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Integralrechnung bei Flächen zwischen Funktionsgraphen + Anwendungsaufgabe
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b) Schritt 1: Berechnen der Schnittstellen bzw. ablesen vom Graphen 4 x² 1 + 128 x ²₁ - 1 Schritt 2: Schritt 3: c) 12 - 8x 1 128 X 01/2 (U₁ + 4 3 A= 3 1/2² - ²³/³u + 4 = 0 | |: 1 84 128 √√(48)² - 512 8 =- 4 2 8x²² +4= U₂ = 24 -48 2 -4 = 24 + 1 + = 8 SAX -4 1 4 128 X + O = 128 X - 8x 32) Flacheninhalt mit Integral von -4 bis 4 berechnen A= | [-3x² +4 - (-1⁄28x“ + ¼x²)]dx | X LD-x²+4+2x - 4x² 16 x² = ²³²³ x ² +4 ]dx | 4 4 4 g(x) = -128 × ² + 4 x ² x 1 g'(4) = -32 · 4²³ + (૧) 2 U = x² 5 13 A = | 640 x² - 4x² + 4x 1. | 8x A = | 6410-45 - 1/1. 4³ + 4.4 - ( 6410 · (-4)5 - · (-4)³ +4.(-4) | 96 A= 3/6 5 18,2 (m²) 3 28,8 m³ Schritt 1: Bilde die Ableitung von f(x) und 12 f(x) = ²x²³² + - 8x (x₂ X₁ Rechne nun den Flächeninhalt mal die 1,5m Tiefe des Beckens 19,2m² 1,5m = 28 8001 Wasser →-→-→ 2.4 2 f'(x) = -3/²/³x 8 X 12 4x 5,657 = 3 - g'(x) = − 32 × ³² + 1²x 32х Schritt 2: Setze den Schnittpunkt PC412) in die Ableitungen ein 2 f'(4) = - 3 · 4 = -1 O X₁ = -5,657) x₂ = -4 Schritt 3: Bilde die Differenz der beiden Ergebnisse - 1 + 0 = d 4 m Schritt 4: Benutze einen Taschenrechner. Gebe das Ergebnis in tan^ ein. tan^(-1) = -45° -45° 7 nicht die gesuchten Schnittstellen 8 m f g man erhält die Tangentenstergung X 3. Flächen zwischen Funktionsgraphen Beispiele: Graphische...
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Darstellung X₁ Variante 1: Lösung A : Variante 1: 2 @f(x) = 6 - 1x² g(x) = 2 Gesucht ist die Fläche, die von beiden Funktionen begrenzt wird. = • Fläche unter f bestimmen • Fläche unter g bestimmen • Beide Flächen subtrahieren Y A A = 15,09 FE 8 1 3 (6x - √x²³ - #0² X 6 4 Schnittstelle: 6-1x² = √8¹ [ (6-4x²) x 1200 2x 2 X₂ Variante 2: √8²¹ A = 2 = -> X X₂ Sasakan - galakse f(x) dx X₁ X₁ Differenzfunktion d(x). Differenzfunk X₂ √ [ f(x) = g(x)] X₁ a(x) d(x) integrieren Fläche bestimmen. X₁ 11 √8 ・√8⁰ Variante 2: I A = Co = f(x) - g(x) bestimmen x₂ = A = S (6-1x² - 2 ) dx √8 13 (4x - x ²³) 1² ≈ 15,08 FE Ziel: Zu berechnen ist die Fläche die von f und g eingeschlossen wird Lösunguorschläge A A Cliese Fläche liegt jetzt teilweise über und teilweise unter der X-Achse - AY Y X₂ [ [ f(x) = g²x)]dx l X₁ ARA A X₂ Ic S [fGx) + k] - [ g&x) + k] dx 1 X₁ f(x) ght) f(x) + k X₁ g(x) + K X -1 $ [-girlik + -f(x)]dx am besten immer gleich den Betrag nehmen X -²x эх f(x) X₂ g(x) S. 72 125 Das Thermalbad Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool. Wie lautet die Gleichung der Randfunktionen f und g a) g läuft bei P(412) horizontal aus. b) Wie viel (ieter Wasser fasst das c) Wie a) f(x) = = groß Sich im Punkt P(412) treffen? -4 4 4 Schritt 1: Suche mir Punkte im Graphen. P(014) (412) -2 ist der Winkel x, unter dem die Kurven of und g Schritt 2: Setze die Punkte in die Funktionsgleichung en Ó ax² + -3 VJ = a.o² + b = "1 1/ g(x) = 28.10.2021 b a.4² 16a f(x)= 7100 - - 1 + 5/00 → f(x)= − 3x² +4 1 128 Х 4 1-4 |: 16 1,5m tiefe Becken? 8 X 2 4 + 4 + f(x) = ax² + 4 f(x) = -√²x² + 4 دا۲ 4 X 2 4 m 2 g(x) = ux" + √x² f(x) 2 g(x) 8'(4) -32u = = g'(x) = = = 11 = u 4 V Schritt 1: Suche Punkte im Graphen. [P(010)]. ?(412). PLqla), > 8 m ax² 4 ux" Schritt 2: Setze die Punkte in die Funktionsgleichung ein 256 u + 16v g(4)=2 8v 128u+ 32u V 11 g(x)= 256 + = + + Schritt 3: Bilde die Ableitung der Funktionsgleichung und setze den Hochpunkt ein. чих з 2vx 464³ + 2u4 8v 1:8 + V 1-32u + f b 2 UX 1 128 X 4 g Schritt 4: Setze V=-32u in die Funktionsgleichungen. 1 128u+ 8 (32) -128u + X 1 1: (-128) ^ 128 1 2 ЧХ (-32).(-128) HP = P(410)
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b) Schritt 1: Berechnen der Schnittstellen bzw. ablesen vom Graphen 4 x² 1 + 128 x ²₁ - 1 Schritt 2: Schritt 3: c) 12 - 8x 1 128 X 01/2 (U₁ + 4 3 A= 3 1/2² - ²³/³u + 4 = 0 | |: 1 84 128 √√(48)² - 512 8 =- 4 2 8x²² +4= U₂ = 24 -48 2 -4 = 24 + 1 + = 8 SAX -4 1 4 128 X + O = 128 X - 8x 32) Flacheninhalt mit Integral von -4 bis 4 berechnen A= | [-3x² +4 - (-1⁄28x“ + ¼x²)]dx | X LD-x²+4+2x - 4x² 16 x² = ²³²³ x ² +4 ]dx | 4 4 4 g(x) = -128 × ² + 4 x ² x 1 g'(4) = -32 · 4²³ + (૧) 2 U = x² 5 13 A = | 640 x² - 4x² + 4x 1. | 8x A = | 6410-45 - 1/1. 4³ + 4.4 - ( 6410 · (-4)5 - · (-4)³ +4.(-4) | 96 A= 3/6 5 18,2 (m²) 3 28,8 m³ Schritt 1: Bilde die Ableitung von f(x) und 12 f(x) = ²x²³² + - 8x (x₂ X₁ Rechne nun den Flächeninhalt mal die 1,5m Tiefe des Beckens 19,2m² 1,5m = 28 8001 Wasser →-→-→ 2.4 2 f'(x) = -3/²/³x 8 X 12 4x 5,657 = 3 - g'(x) = − 32 × ³² + 1²x 32х Schritt 2: Setze den Schnittpunkt PC412) in die Ableitungen ein 2 f'(4) = - 3 · 4 = -1 O X₁ = -5,657) x₂ = -4 Schritt 3: Bilde die Differenz der beiden Ergebnisse - 1 + 0 = d 4 m Schritt 4: Benutze einen Taschenrechner. Gebe das Ergebnis in tan^ ein. tan^(-1) = -45° -45° 7 nicht die gesuchten Schnittstellen 8 m f g man erhält die Tangentenstergung X 3. Flächen zwischen Funktionsgraphen Beispiele: Graphische...
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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!