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Hoch- und Tiefpunkte verstehen

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Viviana

1.12.2025

Mathe

Hoch und Tiefpunkte

2.290

1. Dez. 2025

12 Seiten

Hoch- und Tiefpunkte verstehen

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Viviana

@viviviki

Extremstellen sind super wichtig in der Analysis - sie zeigen... Mehr anzeigen

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Hoch- und Tiefpunkte von Polynomfunktionen

Eine Präsentation von Viviana Leege am 26.11.2021 im Fach
Mathematik Inhaltsangabe

■

Grundlagen zu Extremstellen

Extremstellen sind die Punkte, an denen eine Funktion vorübergehend "stillsteht" - die Steigung ist dort null. Du erkennst sie daran, dass die erste Ableitung f'(x) = 0 ist.

Es gibt zwei Arten von Extrema: Lokale Extrema sind nur in der direkten Umgebung Höchst- oder Tiefstpunkte. Globale Extrema sind dagegen die absoluten Höchst- oder Tiefstpunkte in einem bestimmten Intervall.

Merktipp: Extremstellen sind wie Berggipfel oder Täler - dort ist die Steigung für einen Moment null, bevor es wieder bergauf oder bergab geht.

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Hoch- und Tiefpunkte von Polynomfunktionen

Eine Präsentation von Viviana Leege am 26.11.2021 im Fach
Mathematik Inhaltsangabe

■

Extremstellen finden - die wichtigsten Regeln

Hier ist das Standardvorgehen, das du immer anwenden kannst: Zuerst die notwendige Bedingung f'(x) = 0 prüfen, dann die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung.

Du bildest die erste Ableitung und setzt sie gleich null. Die Lösungen sind deine möglichen Extremstellen - aber noch nicht sicher!

Die wichtigsten Ableitungsregeln solltest du drauf haben: x^n wird zu n·x^n1n-1, Konstanten fallen weg, und bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.

Praxistipp: Lern die Grundregeln auswendig - das spart dir in Klausuren mega viel Zeit!

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Hoch- und Tiefpunkte von Polynomfunktionen

Eine Präsentation von Viviana Leege am 26.11.2021 im Fach
Mathematik Inhaltsangabe

■

Hoch- oder Tiefpunkt bestimmen

Mit der zweiten Ableitung f''(x) entscheidest du, ob du einen Hoch- oder Tiefpunkt hast. Setze deine x-Werte von den Extremstellen in f''(x) ein.

Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt (die Funktion ist nach oben gekrümmt). Ist f''(x) < 0, hast du einen Hochpunkt (nach unten gekrümmt).

Falls f''(x) = 0 ist, könnte ein Sattelpunkt vorliegen - das musst du separat überprüfen.

Eselsbrücke: Positive zweite Ableitung = Tiefpunkt (wie ein Lächeln ☺), negative zweite Ableitung = Hochpunkt (wie ein trauriges Gesicht ☹).

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Hoch- und Tiefpunkte von Polynomfunktionen

Eine Präsentation von Viviana Leege am 26.11.2021 im Fach
Mathematik Inhaltsangabe

■

Sattelpunkte erkennen

Wenn die zweite Ableitung null ist, musst du zur dritten Ableitung f'''(x) greifen. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn f'''(x) ≠ 0 ist.

Bei einem Sattelpunkt hat die Funktion zwar waagerechte Tangente, aber kein echtes Extremum - sie "wendet" nur kurz und läuft dann weiter in die gleiche Richtung.

Das klassische Beispiel ist f(x) = x³ bei x = 0: Die Funktion wird flach, hat aber weder Maximum noch Minimum.

Wichtig: Sattelpunkte sehen aus wie Extremstellen, sind aber keine - deshalb immer genau prüfen!

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Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Extremstellen sind super wichtig in der Analysis - sie zeigen dir, wo Funktionen ihre höchsten und tiefsten Punkte haben. Du brauchst sie für fast jede Klausur und sie kommen in vielen praktischen Situationen vor, wie beim Optimieren von Kosten oder... Mehr anzeigen

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Extremstellen sind die Punkte, an denen eine Funktion vorübergehend "stillsteht" - die Steigung ist dort null. Du erkennst sie daran, dass die erste Ableitung f'(x) = 0 ist.

Es gibt zwei Arten von Extrema: Lokale Extrema sind nur in der direkten Umgebung Höchst- oder Tiefstpunkte. Globale Extrema sind dagegen die absoluten Höchst- oder Tiefstpunkte in einem bestimmten Intervall.

Merktipp: Extremstellen sind wie Berggipfel oder Täler - dort ist die Steigung für einen Moment null, bevor es wieder bergauf oder bergab geht.

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Die wichtigsten Ableitungsregeln solltest du drauf haben: x^n wird zu n·x^n1n-1, Konstanten fallen weg, und bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.

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Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt (die Funktion ist nach oben gekrümmt). Ist f''(x) < 0, hast du einen Hochpunkt (nach unten gekrümmt).

Falls f''(x) = 0 ist, könnte ein Sattelpunkt vorliegen - das musst du separat überprüfen.

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Wenn die zweite Ableitung null ist, musst du zur dritten Ableitung f'''(x) greifen. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn f'''(x) ≠ 0 ist.

Bei einem Sattelpunkt hat die Funktion zwar waagerechte Tangente, aber kein echtes Extremum - sie "wendet" nur kurz und läuft dann weiter in die gleiche Richtung.

Das klassische Beispiel ist f(x) = x³ bei x = 0: Die Funktion wird flach, hat aber weder Maximum noch Minimum.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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