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Mathematik

Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

Fläche: vertikale Fläche zwischen Kurven

1.188

•

2. Nov. 2021

•

4 Seiten

Fläche zwischen Funktionen Rechner: Aufgaben und Lösungen für 10-Jährige

A

Alina Frings

@alinafrings

The document covers the calculation of areas between function graphs... Mehr anzeigen

S. 72 125 Das Thermalbad a) Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. 2 Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen

Areas Between Function Graphs

This page delves into the methods for calculating areas between function graphs, presenting two main variants of problem-solving approaches.

Variant 1:

  1. Determine the area under function f
  2. Determine the area under function g
  3. Subtract the two areas

Example: For functions fxx = 6 - ¹⁄₂x² and gxx = 2, the area between the functions is calculated using the integral: A = ∫6−1⁄2x2−26 - ¹⁄₂x² - 2dx from -√8 to √8.

Variant 2:

  1. Determine the difference function dxx = fxx - gxx
  2. Integrate the difference function
  3. Calculate the area

Definition: Difference function - A function that represents the vertical distance between two given functions at each point.

The page provides detailed calculations for both variants, demonstrating how to set up and solve the integrals to find the enclosed area.

Highlight: Both methods yield approximately 15.08 area units, showcasing the consistency of results regardless of the approach used.

S. 72 125 Das Thermalbad a) Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. 2 Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen

Calculating Areas with Sign Considerations

This page addresses the challenge of calculating areas that are partially above and below the x-axis, introducing a method to handle such cases.

The goal is to calculate the area enclosed by functions f and g, even when this area crosses the x-axis. The solution approach involves:

  1. Adding a constant k to both functions to shift them above the x-axis
  2. Calculating the difference between the shifted functions
  3. Integrating the absolute value of this difference

Formula: A = |∫f(x)−g(x)f(x) - g(x)dx| = ∫|f(x)−g(x)f(x) - g(x)|dx

The page emphasizes the importance of using the absolute value in these calculations to ensure accurate results regardless of the functions' positions relative to the x-axis.

Highlight: This method is particularly useful for Fläche zwischen zwei Graphen 3 Schnittpunkte scenarios, where traditional methods might fail due to sign changes.

S. 72 125 Das Thermalbad a) Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. 2 Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen

Detailed Problem Solution

This final page provides a comprehensive solution to the whirlpool design problem introduced earlier, demonstrating the application of various calculus techniques.

The solution process includes:

  1. Calculating intersection points of the boundary functions
  2. Setting up and solving the integral to find the area between the functions
  3. Computing the volume of water in the pool
  4. Determining the angle at which the curves meet

Example: The water volume is calculated by multiplying the area 19.2m219.2 m² by the pool depth 1.5m1.5 m, resulting in 28,800 liters of water.

The page also covers the calculation of the Anstiegswinkel angleofinclinationangle of inclination between the curves at their intersection point:

  1. Finding derivatives of both functions
  2. Evaluating derivatives at the intersection point
  3. Calculating the difference in slopes
  4. Using inverse tangent to determine the angle

Vocabulary: Anstiegswinkel - The angle of inclination or slope angle between two curves at their intersection point.

Highlight: The final step uses the arctangent function to convert the slope difference into an angle, resulting in -45°.

This comprehensive solution demonstrates the practical application of integral calculus and differential calculus in solving complex, real-world problems.

S. 72 125 Das Thermalbad a) Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. 2 Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen

Thermal Bath Whirlpool Design

This page introduces a practical application of integral calculus in designing a whirlpool for a thermal bath. It presents a problem with multiple parts, focusing on finding equations for boundary functions, calculating water volume, and determining the angle between curves.

Example: An interior architect is planning a whirlpool for a new thermal bath. The problem involves finding equations for boundary functions f and g, calculating the water volume for a 1.5m deep pool, and determining the angle at which the curves meet at a specific point.

The solution process is broken down into steps:

  1. Identifying points from the graph
  2. Substituting points into function equations
  3. Solving for unknown coefficients

Highlight: The boundary functions are determined to be fxx = ¹⁄₁₆x² + 4 and gxx = -¹⁄₁₂₈x² + x + 2.

The page also includes calculations for the water volume and the angle between curves, demonstrating the practical application of calculus in real-world design problems.

Vocabulary: Whirlpool - A pool or bath where water is kept in vigorous circulation by jets of water and air.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Fläche: vertikale Fläche zwischen Kurven

 

Mathe

•

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•

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•

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A

Alina Frings

@alinafrings

The document covers the calculation of areas between function graphs and related mathematical concepts. It provides detailed explanations and examples for solving problems involving Fläche zwischen zwei Funktionen Integral and Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkt.

Key points:

  • Methods... Mehr anzeigen

S. 72 125 Das Thermalbad a) Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. 2 Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

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Areas Between Function Graphs

This page delves into the methods for calculating areas between function graphs, presenting two main variants of problem-solving approaches.

Variant 1:

  1. Determine the area under function f
  2. Determine the area under function g
  3. Subtract the two areas

Example: For functions fxx = 6 - ¹⁄₂x² and gxx = 2, the area between the functions is calculated using the integral: A = ∫6−1⁄2x2−26 - ¹⁄₂x² - 2dx from -√8 to √8.

Variant 2:

  1. Determine the difference function dxx = fxx - gxx
  2. Integrate the difference function
  3. Calculate the area

Definition: Difference function - A function that represents the vertical distance between two given functions at each point.

The page provides detailed calculations for both variants, demonstrating how to set up and solve the integrals to find the enclosed area.

Highlight: Both methods yield approximately 15.08 area units, showcasing the consistency of results regardless of the approach used.

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Calculating Areas with Sign Considerations

This page addresses the challenge of calculating areas that are partially above and below the x-axis, introducing a method to handle such cases.

The goal is to calculate the area enclosed by functions f and g, even when this area crosses the x-axis. The solution approach involves:

  1. Adding a constant k to both functions to shift them above the x-axis
  2. Calculating the difference between the shifted functions
  3. Integrating the absolute value of this difference

Formula: A = |∫f(x)−g(x)f(x) - g(x)dx| = ∫|f(x)−g(x)f(x) - g(x)|dx

The page emphasizes the importance of using the absolute value in these calculations to ensure accurate results regardless of the functions' positions relative to the x-axis.

Highlight: This method is particularly useful for Fläche zwischen zwei Graphen 3 Schnittpunkte scenarios, where traditional methods might fail due to sign changes.

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The solution process includes:

  1. Calculating intersection points of the boundary functions
  2. Setting up and solving the integral to find the area between the functions
  3. Computing the volume of water in the pool
  4. Determining the angle at which the curves meet

Example: The water volume is calculated by multiplying the area 19.2m219.2 m² by the pool depth 1.5m1.5 m, resulting in 28,800 liters of water.

The page also covers the calculation of the Anstiegswinkel angleofinclinationangle of inclination between the curves at their intersection point:

  1. Finding derivatives of both functions
  2. Evaluating derivatives at the intersection point
  3. Calculating the difference in slopes
  4. Using inverse tangent to determine the angle

Vocabulary: Anstiegswinkel - The angle of inclination or slope angle between two curves at their intersection point.

Highlight: The final step uses the arctangent function to convert the slope difference into an angle, resulting in -45°.

This comprehensive solution demonstrates the practical application of integral calculus and differential calculus in solving complex, real-world problems.

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Thermal Bath Whirlpool Design

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Example: An interior architect is planning a whirlpool for a new thermal bath. The problem involves finding equations for boundary functions f and g, calculating the water volume for a 1.5m deep pool, and determining the angle at which the curves meet at a specific point.

The solution process is broken down into steps:

  1. Identifying points from the graph
  2. Substituting points into function equations
  3. Solving for unknown coefficients

Highlight: The boundary functions are determined to be fxx = ¹⁄₁₆x² + 4 and gxx = -¹⁄₁₂₈x² + x + 2.

The page also includes calculations for the water volume and the angle between curves, demonstrating the practical application of calculus in real-world design problems.

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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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