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Integralrechnung
2.11.2021
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S. 72 125 Das Thermalbad a) Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. 2 Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen f und g g läuft bei P(412) horizontal aus. b) Wie viel Lieter Wasser fasst das 1,5m tiefe Becken? c) g Wie groß ist der Winkel x, unter dem die Kurven of und sich im Punkt P(412) treffen? a) f(x) = ax² + 4 4 Schritt 1: Suche mir Punkte im Graphen. P(014); P(412) 2 Schritt 2: Setze die Punkte in die Funktionsgleichung ein -2 a = a.o² = = = 28.10.2021 g(x) = b f(x)= 16a b a.4² + - → 1 128 X b 8 X f(x) = x² + 4 2 4 → |: 16 + 4 + f(x) = ax² + 4 f(x) = ²x² + 4 ^ 4 X 2 4 m f(x) = g(x) g(x) = x² + √x ² 1 = = O = -32u = Schritt 1: Suche Punkte im Graphen. [PC010)]. P(412). g'(x) g'(4) O = 256u + u 8 m V > ax² ux" 128u+ glxd= Schritt 2: Setze die Punkte in die Funktionsgleichung en 2 256 u + 16v g(4) = 2 320 V = = + Schritt 3: Bilde die Ableitung der Funktionsgleichung und setze den Hochpunkt ein. 4ux ³ 2vx 444³ + 204 8v + + = f 8v + V b vx² 1 128 X 128 4 Schritt 4: Setze V=-32u in die Funktionsgleichung ein 1 128u + 8 (326) = - 128u g 1:8 + HP = P(410) 1-32u 1 1:(-128) 12 4x (-32) (-128) ^ 4 3. Flächen zwischen Funktionsgraphen Beispiele: Variante 1: Graphische Darstellung X₁ Lösung A A Fläche unter f bestimmen. • Fläche unter g bestimmen. • Beide Flachen subtrahieren Variante 1: @f(x) = 6 - 1x² g(x) = 2 Gesucht ist die Fläche, die von beiden Funktionen begrenzt wird. = Y 8 Schnittstelle: √8 3 (6x - 7x²³1-F² 15,09 FE $ (6-2x²)cx - √ 20x dx 6-1² - 2x X₂ 11 Variante 2: ( √8¹ A A 2 X xx foxld Šglikde j [ f(x) = g(x)] c X a(x) dx Differenzfunktion d(x) = C(x) integrieren Flache bestimmen. f(x) - glx) bestimmen X₂...
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Alternativer Bildtext:
= Variante 2: A = S (6-1x²¹ - 2 ) dx -1 (6. A = (4x - x ³ ) 15 ≈ 15,08 FE Ziel: Zu berechnen ist die Fläche die von f und g eingeschlossen wird Cliese Flache liegt jetzt teilweise über und teilweise unter der x-Achse Lösunguorschläge A AY X₂ [ f(x) + k ] - [ g(x) + k ] dx [ X₁₂ S [ f(x) = g(x)] dx / X₁ f(x) ght) f(x) + k Ay 1 g(x) + K La Ø A- | $ [6²)-gG)]ckx + [ga]-AG-) Jebk I am besten immer gleich den Betrag nehmen -2x 201 b) Schritt 1: Berechnen der Schnittstellen bzw. ablesen vom Graphen ^ - 128 X² + 4x² | + 128x"; - 4x² O Schritt 2: Schritt 3 -² +4 ^ 128 X- Schritt 2: ^ 3 128 ²84 + 4 = 0 01/27 (u₂₁ = = -48 ± √(-48) ² - 512 8 = 24 + U₂ = 24- A= 8 = |$[£2-2+×] x² - 3³ x ² +4 ]dx / A = | 640 x²-x² + 4x 1 A = A = 128 32) 16 U=X Flächeninhalt mit Integral von -4 bis 4 berechnen A = |S[ - 4x + 4- (- ³x² + 4x² )]dx | Lo-x²+4+x-4x² Setze den Schnittpunkt f'(4) = 4 1 g'(4) = − 32 4²³ + → (x₂ Rechne nun den Flächeninhalt mal die 19,2m² 1,5m = 28,8 m³ Schritt 1: Bilde die Ableitung von f(x) und g(x) f(x) == x² + 4 f'(x) - 3x g(x) = -128 × ² + 4 x ² 1.4 6410-45-1²-4³ + 4.4 - ( 640 · (-4)³5 - 77. (-4)³ + 4 -(-4) | = 19,2 (m²) == = 5,657 4 13 O 1,5m Tiefe des Beckens 28 800 Wasser g(x)=x² + x 32х P(412) in die Ableitungen ein = -1 X₁ =-5,657) x₂ = -4 Schritt 3: Bilde die Differenz der beiden Ergebnisse - 1 + 0 = • nicht die gesuchten Schnittstellen Schritt 4: Benutze einen Taschenrechner. Gebe das Ergebnis in tan^ ein. tan^(-1) = -45° = -45° 8 m man erhält die Tangentensteigung