Symmetrie und Monotonie
Die Symmetrieeigenschaften helfen dir, den Graphen schneller zu skizzieren. Wenn eine Funktion nur gerade Exponenten hat wie $f(x) = x^4-2x^2-4$, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Mathematisch prüfst du das mit f(−x)=f(x).
Funktionen mit nur ungeraden Exponenten wie $f(x) = 2x^3 - 4x$ sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Hier gilt f(−x)=−f(x).
Die Monotonie beschreibt, ob der Graph steigt oder fällt. Eine Funktion ist monoton steigend, wenn ihre Steigung positiv ist, und monoton fallend, wenn die Steigung negativ ist. Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, berechnest du die Extremstellen und analysierst die Vorzeichen der ersten Ableitung in den entstehenden Intervallen.
Zum Beispiel hat die Funktion f(x)=−5x2−3 einen Hochpunkt bei x=0, da f′(x)=−10x=0 bei x=0 und f′′(0)=−10<0. Die Funktion ist links vom Hochpunkt monoton steigend im Intervall $(-\infty;0]$) und rechts davon monoton fallend (im Intervall $[0; +\infty)$.
Schnell-Check: Liegt ein Hochpunkt vor, wechselt die Monotonie von steigend zu fallend. Bei einem Tiefpunkt wechselt sie von fallend zu steigend.