Grundlagen der Binomialverteilung und Sigmaregeln
Die Binomialverteilung ist ein fundamentales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl von Erfolgen in einer festgelegten Anzahl von unabhängigen Versuchen, bei denen jeder Versuch nur zwei mögliche Ausgänge hat: Erfolg oder Misserfolg.
Definition: Die Binomialverteilung wird durch zwei Parameter charakterisiert:
- n: Anzahl der Versuche
- p: Wahrscheinlichkeit für Erfolg bei einem einzelnen Versuch
Die Binomialverteilung Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen in n Versuchen lautet:
PX=k = nu¨berk * p^k * 1−p^n−k
Für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge, wird die Summenformel verwendet:
PX≤k = Σ voni=0bisk nu¨beri * p^i * 1−p^n−i
Highlight: Die Verwendung eines CAS Computer−Algebra−System oder Taschenrechners kann die Berechnung der Binomialverteilung erheblich erleichtern.
Die Sigmaregeln bieten eine praktische Näherung für Wahrscheinlichkeitsintervalle um den Erwartungswert μ = n*p einer binomialverteilten Zufallsgröße X:
- Pμ−σ≤X≤μ+σ ≈ 68,3%
- Pμ−2σ≤X≤μ+2σ ≈ 95,4%
- Pμ−3σ≤X≤μ+3σ ≈ 99,7%
Example: Bei einem Signifikanzniveau von 5 Prozent gilt:
Pμ−1,96σ≤X≤μ+1,96σ ≈ 95%
Diese Regeln sind besonders nützlich für schnelle Abschätzungen und die Interpretation von Stichprobenergebnissen im Kontext der Grundgesamtheit.
