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1.785
•
30. Dez. 2025
•
karina
@karina_itik
Kurvendiskussion gehört zu den wichtigsten Werkzeugen in der Analysis. Sie... Mehr anzeigen
Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du verschiedene Eigenschaften einer Funktion wie Nullstellen, Extrempunkte und das Grenzverhalten. Für die Berechnung von Nullstellen nutzt du die quadratische Formel: .
Um Extrempunkte zu finden, brauchst du drei Schritte. Zuerst bildest du die erste Ableitung der Funktion. Dann setzt du diese gleich Null, um potenzielle Extremstellen zu finden. Zum Beispiel bei ist die erste Ableitung .
Die hinreichende Bedingung überprüfst du mit der zweiten Ableitung. Wenn ist, liegt ein Hochpunkt vor; bei ein Tiefpunkt. Falls ist, könnte ein Sattelpunkt vorliegen.
Tipp: Ordne den Rechenweg immer klar in die drei Schritte: 1. Ableitung bilden, 2. Notwendige Bedingung , 3. Hinreichende Bedingung (f''(x) prüfen). So behältst du den Überblick!
Nachdem du potenzielle Extremstellen gefunden hast, berechnest du die zweite Ableitung und setzt die x-Werte ein. Für unsere Funktion erhalten wir . Bei ist , also ein Tiefpunkt. Bei ist , also ein Hochpunkt.
Um die genauen Koordinaten zu erhalten, setzt du die x-Werte in die Originalfunktion ein. Für den Hochpunkt bei ergibt sich und für den Tiefpunkt bei ist .
Für Wendepunkte brauchst du ähnliche Schritte: Bilde die zweite Ableitung und setze sie gleich Null, um potenzielle Wendestellen zu finden. Die dritte Ableitung muss dann ungleich Null sein. Bei ergibt die Wendestelle . Da ist, haben wir einen Wendepunkt.
Merke dir: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung Null ist UND die dritte Ableitung nicht Null ist. An dieser Stelle ändert sich die Krümmung des Graphen.
Die Symmetrieeigenschaften helfen dir, den Graphen schneller zu skizzieren. Wenn eine Funktion nur gerade Exponenten hat wie $f(x) = x^4-2x^2-4$, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Mathematisch prüfst du das mit .
Funktionen mit nur ungeraden Exponenten wie $f(x) = 2x^3 - 4x$ sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Hier gilt .
Die Monotonie beschreibt, ob der Graph steigt oder fällt. Eine Funktion ist monoton steigend, wenn ihre Steigung positiv ist, und monoton fallend, wenn die Steigung negativ ist. Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Extremstellen und analysierst die Vorzeichen der ersten Ableitung in den entstehenden Intervallen.
Zum Beispiel hat die Funktion einen Hochpunkt bei , da bei und . Die Funktion ist links vom Hochpunkt monoton steigend im Intervall $(-\infty;0]$) und rechts davon monoton fallend (im Intervall $[0; +\infty)$.
Schnell-Check: Liegt ein Hochpunkt vor, wechselt die Monotonie von steigend zu fallend. Bei einem Tiefpunkt wechselt sie von fallend zu steigend.
Das Grenzverhalten einer Funktion verrät dir, was mit dem Graphen passiert, wenn sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. Entscheidend ist dabei der höchste Grad der Funktion und der Koeffizient dieses Terms.
Bei geradem Grad (2, 4, 6...) mit positivem Koeffizienten gehen beide Enden des Graphen nach oben $+\infty$. Hat der Koeffizient ein negatives Vorzeichen, gehen beide Enden nach unten $-\infty$.
Bei ungeradem Grad (1, 3, 5...) mit positivem Koeffizienten geht der Graph für nach oben $+\infty$ und für nach unten $-\infty$. Mit negativem Koeffizienten ist es genau umgekehrt: für geht der Graph nach unten $-\infty$ und für nach oben $+\infty$.
Praxis-Tipp: Das Grenzverhalten ist besonders wichtig für eine korrekte Skizze. Achte darauf, welche "Richtung" dein Graph im Unendlichen einschlägt, bevor du Extrempunkte einzeichnest!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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karina
@karina_itik
Kurvendiskussion gehört zu den wichtigsten Werkzeugen in der Analysis. Sie hilft dir, Funktionen vollständig zu analysieren und ihre grafische Darstellung zu verstehen, ohne den Graph zeichnen zu müssen. In dieser Zusammenfassung lernst du alle wichtigen Schritte der Kurvendiskussion kennen.
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Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du verschiedene Eigenschaften einer Funktion wie Nullstellen, Extrempunkte und das Grenzverhalten. Für die Berechnung von Nullstellen nutzt du die quadratische Formel: .
Um Extrempunkte zu finden, brauchst du drei Schritte. Zuerst bildest du die erste Ableitung der Funktion. Dann setzt du diese gleich Null, um potenzielle Extremstellen zu finden. Zum Beispiel bei ist die erste Ableitung .
Die hinreichende Bedingung überprüfst du mit der zweiten Ableitung. Wenn ist, liegt ein Hochpunkt vor; bei ein Tiefpunkt. Falls ist, könnte ein Sattelpunkt vorliegen.
Tipp: Ordne den Rechenweg immer klar in die drei Schritte: 1. Ableitung bilden, 2. Notwendige Bedingung , 3. Hinreichende Bedingung (f''(x) prüfen). So behältst du den Überblick!
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Nachdem du potenzielle Extremstellen gefunden hast, berechnest du die zweite Ableitung und setzt die x-Werte ein. Für unsere Funktion erhalten wir . Bei ist , also ein Tiefpunkt. Bei ist , also ein Hochpunkt.
Um die genauen Koordinaten zu erhalten, setzt du die x-Werte in die Originalfunktion ein. Für den Hochpunkt bei ergibt sich und für den Tiefpunkt bei ist .
Für Wendepunkte brauchst du ähnliche Schritte: Bilde die zweite Ableitung und setze sie gleich Null, um potenzielle Wendestellen zu finden. Die dritte Ableitung muss dann ungleich Null sein. Bei ergibt die Wendestelle . Da ist, haben wir einen Wendepunkt.
Merke dir: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung Null ist UND die dritte Ableitung nicht Null ist. An dieser Stelle ändert sich die Krümmung des Graphen.
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Die Symmetrieeigenschaften helfen dir, den Graphen schneller zu skizzieren. Wenn eine Funktion nur gerade Exponenten hat wie $f(x) = x^4-2x^2-4$, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Mathematisch prüfst du das mit .
Funktionen mit nur ungeraden Exponenten wie $f(x) = 2x^3 - 4x$ sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Hier gilt .
Die Monotonie beschreibt, ob der Graph steigt oder fällt. Eine Funktion ist monoton steigend, wenn ihre Steigung positiv ist, und monoton fallend, wenn die Steigung negativ ist. Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Extremstellen und analysierst die Vorzeichen der ersten Ableitung in den entstehenden Intervallen.
Zum Beispiel hat die Funktion einen Hochpunkt bei , da bei und . Die Funktion ist links vom Hochpunkt monoton steigend im Intervall $(-\infty;0]$) und rechts davon monoton fallend (im Intervall $[0; +\infty)$.
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Das Grenzverhalten einer Funktion verrät dir, was mit dem Graphen passiert, wenn sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. Entscheidend ist dabei der höchste Grad der Funktion und der Koeffizient dieses Terms.
Bei geradem Grad (2, 4, 6...) mit positivem Koeffizienten gehen beide Enden des Graphen nach oben $+\infty$. Hat der Koeffizient ein negatives Vorzeichen, gehen beide Enden nach unten $-\infty$.
Bei ungeradem Grad (1, 3, 5...) mit positivem Koeffizienten geht der Graph für nach oben $+\infty$ und für nach unten $-\infty$. Mit negativem Koeffizienten ist es genau umgekehrt: für geht der Graph nach unten $-\infty$ und für nach oben $+\infty$.
Praxis-Tipp: Das Grenzverhalten ist besonders wichtig für eine korrekte Skizze. Achte darauf, welche "Richtung" dein Graph im Unendlichen einschlägt, bevor du Extrempunkte einzeichnest!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von Funktionen bestimmt. Diese Präsentation behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Identifizierung lokaler und globaler Extrema sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionsuntersuchung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Maximierung von Flächeninhalten unter Nebenbedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt Extremwertprobleme mit klaren Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Anwendung von Differenzierung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheLerne, wie man Extrem- und Wendepunkte einer Funktion bestimmt. Diese Zusammenfassung behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, die Berechnung der Ableitungen sowie Beispiele zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Differenzialrechnung und Kurvenanalyse beschäftigen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten von Funktionen, einschließlich der Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten sowie Sattelpunkten. Er umfasst wichtige Konzepte wie die Ableitungen, Nullstellen und den Globalverlauf von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die vollständige Funktionsuntersuchung einer Funktion mit 7 klaren Schritten. Lernen Sie, wie man Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten im Unendlichen analysiert. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen effektiv lösen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Formulierung der Zielgröße, das Aufsuchen von Nebenbedingungen, die Bestimmung der Zielfunktion und die Untersuchung auf Extremwerte. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Jana V
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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