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Mathe

Funktionen und analysis

Spezielle integrale

Fläche zwischen zwei graphen

Fläche zwischen Funktionen Rechner: Aufgaben und Lösungen für 10-Jährige

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Fläche zwischen Funktionen Rechner: Aufgaben und Lösungen für 10-Jährige

Alina Frings

@alinafrings

13 Follower

The document covers the calculation of areas between function graphs and related mathematical concepts. It provides detailed explanations and examples for solving problems involving Fläche zwischen zwei Funktionen Integral and Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkt.

Key points:

Methods for calculating areas between function graphs
Solving equations to find intersection points
Integrating to determine enclosed areas
Calculating angles between curves at intersection points
Practical applications like designing a whirlpool for a thermal bath

The content is suitable for advanced high school or early university mathematics students studying integral calculus and its applications.

2.11.2021

1071

S. 72 125
Das Thermalbad
a)
Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool.
2
Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen

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Areas Between Function Graphs

This page delves into the methods for calculating areas between function graphs, presenting two main variants of problem-solving approaches.

Variant 1:

Determine the area under function f
Determine the area under function g
Subtract the two areas

Example: For functions f(x) = 6 - ¹⁄₂x² and g(x) = 2, the area between the functions is calculated using the integral: A = ∫(6 - ¹⁄₂x² - 2)dx from -√8 to √8.

Variant 2:

Determine the difference function d(x) = f(x) - g(x)
Integrate the difference function
Calculate the area

Definition: Difference function - A function that represents the vertical distance between two given functions at each point.

The page provides detailed calculations for both variants, demonstrating how to set up and solve the integrals to find the enclosed area.

Highlight: Both methods yield approximately 15.08 area units, showcasing the consistency of results regardless of the approach used.

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Calculating Areas with Sign Considerations

This page addresses the challenge of calculating areas that are partially above and below the x-axis, introducing a method to handle such cases.

The goal is to calculate the area enclosed by functions f and g, even when this area crosses the x-axis. The solution approach involves:

Adding a constant k to both functions to shift them above the x-axis
Calculating the difference between the shifted functions
Integrating the absolute value of this difference

Formula: A = |∫[f(x) - g(x)]dx| = ∫|[f(x) - g(x)]|dx

The page emphasizes the importance of using the absolute value in these calculations to ensure accurate results regardless of the functions' positions relative to the x-axis.

Highlight: This method is particularly useful for Fläche zwischen zwei Graphen 3 Schnittpunkte scenarios, where traditional methods might fail due to sign changes.

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Detailed Problem Solution

This final page provides a comprehensive solution to the whirlpool design problem introduced earlier, demonstrating the application of various calculus techniques.

The solution process includes:

Calculating intersection points of the boundary functions
Setting up and solving the integral to find the area between the functions
Computing the volume of water in the pool
Determining the angle at which the curves meet

Example: The water volume is calculated by multiplying the area (19.2 m²) by the pool depth (1.5 m), resulting in 28,800 liters of water.

The page also covers the calculation of the Anstiegswinkel (angle of inclination) between the curves at their intersection point:

Finding derivatives of both functions
Evaluating derivatives at the intersection point
Calculating the difference in slopes
Using inverse tangent to determine the angle

Vocabulary: Anstiegswinkel - The angle of inclination or slope angle between two curves at their intersection point.

Highlight: The final step uses the arctangent function to convert the slope difference into an angle, resulting in -45°.

This comprehensive solution demonstrates the practical application of integral calculus and differential calculus in solving complex, real-world problems.

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Thermal Bath Whirlpool Design

This page introduces a practical application of integral calculus in designing a whirlpool for a thermal bath. It presents a problem with multiple parts, focusing on finding equations for boundary functions, calculating water volume, and determining the angle between curves.

Example: An interior architect is planning a whirlpool for a new thermal bath. The problem involves finding equations for boundary functions f and g, calculating the water volume for a 1.5m deep pool, and determining the angle at which the curves meet at a specific point.

The solution process is broken down into steps:

Identifying points from the graph
Substituting points into function equations
Solving for unknown coefficients

Highlight: The boundary functions are determined to be f(x) = ¹⁄₁₆x² + 4 and g(x) = -¹⁄₁₂₈x² + x + 2.

The page also includes calculations for the water volume and the angle between curves, demonstrating the practical application of calculus in real-world design problems.

Vocabulary: Whirlpool - A pool or bath where water is kept in vigorous circulation by jets of water and air.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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Areas Between Function Graphs

This page delves into the methods for calculating areas between function graphs, presenting two main variants of problem-solving approaches.

Variant 1:

Determine the area under function f
Determine the area under function g
Subtract the two areas

Example: For functions f(x) = 6 - ¹⁄₂x² and g(x) = 2, the area between the functions is calculated using the integral: A = ∫(6 - ¹⁄₂x² - 2)dx from -√8 to √8.

Variant 2:

Determine the difference function d(x) = f(x) - g(x)
Integrate the difference function
Calculate the area

Definition: Difference function - A function that represents the vertical distance between two given functions at each point.

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Adding a constant k to both functions to shift them above the x-axis
Calculating the difference between the shifted functions
Integrating the absolute value of this difference

Formula: A = |∫[f(x) - g(x)]dx| = ∫|[f(x) - g(x)]|dx

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Thermal Bath Whirlpool Design

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Thermal Bath Whirlpool Design

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