Hypothesentest: Coole Aufgaben mit Lösungen - Entdecke Einseitige & Zweiseitige Tests!

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Finni

17.11.2021

Mathe

Hypothesentest

Fächer

Mathe

Stochastik

Hypothesentests

Hypothesentest: Coole Aufgaben mit Lösungen - Entdecke Einseitige & Zweiseitige Tests!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Ein umfassender Leitfaden zum Hypothesentest in der Statistik, der die grundlegenden Konzepte und Durchführungsmethoden erklärt.

• Der Hypothesentest dient der statistischen Überprüfung von Annahmen anhand von Stichproben
• Die Nullhypothese (H₀) und Alternativhypothese (H₁) bilden die Grundlage jedes Tests
• Es werden drei Testarten unterschieden: linksseitiger Hypothesentest, rechtsseitiger Hypothesentest und zweiseitiger Hypothesentest
• Die Entscheidungsfindung basiert auf definierten Annahme- und Ablehnungsbereichen
• Fehler erster und zweiter Art müssen bei der Interpretation berücksichtigt werden

...

17.11.2021

11062

Mathematik > Stochastik
Hypothesentest
= wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachwei-
sen möchte. Der Grundsatz ist hierbei,

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Aufstellen der Hypothesen

Diese Seite erklärt, wie man Nullhypothese $H₀$ und Alternativhypothese $H₁$ korrekt formuliert und welche Art von Hypothesentest in verschiedenen Situationen angewendet werden sollte.

Highlight: Wichtige Regeln beim Aufstellen der Hypothesen:

In der H₁-Hypothese steht niemals ein =, ≤ oder ≥.

"Höchstens" $≤$ kennzeichnet H₀ und deutet auf einen rechtsseitigen Test hin.

"Mindestens" $≥$ kennzeichnet H₀ und deutet auf einen linksseitigen Test hin.

"Mehr als" oder "größer" $>$ kennzeichnet H₁ und erfordert einen rechtsseitigen Test.

"Weniger als" oder "kleiner" $<$ kennzeichnet H₁ und erfordert einen linksseitigen Test.

Die verschiedenen Arten von Hypothesentests lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Alternativtest: H₀: P = P₀ gegen H₁: P ≠ P₁
Rechtsseitiger Signifikanztest: H₀: P ≤ P₀ gegen H₁: P > P₀
Linksseitiger Signifikanztest: H₀: P ≥ P₀ gegen H₁: P < P₀
Beidseitiger Signifikanztest: H₀: P = P₀ gegen H₁: P ≠ P₀

Vocabulary: Die Testgröße ist das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird. Sie wird oft mit "T", "X" oder "Z" abgekürzt.

Bei der Stichprobe handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, und die Testgröße ist binomialverteilt.

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Entscheidungsregel und Signifikanzniveau

Diese Seite behandelt die Entscheidungsregel, die bestimmt, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird, sowie das Konzept des Signifikanzniveaus.

Definition: Die Entscheidungsregel legt den Annahme- und Ablehnungsbereich für eine der beiden Hypothesen fest.

Der Annahmebereich A umfasst die Werte zwischen 0 und n, bei denen H₀ angenommen werden soll.
Der Ablehnungsbereich Ā umfasst im Gegensatz zu A die anderen Werte, bei denen H₀ abgelehnt werden soll.

Das Signifikanzniveau soll die Aussagekraft des Tests sichern. Es wird durch den kritischen Wert k bestimmt.

Example: Entscheidungsregeln für verschiedene Testtypen:

Linksseitiger Test: A = $0, ..., k$ , Ā = $k+1, ..., n$

Rechtsseitiger Test: A = $0, ..., k-1$ , Ā = $k, ..., n$

Beidseitiger Test: A = $k₁+1, ..., kr-1$ , Ā = $0, ..., k₁$ ∪ $kr, ..., n$

Highlight: Bei Kommazahlen wird immer "nach innen" gerundet.

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Wahrscheinlichkeiten bestimmen und Fehler beim Testen

Diese Seite erklärt, wie man Wahrscheinlichkeiten in Hypothesentests berechnet und welche Arten von Fehlern auftreten können.

Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wird folgende Formel verwendet:

P $X≤k$ = Σ $n i$ · p^i · $1-p$ ^ $n-i$

Highlight: Bei größeren Werten von k ist es besser, einen Taschenrechner $GTR$ oder ein Computer-Algebra-System $CAS$ zu verwenden.

Example: Befehl für GTR/CAS: binom cdf $n, p, k$ berechnet die kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung.

Es ist wichtig zu verstehen, dass eine Hypothese nie zu 100% widerlegt oder bestätigt werden kann. Es gibt vier mögliche Fälle:

H₀ ist wahr und wird angenommen $Sicherheit 1. Art$
H₀ ist falsch und wird abgelehnt $Sicherheit 2. Art$
H₀ ist wahr, wird aber abgelehnt $Fehler 1. Art oder α-Fehler$
H₀ ist falsch, wird aber angenommen $Fehler 2. Art oder β-Fehler$

Definition: Der Fehler 1. Art $α-Fehler$ tritt auf, wenn H₀ fälschlicherweise abgelehnt wird. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler heißt Signifikanzniveau α.

Definition: Der Fehler 2. Art $β-Fehler$ tritt auf, wenn H₀ fälschlicherweise angenommen wird. Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht kontrolliert werden, da sie unabhängig ist.

Diese Konzepte sind entscheidend für das Verständnis der Zuverlässigkeit und Grenzen von Hypothesentests in der statistischen Analyse.

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Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt mittels spezieller Formeln und technischer Hilfsmittel.

Highlight: Die Berechnung kann mit dem Befehl "binom cdf $n,p,k$ " auf dem Taschenrechner erfolgen.

Quote: "Eine Hypothese kann nie zu 100% widerlegt bzw. bestätigt werden."

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Fehlerarten und σ-Regeln

Die Analyse möglicher Fehler ist ein wesentlicher Bestandteil des Hypothesentests.

Definition:

Fehler 1. Art $α-Fehler$ : Fälschliche Ablehnung von H₀
Fehler 2. Art $β-Fehler$ : Fälschliche Annahme von H₀

Highlight: Die σ-Regeln beziehen sich auf die Standardnormalverteilung und sind wichtig für die Bestimmung von Konfidenzintervallen.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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11.062

•

17. Nov. 2021

•

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Finni

@finni_dzjx

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Aufstellen der Hypothesen

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Highlight: Wichtige Regeln beim Aufstellen der Hypothesen:

In der H₁-Hypothese steht niemals ein =, ≤ oder ≥.

"Höchstens" $≤$ kennzeichnet H₀ und deutet auf einen rechtsseitigen Test hin.

"Mindestens" $≥$ kennzeichnet H₀ und deutet auf einen linksseitigen Test hin.

"Mehr als" oder "größer" $>$ kennzeichnet H₁ und erfordert einen rechtsseitigen Test.

"Weniger als" oder "kleiner" $<$ kennzeichnet H₁ und erfordert einen linksseitigen Test.

Die verschiedenen Arten von Hypothesentests lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Alternativtest: H₀: P = P₀ gegen H₁: P ≠ P₁
Rechtsseitiger Signifikanztest: H₀: P ≤ P₀ gegen H₁: P > P₀
Linksseitiger Signifikanztest: H₀: P ≥ P₀ gegen H₁: P < P₀
Beidseitiger Signifikanztest: H₀: P = P₀ gegen H₁: P ≠ P₀

Vocabulary: Die Testgröße ist das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird. Sie wird oft mit "T", "X" oder "Z" abgekürzt.

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Entscheidungsregel und Signifikanzniveau

Diese Seite behandelt die Entscheidungsregel, die bestimmt, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird, sowie das Konzept des Signifikanzniveaus.

Definition: Die Entscheidungsregel legt den Annahme- und Ablehnungsbereich für eine der beiden Hypothesen fest.

Der Annahmebereich A umfasst die Werte zwischen 0 und n, bei denen H₀ angenommen werden soll.
Der Ablehnungsbereich Ā umfasst im Gegensatz zu A die anderen Werte, bei denen H₀ abgelehnt werden soll.

Das Signifikanzniveau soll die Aussagekraft des Tests sichern. Es wird durch den kritischen Wert k bestimmt.

Example: Entscheidungsregeln für verschiedene Testtypen:

Linksseitiger Test: A = $0, ..., k$ , Ā = $k+1, ..., n$

Rechtsseitiger Test: A = $0, ..., k-1$ , Ā = $k, ..., n$

Beidseitiger Test: A = $k₁+1, ..., kr-1$ , Ā = $0, ..., k₁$ ∪ $kr, ..., n$

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Wahrscheinlichkeiten bestimmen und Fehler beim Testen

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Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wird folgende Formel verwendet:

P $X≤k$ = Σ $n i$ · p^i · $1-p$ ^ $n-i$

Highlight: Bei größeren Werten von k ist es besser, einen Taschenrechner $GTR$ oder ein Computer-Algebra-System $CAS$ zu verwenden.

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H₀ ist wahr und wird angenommen $Sicherheit 1. Art$
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H₀ ist wahr, wird aber abgelehnt $Fehler 1. Art oder α-Fehler$
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Definition: Der Fehler 1. Art $α-Fehler$ tritt auf, wenn H₀ fälschlicherweise abgelehnt wird. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler heißt Signifikanzniveau α.

Definition: Der Fehler 2. Art $β-Fehler$ tritt auf, wenn H₀ fälschlicherweise angenommen wird. Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht kontrolliert werden, da sie unabhängig ist.

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Wahrscheinlichkeitsbestimmung

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Fehlerarten und σ-Regeln

Die Analyse möglicher Fehler ist ein wesentlicher Bestandteil des Hypothesentests.

Definition:

Fehler 1. Art $α-Fehler$ : Fälschliche Ablehnung von H₀
Fehler 2. Art $β-Fehler$ : Fälschliche Annahme von H₀

Highlight: Die σ-Regeln beziehen sich auf die Standardnormalverteilung und sind wichtig für die Bestimmung von Konfidenzintervallen.

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Grundlagen des Hypothesentests

Der Hypothesentest ist ein fundamentales Werkzeug in der Statistik, das verwendet wird, um Annahmen über Populationsparameter auf Basis von Stichprobendaten zu überprüfen. Diese Seite führt in die Grundkonzepte des Hypothesentests ein.

Definition: Ein Hypothesentest ist ein statistisches Verfahren, bei dem man anhand von erhobenen Daten eine Behauptung nachweisen möchte, indem man das Gegenteil widerlegt.

Der Prozess beinhaltet zwei sich widersprechende Behauptungen:

Die Nullhypothese $H₀$ , die geprüft werden soll
Die Gegenhypothese oder Alternativhypothese $H₁$ , die die logische Verneinung von H₀ darstellt

Beispiel: Auf dem Oktoberfest wird behauptet, dass die Maßkrüge nicht ganz voll gemacht werden. Um dies zu überprüfen, müsste man die Nullhypothese widerlegen, dass der Maßkrug tatsächlich mit einem Liter gefüllt ist.

Der Hypothesentest ermöglicht es, anhand eines Stichprobenergebnisses zu entscheiden, welche der beiden Hypothesen angenommen und welche verworfen wird. Dabei ist zu beachten, dass aufgrund der Stichprobenbasierung keine absolute Sicherheit erreicht werden kann.

Highlight: Wichtige Begriffe im Kontext des Hypothesentests sind:

n = Stichprobenumfang

P = Wahrscheinlichkeit

M = p·n = Erwartungswert

Die Wahl des spezifischen Testtyps hängt von der Aufgabenstellung ab. Es gibt linksseitige, rechtsseitige und beidseitige Hypothesentests, die je nach Fragestellung angewendet werden.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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