Flächenberechnung und Parameterbestimmung in der Analysis
Die Berechnung Untersumme und Obersumme Mathematik spielt eine zentrale Rolle bei der Flächenbestimmung unter Funktionsgraphen. Bei der Parameterbestimmung einer quadratischen Funktion fa(x) = ax² + 1 mit einem gegebenen Flächeninhalt A = 2 müssen wir systematisch vorgehen.
Definition: Die Flächeninhaltsfunktion F(x) einer Funktion f(x) erhält man durch Integration: F(x) = ∫f(x)dx. Der Hauptsatz der Flächeninhaltsfunktion Integration besagt, dass F'(x) = f(x).
Für die Berechnung des Parameters a nutzen wir die Potenzregel Stammfunktion Anwendungsbeispiele. Die Integration von ax² führt zu (ax³)/3. Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen [0,1] und der Bedingung A = 2 erhalten wir die Gleichung 2 = (a/3), woraus folgt: a = 6.
Bei der Flächeneinteilung einer Parabel f(x) = x² im Intervall [0,2] durch eine senkrechte Gerade im Verhältnis 1:1 müssen wir zunächst die Gesamtfläche berechnen. Die Integration von x² von 0 bis 2 liefert uns den Wert 8/3.
Beispiel: Um den Punkt a zu finden, der die Fläche im Verhältnis 1:1 teilt, lösen wir:
∫[0 bis a] x²dx = ∫[a bis 2] x²dx
Dies führt zur Gleichung: a³/3 = 8/3 - a³/3