts von xo streng monoton abnimmt, dann besitzt f an der Stelle x, ein lokales Maximum. Dies ist nach dem Monotoniesatz der Fall, wenn f'(x) links von x, größer als 0 ist und rechts von xo kleiner als 0 ist. Man sagt dann, dass f' an der Stelle x, einen Vorzeichenwechsel (VZW) von + nach-hat. Analoge Überlegungen gelten für ein lokales Minimum (vgl. Fig. 1). -4X0 Besitzt die Ableitungsfunktion f' bei xo einen Vorzeichenwechsel, muss sie an dieser Stelle not- wendigerweise eine Nullstelle haben. Mögliche Stellen für einen Vorzeichenwechsel von f' findet man, indem man die Nullstellen der Ableitungsfunktion f' bestimmt. Um die Nullstellen der ersten Ableitung zu bestimmen, muss die Gleichung f'(x) = 0 gelöst wer- den. An einer Stelle xo, die die Gleichung f'(x) = 0 erfüllt, besitzt der Graph der Funktion eine waagerechte Tangente. f(xo) = 0 -3 -2 -2- f'(x) < 0 1- 2+ O 0 -2+ -1- f'(x) < 0 -2+ y. 1 2 Ay -2+ VAK 2- -T(x₁₂ | f(x₂)) 3 y f'(x₁) = 0 -f'(x) > 0 Bestimmen von lokalen Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion f: 1. Notwendige Bedingung: Lösungen der Gleichung f'(x) = 0 bestimmen, um mögliche Extremstellen zu finden. Diese Bedingung muss immer erfüllt sein. 2. Hinreichende Bedingung: Wenn f'(x) = 0 ist und f' an der Stelle x, einen Vor- zeichenwechsel (VZW) von "+" nach ,,-" hat, dann besitzt f ein lokales Maximum an der Stelle xo. "-"nach „,+" hat, dann besitzt f ein lokales Minimum an der Stelle xo. Nach Überprüfung dieser Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium) lässt sich eine sichere Aussage darüber machen, ob es sich bei einer Stelle x, um eine Extremstelle handelt und welche Art von Extrempunkt vorliegt. 3.y-Koordinaten der Extrempunkte: Einsetzen der Extremstellen in f(x). X Ay Fig. 1 2- 0 Notwendige Bedingung für Extremstellen: f'(x)=0 Hinreichende Bedin- gung für Extremstellen: f(x)=0 und VZW bei der Nullstelle der Ableitung. III Funktionsuntersuchungen 91 Die notwendige Bedin- gung f'(x) = 0 ist erfüllt, aber die hinreichende (VZW bei xo) nicht! 92 -4+ -2- Ly 0 S f Fig. 2 -2 A 2 4 Fig. 3 Nicht alle Lösungen der Gleichung f'(x) = 0 müssen Extremstellen von f sein. Fig. 1 zeigt eine Stelle xo, an der f'(x) = 0 ist. Die Funkti- on f hat aber bei xo keinen Extremwert. Einen Punkt S(x, f(x)), in dem die Steigung der Tangente null ist, der Punkt aber weder Hochpunkt noch Tiefpunkt ist, nennt man Sattelpunkt. An der Stelle x, findet bei der Ableitung f' kein Vorzeichenwechsel statt. Die Bedingung f'(x) = 0 liefert also nur ,,mögliche Kandidaten" für Extremstellen. Beispiel 1 Hoch-, Tief- und Sattelpunkte bestimmen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = a) Bestimmen Sie Hoch-, Tief- und Sattelpunkte des Graphen von f. b) Skizzieren Sie den Graphen von f. Intervall z. B. Xo f'(xo) Steigung Graph von f Af(x) f(xo)+ x < 0 -1 -3-0 Lösung: a) 1. Ableitung bestimmen: f'(x) = x³ - 2x² und Nullstellen der 1. Ableitung berechnen: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 x³ 2x²=0 x²(x-2)=0 (x-2)=0 also x² = 0 oder x₁ = 0 und x₂ = 2 sind die Nullstellen von f' und damit mögliche Extremstellen von f. 2. Hinreichende Bedingung: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel von f'an den Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 2. Hierzu reicht es bei ganzrationalen Funktionen aus, einen Wert aus dem jeweiligen Intervall in die erste Ableitung einzusetzen: 0 0 III Funktionsuntersuchungen f'(xo) = 0 IS | Ausklammern | ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, 0<x<2 1 -1 <0 Y Welche Informationen erhält man aus Fig. 3 über den Graphen von f? Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f. Fig.1 2 0 Beispiel 2 Dem Graphen der Ableitungsfunktion Informationen entnehmen Fig. 3 zeigt den Graphen der Ableitung f' einer Funktion f. Da an der Stelle x₁ = 0 kein VZW vorliegt, ist der Punkt S (01f (0)) ein Sattelpunkt. An der Stelle x₂ =2 liegt ein VZW von - nach + vor. Die Funktion f besitzt also in T(21f (2)) einen Tiefpunkt. Das Vorzeichen von f' lässt sich auch direkt aus dem Funktionsterm von f' folgern: f'(x) = x³2x² = x²(x-2). x² > 0 für x+0 und x-2> 0 für x > 2. Für x<0 ist also der 1. Faktor > 0 und der 2. Faktor <0. Also ist für x<0 f (x) < 0. Für 0<x<2 ist der 1. Faktor > 0 und der 2. Faktor <0. Also ist für 0<x<2 f'(x) < 0. Für x>2 sind beide Faktoren positiv. Also ist für x>2 f (x) > 0. 3. y-Koordinate von S bestimmen: f(0) = 0, also ist S (010) ein Sattelpunkt von f. y-Koordinate von T bestimmen: f(2)=1-24-23-3, also ist der Punkt T(2-3) ein Tiefpunkt von f. b) siehe Fig. 2. x>2 3 9>0 7 e) f(x)=x²-3x f'(x)= 3x-3 f'(x)=0 0=3x-3 1+3 3=3x 1:3 1=4 Intervalle: (-∞0,1), (1, +∞) (-^,^) (-^.^) I ×₁=2> f'(-2)=9 {-= (0), ƒ <— 0=²1 x3=0>f'(o): -3 5=12115 <— 2 =12x f(x)=x²-3x f(x)=x²-3x -> Das Das x=-1 x = 1 lokale Maximam la hole Minimum Stattelpunk -> (0,0) Shirre f(-1)=2 - f(1) = 2 N & ist ist 2 bei -2 be x=1 x=1 Merksatz -> wie bestimmt man Extremstellen/-punkte -> Der Extrempunkt ist ein Punkt mit x und y Angaben -> Die Extremstelle ist nur der x-Wert von dem Extrempunkt -> Der Extremwert ist nur der_y-Wert vom Extrempunkt - Extremstelle/ Extrempunkt/ Extremwerte: 1. Die erste Ableitung Null setzen, f'(x) = 0. ◆ Dies liefert mögliche Extremstellen (xe genannt). 2. Die zweite Ableitung an dieser Stelle xe muss ungleich Null sein. Ist f'(xe) < 0 liegt ein Hochpunkt vor. Ist f'(xe) > 0 liegt ein Tiefpunkt vor. • Ist f'(xe) = 0 steht Überprüfung für Sattelpunkt/ Wendepunkt an. 3. Die xe-Werte werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen. 4. Extrempunkt hat die Lage EP (xe/f(xe)) Beispiel: Extrempunkt/ Extremstelle berechnen Sehen wir uns einmal an wie man Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt) berechnet. Das Beispiel wird ausführlich vorgerechnet. Beispiel 1: Extremstelle und Extrempunkt berechnen Wo liegen die Extrempunkte der nächsten Funktion? 2 ƒ(x)=zx³+3x²+4x Lösung: Wir benötigen von den Ableitungsregeln die Potenzregel um die erste Ableitung zu bilden. 2 ƒ(x)=zx³+3x²+4x f'(x)=3x²+3·2x+4 f'(x) = 2x² + 6x +4 Im zweiten Schritt setzen diese Gleichung gleich Null, also f'(x) = 0. Wir erhalten eine quadratische Gleichung, welche wir mit der PQ- Formel lösen (Alternativ kann man auch die Mitternachtsformel verwenden). Dazu lesen wir p = 3 und q = 2 ab und setzen dies in die allgemeine Lösungsformel der PQ-Formel ein. Im Anschluss berechnen wir x₁ = -1 und x₂ = -2. 0 = 2x² + 6x +4 x² + 3x + 2 0 = q=2 р ²²2 + √√( ² ) ²³² · - 9 p=3 X1,2=- X1,2== 3 2 2 + √()-: - 2 32 1,2 = -1,5± √0, 25 1,2-1,5±0,5 x1 = -1 " x2 = -2 Bei x₁ = -1 und x2 = -2 liegen mögliche Extrempunkte, welche wir nun näher untersuchen möchten. Mit der Potenzregel bilden wir noch die zweite Ableitung. ƒ'(x) 2x² + 6x +4 ƒ" (x) = 4x + 6 = Um herauszufinden, ob es sich bei x₁ = -1 und x₂ = -2 um einen Extrempunkt handelt, setzen wir diese beiden x-Werte in f"(x) ein. Ist das Ergebnis größer als Null ist der Punkt ein Tiefpunkt. Ist das Ergebnis kleiner als Null liegt ein Hochpunkt vor. ƒ" (x) = f"(-1) = 4 (-1)+6 f"(-1)=2 20 Tiefpunkt = 4x + 6 f"(x) = 4x + 6 ƒ" (− 2) =4·(−2)+6 f"(-2) = -2 -2<0 Hochpunkt Die Rechnung zeigt, dass bei x₁ = -1 ein Tiefpunkt vorliegt und bei x₂ = -2 ein Hochpunkt. Wir kennen damit die x-Werte dieser Extrempunkte (also genauer gesagt kennen wir die Extremstelle). Jetzt berechnen wir noch deren y-Werte (also die Extremwerte). Dazu setzen wir x = -1 und x = -2 in die Ausgangsfunktion ein. 2 ƒ(x)=²x³+3x² + 4x 2 ƒ(−1) = ² · (-1)³ 3 ƒ(−1): - = 2 +3.(-1)² +4 (-1) 3 2013 TP(−1|- 3 Wo liegen die Extrempunkte? Der Tiefpunkt liegt bei x = -1 und y = - 5:3. Den Hochpunkt berechnen wir gleich noch zu x = -2 und y = - 4: 3. 5 . f(x) -x³+3x²+4x 2 ƒ(-2) = ² · (-2)³ 3 +3.(−2)² +4. (-2) 4 ƒ(-2) = -1/1 3 HP(-2| − 1) 3