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Integralrechnung

22.2.2022

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Integralrechnung
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berechnet Flächeninhalte unter / zwischen
Einfaches Beispiel.
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Integralrechnung Man 5 2 berechnet Flächeninhalte unter / zwischen Einfaches Beispiel. 5 m/t N/t51 داء FORMEL: (Integral A₁ ·N+ 5 Ober- & Untersummen. Integral zeichen? I von a bis b) Functionsgleichung → untere Grenze (Weinere Zahl) f(x) = flw f|s X 1 Jex) dx Obersummen a 3 =√x A₁ = f(x) → Untersummen obere grenze (größere Zahl) dx. 10. mehreren Graphen. x dx √ fcx) dx Integralvariable → aufteilen' 3 ausrechnen: 3 1x dx werden wenn 11 Werte der Ober- & Untersummen nähern sich immer weiter an, lim 83∞ 21 je mehr dieser Summen. (die Rechteche) verwendet werden. ↳ werte sogar man gleich, Rechtecu benutzt 2 U₂ 2 + + exaxt viele Rechteche 3.28 lim 3480 O, Hauptsatz der Differenzial-& Integralrechnung Für eine stetige function auf dem b F(a) Beispiel: f(x) dx → F(x) = 10 10 [2x dx = [X] 5 10 F(x) stammfuntition 100 ableiten Stamm function 75 3 f(x) = 2x² + 3x = F(b) aufleiten Stamm funktion ist eine beli bige stammfunction Bilden der Ableitungen und 2 - 4x Hochzahl + 1 die Zahl vor dem x durch die neue Hochzahl teilen Stammfunktion - 5 25 - am Ende hann noch. eine mögliche variable. dran stehen I k 2 fixi Ufunution Stammfun litionen: ableiten Intervall [a b] gilt: einsetzen der Grenzen in F(x) (= Stammfunktion) Laufleiten! Stamm function Funktion f(x) = 2x² + 3x -4 f'(x) 1. Ableitung -cos →>>> л. Ableitung f'(x) = 4x + 3 →Hochzahl sin 5-sin vor cos ولے - 1 vorherige Hochzahl wird mit der Zahl x multipliziert k = jede belibige Zahl; verschiebt Fcx) nach aben /unten; Function bleibt gleich Integral berechnung mit Hilfe der von a bis 6 Integral • f(x) X 3 1. Schritt: Werte einsetzen & aufschreiben 0 2. Schritt : 4 dx 3. Schritt : = [4**] 0 Stammfunlition bilden & Grenzen hinter den Klammern eintragen Beispiel: = (4.6") - (4.a) erst (die größere Zahl) b, dann (die Weinere Zahl) a in die Stammfunlition einsetzen → F(b) - F(a) Schitt ausrechnen техкалудаете Stammfunktion. W(t)= 0,005+² +0,1t Stamm funktion: Aufgabe 3: Die Wachstumsgeschwindigkeit (in einer Fichte wird in den ersten 60 Jahr Jahren näherungsweise beschrieben durch w(t) = 0,01t+ 0,1 (t in...

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Jahren). a) Berechnet, wie hoch die Fichte nach 60 Jahren ist. b) Berechnet, in welchem Alter die Fichte eine Höhe von 12 Metern erreicht. W(60)= 0,005 66² + 0,1·60=24 w(o)= 0 c) Recherchiert im Internet nach dem Wachstumsverlauf von Fichten. Haltet ihr das Modell zu diesem Wachstum für realistisch? Begründet. A: De Fichte ist nach 60 Jahren 24m hoch. 60 = 100₁+ +0,₁1 dt = [0,005€ ² +0,14] - 0,005 66² +0,1·60 - 0,005 0² +0,1-0 24 [m] b) Qoost² +0, it t² + 20€ ²+206-2400 t₁₁2 2 => ₁ = 0 -20 ± √(20)² + 2400 = -10=√√ 2500 -1050 = 40 12 2400 1:0,005 1-2400 1pq-Formel t₂ = -60 4 wichtige stammfunutionen (auswendig lernen). Ausgangsfunktion f(x) = 1 f(x) = x f(x) = x² f(x) = √x = x² f(x)=√xm=x7² f(x)==x-1 f(x)==x-² f(x) = 1 = x² f(x) f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) Umschreiben von Beispiel: f(x) F(x) f(x) = = x² + 2x 5. X -3 ^ 2 X -2 fex), damit 6x² +2 x 3/3 3x² X man -4 f(x) = 2x² = 7x 2 X xaben ab 3 - 21 x 1:3 zient 1-5 → F(x) bilden → F(x) = x 80, wie im 1. & 2. Bsp. F(x)=x² F(x)=x² F(x) = x F(x) = man besser F(x) n +1 F(x) = -x-1 F(x) = - - x-3 F(x) = -cos (x) F(x) = sin(x) f(x) m •xn+1 J(x) f(x) F(x) Stammfunktion bilden hann. = = x (x + 1)→ Klammer x4 auflösen x + x +^ -2 x X →80 wie im 1. Bsp. + x ·3 -2 Funktionen zusammenfassen $(2²+5]) ax + ${\x²+3) ar 3) dx dx $(26-2-23) dx + 8 (5²-3) dy 7) nur Grenzen sind →>>> → Funktion ist gleich man kann es zusammenfasser mit der den zusammengefassten Grenzen und →>> gleiches Integral aber andere Funktion Zusammenfassen, 4 S (3x² + 5x) dx (a+sx)6 →>> 3 1 4 unter gleichem Integral wenn eine Zahl davor Zahl Version mit der = : stent jo. +3 = ^ 0 unterschiedlich dx gleichen Funktion (6x² + 15x) dx 2x + 7 + 5x² −7) dx (5x²+2x) dx Funktion unter gleichem Integral 4 = √(3x = A (3².5x) dx - (2x² + 5x) dx 4 S (x²) dx zusammenfassen (nier: 1x...), dann die zusammengefasste multiplizieren (jede einzelne Zahl mal die davor ) Flächeninhalte zwischen Graph & x-Achse 1. Beispiel: y a 2. Beispiel. a 3. Beispiel b Betragstriche werden erst am Ende, aufgelöst" (wenn man das Ergebnis Iraus hat : a b Betragstriche werden um eine Gleichung geschrieben, wenn der Flächeninhalt / der Graph unter der x-Achse entlang läuft f(x) f(x) S f(x) b A A = bestimmen: b | I foxs a f(x) dx 5 - fex) a - [ f(x) andere Möglichheit: f(x) dx f(x) dx dx / Betrag ↳aus negativen Ergebnissen werden positive (L> positive Ergebnisse bleiben positiv · | (2) | |(100) | A = $ feel dx + | √ Jeas dx | Jex) de 1. Schritt • Nullstellen bestimmen = S 2. Schritt: entlang ver 2 100 (exeo • Intervalle bestimmen (bei vzw) = a bis S & S bis b • Betragstriche um das Intervall I was unterhalls des x-Achse rläuft 3. Schritt: • normal ausrechnen Betragstriche am Ende aufloren Beispielaufgabe A = 2. Schritt : A₂ a= -2 • √(x²-x) dx S ( -2 0 ·•| f (x²-1)dx | = "1 3. Schritt: A = √√(x²-₁) dx + ۰ -1 A₂ -2 b=0 t/m +/m 6/m 틀 2 A = Z 1 fcx) = x² 1. Schritt: A₁ + A₂ -1 f(x) 2 X X x^ x2 |$(x²-a) del 3 3 = [ ³×² - - ] + [ 3 × ³ -- ] | [3 X X -X -2 - (^²-^(-₁)² - (-~^)) - (3₁ (-2³²- (-2)) + ((7.0² -0) - (§· (~^)² - (-~)| F A = √(x²-₁) dx + -2 ^ = ol+ ^/=√¹ -1 + = ^ + 1 0 |$(²-1) | -1 macht nu Sinn W/N i WIN = auflösen der Betragstriche Flacheninhalt a berechnen zwischen A 2. Schritt. A 1. Schritt : man gucht welcher graph L> Später f(x) g(x) b zusammen A= f(x) 3. Schritt: · g(x) man schreibt die Rechnung • Hier: b √ Jex) dx ingefasst zwei Funktionsgraphen : → es ist nicht wichtig, dan hier ein Teil des Flächen inhalts A unter - halls der x-Achse liegt gleicht sich aus + d - d • einsetzen Klammern auflösen zusammenfassen → auflösen - (fex) - gcx₁) نا "oben dx ist. Hier : f(x) any (g(x) dx Beispielaufgabe 3. Schritt: A einsetzen: A A A O -2+ f(x) = 0,5x3x² + 0,5x Klammern auflösen. Sosa xỉ A A = y zusammenfassen: A S (10,5x³. = A = auflösen (mit Hilfe 1 (0.5.1) 4 -x 5 24 4 3 - [ 0.5 * 0.5 x ³ 4 3 24 4 3/333 2 +ơ,5x -x g(x) vom 0,5. + $(0,5 x³ -0.5 x² - 0,5x + 0,5) dx -0,5x2+x-0,5 +0,5x) - (-0,5 x² + x -0,5)) dx ^ 3 bei drehen sich Klammer um 3 + 0,5 xẻ Fcx) : 5/4 5/20 (-+^) 0,5 2 alle - ^ 1. Schritt: (f(x)) 2 g(x) 4 3 (0 (-_^) - 0-³ (-_^)³ -0.5. (-1)² + 0,5. (-1)) A = 2 0.5 x² + 0,5×]^ - x + 0,5) dx = 2. Schritt: ^ ↑ (gex] - g(x)) dx + 0,5.1) 0,5 x -x +0,5 oben = Vorzeichen in der -0,5x +x=0,5 fagenden