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Rain
12.12.2025
Mathe
Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung
2.280
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12. Dez. 2025
•
Rain
@rain_exe
Deine erste Mathe-Klausur im Leistungskurs steht vor der Tür? Hier... Mehr anzeigen
Keine Panik - die Kurvendiskussion ist dein Hauptfokus für diese Klausur! Du musst verschiedene Eigenschaften von Funktionen systematisch untersuchen können.
Die wichtigsten Bausteine sind: Symmetrie, Verhalten gegen unendlich, Ableitungen, Nullstellen, Monotonie, Extrema und Wendepunkte. Außerdem kommen noch Steigungswinkel und Tangenten/Normalen dazu.
Als Bonus gibt's noch Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung - das sind Textaufgaben, wo du das Maximum oder Minimum von etwas finden musst.
Tipp: Arbeite bei der Kurvendiskussion immer systematisch alle Punkte ab - so vergisst du nichts!
Ganzrationale Funktionen sind einfach Summen von Potenzfunktionen, wie f(x) = 5x³ + 3x² + 2x - 3. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - hier ist es Grad 3.
Bei der Symmetrie checkst du zwei Möglichkeiten: Ist f = f(x), dann hast du Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion). Ist f = -f(x), dann Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion).
Das Verhalten gegen unendlich wird immer vom Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 4x³ + 9x entscheidet also 4x³, wohin die Funktion läuft. Für das Verhalten nahe null schauchst du auf die niedrigsten Potenzen.
Merksatz: Positive ungerade Exponenten: links runter, rechts hoch. Negative Vorzeichen drehen alles um!
Die Potenzregel ist dein bester Freund: Exponent wird zum Vorfaktor, dann um 1 verringern. Aus x³ wird also 3x². Die Summenregel bedeutet: jeden Term einzeln ableiten. Die Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben einfach stehen.
Die Ableitung f'(x) zeigt dir die Steigung des Graphen an jedem Punkt. Wo f'(x) positiv ist, steigt f(x). Wo f'(x) negativ ist, fällt f(x). Nullstellen von f'(x) sind potentielle Extremstellen von f(x).
Achsenschnittpunkte findest du so: y-Achse bei f(0), x-Achse bei f(x) = 0. Für die Nullstellen musst du also Gleichungen lösen - das kennst du schon aus der Mittelstufe.
GTR-Tipp: Mit dem Grafikrechner kannst du Ableitungen automatisch berechnen: f2(x) = d/dx(f1(x))
Extrempunkte findest du in zwei Schritten: Erst die notwendige Bedingung f'(x) = 0 lösen, dann die hinreichende Bedingung mit f''(x) prüfen.
Bei der hinreichenden Bedingung gilt: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) ≠ 0. Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x₀) < 0, einen Hochpunkt.
Das Monotonieverhalten liest du direkt aus dem Vorzeichen von f'(x) ab. Positive Ableitung bedeutet steigend, negative Ableitung bedeutet fallend.
Praxis-Tipp: Zeichne dir eine Vorzeichentabelle für f'(x) - dann siehst du sofort, wo die Funktion steigt und fällt!
Wendepunkte sind da, wo eine Kurve von Links- zu Rechtskrümmung wechselt (oder umgekehrt). Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0.
Das Vorzeichen von f'''(x) zeigt dir die Krümmungsrichtung: f'''(x) > 0 bedeutet Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung. Du kannst auch das Vorzeichenwechselkriterium bei f''(x) nutzen.
Den Steigungswinkel α berechnest du mit tan(α) = f'(x). Der Schnittwinkel zweier Geraden ist der kleinere der beiden entstehenden Winkel.
Wichtig: Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn m₁ · m₂ = -1 gilt!
Tangenten haben die gleiche Steigung wie die Funktion im Berührpunkt: t(x) = f'(x₀) · + f(x₀). Normalen stehen senkrecht auf Tangenten: n(x) = -1/f'(x₀) · + f(x₀).
Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung gehst du systematisch vor: Hauptbedingung , Nebenbedingung (welche Einschränkungen gibt's?), dann beide Bedingungen verknüpfen.
Beispiel Drahtrechteck: Hauptbedingung A = a·b (Flächenmaximum), Nebenbedingung 2a + 2b = 50 (feste Drahtlänge). Auflösen, einsetzen, ableiten, Extremstelle finden!
Strategie: Bei Textaufgaben immer zuerst alle Größen benennen und Bedingungen aufschreiben - dann wird's übersichtlich!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Rain
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Deine erste Mathe-Klausur im Leistungskurs steht vor der Tür? Hier findest du alle wichtigen Themen der Analysis kompakt zusammengefasst. Von der Kurvendiskussion bis zu Extremwertaufgaben - alles was du für die Klausur brauchst.
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Keine Panik - die Kurvendiskussion ist dein Hauptfokus für diese Klausur! Du musst verschiedene Eigenschaften von Funktionen systematisch untersuchen können.
Die wichtigsten Bausteine sind: Symmetrie, Verhalten gegen unendlich, Ableitungen, Nullstellen, Monotonie, Extrema und Wendepunkte. Außerdem kommen noch Steigungswinkel und Tangenten/Normalen dazu.
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Ganzrationale Funktionen sind einfach Summen von Potenzfunktionen, wie f(x) = 5x³ + 3x² + 2x - 3. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - hier ist es Grad 3.
Bei der Symmetrie checkst du zwei Möglichkeiten: Ist f = f(x), dann hast du Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion). Ist f = -f(x), dann Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion).
Das Verhalten gegen unendlich wird immer vom Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 4x³ + 9x entscheidet also 4x³, wohin die Funktion läuft. Für das Verhalten nahe null schauchst du auf die niedrigsten Potenzen.
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Die Potenzregel ist dein bester Freund: Exponent wird zum Vorfaktor, dann um 1 verringern. Aus x³ wird also 3x². Die Summenregel bedeutet: jeden Term einzeln ableiten. Die Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben einfach stehen.
Die Ableitung f'(x) zeigt dir die Steigung des Graphen an jedem Punkt. Wo f'(x) positiv ist, steigt f(x). Wo f'(x) negativ ist, fällt f(x). Nullstellen von f'(x) sind potentielle Extremstellen von f(x).
Achsenschnittpunkte findest du so: y-Achse bei f(0), x-Achse bei f(x) = 0. Für die Nullstellen musst du also Gleichungen lösen - das kennst du schon aus der Mittelstufe.
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Extrempunkte findest du in zwei Schritten: Erst die notwendige Bedingung f'(x) = 0 lösen, dann die hinreichende Bedingung mit f''(x) prüfen.
Bei der hinreichenden Bedingung gilt: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) ≠ 0. Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x₀) < 0, einen Hochpunkt.
Das Monotonieverhalten liest du direkt aus dem Vorzeichen von f'(x) ab. Positive Ableitung bedeutet steigend, negative Ableitung bedeutet fallend.
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Wendepunkte sind da, wo eine Kurve von Links- zu Rechtskrümmung wechselt (oder umgekehrt). Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0.
Das Vorzeichen von f'''(x) zeigt dir die Krümmungsrichtung: f'''(x) > 0 bedeutet Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung. Du kannst auch das Vorzeichenwechselkriterium bei f''(x) nutzen.
Den Steigungswinkel α berechnest du mit tan(α) = f'(x). Der Schnittwinkel zweier Geraden ist der kleinere der beiden entstehenden Winkel.
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Tangenten haben die gleiche Steigung wie die Funktion im Berührpunkt: t(x) = f'(x₀) · + f(x₀). Normalen stehen senkrecht auf Tangenten: n(x) = -1/f'(x₀) · + f(x₀).
Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung gehst du systematisch vor: Hauptbedingung , Nebenbedingung (welche Einschränkungen gibt's?), dann beide Bedingungen verknüpfen.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Übungsklausur behandelt die Ableitung von Funktionen und die Analyse von Extremstellen sowie Wendepunkten. Sie umfasst Aufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten, Monotonie und die Bedeutung der Ableitungen im Kontext von Funktionengraphen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Fach Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Berechnung des maximalen Volumens von Pyramiden in Extremwertaufgaben. Diese Zusammenfassung behandelt die geometrischen Grundlagen, die Ableitungen zur Bestimmung von Extremwerten und die Abhängigkeiten zwischen Variablen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Pyramidenberechnungen vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von Funktionen bestimmt. Diese Präsentation behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Identifizierung lokaler und globaler Extrema sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionsuntersuchung vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über wichtige Themen für das Mathematik-Abitur 2022, einschließlich Kurvenverhalten, Ableitungen, Integrationsregeln, Vektoren und grundlegende Statistik. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen, behandelt er Konzepte wie Monotonie, Extremstellen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und geometrische Eigenschaften von Linien und Ebenen. Perfekt für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Funktionsuntersuchung und trigonometrische Funktionen, einschließlich der Rekonstruktion von Funktionen, der Anwendung der Produkt- und Kettenregel, sowie der Ableitung von Sinus und Kosinus. Zudem werden Grad- und Bogenmaß behandelt und Optimierungsaufgaben erläutert. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren im Grundkurs Mathematik Q1.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion, einschließlich der Berechnung von Ableitungen, Extremwerten und Wendepunkten. Ideal für Schüler des Wirtschafts-Gymnasiums, die sich auf ihre Mathematik-Klausur vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Nullstellen, Symmetrie und die Anwendung der Ableitungen zur Analyse von Funktionen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Lena M
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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