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24
1
Marie
27.7.2025
Mathe
Hoch & Tiefpunkte (Ableitung)
766
•
27. Juli 2025
•
Marie
@marie_57dcce
Die Berechnung von Hoch- und Tiefpunktenist ein fundamentales Konzept... Mehr anzeigen
Die Bestimmung von Extrempunkten hat viele praktische Anwendungen:
Beispiel: Kostenminimierung: K(x) = 2x² + 4x + 10
Die Extremstellen berechnen ohne 2. Ableitung ist über das Vorzeichenwechselkriterium möglich, die Verwendung der zweiten Ableitung bietet aber oft einen eleganteren Weg.
Die Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten ist ein fundamentales Konzept der Analysis. Bei der Funktion f(x) = 2/3x³ + 3x² + 4x werden wir Schritt für Schritt die Extrempunkte ermitteln und analysieren.
Definition: Ein Extrempunkt ist ein Punkt einer Funktion, an dem entweder ein lokales Maximum (Hochpunkt) oder ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegt.
Um den Tiefpunkt zu berechnen, setzen wir x = -1 in die Funktion ein: f(-1) = 2/3 · (-1)³ + 3·(-1)² + 4·(-1) = -2/3 + 3 - 4 = -5/3
Der Tiefpunkt liegt also bei TP(-1|-5/3). Diese Koordinaten zeigen uns, dass die Funktion an der Stelle x = -1 ihren tiefsten Punkt mit einem y-Wert von -5/3 erreicht.
Beispiel: Bei der Hochpunkt Berechnung setzen wir x = -2 ein: f(-2) = 2/3 · (-2)³ + 3·(-2)² + 4·(-2) = -16/3 + 12 - 8 = -4/3
Der Hochpunkt befindet sich bei HP(-2|-4/3). Diese Berechnung demonstriert, wie man durch systematisches Einsetzen die Extremstellen einer Funktion bestimmen kann.
Bei der Extremstellenberechnung gibt es einige Sonderfälle zu beachten:
Vokabular:
Die Hoch- und Tiefpunkte berechnen Aufgaben mit Lösungen sollten stets diese Aspekte berücksichtigen.
Die Hoch- und Tiefpunkte berechnen ist ein zentrales Thema der Analysis. Um lokale Extrema einer Funktion zu bestimmen, müssen wir systematisch vorgehen.
Definition: Ein lokales Maximum (Hochpunkt) liegt vor, wenn die Funktion links der Stelle streng monoton steigt und rechts streng monoton fällt. Ein lokales Minimum (Tiefpunkt) verhält sich genau umgekehrt.
Der Prozess zur Bestimmung von Extremstellen erfolgt in drei Schritten:
Merke: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind nur "Kandidaten" für Extremstellen. Erst der Vorzeichenwechsel bestätigt einen Extrempunkt.
Bei der Extremwertberechnung mit zweiter Ableitung gilt:
Bei der praktischen Durchführung einer Extremwertberechnung ist systematisches Vorgehen wichtig:
Beispiel: Gegeben sei f(x) = x³ - 3x² + 2
Der Wendepunkt berechnen erfolgt analog über die zweite Ableitung. Wichtig ist die Unterscheidung:
Highlight: Sattelpunkte sind Stellen mit f'(x) = 0, aber ohne Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.
Die Extremstellen berechnen zu können ist nicht nur theoretisch wichtig, sondern hat auch praktische Relevanz. Bei der Analyse von Funktionen helfen uns Extrempunkte, das Verhalten der Funktion besser zu verstehen.
Hinweis: Die Berechnung von Extrempunkten kann sowohl mit als auch ohne 2. Ableitung erfolgen. In diesem Fall haben wir die direkte Berechnung durch Einsetzen gewählt.
Die Bedeutung von Hoch- und Tiefpunkten zeigt sich besonders in der Optimierung. Wenn wir beispielsweise den maximalen Gewinn oder minimale Kosten suchen, sind genau diese Punkte von entscheidender Bedeutung.
Praxisbeispiel: In der Wirtschaft nutzt man Extremwertberechnungen, um optimale Produktionsmengen oder ideale Preispunkte zu bestimmen. Der Hochpunkt könnte den maximalen Gewinn darstellen, während der Tiefpunkt minimale Kosten repräsentieren könnte.
Die Fähigkeit, Extrempunkte zu berechnen, ist somit eine grundlegende mathematische Kompetenz mit vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten in der Praxis.
Die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung. Diese Seite führt in die Methodik ein, wie man Extremstellen einer Funktion rechnerisch ermitteln kann.
Definition: Extremstellen sind Punkte, an denen eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum erreicht.
Der Prozess zur Bestimmung von Extremstellen umfasst zwei Hauptschritte:
Highlight: Ein Vorzeichenwechsel von + nach - deutet auf einen Hochpunkt hin, während ein Wechsel von - nach + einen Tiefpunkt anzeigt.
Example: Bei einer Funktion f(x) = x² - 6x + 11 wäre der erste Schritt, f'(x) = 2x - 6 = 0 zu lösen, was x = 3 ergibt. Anschließend würde man das Vorzeichen von f' links und rechts von x = 3 überprüfen.
Diese Methode ermöglicht es, Hoch- und Tiefpunkte ohne 2. Ableitung zu berechnen, was besonders für Schüler, die die zweite Ableitung noch nicht kennen, von Vorteil ist.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Sudenaz Ocak
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Marie
@marie_57dcce
Die Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten ist ein fundamentales Konzept der Differentialrechnung und ermöglicht es uns, lokale Extrema einer Funktion zu bestimmen.
Um Hochpunkte und Tiefpunktezu finden, gibt es zwei zentrale Methoden: Mit und ohne zweite Ableitung. Bei der... Mehr anzeigen
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Die Bestimmung von Extrempunkten hat viele praktische Anwendungen:
Beispiel: Kostenminimierung: K(x) = 2x² + 4x + 10
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Die Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten ist ein fundamentales Konzept der Analysis. Bei der Funktion f(x) = 2/3x³ + 3x² + 4x werden wir Schritt für Schritt die Extrempunkte ermitteln und analysieren.
Definition: Ein Extrempunkt ist ein Punkt einer Funktion, an dem entweder ein lokales Maximum (Hochpunkt) oder ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegt.
Um den Tiefpunkt zu berechnen, setzen wir x = -1 in die Funktion ein: f(-1) = 2/3 · (-1)³ + 3·(-1)² + 4·(-1) = -2/3 + 3 - 4 = -5/3
Der Tiefpunkt liegt also bei TP(-1|-5/3). Diese Koordinaten zeigen uns, dass die Funktion an der Stelle x = -1 ihren tiefsten Punkt mit einem y-Wert von -5/3 erreicht.
Beispiel: Bei der Hochpunkt Berechnung setzen wir x = -2 ein: f(-2) = 2/3 · (-2)³ + 3·(-2)² + 4·(-2) = -16/3 + 12 - 8 = -4/3
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Definition: Extremstellen sind Punkte, an denen eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum erreicht.
Der Prozess zur Bestimmung von Extremstellen umfasst zwei Hauptschritte:
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Example: Bei einer Funktion f(x) = x² - 6x + 11 wäre der erste Schritt, f'(x) = 2x - 6 = 0 zu lösen, was x = 3 ergibt. Anschließend würde man das Vorzeichen von f' links und rechts von x = 3 überprüfen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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