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 UNBESTIMMTE INTEGRALE
S f(x) dx
eno
1) f(x) = x³
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BEISPIELE
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F(x) = A xº
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↳ S x5 dx = √x + C
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UNBESTIMMTE INTEGRALE S f(x) dx eno 1) f(x) = x³ 2) BEISPIELE > 0 F(x) = A xº ..... + + + = 6 ↳ S x5 dx = √x + C f(x) = 2x³ 4 F(x) = x² + C konstante + C -3 3) f(x)=1/³ = x-³ 2 ↳ √ 2x³ dx = 1⁄2 x² +C a konstante konstante F(x) = √/₂2 x ²³² + C ↳ f(x) dx BESTIMMTE INTEGRALE | < 0 = S13 √dx=2x²²+ C 义 [ (x²) dx F(x) = 4x² BEISPIEL -2 Ал (x³) dx = (0) – (0,25) A₂ = √(x³) dx = (0,25) - (0) stammfunktion F + F(b) - F(a) ܘܒܩ + funktion f differenzieren ableitung f 0,25 = Bilanz integrieren #t -0,25 so = 0,25 f(x) dx J₁ A = 0,5 OBERSUMME obersumme streifenbreite OA B. [f(x) + f(x)+...] streifenanzahl STREIFENMETHODE UNTERSUMME untersumme streifenbreite streifenanzahl skizze: = TRAPEZSUMME OA + UA 2 TA f(x) = 2 B [f(x) + f(x)+...] mathe FLÄCHEN ZWISCHEN ) = 2x i g(x) = x² ¥ FUNKTIONSGRAPHEN BEISPIEL I = [0;2] A= √ (2x) dx = [x²] Ag= √ (x²) dx = [x³]*² Af - Ag = 4 - 13/12 = 4 +3 = c/00 33 NULLSTELLENBERECHNUNG PQ FORMEL f(x) = x² + px + 9 X₁/₂² - 1/2 = √(-1/2)²³-9 AUSKLAMMERN f(x) = ax³ + bx² + cx + d x (ax² + bx + c) ↓ pq- Formel b = STECKBRIEFAUFGABEN läuft durch p(a/b) a hp/tp bei x=a a f(a)=b f'(a)=o das NEW prinzip punktsymmetrie (ungerade). achsensymmetrie (gerade) N-Nullstellen f(x) E - Extrema f'(x) w - Wendepunkt f"(x) wp bei x=a x=a K 22 a a f" (a)=o sp bei f'(a)=o f" (a)=o J Mathematik Q1 US ● ● ● ● Streifenmethode (Obersumme, Untersumme, Trapezsumme: feste Anzahl an Streifen) [Flächeninhaltsfunktionen Ao(x) sollen nicht verwendet werden, sondern direkt mit F(x) gearbeitet • Nullstellenberechnung für Intervallgrenzen, Einteilung in Abschnitte zum Integrierern, Gesamtflächeninhalt ● werden] Unbestimmte Integrale (Menge aller Stammfunktionen F(x), ohne Grenzen) Bestimmte Integrale (Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen mit Beachtung des Vorzeichens: Orientierte Flächeninhalte) • Rekonstruktionsaufgaben (Steckbriefaufgaben: Aufstellen der Funktionsgleichung aus Angaben über den...

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Verlauf des Graphen mit Bedingungen zu Integralen) Berechnung von Flächeninhalten im Sachzusammenhang Flächen zwischen Funktionsgraphen 3³ +3 Gesucht ist der Wert des Integrals [(x²+1)dx . Operator: berechnen = alternativ: F(x)=x²- +X +X Integralrechnung Übung zu Klausur 1 32 (x² + 1) dx = F(3) - F(1) = 1 )=³/3/32 3 1 Aufgabe 1: Bestimme eine Stammfunktion von f. a) f(x) = -4x5+2x² - 1 Operator: bestimmen oder ermitteln || (x² + 1) dx = ³/32 1 3 b) f(x) = 2/³/4 x4 Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = − ²x³ + ²x² 8 c) f(z) = 2z² + x d) f(x) = x-2, neN a) Berechne die Nullstellen und zeichne den Graphen von f in einem geeigneten Intervall. b) Berechne die zwischen x-Achse und Funktionsgraph eingeschlossene Fläche mittels Obersumme, Untersumme und Trapezsumme (Streifenbreite = 1). Aufgabe 3: Gegeben sind die Funktionen f(x) = -0,25x³ + x und g(x) = 0,25x² - 0,5x. a) Berechne die Schnittstellen und zeichne die Funktionen in einem geeigneten Intervall. b) Berechne die zwischen f und g eingeschlossene Gesamtfläche. Aufgabe 4: Ein Grundstück wird von zwei Straßen und einem Fluss eingeschlossen (siehe Planskizze). Dieser Fluss kann durch eine ganzrationale Funktion = f(x) = ax³ + bx modelliert werden. Bei x 1 liegt ein Hochpunkt vor. Das Grundstück A hat eine Größe von 6 km². Berechne die Funktionsgleichung, die den Verlauf des Flusses beschreibt. Aufgabe 5: Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel. Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. a) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals. b) Berechne, wie viel Wasser sich im Kanal befindet, wenn er ganz gefüllt ist. c) Berechne, wie viel Prozent der maximalen Wassermenge sich im Kanal befindet, wenn er nur bis zur halben Höhe gefüllt ist. -4 -3 -2 0 Fluss 0.5 Straße 2 AY 5+ 4- 3+ 24 A Aufgabe 6: Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² und g(x) = x mit a > 0. Die von beiden Graphen eingeschlossene Fläche soll A betragen. Berechne den Wert des Parameters a. 2 BUR 2 Straße

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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Verlauf des Graphen mit Bedingungen zu Integralen) Berechnung von Flächeninhalten im Sachzusammenhang Flächen zwischen Funktionsgraphen 3³ +3 Gesucht ist der Wert des Integrals [(x²+1)dx . Operator: berechnen = alternativ: F(x)=x²- +X +X Integralrechnung Übung zu Klausur 1 32 (x² + 1) dx = F(3) - F(1) = 1 )=³/3/32 3 1 Aufgabe 1: Bestimme eine Stammfunktion von f. a) f(x) = -4x5+2x² - 1 Operator: bestimmen oder ermitteln || (x² + 1) dx = ³/32 1 3 b) f(x) = 2/³/4 x4 Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = − ²x³ + ²x² 8 c) f(z) = 2z² + x d) f(x) = x-2, neN a) Berechne die Nullstellen und zeichne den Graphen von f in einem geeigneten Intervall. b) Berechne die zwischen x-Achse und Funktionsgraph eingeschlossene Fläche mittels Obersumme, Untersumme und Trapezsumme (Streifenbreite = 1). Aufgabe 3: Gegeben sind die Funktionen f(x) = -0,25x³ + x und g(x) = 0,25x² - 0,5x. a) Berechne die Schnittstellen und zeichne die Funktionen in einem geeigneten Intervall. b) Berechne die zwischen f und g eingeschlossene Gesamtfläche. Aufgabe 4: Ein Grundstück wird von zwei Straßen und einem Fluss eingeschlossen (siehe Planskizze). Dieser Fluss kann durch eine ganzrationale Funktion = f(x) = ax³ + bx modelliert werden. Bei x 1 liegt ein Hochpunkt vor. Das Grundstück A hat eine Größe von 6 km². Berechne die Funktionsgleichung, die den Verlauf des Flusses beschreibt. Aufgabe 5: Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel. Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. a) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals. b) Berechne, wie viel Wasser sich im Kanal befindet, wenn er ganz gefüllt ist. c) Berechne, wie viel Prozent der maximalen Wassermenge sich im Kanal befindet, wenn er nur bis zur halben Höhe gefüllt ist. -4 -3 -2 0 Fluss 0.5 Straße 2 AY 5+ 4- 3+ 24 A Aufgabe 6: Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² und g(x) = x mit a > 0. Die von beiden Graphen eingeschlossene Fläche soll A betragen. Berechne den Wert des Parameters a. 2 BUR 2 Straße