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 Mathematik > Stochastik
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= wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachwei-
sen möchte. Der Grundsatz ist hierbei,

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- einseitiger Hypothesentest - beidseitiger Hypothesentest

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Mathematik > Stochastik Hypothesentest = wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachwei- sen möchte. Der Grundsatz ist hierbei, dass wir das Gegenteil widerlegen müssen. Beispiel: Auf dem Oktoberfest werden die Maßkrüge nicht ganz voll gemacht. Wir müssen also widerlegen, dass der Maßkrug tatsächlich mit einem Liter gefüllt ist. - Es stehen sich zwei einander widersprechende Behauptungen (= Hypothesen) gegenüber. Dabei gilt: die Nullhypothese Ho soll geprüft werden und die Gegenhypothese H₁ ist die logische Verneinung von Ho. Die Begriffe sind so zu verstehen, dass geprüft wird, ob H₂ bewiesen werden kann. Ist das nicht der Fall, wird Ho als gültig erachtet. Der Hypothesentest dient also dazu, anhand eines Stich- proben- Ergebnisses zu einer Entscheidung zu kommen, welche der beiden Hypothesen Ho und H₂ angenommen und welche verworfen wird. Wichtig: keine 100%ige Sicherheit, da von eines Stichprobe auf eine Gesamtmenge geschlossen wird. Legende: n = Stichprobenumfang p= Wahrscheinlichkeit M = p⋅n = Erwartungswert - Welcher Test infolge welcher Aufgabenstellung: Beispiel: 30 % lieben Mathe mit Stichproben umfang n = 100 Wahrscheinlichkeit p= 0,3 Erwartungswert M= rechtsseitiger beidseitiger Alternativtest Hypothenusent. Hypothenusent. Hypothenusent. linksseitiger "1 Aufgabenstellung jemand sagt, ob weniger. ob mehr als ob sich die 40% lieben als 30%.." Mathe." 30%... 30% geändert haben. Gegenhypothese H₁ P₁ = 0₁4 | H₁₂P₁ <0,3 H₁P₁0₁3 H₁₁: P₁ = 0,3 Notizen: Aufstellen der Hypothesen Woran erkennt man, was Ho und was the ist? (nicht Alternativtest!) 1) In der H₁-Hypothese steht niemals ein =,= oder ². 2) Beim Worthochstens"...

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(≤) wissen wir, dass das die Ho- Hypo- these kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothe- sentest machen sollen. 3) Beim Wort, mindestens" (2) wissen wir, dass das die Ho- Hypo- these kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothenu- sentest machen sollen. - " 4) Beim Wort, mehr als" oder größer" (>) wissen wir, dass das die H Hypothese kennzeichnet und wir einen rechts- seitigen Hypothesen test machen müssen. 4 Beim Wort weniger als oder kleiner "(<) wissen wir, dass das die H Hypothese kennzeichnet und wir einen links - seitigen Hypothesen test machen müssen. Alternativtest: - Also: rechtsseitiger Signifikan test linksseitiger Signifikanztest: beidseitiger Signifikantest: Ho: P = Po gegen H₂: P = P₁ Ho: P = Po gegen H₁: p > P₁ Ho: P = Po gegen H₁: P < P₁ Ho: P = Po gegen H₁: p= P₁ Testgröße und Stichprobenlänge Das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird (= Anzahl der Eintritte des betreffenden Ereignisses) nennt man Testgröße. Sie wird mit den Zeichen .T", .X" oder .Z' abgekürzt. Bei der Stichprobe handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Die Testgröße ist demnach binomial verteilt. Notizen: Entscheidungsregel: Annahme- oder Ablehnungsbereich Abhängig vom Wert, den die Testgröße in der Stichprobe an- nimmt, wird man die Richtigkeit der einen bzw. der anderen der beiden Hypothesen annehmen. Legende: Annahmebereich A umfasst die Werte zwischen 0 und n, bei denen Ho angenommen werden soll. Ablehnungsbereich A umfasst im Gegensatz zu A die anderen Werte, bei denen Ho abgelehnt werden soll. Entscheidungsregel: Signifikanzniveau & soll die Aussagekraft des Tests sichern. kritischer Wert k Linksseitiger Test: = der Annahme- und Ablehnungsbereich für eine der beiden Hypothesen. rechtsseitiger Test beidseitiger Test Ablehnungsbereich M A = [0₁, k] k A= [0;ik-1] + M Achtung bei Kommazahlen: Man rundet immer nach innen". A = [k+ 1;..; n] к Ā= [k₁, n] кс Kr A=[k₁+1;; kr-1]' A CO,... ki] U [kr...., n] = n Beispiele: beidseitiger Test: k₁ = 54,48 und kr = 78,92 also A = [55;78] › einseitige Tests linksseitig, k= 9,18 also A = C₁0; n] Notizen: Wahrscheinlichkeiten bestimmen Formel: P(X ≤k) = Σ (?).pi. (1-p)^-i i=0 LD bei größeren Werten von k deshalb besser mit GTR - Berechnung mit GTR / CAS: ㄱ Befehl binom cdf (n, p, k) Fehler beim Testen Eine Hypothese kann nie werden. Demnach kann jede Hypothese getroffen wurde, falsch sein. - Es gibt 4 Falle: Ho angenommen Sicherheit 1. Ast Ho falsch Fehler 2. Art -> Berechnet die kumulierten. Wahrscheinlichkeiten der Binomial verteilung Ho wahr zu 100% widerlegt bzw. bestätigt Entscheidung, die auf Basis der Ho abgelehnt Fehler 1. Art Sicherheit 2. Art a) Wir lehnen Ho ab (also nehmen H₁ an) 1) Ho ist wahr, wird also fälschlicherweise abgelehnt. Dieser Fehler heißt Fehler 1. Art (α-Fehler) und beschreibt die Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Wahrsch- einlichkeit für den Fehler 1. Art heißt Signifikanzniveau α. 2) Ho ist falsch denn Hn stimmt, Ho wird abgelehnt -> Sicherheit 2. Art b) Wir nehmen Ho an 3) Ho stimmt und wird angenommen - Sicherheit 1. Ast 4) Ho ist falsch denn H₁ stimmt: Unsere Vermutung (H₂). ist wahr, konnte durch den Test jedoch nicht bestätigt werden, da Ho angenommen wird. Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art (B-Fehler). Diese Wahrscheinlichkeit kann man nicht kontrollieren, da sie unabhängig von der Art des Tests und dem Signifikanzniveau α ist. der - Damit der Fehler 1. Art nicht passiert, muss vor Durchführung des Tests ein Signifikanzniveau a fest- gelegt werden. Je sicherer man sich mit der Entscheidung sein will, desto niedriger die Fehler wahrscheinlichkeit (meist 5%). Notizen: nur, wenn Berechnung für die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art man für die Alternativ hypothese eine andere Wahrscheinlichkeit' als für Ho annimmt. Je kleiner die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler der 1. und der 2. Art, desto besser. -Wichtig: Man kann Ho nie beweisen, sondern nur H₁ ! Hypothesentest mit ○- Regel - Die σ-Regeln beziehen sich auf die Standard normalverteilung. Sie geben an, wie viel % der Fläche unter cler Glock enkurve im Bereich von 1,2 oder 3 Standardabweichungen Links und rechts vom Mittelwest Liegt. - 0,15% -30 -3 2,5% -20 bei x < 0,05 bei 16% -0 -1 Standardabweichung der Binomialverteilung: X~B(n;p) : 0= √n.p. (^-p) 50% 0 x < 0,01: sehr signifikantes Ergebnis 68% 95% 99.7% 84% G 97,5% 20 2 • Ist die Streuung groß genug | LaPlace: 0 > 3), so lässt sich die entsprechende Binomialverteilung durch die Normal versteil- ung annähern und man darf für den Ablehnungs- und Annahmebereich die σ- Umgebung verwenden. 99.85% 30 3 Vorgehensweise 1) Hypothesen Ho und H₁ aufstellen. 2) Entscheiden ob rechtsseitiger, Linksseitiger oder beidseitiger Hypothesentest vorliegt. 3) Erwartungswert berechnen: M = n.p 4) Standardabweichung berechnen: 0= √n. p. (1-P) 5) Vorgegebenes Signifikan zniveau x beachten: α 10% 5% 7,5% 1% Zx 1,28 1,64 1,96 2,33 Achtung: wenn beidseitiger Test, dann gilt za cla sich des Ablehnungsbereich nach links und rechts aufteilt signifikantes Ergebnis, Notizen:

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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Mathematik > Stochastik Hypothesentest = wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachwei- sen möchte. Der Grundsatz ist hierbei, dass wir das Gegenteil widerlegen müssen. Beispiel: Auf dem Oktoberfest werden die Maßkrüge nicht ganz voll gemacht. Wir müssen also widerlegen, dass der Maßkrug tatsächlich mit einem Liter gefüllt ist. - Es stehen sich zwei einander widersprechende Behauptungen (= Hypothesen) gegenüber. Dabei gilt: die Nullhypothese Ho soll geprüft werden und die Gegenhypothese H₁ ist die logische Verneinung von Ho. Die Begriffe sind so zu verstehen, dass geprüft wird, ob H₂ bewiesen werden kann. Ist das nicht der Fall, wird Ho als gültig erachtet. Der Hypothesentest dient also dazu, anhand eines Stich- proben- Ergebnisses zu einer Entscheidung zu kommen, welche der beiden Hypothesen Ho und H₂ angenommen und welche verworfen wird. Wichtig: keine 100%ige Sicherheit, da von eines Stichprobe auf eine Gesamtmenge geschlossen wird. Legende: n = Stichprobenumfang p= Wahrscheinlichkeit M = p⋅n = Erwartungswert - Welcher Test infolge welcher Aufgabenstellung: Beispiel: 30 % lieben Mathe mit Stichproben umfang n = 100 Wahrscheinlichkeit p= 0,3 Erwartungswert M= rechtsseitiger beidseitiger Alternativtest Hypothenusent. Hypothenusent. Hypothenusent. linksseitiger "1 Aufgabenstellung jemand sagt, ob weniger. ob mehr als ob sich die 40% lieben als 30%.." Mathe." 30%... 30% geändert haben. Gegenhypothese H₁ P₁ = 0₁4 | H₁₂P₁ <0,3 H₁P₁0₁3 H₁₁: P₁ = 0,3 Notizen: Aufstellen der Hypothesen Woran erkennt man, was Ho und was the ist? (nicht Alternativtest!) 1) In der H₁-Hypothese steht niemals ein =,= oder ². 2) Beim Worthochstens"...

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(≤) wissen wir, dass das die Ho- Hypo- these kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothe- sentest machen sollen. 3) Beim Wort, mindestens" (2) wissen wir, dass das die Ho- Hypo- these kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothenu- sentest machen sollen. - " 4) Beim Wort, mehr als" oder größer" (>) wissen wir, dass das die H Hypothese kennzeichnet und wir einen rechts- seitigen Hypothesen test machen müssen. 4 Beim Wort weniger als oder kleiner "(<) wissen wir, dass das die H Hypothese kennzeichnet und wir einen links - seitigen Hypothesen test machen müssen. Alternativtest: - Also: rechtsseitiger Signifikan test linksseitiger Signifikanztest: beidseitiger Signifikantest: Ho: P = Po gegen H₂: P = P₁ Ho: P = Po gegen H₁: p > P₁ Ho: P = Po gegen H₁: P < P₁ Ho: P = Po gegen H₁: p= P₁ Testgröße und Stichprobenlänge Das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird (= Anzahl der Eintritte des betreffenden Ereignisses) nennt man Testgröße. Sie wird mit den Zeichen .T", .X" oder .Z' abgekürzt. Bei der Stichprobe handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Die Testgröße ist demnach binomial verteilt. Notizen: Entscheidungsregel: Annahme- oder Ablehnungsbereich Abhängig vom Wert, den die Testgröße in der Stichprobe an- nimmt, wird man die Richtigkeit der einen bzw. der anderen der beiden Hypothesen annehmen. Legende: Annahmebereich A umfasst die Werte zwischen 0 und n, bei denen Ho angenommen werden soll. Ablehnungsbereich A umfasst im Gegensatz zu A die anderen Werte, bei denen Ho abgelehnt werden soll. Entscheidungsregel: Signifikanzniveau & soll die Aussagekraft des Tests sichern. kritischer Wert k Linksseitiger Test: = der Annahme- und Ablehnungsbereich für eine der beiden Hypothesen. rechtsseitiger Test beidseitiger Test Ablehnungsbereich M A = [0₁, k] k A= [0;ik-1] + M Achtung bei Kommazahlen: Man rundet immer nach innen". A = [k+ 1;..; n] к Ā= [k₁, n] кс Kr A=[k₁+1;; kr-1]' A CO,... ki] U [kr...., n] = n Beispiele: beidseitiger Test: k₁ = 54,48 und kr = 78,92 also A = [55;78] › einseitige Tests linksseitig, k= 9,18 also A = C₁0; n] Notizen: Wahrscheinlichkeiten bestimmen Formel: P(X ≤k) = Σ (?).pi. (1-p)^-i i=0 LD bei größeren Werten von k deshalb besser mit GTR - Berechnung mit GTR / CAS: ㄱ Befehl binom cdf (n, p, k) Fehler beim Testen Eine Hypothese kann nie werden. Demnach kann jede Hypothese getroffen wurde, falsch sein. - Es gibt 4 Falle: Ho angenommen Sicherheit 1. Ast Ho falsch Fehler 2. Art -> Berechnet die kumulierten. Wahrscheinlichkeiten der Binomial verteilung Ho wahr zu 100% widerlegt bzw. bestätigt Entscheidung, die auf Basis der Ho abgelehnt Fehler 1. Art Sicherheit 2. Art a) Wir lehnen Ho ab (also nehmen H₁ an) 1) Ho ist wahr, wird also fälschlicherweise abgelehnt. Dieser Fehler heißt Fehler 1. Art (α-Fehler) und beschreibt die Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Wahrsch- einlichkeit für den Fehler 1. Art heißt Signifikanzniveau α. 2) Ho ist falsch denn Hn stimmt, Ho wird abgelehnt -> Sicherheit 2. Art b) Wir nehmen Ho an 3) Ho stimmt und wird angenommen - Sicherheit 1. Ast 4) Ho ist falsch denn H₁ stimmt: Unsere Vermutung (H₂). ist wahr, konnte durch den Test jedoch nicht bestätigt werden, da Ho angenommen wird. Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art (B-Fehler). Diese Wahrscheinlichkeit kann man nicht kontrollieren, da sie unabhängig von der Art des Tests und dem Signifikanzniveau α ist. der - Damit der Fehler 1. Art nicht passiert, muss vor Durchführung des Tests ein Signifikanzniveau a fest- gelegt werden. Je sicherer man sich mit der Entscheidung sein will, desto niedriger die Fehler wahrscheinlichkeit (meist 5%). Notizen: nur, wenn Berechnung für die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art man für die Alternativ hypothese eine andere Wahrscheinlichkeit' als für Ho annimmt. Je kleiner die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler der 1. und der 2. Art, desto besser. -Wichtig: Man kann Ho nie beweisen, sondern nur H₁ ! Hypothesentest mit ○- Regel - Die σ-Regeln beziehen sich auf die Standard normalverteilung. Sie geben an, wie viel % der Fläche unter cler Glock enkurve im Bereich von 1,2 oder 3 Standardabweichungen Links und rechts vom Mittelwest Liegt. - 0,15% -30 -3 2,5% -20 bei x < 0,05 bei 16% -0 -1 Standardabweichung der Binomialverteilung: X~B(n;p) : 0= √n.p. (^-p) 50% 0 x < 0,01: sehr signifikantes Ergebnis 68% 95% 99.7% 84% G 97,5% 20 2 • Ist die Streuung groß genug | LaPlace: 0 > 3), so lässt sich die entsprechende Binomialverteilung durch die Normal versteil- ung annähern und man darf für den Ablehnungs- und Annahmebereich die σ- Umgebung verwenden. 99.85% 30 3 Vorgehensweise 1) Hypothesen Ho und H₁ aufstellen. 2) Entscheiden ob rechtsseitiger, Linksseitiger oder beidseitiger Hypothesentest vorliegt. 3) Erwartungswert berechnen: M = n.p 4) Standardabweichung berechnen: 0= √n. p. (1-P) 5) Vorgegebenes Signifikan zniveau x beachten: α 10% 5% 7,5% 1% Zx 1,28 1,64 1,96 2,33 Achtung: wenn beidseitiger Test, dann gilt za cla sich des Ablehnungsbereich nach links und rechts aufteilt signifikantes Ergebnis, Notizen: