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Mathe Spaß: Berechnung von Untersumme und Obersumme + Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion

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Mia Schüler

23.4.2022

Mathe

Integralrechnung

Mathe Spaß: Berechnung von Untersumme und Obersumme + Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion

Die Berechnung Untersumme und Obersumme ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das uns hilft, Flächeninhalte unter Funktionsgraphen zu bestimmen. Diese Methode ist besonders wichtig für das Verständnis der Integration.

Bei der Untersumme teilen wir den zu berechnenden Bereich in Rechtecke auf, deren Höhe durch den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall bestimmt wird. Die Obersumme verwendet hingegen den größten Funktionswert. Der tatsächliche Flächeninhalt liegt immer zwischen diesen beiden Werten. Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration besagt, dass der Grenzwert dieser Summen bei immer feinerer Unterteilung den exakten Flächeninhalt ergibt.

Die Potenzregel Stammfunktion spielt dabei eine zentrale Rolle. Sie besagt, dass bei der Integration von x^n der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt wird. Anwendungsbeispiele finden sich in vielen Bereichen: Bei der Berechnung von zurückgelegten Strecken aus Geschwindigkeitsfunktionen, bei der Bestimmung von Volumina rotationssymmetrischer Körper oder bei der Ermittlung von Schwerpunkten. Die Integration ist nicht nur ein mathematisches Werkzeug, sondern findet auch in der Physik, Technik und Wirtschaft vielfältige Anwendung. Besonders wichtig ist das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Funktion und Stammfunktion sowie die Fähigkeit, verschiedene Integrationsmethoden situationsgerecht einzusetzen.

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23.4.2022

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Die Grundlagen der Untersumme und Obersumme in der Analysis

Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik bildet einen fundamentalen Baustein der Analysis. Bei der Streifen-Methode wird die Fläche unter einer Funktion fxx in gleichbreite Rechtecke unterteilt. Die Untersumme entsteht dabei durch Rechtecke, deren Höhe durch den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Intervall bestimmt wird.

Definition: Die Untersumme Un ist die Summe aller Rechteckflächen, die unterhalb der Funktionskurve liegen. Die Obersumme On umfasst entsprechend die Summe aller Rechtecke, die die Kurve von oben begrenzen.

Bei der Berechnung mit n Streifen gilt für die Untersumme: Un = Δx · f(x0)+f(x1)+...+f(xn1)f(x₀) + f(x₁) + ... + f(xₙ₋₁), wobei Δx die Breite eines Streifens ist. Die Obersumme berechnet sich analog mit On = Δx · f(x1)+f(x2)+...+f(xn)f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ). Je mehr Streifen verwendet werden, desto genauer nähern sich beide Summen dem tatsächlichen Flächeninhalt an.

Beispiel: Bei der Funktion fxx = x² im Intervall 0,10,1 mit vier Streifen ergibt sich:

  • Untersumme U₄ = 0.25 · 02+0.252+0.52+0.7520² + 0.25² + 0.5² + 0.75²
  • Obersumme O₄ = 0.25 · 0.252+0.52+0.752+120.25² + 0.5² + 0.75² + 1²
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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration verbindet die Konzepte der Differentiation und Integration. Er besagt, dass die Flächeninhaltsfunktion Axx einer stetigen Funktion fxx durch Differentiation wieder die ursprüngliche Funktion ergibt.

Merke: Für eine stetige Funktion fxx gilt:

  1. Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist die Ausgangsfunktion: A'xx = fxx
  2. Der Startwert der Flächeninhaltsfunktion ist Null: A00 = 0

Die praktische Bedeutung liegt in der Möglichkeit, Flächeninhalte durch Stammfunktionen zu berechnen. Dies vereinfacht die Berechnung erheblich gegenüber der Methode mit Ober- und Untersummen.

Beispiel: Für fxx = x² - 2x + 3 im Intervall 1,31,3 ist die Flächeninhaltsfunktion Axx = x3/3x³/3 - x² + 3x

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Stammfunktionen und Integrationsregeln

Die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele zeigen die praktische Anwendung der Integration. Bei der Potenzregel wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten dividiert.

Formel: ∫xⁿ dx = x(n+1x^(n+1)/n+1n+1 + C, für n ≠ -1

Die Faktor- und Summenregel ermöglichen das systematische Integrieren komplexerer Funktionen. Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden, und Summen können term-weise integriert werden.

Beispiel: ∫3x2+2x3x² + 2x dx = 3∫x² dx + 2∫x dx = x³ + x² + C

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Praktische Anwendungen der Integration

Die Integration findet vielfältige Anwendungen in der Praxis, von der Berechnung von Flächen bis zur Modellierung physikalischer Prozesse. Die Flächenberechnung zwischen Funktionsgraph und x-Achse ist dabei eine der grundlegendsten Anwendungen.

Anwendung: In der Physik wird Integration beispielsweise verwendet um:

  • Wegstrecken aus Geschwindigkeitsfunktionen zu berechnen
  • Arbeit aus Kraft-Weg-Funktionen zu ermitteln
  • Schwerpunkte von Körpern zu bestimmen

Die Verbindung zwischen Differentiation und Integration ermöglicht es, komplexe Probleme zu lösen, indem man zwischen beiden Operationen wechselt. Dies ist besonders bei der Analyse von Bewegungen und der Berechnung von Änderungsraten wichtig.

Die praktische Umsetzung erfolgt meist durch systematische Anwendung der Integrationsregeln, wobei die Wahl der richtigen Methode von der Art der zu integrierenden Funktion abhängt.

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Stammfunktionen und Integration in der Mathematik

Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik bildet die Grundlage für das Verständnis von Integralen. Bei der Integration unterscheiden wir zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen, wobei jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen besitzt.

Definition: Eine Stammfunktion Fxx ist eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion fxx ergibt. Mathematisch ausgedrückt: F'xx = fxx

Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration verbindet die Konzepte der Differentiation und Integration. Bei bestimmten Integralen berechnen wir die Flächenbilanz zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb festgelegter Grenzen.

Beispiel: Bei der Berechnung von ∫fxxdx von a bis b ermitteln wir Fbb - Faa, wobei F eine Stammfunktion von f ist.

Die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele zeigen praktische Anwendungen:

  • Bei Polynomfunktionen erhöht sich der Exponent um 1
  • Der Koeffizient wird durch den neuen Exponenten dividiert
  • Die Integrationskonstante C wird addiert
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Partielle Integration und Spezialfälle

Bei der partiellen Integration wenden wir die Umkehrung der Produktregel an. Diese Methode ist besonders nützlich bei Produkten von Funktionen, die sich beim Ableiten vereinfachen.

Merke: Die Formel lautet: ∫f'xx·gxxdx = fxx·gxx - ∫fxx·g'xxdx + C

Besondere Aufmerksamkeit erfordern:

  • Trigonometrische Funktionen
  • Exponentialfunktionen
  • Logarithmische Funktionen

Beispiel: Bei ∫cosxx·xdx setzen wir u'=cosxx und v=x

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Trigonometrische Integration

Die Integration trigonometrischer Funktionen erfordert oft spezielle Techniken und das Verständnis des Ableitungskreises.

Hinweis: Bei trigonometrischen Funktionen hilft der Pythagoras-Zusammenhang sin²xx + cos²xx = 1

Grundlegende Schritte:

  1. Äußere Funktion integrieren
  2. Innerer Teil bleibt erhalten
  3. Division durch die Ableitung des inneren Teils

Beispiel: ∫sin10x10xdx = -1/10·cos10x10x + C

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Flächenberechnung und Integralregeln

Die Flächenberechnung mittels Integration folgt wichtigen Grundregeln:

Definition: Das bestimmte Integral ∫a,ba,bfxxdx berechnet die Flächenbilanz zwischen Funktion und x-Achse im Intervall a,ba,b

Wichtige Eigenschaften:

  • Intervalladditivität: ∫a,ba,bfxxdx + ∫b,cb,cfxxdx = ∫a,ca,cfxxdx
  • Vorzeichenwechsel: ∫a,ba,bfxxdx = -∫b,ab,afxxdx
  • Linearität: ∫a,bdx = k·∫a,ba,bfxxdx

Bei Flächen, die sich über und unter der x-Achse befinden, muss der Gesamtflächeninhalt durch separate Berechnung der Teilflächen ermittelt werden.

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Flächenberechnung und Parameterbestimmung in der Analysis

Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik spielt eine zentrale Rolle bei der Flächenbestimmung unter Funktionsgraphen. Bei der Parameterbestimmung einer quadratischen Funktion faxx = ax² + 1 mit einem gegebenen Flächeninhalt A = 2 müssen wir systematisch vorgehen.

Definition: Die Flächeninhaltsfunktion Fxx einer Funktion fxx erhält man durch Integration: Fxx = ∫fxxdx. Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration besagt, dass F'xx = fxx.

Für die Berechnung des Parameters a nutzen wir die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele. Die Integration von ax² führt zu ax3ax³/3. Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen 0,10,1 und der Bedingung A = 2 erhalten wir die Gleichung 2 = a/3a/3, woraus folgt: a = 6.

Bei der Flächeneinteilung einer Parabel fxx = x² im Intervall 0,20,2 durch eine senkrechte Gerade im Verhältnis 1:1 müssen wir zunächst die Gesamtfläche berechnen. Die Integration von x² von 0 bis 2 liefert uns den Wert 8/3.

Beispiel: Um den Punkt a zu finden, der die Fläche im Verhältnis 1:1 teilt, lösen wir: ∫0bisa0 bis a x²dx = ∫abis2a bis 2 x²dx Dies führt zur Gleichung: a³/3 = 8/3 - a³/3

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

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23. Apr. 2022

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Mathe Spaß: Berechnung von Untersumme und Obersumme + Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion

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Mia Schüler

@miaschueler

Die Berechnung Untersumme und Obersumme ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das uns hilft, Flächeninhalte unter Funktionsgraphen zu bestimmen. Diese Methode ist besonders wichtig für das Verständnis der Integration.

Bei der Untersumme teilen wir den zu berechnenden Bereich... Mehr anzeigen

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Die Grundlagen der Untersumme und Obersumme in der Analysis

Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik bildet einen fundamentalen Baustein der Analysis. Bei der Streifen-Methode wird die Fläche unter einer Funktion fxx in gleichbreite Rechtecke unterteilt. Die Untersumme entsteht dabei durch Rechtecke, deren Höhe durch den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Intervall bestimmt wird.

Definition: Die Untersumme Un ist die Summe aller Rechteckflächen, die unterhalb der Funktionskurve liegen. Die Obersumme On umfasst entsprechend die Summe aller Rechtecke, die die Kurve von oben begrenzen.

Bei der Berechnung mit n Streifen gilt für die Untersumme: Un = Δx · f(x0)+f(x1)+...+f(xn1)f(x₀) + f(x₁) + ... + f(xₙ₋₁), wobei Δx die Breite eines Streifens ist. Die Obersumme berechnet sich analog mit On = Δx · f(x1)+f(x2)+...+f(xn)f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ). Je mehr Streifen verwendet werden, desto genauer nähern sich beide Summen dem tatsächlichen Flächeninhalt an.

Beispiel: Bei der Funktion fxx = x² im Intervall 0,10,1 mit vier Streifen ergibt sich:

  • Untersumme U₄ = 0.25 · 02+0.252+0.52+0.7520² + 0.25² + 0.5² + 0.75²
  • Obersumme O₄ = 0.25 · 0.252+0.52+0.752+120.25² + 0.5² + 0.75² + 1²
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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration verbindet die Konzepte der Differentiation und Integration. Er besagt, dass die Flächeninhaltsfunktion Axx einer stetigen Funktion fxx durch Differentiation wieder die ursprüngliche Funktion ergibt.

Merke: Für eine stetige Funktion fxx gilt:

  1. Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist die Ausgangsfunktion: A'xx = fxx
  2. Der Startwert der Flächeninhaltsfunktion ist Null: A00 = 0

Die praktische Bedeutung liegt in der Möglichkeit, Flächeninhalte durch Stammfunktionen zu berechnen. Dies vereinfacht die Berechnung erheblich gegenüber der Methode mit Ober- und Untersummen.

Beispiel: Für fxx = x² - 2x + 3 im Intervall 1,31,3 ist die Flächeninhaltsfunktion Axx = x3/3x³/3 - x² + 3x

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Stammfunktionen und Integrationsregeln

Die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele zeigen die praktische Anwendung der Integration. Bei der Potenzregel wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten dividiert.

Formel: ∫xⁿ dx = x(n+1x^(n+1)/n+1n+1 + C, für n ≠ -1

Die Faktor- und Summenregel ermöglichen das systematische Integrieren komplexerer Funktionen. Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden, und Summen können term-weise integriert werden.

Beispiel: ∫3x2+2x3x² + 2x dx = 3∫x² dx + 2∫x dx = x³ + x² + C

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Praktische Anwendungen der Integration

Die Integration findet vielfältige Anwendungen in der Praxis, von der Berechnung von Flächen bis zur Modellierung physikalischer Prozesse. Die Flächenberechnung zwischen Funktionsgraph und x-Achse ist dabei eine der grundlegendsten Anwendungen.

Anwendung: In der Physik wird Integration beispielsweise verwendet um:

  • Wegstrecken aus Geschwindigkeitsfunktionen zu berechnen
  • Arbeit aus Kraft-Weg-Funktionen zu ermitteln
  • Schwerpunkte von Körpern zu bestimmen

Die Verbindung zwischen Differentiation und Integration ermöglicht es, komplexe Probleme zu lösen, indem man zwischen beiden Operationen wechselt. Dies ist besonders bei der Analyse von Bewegungen und der Berechnung von Änderungsraten wichtig.

Die praktische Umsetzung erfolgt meist durch systematische Anwendung der Integrationsregeln, wobei die Wahl der richtigen Methode von der Art der zu integrierenden Funktion abhängt.

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Stammfunktionen und Integration in der Mathematik

Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik bildet die Grundlage für das Verständnis von Integralen. Bei der Integration unterscheiden wir zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen, wobei jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen besitzt.

Definition: Eine Stammfunktion Fxx ist eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion fxx ergibt. Mathematisch ausgedrückt: F'xx = fxx

Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration verbindet die Konzepte der Differentiation und Integration. Bei bestimmten Integralen berechnen wir die Flächenbilanz zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb festgelegter Grenzen.

Beispiel: Bei der Berechnung von ∫fxxdx von a bis b ermitteln wir Fbb - Faa, wobei F eine Stammfunktion von f ist.

Die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele zeigen praktische Anwendungen:

  • Bei Polynomfunktionen erhöht sich der Exponent um 1
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Partielle Integration und Spezialfälle

Bei der partiellen Integration wenden wir die Umkehrung der Produktregel an. Diese Methode ist besonders nützlich bei Produkten von Funktionen, die sich beim Ableiten vereinfachen.

Merke: Die Formel lautet: ∫f'xx·gxxdx = fxx·gxx - ∫fxx·g'xxdx + C

Besondere Aufmerksamkeit erfordern:

  • Trigonometrische Funktionen
  • Exponentialfunktionen
  • Logarithmische Funktionen

Beispiel: Bei ∫cosxx·xdx setzen wir u'=cosxx und v=x

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Trigonometrische Integration

Die Integration trigonometrischer Funktionen erfordert oft spezielle Techniken und das Verständnis des Ableitungskreises.

Hinweis: Bei trigonometrischen Funktionen hilft der Pythagoras-Zusammenhang sin²xx + cos²xx = 1

Grundlegende Schritte:

  1. Äußere Funktion integrieren
  2. Innerer Teil bleibt erhalten
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Beispiel: ∫sin10x10xdx = -1/10·cos10x10x + C

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Flächenberechnung und Integralregeln

Die Flächenberechnung mittels Integration folgt wichtigen Grundregeln:

Definition: Das bestimmte Integral ∫a,ba,bfxxdx berechnet die Flächenbilanz zwischen Funktion und x-Achse im Intervall a,ba,b

Wichtige Eigenschaften:

  • Intervalladditivität: ∫a,ba,bfxxdx + ∫b,cb,cfxxdx = ∫a,ca,cfxxdx
  • Vorzeichenwechsel: ∫a,ba,bfxxdx = -∫b,ab,afxxdx
  • Linearität: ∫a,bdx = k·∫a,ba,bfxxdx

Bei Flächen, die sich über und unter der x-Achse befinden, muss der Gesamtflächeninhalt durch separate Berechnung der Teilflächen ermittelt werden.

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Flächenberechnung und Parameterbestimmung in der Analysis

Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik spielt eine zentrale Rolle bei der Flächenbestimmung unter Funktionsgraphen. Bei der Parameterbestimmung einer quadratischen Funktion faxx = ax² + 1 mit einem gegebenen Flächeninhalt A = 2 müssen wir systematisch vorgehen.

Definition: Die Flächeninhaltsfunktion Fxx einer Funktion fxx erhält man durch Integration: Fxx = ∫fxxdx. Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration besagt, dass F'xx = fxx.

Für die Berechnung des Parameters a nutzen wir die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele. Die Integration von ax² führt zu ax3ax³/3. Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen 0,10,1 und der Bedingung A = 2 erhalten wir die Gleichung 2 = a/3a/3, woraus folgt: a = 6.

Bei der Flächeneinteilung einer Parabel fxx = x² im Intervall 0,20,2 durch eine senkrechte Gerade im Verhältnis 1:1 müssen wir zunächst die Gesamtfläche berechnen. Die Integration von x² von 0 bis 2 liefert uns den Wert 8/3.

Beispiel: Um den Punkt a zu finden, der die Fläche im Verhältnis 1:1 teilt, lösen wir: ∫0bisa0 bis a x²dx = ∫abis2a bis 2 x²dx Dies führt zur Gleichung: a³/3 = 8/3 - a³/3

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Anwendung der Integralrechnung bei Flächenberechnungen

Die praktische Anwendung der Integralrechnung zeigt sich besonders deutlich bei der Flächenberechnung unter Funktionsgraphen. Die Teilung einer Fläche in bestimmte Verhältnisse erfordert präzise mathematische Analysen.

Merke: Bei der Flächenteilung durch eine senkrechte Gerade müssen die Teilflächen links und rechts der Gerade gleich groß sein, wenn ein 1:1-Verhältnis gefordert ist.

Die Lösung der Gleichung 2a³/3 = 8/3 führt zu a³ = 4, woraus sich a = ∛4 ≈ 1,59 ergibt. Dieser Wert teilt die Fläche unter der Parabel tatsächlich in zwei gleich große Teilflächen.

Die Verifikation des Ergebnisses erfolgt durch Einsetzen des gefundenen a-Wertes in die ursprüngliche Gleichung. Die numerische Überprüfung bestätigt, dass beide Teilflächen jeweils 4/3 Flächeneinheiten groß sind.

Highlight: Die Methode der Flächenteilung durch Integration lässt sich auf beliebige integrierbare Funktionen übertragen und ist ein fundamentales Werkzeug der Analysis.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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