Mathe Leistungskurs Abitur Zusammenfassen

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Abhängigkeiten zwischen den Variablen enthalten. 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Var- iablen abhängt. Angaben des Definitionsbereichs der Zielfunk- tion mögliche Wendestelle 4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Ränder des Definitionsbereichs. Auf Randwerke achten! hinreichende Bedingung (F"(x) f" (0) 60 => wendestelle y-Koordinate: f(0) = 2 => W(012) ro g(f" ( x ) * 0); A: Mit der Seitenlänge x=2 erhält man ein maximales Volumen von 144cm³. 15 GR : C 5 2 G JK 7K Jahr 11 (Q1) » Mathe LK 1.6.Ganzrationale Funktionen bestimmen Strategie zur Bestimmung ganzrationalen Funktion 1. Überlegen, welchen Grad n die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n+11 Para- metern notiert. f(x) = ax²+bx+c 2. Aufstellen geeigneter Gleichungen mit f,f' und f" aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man min. n+1 Gleichungen. 3. Lösen des linearen Gleichung systems 4. Funktionsgleichung notieren und kontrollieren. S.32 Nr. 1a) Gleich setzen: => a-b-1=0 1 a+b-1=0 A Bedingungen: 1. A(-110) € Gf => F(-₁) = 0 => a. (-1)² + b⋅ (-1) + C =0 2. B(0-1) € GP => f(0) = -1 => 0·0² + b⋅ 0 + C +-1²-1 3. C(110) € G₁ => f(₁) = 0 => a: 1² + 6·1+ C =0 ^ A a-b-1=0 20 -2=0 1-6-1=0 a = 1 einer 6=0 a = 1 => F(x)=x²-1 X-2a M^ªI 1] 1+21:2 1. (-^) <> D 1.7. Funktionen mit Parametern und untersuchung Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswest fa(x) zuortnet. Die Funktionen fa bilden eine Funktionsschar E(x)=x²+ax+a Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionsschar hängen häufig von dem Parameter ab. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl behandeln. 1.8.Ortskurve Für fa (x)=x²-x² (mit a>0) gilt Ta (2a1-1/a²) Schritt 1: X-Koordinate des Tiefpunktes nach dem Parameter umformen. Schritt 2: Einsetzen das Terms in die y-koordi- nate des Tiefpunktes y--²--²-1 2 Alle Tiefpunkte liegen auf dem Graphen der Funktion mit g(x)=-1x² g rọ Go : C 5 c JK 7K Jahr 11 (Q1) » Mathe LK (=> <=> x²(a2-a₁)= az-a₁ x²=a2-a₁ a₂-an 1.9. Gemeinsame Punkte einer Funktionen Schar mit fa(x)= x³-ax²-x+a Aus fan(x)=fa₂(x) (a₁ + a₂) folgt: x³-a₁x²-x+ a₁ = x³-a₂x²-x+Q₂ -anx²+₁ = -a₂x²+A₂ a₂x²-a₁x²-a₂-a1 FX--1 V X₂1 F(-1)=0 => S₁ (₁10) f(1) = 0 => S₂ (110) => Ergebniss darf nicht von a 2. INTEGRALE 2.1. Das Integral Untersumme F(x)=x 1 U₁=40² +4 ()²¹+4 ()²¹ 4·(Z)² ~0,2188 Das Integral f(x) dx F(x) ↓ F'(x) => für F(X) 2.2. Bestimmung aufgeleitet (f(x) x² f(x)dx= F(b)-F(a) abhängen F(x)= Stammfunktion. Ї Aufleitung Ableitung genauer X 1 F(x) x²x²x 3 2 M^ªI *-**-* Wert <> 1-x³+x 1-a₁ + a₂x² 1: (a₂-an) FS Obersumme ACXX כו 1 4 4 G Ou= · ()*+ (²)² + (2) ¹+ ².1² ≈ 0.4688 von Stammfunktionen Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung x-1 +²2² Sin(x) cos(x) -tv. -cas&x) Sin(x) 15 Jabgeleitet GR : C 5 2 JK 7K 2.3. Integral und Flächeninhalte Flächeninhalte zwischen dem Graph einer Funktion f und der x-Achse: 1. Man bestimmt die Nullstellen von f auf [a,b] 2. Man untersucht welches Vorzeichen f(x) in den Teil- intervallen hat ->liegt die Fläche im negativen Bereich müssen Betragsstriche gesetzt werden! 3. Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie. Flächeninhalte zwischen den Graphen zweier Funktionen fund g: wenn f(x) = g(x) b A= (f(x)-g(x))dx ->wenn nicht bekannt ist welche Funktion größer ist müssen Betragsstriche gesetzt werden 2.4. Regeln beim Rechnen mit Integralen Ⓒfare... Score f(x)d F(x) dx F(x) dx+ f(x) dx = - f(x)dx C-f(x) dx = C. обскани босила сбестни off h(x)dx 2.5. Integralfunktionen Integral funktion: Ju(x)=f(t)dt »- freuse Eine Integral funktion ist J₁x mit J₁(x)= lim SU SEAN. [30 2.6. Uneigentliche Integrale Ist die Fläche endlich oder wächst sie immer weiter? Null und es kommt ein 8-18 endlich: Der Parameter geht gegen bestimmter Wert raus - Sere bin. Le 1 .[ex. = =e°-eª lim 81116 • [¾t³] x = ¾×²- € = 1- eª = A von f mit f(x)=x² zur unteren Grenze 1 V=JT. - unendlich: Der Parameter läuft La läuft gegen Null SIG=-=-11 (Sex-1)dx= [-5e²*-x] =∞ gegen --Sẽ -O-(-sea-a) -5-(-se--a) 2.7. Retationskörper Volumen eines Rotationskörpers: = √((-)" d dx -∞0 oder ∞ Lyläuft gegen -00 2.8. Mittelwerte von Funktionen m= f(x) dx -SFONDIX 3. EXROMENTIAL FUNK FLOMEM 3.1. Wiederholung: Exponential funktionen F(x)=ca* (Exponential funktion) Wenn: -a> liegt eine exponentielle Zunahme vor -a<^ liegt eine exponentielle Abnahme vor Zum lösen einer Exponentialgleichung ax=b (9,6>0) nutzt man den Logarithmus ax=b x = loga (6) <=> (sprich: Logarithmus von 6 eur Basis a) 3.2.Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung e≈2,71828 f(x)=e* (natürliche Exponential funktion) ↓ f'(x) = ex ↓ F(x)= ex Ilog 3.3. Natürlicher Logarithmus-Ableitung von Exponential funktionen natürliche Logarithmus=In Lo wird ex=b <=> x = ln (6) Ableitung ableitung zum Lösen von natürlichen Exponential gleichungen genutzt Regeln des natürlichen Logarithmus: (n(6) в 2 (n(e) = C von Exponentialfunktionen: In(a). X · f(x) = ax = e²^² "f'(x)=(n(a). - -In(a). a* F(x)=(a) enca)x= Incas at (n(a).x e aufleitung 3.4. Exponential funktionen im Sachkontext -Exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme = ein Bestand nimmt einen gleichen Wachstumsfaktor a zu Oder ab. - Bestand zum Zeitpunkt t: F(t) = f(0) at - Ableitung: Wachstumsgeschwindigkeit 3.5. Beschränktes Wachstum Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranks und dem Bestand zum Zeitpunkt & exponentiell litnehmen. f(t)=s.c.at C=S-F(0) Ableitung 3.6.dogarithmusfunktion und Umkehr funktion Eine Funktion f heißt umkehrbar, wenn es zu jedem y aus der Wertemenge von F x aus der Definitionsmenge von f mit f(x)=y gibt. F(x) (Umkehrfunction) f(x)=e* -> 4.2. f(x) = (n(x) ↓ f'(x) = bew. f(t)= S-C.eht k= (n(a) F(x)-In(x) ↓ natürliche Logarithmus function der natürlichen Logarithmusfunktion: u Quotient: V Verketting: 4. ZUSAMMENGESEetzte Funktionen mmengeset 4.2 Produk 4.1. Neue Funktionen aus alten Funktion: Summe, Produkt, Verkeltung u(x)= x² +1; v(x)= x-2 Summe: Utv mit (u+v)(x) = u(x)+v(x)=x²+ X-1 Differenz: U-v mit (u-v)(x)= u(x)-v(x)=x²-x+3 Produlet: U.V mit (u.v)(x)=u(x). v(x)=(x²+1)-(x-2) (~)(x) = u(x) :uov mit (uov)(x) = u(v(x)) = (x-2)²+1 F(x)=(n(x) ↑ f(x)=1/ mit mit U(X)_x²+1 X-2 Potenzgesetze a as arts "a²:a²= ar-s -a²· 6² = (a⋅6)" -(ar)s = ars (v(x) muss=0 sein) genau ein 4.2. Produktregel f(x)= u(x). v(x) F(x)= u(x f'(x) = u(x) · V(x)+ u(x) · v²(x) 4.3. Kettenregel f(x)= u(v(x)) f'(x)=u'(v(x)) v'(x) 4.4. Unter: Für x-> ∞ gilt für ne №: ersuchung von zusammengesetzten Exponential functionen ² = x². e*-> 0 Für X->-∞ gilt für gerade n EN: x^. ex-> 0 und = x^. e* ->∞ Für X->-∞ gilt für ungerade n EN: x^. e*->0 und ein = x^. e-*->-∞ (n(x) 4.5. Untersuchung von zusammengesetzen Logarithmus funktionen Für x->0 gilt für ne N₁ n » 1 : x^. (n(x) => 0 und (CA). • gilt für nEN, n²1: x^. Ln(x)-> ∞ _n(x) Für x→∞ und xe- 0 5.1.Punkte und Vektoren im Raum * X₂ à'= EXA A(x1x₂x3) analytische Gedmetele ден 5. GERADEN => Punkt und X₂ => Vektor X3 ->18 -> 0 Abstand zweier Punkte: AB=√(b₁-an)²+(b2-G₁₂) ²+ (b₂-a3)²² Koordinaten des Veltors AB: b₁-an AB-6₂-0₂ 63- as Betrag (= Länge eines Vektors: Tal-√²+₂²¹ + a₂²¹ eines Vektors) Kollineare Vektoren: 2²= (-²5) und 6 - (-40) 5.2. Geraden x=p+ru p=> Stützveltor/Ortsvektor ữ = Richtungsvektor Spurpunkte: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen X₁: S(01X₂1X3) X₂: S(x101x3) X3: S(x₁1x₂10) ja Die Geraden und h sind identisch 9. 5.3. Gegenseitige Lage von Geraden ja/ der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h? Sind kollinear, da 2·à²=b² Werden in die nein Sind die Richtungsvektoren kollinear/parallel zueinander • gleichung eingesetzt Die Geraden gund h sind zueinder parallel nein Hat die Gleichung p+ru='+s eine Lösung? ja/ Die Geraden g und h schneiden sich nein Die Geraden und h sind windschief 18 5.4. Skalar produkt 6₁₁ b₂ 63 - wenn Shalar produkt = 0 => Orthognalitat a²15² wenn Skalarprodukt #0 => Winkel berechnen. 4 a. 181 161 an a.b=a₂ a3 cos (α)= 6.FRENEM benen 4 -1 1 S-31 6.1. Das Gauß-Verfahren 1. Man bringt das lineare Gleichungssystem durch Äquivalenzumforumgen auf der Stufenform schrittweise nach den Variablen Xnj...jX₂jX₁ 2. Man löst die auf. Gleichung (S.208 Nr. 7a) X₁ X₂ X3 -1 7-1 7 -1 5 027-3 5) 1.430 1.570 1 -^ ab₁+ a₂ b2+ a3b3 0 32-4 24 1-17-115 -Matrix form(Normale form auf möglich) 21 1-(-) 027-3 21 10 0-3 1-3, X3-0 X2=11 X3=2 6.2. Lösungsmengen von Gleichungssystemen 1. Das Gleichungssystem hat genow eine Lösung => Die Geraden schneiden sich 2. Das Gleichungssystem hat keine Lösung => Die Geraden sind echt parallel oder windschief 3. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen =>Die Geraden sind identisch. 6.3. Ebenen im Raum- Parameter form x=p+ru+sv Stützvektor: p Richtungsvektoren: v 7. ABSTÄNDE UND WIEL winkel 7.1. Kreuzprodukt (bestimmen von Normalenvektoren) b₁ :))-( = ẩ xổ lazx a₁ Q₂ ba b2 7.2. Normalengleichung und Koordinatengleichung Normalengleichung: E: (x-p) •²-0 Koordinatengleichung E: M₁²X₁ + ₂X₂ + N₂ • X3= n²•P² az 63-a3b2 a3b₁-a₁b3 1a₁b₂-a₂-b₁ 7.3. dagebeziehung Gerade - Ebene P₁ g:x²= | P² | + t. P3 U₁ U₂ U3, Falls die Gleichung a. (p₁+t-U₁)+b. (p₂+t-U₂) +C⋅ (ps+t· U3 )=d... Wenn die Gleichung p²+t·²-a²+r·v+s.w... Betrag und E:ax₁+bx₂ + cx3=d "=p²+t⋅n² -... genau eine Lösung -... keine Lösung hat => echt parallel (2. B: 7=3) -... unendlich viele Lösungen hat => g liegt in E (2. 13:33) hat => schneiden sich (₂.B: E= 1) 7.4. Abstand Punkt-Ebene 1. Lotfußpunkt-Verfahren ->geeignet für Koordinaten form P(palpalp3); E:n^x^+n₂x²+n₂x3=d 1. Aufstellen einer Geraden der zu E orthogonalen Geroden g 2. Lotfußpunkt f bestimmen (grE) 3. PF (d= IPFI) durch P. 2. Hesse' sche Normalform ->geeignet für Normalen form Rralrals); E:(x²-p²) ·ñ³²-0 1. Normalform in Hesse' schanormalform umwandeln E: (x-p) •ñ=0 <=> E. (x³²-p²²) • nº-0 1 'n ²²=1n²³² n² 2. Abstand mit Betrag berechnen. d(RE)-1(-p) .l 3. Abstandsberechnung mit dem Spotprodukt ->geeignet für Parameter form R(rralra); E:x²=p²+ru+s· v 1. Mit der Formel berechnen 1(xv). PRI lüx vl d= Lo Normalenvelitor 7.5. Abstand Punkt-Gerada 1. Hilfsebene -> Lot fußpunktverfahren R(malr₂lra); g:x²=p²r² 1. Hilfsebene, die senkrecht zu g verläuft und den Punkt E: (x²-p). u=0 2. Schnittpunkt F von vong 3. Abstand Pzu F entspricht dem Abstand des Punktes P zur Geraden g d(P; g) d (P; F) und E ermitteln 2. Abstandsberechnung mit Parallelogram lux API d (Pig)=- lül enthält 7.6. Abstand wind schiefer Geradan g:²p²r; hx²= a₁ +5 V² 1. Man erstellt eine Hilfsebene, die den Vektor uxu als Normalenvektor besitzt und eine der beiden Geraden (g und h) enthält. E: (x-P)•n-O 2. Der Abstand des Ortsvektors der anderen Gerade w dieser Ebene entspricht dem Abstand der wind schiefen Geraden d(g; h) = 1 (²-p²)-1 7.7. Schnitwinkel 1. Gerade - Gerade: α=cos^ 2. Ebene-Ebene α-cos 10². 1 Tul·| ²1 α=sin^ 3. Gerade-Ebene Iñ• n²l √nal n₂1 In • ul Vni lữ t stochastik 8. WAHRSCHEINLICHKELT statistik makesch P(E)= 8.1. Grundlagen La Place-Experimente: Zufallsexperiment, bei dem alle Ereignisse gleichwahrscheinlich sind. Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse Gegenereigniss E: 1-PCE) Mehrstufige Zufallsexperimente: Es handelt sich um Das Baumdiagramm: Ereignisse, die durch mehrmaliges Wiederholen berechnet werden. •B P(ANB) PA) A< 1 PCBP(ANB) PCA) A PBB PCAMB) Jagikl PA (B) →B P(ANB) Zu finden: P(A); P(ANB); PA(B) Vierfelder Tafel: chkeit A A BPCANDY PAB) PCB) BP(ANB) PANE) P(B) PCA) PCA) 1.Pfadregel. Entlang eines Zweigs wird multipliziert 2. Pfadregel: Beim Sprung von Zweig zu Zweig wird addiert Bedingte Wawacheinlichkeit Ganze Wahrscheinlichkeit zu finden: PCA); P(B); PCA (B) Zufallsgröße Be und Erwahrtungswert: Zufallsgröße: Die Zahlenwerte, die den Elementen der Ergebnismenge zugeordnet sind Erwartungswert: Die Zahl, die die Zufallsgröße X im Mittel annimt Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt zuvor A eingetreten ist. Also unter der Bedingung PA (B) = P(ANB) P(A) Zählstrategien 7!= 7.6·5·4·3·2·1=5040 n! (~)-(²²1-4² - ( 2 )= -² ₁-5: -² 7! > 21 (n-W)!.4! 2!·5! 8.2. Kenngrößen Mittelwert: X = (X₁+ X₂+ X3 +...+Xn) Standartabweichung: s=√(x₁-x)+(x₂-x)+...+(Xn-X) 8.3. Erwartungswert und Standartabweichung von Zufallsgrößen M= X₁² P(x= x^) + X₂· P(x=x₂) + ... + Xn² P(x=xn) 5=√(x₁~µ)²· P(x=x₂) + ... + (x₂ −µμ)² · P(x= x₂ )' 8.4. Bernoulli-Experimente, Binominal ve P(x=r) - Bhjp(r)= oder. alverteilung ·pr. (^-p) ^-^ Bei mehreren Zahlen mit dem Summenzeichen arbeiten. P(x«r ) - Σ Brip(u)= (2).p².(^_-pynu k=0 konstante Werte für n und p Nur ganze Zahlen für X мепр o = √n⋅p. (1-p) Vorausetzungen - Die Ergebnisse müssen unabhängig voneinander sein Es darf entweder ner Treffer oder Niele" vorkommen. A. Zufallsgröße und Erwahrtungswert: Zufallsgröße: Die Zahlenwerte, die den Elementen der Ergebnismenge zugeordnet sind Erwartungswert: Die Zahl, die die Zufallsgröße X im Mittel annimt Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt zuvor A eingetreten ist. Also unter der Bedingung A. PA (B)= Zählstrategien 717·6·5·4·3·2·1=5040 (~) - (m. ²² (²) n! 8.2. Kenngrößen Mittelwert: P(ANB) P(A) X = (X₁+ X₂+ X3+...+Xn) Standartabweichung: S-√(x₁-x)+(x₂-x)+...+(Xn-X) P(xer)= 8.3. Erwartungswert und Standartabweichung von Zufallsgrößen M= X₁² P(x= x^) + X₂ - P(x=x₂)+...+Xn P(x=xn) o = √(x₁-µ)²· P(x=x₁) + ... + (xn-μ)². P(x= x₁) ² 8.4. Bernoulli-Experimente, Binominaly P(x=r ) - Bajp(r) (2)-p². (^-p)^-r oder. 7! 21-5! 0,09+ 0,08 K-O 0,07 0,06- 0,05 0,04 0,03 0,02- 0,01+ 0- 30 21 Vorausetzungen - Die Ergebnisse müssen unabhängig voneinander sein - Es darf entweder nur „Treffer oder Niele" vorkommen. - konstante Werte für n und p - Nur ganze Zahlen für X Sigma-Regeln: 1. P(u-osxsμ + o) = 68,3% 2. P(u-20sXsμ +20) = 95,4% 3. P(u-30SXsμ +30) = 99,7% 4P(X-k) 95,4% Bei mehreren Zahlen mit dem Summenzeichen arbeiten Brip(u) = (ů). ph. (1-p) Sigma-Regeln Für eine binomial verteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungs- wert μ = np und der Standardabweichung o = √n-p (1-p) erhält man folgende Näherungen: 35 -30 40 -20 nalverteilung 68,3% …………. 45 мепр o-=√n.p.(1-p) -10 4. P(-1,640 X su + 1,640) = 90% 5. P(u-1,960 Xsu+1,960) = 95% 6. P(u-2,58 os X su +2,580) 99% 99,7% 50 10 55 n-100 P-0.5 20 60 30 65 Anzahl k 70 Fig. 2 8.5. Hypothesentests Q2 M Testart Linksseitiger Test Ho:p Poi H₁: p < Po Ablehnung von Hofür zu kleine Stichprobenwerte Rechtsseitiger Test Po Ho: p ≤ Poi H₂:p> Po Ablehnung von Hofür zu große Stichprobenwerte Zweiseitiger Test Po Ho: P = Poi H₁: P = Po Ablehnung von Hofür zu große oder zu kleine Stichprobenwerte Alternativtest (linksseitig) PI<Po Po Pi Pi gl Ho:p Poi H₁: p < Po Ablehnung von Hofür zu kleine Stichprobenwerte Alternativtest (rechtsseitig) Po Pi Ho: P ≤ Po; H₁:p> Po Ablehnung von Hofür zu große Stichprobenwerte Übersicht Entscheidung: Die Hypothese Ho wird... Verschiedene Testarten Bestimmung des Verwerfungsbe- reichs bei vorge- gebenem Signifi- Signifkanzniveau: a = 5% kanzniveau a: Gesucht ist die größte natürliche Zahl g mit P(X ≤ g) ≤a. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl g mit P(X ≥ g) ≤a. Gesucht ist die größte natürliche Zahl g, mit P(X≤gì)<; und die kleinste natürliche Zahl gr mit P(X ≥ gr) ≤ a Gesucht ist die größte natürliche Zahl g mit P(X ≤g) ≤a. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl g mit P(X ≥ g) ≤a. Bestimmung des Verwerfungsbereichs mit dem GTR Stichprobenumfang: n = 100 Trefferwahrscheinlichkeit: p = 40% P(X ≤ g) ≤ 0,05 GTR ⇒ P(X ≤ 31) = P(X32) B100:0.4(k) 0,0615 ⇒g = 31 Verwerfungsbereich: V (0; 1;; 31} GTR ⇒>> P(X ≤ 47) = P(X ≤ 48) = Ō P(X ≥ g) ≤ 0,05 P(X ≤g-1) ≥ 0,95 B100:0,4(k) 0,0398 k=0 k=0 .. abgelehnt g-1=48 9 = 49 Verwerfungsbereich: beibehalten B100:04(k) 0,9362 B100:0,4(k) 0,9577 V = {49; 50;...; 100} Vorgehensweise wie beim linksseitigen Test: P(X ≤ g) ≤ 0,025 liefert g₁ = 30, also {0; 1; ...; 30} Verwerfungsbereich: V = {0; 1; ...; 30) U (51; 52;...; 100} Vorgehensweise wie beim rechtsseitigen Test: P(X≥ gr) = 1- P(X ≤ gr-1) ≤ 0,025 liefert gr = 51, also {51; 52;..; 100} invBinom(0.05,100,0.4,1) [31 0.039848 [32 0.061504] inv Binom (0.95,100,0.4,1) 47 0.936211 48 0.957699] vgl. linksseitiger Test vgl. rechtsseitiger Test Ho wahr Zustand der Wirklichkeit Fehler 1. Art Richtige Entscheidung Ho falsch Richtige Entscheidung Fehler 2. Art 8.6. Mindestens-Hindestens-Hindestens Aufgaben p=0,04 P(x>^) >0.9 <=> P(x=0) < 0,1 0,96" < 0,1 n.lg (0,96) < (g(0,1) 1:(g(0,98) 49(0,1) n> n> 56,4 (=> (=> n. <=> Yμ₁0 (x) = O√27 →> wenn x>, / => inv Binom N( ) wird wird in dem fall so Ilg a 9. Stetige Zufales großen-normalvektellung постаек 9.1. Analysis der Gauß'schen Glockenfunktion -(x-μ)² H (μl) W (μ²O- |e²²) (ntol e 9.2. Normalverteilung Por P(axx<b) = μ₁0 (x) dx a-0,5 P(arxxb) Pia(x)dx Als Annährung für binominal Verteilung: a+0,5 PCX<400,A |Für n=187: P(XK4)=ŽB497; 0,04 (1) 01, 10.20 Für_n²/98: P(x<4)=ŽB138; 0,04 (6)~0,0996 => =>klappt ner wenn σ×3 geschrieben n> 188 9.3. Gütefunktion und Operationscharakteristik | Gütefunktion Wir bezweifeln eine angeblich vorliegende (größtmögliche) Wahrscheinlichkeit von p = 20% Wir bezweifeln eine angeblich vorliegende (größtmögliche) Wahrscheinlichkeit von p = 20% (z. B. verminderte Qualität in einer Lieferung, Wähler einer bestimmten Partei) und vermuten eine wesentlich höhere. Unser Interesse ist diese Vermutung zu belegen. Hierbei ist indirekt vorzugehen, d.h. es ist ein Bereich zu finden, der für die Wahrscheinlichkeit von p = 0,2 gänzlich unwahrscheinlich ist. Wenn dann das Stichprobenergebnis in diesen Bereich fällt, können wir mit gutem Gewissen p = 0,2 und dann auch p ≤ 0,2 als widerlegt ansehen. Natürlich können wir uns hierbei irren. Wir wählen den Stichprobenumfang n = 20 und erlauben uns ein Irren in 5% der Fälle. Sprechweisen: Mit einem Signifikanztest soll die Nullhypothese Ho: p= 0,2 (genauer: Ho: p≤ 0,2) auf dem 5%- Niveau getestet werden. Es wird eine Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau 5% gesucht. Die Gegenhypothese lautet H₁: p > 0,2. 0,1 Gütefunktion " 8 9 Ablehnungsbereich K 10 Der Fehler 1. Art, d. h. die Irrtumswahrscheinlichkeit (die Hypothese p = 0,2 abzulehnen, obwohl sie richtig ist) beträgt a = 3,21%. p= 0,2 Um die Güte des Tests zu beurteilen, untersuchen wir für verschiedene angenommene p, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Testergebnis in den kritischen Bereich K fällt. Die Funktion g(p) = P(K) heißt Gütefunktion. Interpretieren Sie ihren Verlauf. Wie können die Fehler 1. und 2. Art der Grafik entnommen werden? Gütefunktion Nun variieren wir den Stichprobenumfang n. Der kritische Bereich ist von n abhängig. Der Test bleibt auf dem 5%-Niveau. P = 0,2 p= 0,2 Die Gütefunktionen sind für n = 20, 40, 100, 500 gezeichnet. Interpretieren Sie die Grafik. Gib es einen besten Test? Wie verläuft die Gütefunktion eines zweiseitigen Tests? 19 20 n=20 P(X28) für p = 0,4 Mit einem Signifikanztest soll die Nullhypothese Ho: p= 0,2 auf dem 5%-Niveau getestet werden. Die Gegenhypothese lautet H₁: p = 0,2. Der Ablehnungs- oder Verwerfungsbereich K besteht nun aus zwei Bereichen, in die die Testgröße X jeweils mit einer (maximalen) Wahrscheinlichkeit von 2,5% fällt. 0,1 Gütefunktion eines zweiseitigen Tests K p=10 Interpretieren Sie die Grafik. Ablehnungsbereich K 20 Die Gütefunktionen sind für n = 20, 50, 100, 200, 500 gezeichnet. Interpretieren Sie die Grafik. p = 0,2 P = 0,2 p= 0,2 n = 50 n = 20 50 Gütefunktion Fehler 1. und 2. Art Die Nullhypothese Ho: p ≤ 0,2 wird auf dem 5%-Niveau getestet, n = 20. Für X ≥ 8 wird die Nullhypothese verworfen. Wahrscheinlichkeiten, die einen Für p > 0,2 ergeben sich die Fehler 2. Art als Differenz der Funktionswerte zu 1, 3 = 1-g(p). Die Gütefunktion des Tests 0,2 Wahrscheinlichkeiten, die einen Fehler 1. Art erzeugen. Fehler 2. Art erzeugen. Für p ≤0,2 ergeben sich die Fehler 1. Art direkt als Funktionswerte der Gütefunktion, a = g(p). Diese Fehler werden für p = 0,2 maximal, a = g(0,2)=3,21%. Zusammengefasst (Notation etwas geändert): Für einen Test sind die Nullhypothese Ho, der Ablehnungsbereich A und der Nicht-Ablehnungsbereich A gegeben. Die Operations-Charakteristik (OC) des Tests O(p) = P₂(A) (= 1 - G(p)) gibt den Fehler 2. Art in Abhängigkeit von p an. 0,4 9(p) B für p = 0,4 G(p) = P₂(A) 0≤p ≤ 1 gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ablehnen der Nullhypothese in Abhängigkeit von p an. 0≤p≤1 Roolfs 4 Der OC-Graph entsteht aus dem Graphen von G(p) durch Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung um 1 in y-Achsenrichtung. Mit diesen Funktionen werden Fragen zum idealen Test, zur Verfälschtheit und zur Trennschärfe eines Tests untersucht.