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Integralrechnung Teil B: mit Taschenrechner (70 Minuten) Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangenten in den Punkten A und B am Graphen der gegebenen Funktion f(x). f(x) = - =—= x² - 2x A (-1/1,5) B (1/2,5) Aufgabe 2: Bestimmen Sie zu jeder Funktion f eine passende Stammfunktion F. a) c) f(x) = x³ 4 f(x) = 3x²¹ - ²x² + 12 f(x) = 0,5x²-x³-6x² +2 b) f(x)=x²-5x²+4 d) 1 = [-3;1] f(x) = f(x) = Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Wendepunkte der angegebenen Funktion. Nennen Sie die Information über f(x), welche aus dem Wendepunkt ablesbar ist. (5 Punkte) (8 Punkte) Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Gesamtinhalt A der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse. Zeigen Sie zunächst, dass die Nullstellen von f(x) bei x₁= -2, x₂= -1, X3= 1 und X4= 2 liegen. Aufgabe 5: Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters k e R die Integralgleichung +¹(k² + 2x)dx = 9 gilt. (7 Punkte) (8 Punkte) (4 Punkte) -bitte wenden- Aufgabe 6: Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche, welche von den Graphen der Funktion f(x) = 0,25x² - 1 und h(x) = -0,25x² + 1 eingeschlossen wird. Wie viel Prozent des entstehenden ,,Auges" entfallen auf die helle Pupille? 3 Viel Erfolg! 2 -21 N లు -3 Ņ 1 Aufgabe 7: Der Graph von f(x)=-=x²-x+ 3 und die beiden Koordinatenachsen 1 (4 Punkte) 4 schließen im 1. Quadranten des Koordinatensystems eine Fläche ein. Diese wird durch die Winkelhalbierende des 1. Quadranten in zwei Teile geteilt. In welchem Verhältnis stehen deren Inhalte A₁ und A₂ zueinander? (4 Punkte) Aufgabe 1 2 f (x) = - = x ² - 2x USTANAMU COM Aufgabe 2 A: B: A: B: Gleichsetzen: 1x Punkt A = X - 1x +0₁5 = − 3x + 5,5/-0,5 =-3x+5 + 3x 2x 5 a) & f(x) = x ³ Punkt B : f'(^) = -1·1 - 2 = - 3 1,5 y = -1x +b y=-3x+b Y = -1x + 0,5 √ y=-3x+5,5√ = Der Schnittpunkt (2.5/8,125) = 2,5√ f'(x) = -1x-2 F(x) = = x ² ✓ F (-1) = - 1 - (- 1) - 2 = − 1 - 1 c) f(x) = 3 x ² - 3 x ² +12 1=2 A 3 F(x) = 3²³ x 5 - ²₁²₂ x² + 12x ✓ q = 1. (-1) + b 1,5=1+b 1-1 0,5=b 2₁5= -3·(¹) + b 2,5=-3 +b 1+3 5.5=b der Tangenten auf dem Graphen ist bei 1 b) f(x) = x² = x 1 -3 F(x) =-3X -1 SP (2,51-8, 125) 3x³ e f(²c5) = - = -(2,5) ²-2-(2,5) hier: Tan- =-8, 125 & √ (α) f(x) = √²/² = x - ² ✓ d) X F(x) = 44 2x² ✓ = 2√x² J f 27X Po 12/1 459 gentenschnitt punkt liegt nicht auf f(x) 2 x 00/00 ← Das wäre FORM FORM 5540 7 RZ Aufgabe 3 RZ f(x) = 0, 5 x - x ³ - 6x² + 2 ✓ 3 F'(x) = 2 x ²³ - 3x² - 12x 2 f "(x) = 6 x² - 6x - 12 √ = 0 X1₁2 = -(=) = √²+) + 2 x₁ = 2√ x ₂ = f(2)= -22 f(1) = -2,5 we hat Löchste Steigung fehlt 14:6 x²-1x-2=0/p-q - Formel dass die Funktion 4. Grades Daran erkennt man zwei wende stellen hat die beide unterhalb der X-Achse liegen. Daher für f(x) → +∞ gilt x +∞ F(x) → -∞ gilt X → +∞ Aufgabe u f (x) = x ² - 5 x ² + 4 FORM FORM 2₁ 12 = - z²5z +4 = -( 2³ ) = √(²2) ²- 4² 2₁Z₁ = 4 (Außerdem liegt ein Extrempunkt ingend zwischen 2 und-1 also bei ungefähr 0,5.) 1 -1√ x²=Z Z₂ = 1 2 x₁ = = 2 (x₂ = -1) W₁ (21-22) J W₂ (-1/-2,5) ✓ die auch: [-3;1] Intervall Hinreichende Bed gung fehlt f"" (*) fenet I substitution P-9-Formel x₂ = 1 x₁ = 2 LET (Resubstitution) 5 F(X) = 1/² x ² = {√³ x ³ + 4 X √ J - 3x x² = z Die Nulistelle da es genau in der Mille ist A = 1 √ [ x ²₁ - 5 × ² + 4 ) αx 1 + 1 S (x²-5x² + 4) dx -1 Gesamtinhal Fläche A: Aufgabe 11 -3 -1 1 55 = 1 [ ² x ²³ - ³ x ³ + 4 x ] 1 + 1 [ ² x ²5 - ${ x ³ + 4x ] ₁ | S их 5: K+1 5 (K² + 2x) dx = 9 k T 78 38 38 | (-38³ ) - (-²³) 1+1 (1²³5) - (-³8) 196 1 15 1,881,93. 20 0 = Aufgabe 6 uravana MACHAAR 272 15 2-0,05 fcx) = 0,25 x ² - 1 2 A= 50₁25 x² - 1 dx = kreis berechnen JT.r ² 1+1 760 15 ~ 18,13 fr (1 داله داله دالي 3 3 [₁k ³ + x f k ²+k z k ²³ f 3 16 F (2) = (4 ²/3 · 4 = = 13² ✓ Flächeninhalt immer plus 1. K²+k² + 18 3 = = = x² + k + 1)² = 9) 4² = 27 13²³5 k k = 1,93 [₁₂2 x ²³ - 1X 3 173. K² = 8 et 276+1 k 7+7√ $ 2 JT. 1² £3, 14. ✓ · k²32 + 1 = 9 1-1 . 16 ร S k u ² = 24 1²³V k ≈ 1,889 f elm 2 3 10 e 9 - O 3,14.16 3 100 20,16 ग4,8584 = ab 16%. entlaken durch die pupille 63/00 Grenzen fehlen FORM Binomisc Formel beachten सम FORM F(0)=0 angeber 2,5 FORM FORM m/t 34 Aufgabe F(x) = = = 1 8 hier: 1. Quadrant FORM 2 1 x² - 4x + 3 1 3 F(x) = -√²₁ x ²³ - ²/² x ² + 3x √ 8 24. X f(x) = x² + 2x - 24 = 0 2 X₁₁2 = − 1 ²/² = √ ( ² ) ² + 24² x₁ = 4√ x₂=-6√ 20 setsen S-3 √ - ² 6 x ² - ² × ²³ αx = [² x ²¹- 4 × ²+ 3x ] 3 1 x + 3 dx x 27 F(-6) = - ²2/²³ = -13, 5 J 2 13,5 12 = 6,75 A₂ = 6,75 2 Ansatz A₂ = 6,75 winkel 90° = 2 =45° 13.5 sin (45) ? ~ 9,54 41,5 Punkte 2 (11 Punkte) Wal 23 Mt. 2021 9154 verhath 1:0 Die Beiden Flächen stehen im Verhai Hnis With 1:1. & TO Aufgabe 1 y=-1-2,5 + 0,5 = -2 Aufgabe 3 f"¹¹ (x) = 12 x - 6 f" (2) #0 F"(-1) 0 Aufgabe 5 k+1 S (K ²+2x) dx = 9 k = [k²x + x²] (K ². K +K ² ) k²³ +h² Aufgabe 6 16 13 - JT = 2, 192 k+ 1 k² · (K+1) + (+1) ² h³th ²+k² + 2h +¹1 - k²³ -k² k² +2k +1 = 91-9 k² +2k-8 Aufgabe 7 A f (x) = -1/3 × ² - ²x + 3 x k F(x) = - 2₁ x ²³ - ²/3 x ² + 3× 3x F(x) = x² + 2x - 24 = 0 X ₁² 12 = - ²/2 = √ (²) ²4 24 ² x₁ = 4 x₂ = -6 ( Formel SP (2,5/-2) J: 59%. 16 3 - ²x² - ²x +3²x1-x = X-X 8 25 - 1732 × ²2² 2²2² × × 3 = 0 1 ² 3 2 x² +10x -24 X₁=2 K₁₁2 = − 1² / ± √ ( ² ) ² + 8 -−1+√9 -1 3 X₁₂ = -12 k₁ = 2 k₂=-4 3 A₁ A Az 5 Aurgabe u F(x) = 글+2+2+2 글 ㄹㄹ - 22 + 2 들 글 2² - 5z + 4 = 0 15 12 212--2 + V (2) ²-4 = -들 = 니 = 1 러 V X = 2 ×z=-2 x3 = 1 xy = -1 Gesamtflächeninhalt Z2 = [-2, 2] | Substitution A=1 S[글x나를x+2) ax + S(글x돌 x+2) axlt 45 52 -2 -1 8 19 - (-음) - (%) +1 음 - (음) + 음 1+1 32 1+1 10 15 11 |- 38 개 15 15 = =4 1. IS + 38 11 2 [(글42x2+2) dx | + is