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Klausur: Grundlagen Analysis, Mathe Grundkurs

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 Mathe J1m1
Name: Zoe Gießelbach
Note: 14
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Klausur in Hj1
Punkte: 275/30
Hinweise zur Klausur:
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Klausur

Mathe Klausur 1 Basiskurs 11. Klasse Thema: Ableitungen, Tangenten, Extremstellen, Wendestellen (Textaufgaben) - 14 Punkte

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Mathe J1m1 Name: Zoe Gießelbach Note: 14 . . Klausur in Hj1 Punkte: 275/30 Hinweise zur Klausur: Das Aufgabenblatt unterschreiben und am Ende mit abgeben. Ergebnisse ohne ausreichende Begründung oder ohne Rechenweg werden nicht gewertet. Der Taschenrechner ist als Hilfsmittel erlaubt. (5 Punkte) Aufgabe 1: Bestimme f'(x). a) f(x) = √5x +4 d) f(x) = sin(x) - cos (x) b) f(x) = (4x - 5)10 e) f(x)= x² sin(4x) -2 1 (4P) Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x)=x²-2x + 1. a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von / im Punkt P(2|ƒ(2)). b) Bestimme alle Punkte in denen die Tangente an den Graphen von f parallel zur Geraden g: y = -2x + 7 verläuft. -3- (3 Punkte) Aufgabe 3: Gegeben ist der Graph einer Funktion f. a) Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion f' im Bereich -2 ≤ x ≤ 2. Gib f'(-2), f'(-1), f(0), f(1) und f'(2) an. (Aufgabe kann auf dem Aufgabenblatt gelöst werden) -2- 23.11.2021 -2-4 Bearbeitungszeit: 90min -34 0: 76 c) f(x) = 2x MathGrafx.de f'(-2) = 3 f'(-^) = 2/³/20 4 f(0) = 0 3 4 (112) = 3 f'(^) = = 0,75 = 0,75 (4 Punkte) Aufgabe 4: Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Sind die Aussagen wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. a) f hat an der Stelle x = 3 eine lokale Extremstelle. b) / besitzt eine lokale Minimumstelle. c) ƒ(2) > f(1). d) /"(4) = -1. 3+ (5 Punkte) Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f...

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mit f(x)=x²-x² - 3x + 4. Bestimme die Koordinaten aller Hoch-, Tief- und Wendepunkte. sieben (6,5 Punkte) Aufgabe 6: Forscher untersuchten fünf Tage lang das Wachstum einer bestimmten Bakteriensorte. Hierbei ergab sich, dass die von den Bakterien bedeckte Fläche durch die Funktion 9 f(1) = √²/²³ - 1²/31 ² + ² x + 2 für 0 ≤t≤7 2 3 4 5 Graph von f(x) beschrieben werden kann. Hierbei bezeichnet f(t) die bedeckte Fläche in mm² zum Zeitpunkt t in Tagen. a) Berechne den Zeitpunkt an dem die bedeckte Fläche maximal ist. b) Bestimme die Zeiträume, in denen die bedeckte Fläche sinkt. c) Bestimme den Zeitpunkt an dem das Wachstum der Fläche maximal ist. Ein Rennwagen rutscht im Punkt P(alf(a)) von der Fahrbahn ab und bewegt sich geradlinig auf die rot eingezeichnete Bande zu, welche durch die Geradengleichung y = 3 beschrieben wird. Er trifft im Punkt Q(013) auf die Bande. Berechne die Koordinaten des Punktes P, an dem der Rennwagen die Fahrbahn verlassen hat. (2,5 Punkte) Aufgabe 7: Die abgebildete Kurve einer Rennstrecke lässt sich durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = 2-0,25x² beschreiben. y = 3 -2 0 (2,5 Punkte) (1,5 Punkte) (2,5 Punkte) 1 2 VIEL ERFOLG NEW NEW NEW Mathe Klausur Aufgabe 1 a) f(x) = √√5x +4 U(X) = √ V(X) = 5x + 4 f'(x) = 5 - = 2 = 2,5 (5X14) b) f(x) = (4x-5) luo U(X) = V(x) = 4x-5 X 10 2 c) f(x) = 2-3x a) f(x) = - 4(x) = ²x V(X) 2-3x f'(x) = 4 ⋅ 10 (4x-5) 1 (5x+4) ¯ { 9 40 (4x-5) ⁹7 Verkettung 10 U(X) = X v(x) = u'(x) = V (X) = u(x) = sin (x) V(x) = COS (x) 2 f'(x) = -3- -1 (2-3x)² 3(2-3x)² → Verkettung u'(x) = 10 x V'(X) = 4 9 sin (x) · cos(x) sin(4x) 1 2 X 5 e) f(x) = x² • Sin (4 x) u'(x) = 2x = 2- (2-3x) u'(x) = -1x V'(x) = -3 - 슬 9 2 1 712 u'(x) = COS (x ) v'(x) = sin (x) ceser) cos(x) W STATX) f'(x) = cos(x) = cos (x) - Sin (x) · Sin (x) ✓ - g(x) = g'(x) = → Verkettung Verkettung und Produktregel Produktregel f'(x) = 2x - Sin (4x) + 4 cos (4x) 2x - Sir Zoe G h(x) = 4x h'(x) = 4 14 sin(x) cos(x) → √V'(x) = 4⋅cos (4x) X 2 ^ i 112 A1: 4,5/5 2 2 A2:414 Aufgabe 2 -gegeben: f(x). a) Tungusapere -geg= ges. Tangentengleichung t(x) = f'(a) (x-a) + f(a) Rechnung a = 2 = 1 3 f(x) = ¾ x³ - 2x + 1 3 f'(x)=x²-2 f'(x) = f'(a) ma f₁ (2) = 2²-2 = 2 + (x) = 2 - (x-2) - = 2x - 4 - 3 13 2X-13³ P (21 f(2)) X b) g: y = - 2x + 7 Steigung von y 2 also muss - X f (a) einseiten in Tangentengleichung 2 2 = 1 O 2 3 = f(2)= 3 - 2²³²-2-2+1 on dem Geraden g = 3.8 11 11 = I داس -2 3 Soll parallel tur Tangente sein 4+1 f'(x) = -2 142 15 X=0 f(0) = 3·0²-2-0 + 1 = 1 Im Punkt P(011) verläuft die Tangenie Grapnen van If parallel zur Aufgabe $ 4 a) Nein, da keinen b) c) wahr. Am Graph von f'(x) sient man, Intervall L1; 23 dass -geg- Wanr. An der Stelle X=-1 hat der Grapn der Funktion f eine Minimumstelle, da flux) an dieser Stelle eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel von - nach + hat d) faisch. Í X = 4 hat im Graph von f'(x) Das heißt f "(4) Aufgabe 5 2 f (x) >O ist Das heißt der Grapn von f ist streng monoton steigend. Somit ist f (2) größer als f (1). eine positive Steigung muss >O sein. Ableitungen: X2 F A f(x) = 3 x 214 = 2 = √ 4+12 2 X₁ = 2+4 2 = 2-4 Extremstellen Nullstellen von f'w: (x) = O x ² - 2x-3 = 0, X 2 ± √(-2) ²-4-1-(-3) N 41 f'(x) an der Stelle X=3 Verzeichenwechsel. hat 01 2 2.1 11 co/~ =-2² = 3 = 11 f'(x) = x ² f"(x) = 2x - 2 f (x) = 2 X 2 3 2 ± √16 2 1 - 3 x 2x + 4 - 3 einsetzen in f" (x): f(3) = 2.3-2 = 6-2 =4>O →Tiefpunkt F" (-1) = 2 · (-1)-2 = -2-2 -4<0 Hochpunkt einsercen in f(x) f(3) = 3-3 = = 2 9-9-9 +4 17 3 ✓ 3²-3·3+4 1 1 A4: 414 5 f(-^) = 3 - (-1) ³ - (-1) ²- 3- (1) 14 = -1 +3 +4 →T (31-5) / → H (-11 ²1/³3) ✓ zoe

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mit f(x)=x²-x² - 3x + 4. Bestimme die Koordinaten aller Hoch-, Tief- und Wendepunkte. sieben (6,5 Punkte) Aufgabe 6: Forscher untersuchten fünf Tage lang das Wachstum einer bestimmten Bakteriensorte. Hierbei ergab sich, dass die von den Bakterien bedeckte Fläche durch die Funktion 9 f(1) = √²/²³ - 1²/31 ² + ² x + 2 für 0 ≤t≤7 2 3 4 5 Graph von f(x) beschrieben werden kann. Hierbei bezeichnet f(t) die bedeckte Fläche in mm² zum Zeitpunkt t in Tagen. a) Berechne den Zeitpunkt an dem die bedeckte Fläche maximal ist. b) Bestimme die Zeiträume, in denen die bedeckte Fläche sinkt. c) Bestimme den Zeitpunkt an dem das Wachstum der Fläche maximal ist. Ein Rennwagen rutscht im Punkt P(alf(a)) von der Fahrbahn ab und bewegt sich geradlinig auf die rot eingezeichnete Bande zu, welche durch die Geradengleichung y = 3 beschrieben wird. Er trifft im Punkt Q(013) auf die Bande. Berechne die Koordinaten des Punktes P, an dem der Rennwagen die Fahrbahn verlassen hat. (2,5 Punkte) Aufgabe 7: Die abgebildete Kurve einer Rennstrecke lässt sich durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = 2-0,25x² beschreiben. y = 3 -2 0 (2,5 Punkte) (1,5 Punkte) (2,5 Punkte) 1 2 VIEL ERFOLG NEW NEW NEW Mathe Klausur Aufgabe 1 a) f(x) = √√5x +4 U(X) = √ V(X) = 5x + 4 f'(x) = 5 - = 2 = 2,5 (5X14) b) f(x) = (4x-5) luo U(X) = V(x) = 4x-5 X 10 2 c) f(x) = 2-3x a) f(x) = - 4(x) = ²x V(X) 2-3x f'(x) = 4 ⋅ 10 (4x-5) 1 (5x+4) ¯ { 9 40 (4x-5) ⁹7 Verkettung 10 U(X) = X v(x) = u'(x) = V (X) = u(x) = sin (x) V(x) = COS (x) 2 f'(x) = -3- -1 (2-3x)² 3(2-3x)² → Verkettung u'(x) = 10 x V'(X) = 4 9 sin (x) · cos(x) sin(4x) 1 2 X 5 e) f(x) = x² • Sin (4 x) u'(x) = 2x = 2- (2-3x) u'(x) = -1x V'(x) = -3 - 슬 9 2 1 712 u'(x) = COS (x ) v'(x) = sin (x) ceser) cos(x) W STATX) f'(x) = cos(x) = cos (x) - Sin (x) · Sin (x) ✓ - g(x) = g'(x) = → Verkettung Verkettung und Produktregel Produktregel f'(x) = 2x - Sin (4x) + 4 cos (4x) 2x - Sir Zoe G h(x) = 4x h'(x) = 4 14 sin(x) cos(x) → √V'(x) = 4⋅cos (4x) X 2 ^ i 112 A1: 4,5/5 2 2 A2:414 Aufgabe 2 -gegeben: f(x). a) Tungusapere -geg= ges. Tangentengleichung t(x) = f'(a) (x-a) + f(a) Rechnung a = 2 = 1 3 f(x) = ¾ x³ - 2x + 1 3 f'(x)=x²-2 f'(x) = f'(a) ma f₁ (2) = 2²-2 = 2 + (x) = 2 - (x-2) - = 2x - 4 - 3 13 2X-13³ P (21 f(2)) X b) g: y = - 2x + 7 Steigung von y 2 also muss - X f (a) einseiten in Tangentengleichung 2 2 = 1 O 2 3 = f(2)= 3 - 2²³²-2-2+1 on dem Geraden g = 3.8 11 11 = I داس -2 3 Soll parallel tur Tangente sein 4+1 f'(x) = -2 142 15 X=0 f(0) = 3·0²-2-0 + 1 = 1 Im Punkt P(011) verläuft die Tangenie Grapnen van If parallel zur Aufgabe $ 4 a) Nein, da keinen b) c) wahr. Am Graph von f'(x) sient man, Intervall L1; 23 dass -geg- Wanr. An der Stelle X=-1 hat der Grapn der Funktion f eine Minimumstelle, da flux) an dieser Stelle eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel von - nach + hat d) faisch. Í X = 4 hat im Graph von f'(x) Das heißt f "(4) Aufgabe 5 2 f (x) >O ist Das heißt der Grapn von f ist streng monoton steigend. Somit ist f (2) größer als f (1). eine positive Steigung muss >O sein. Ableitungen: X2 F A f(x) = 3 x 214 = 2 = √ 4+12 2 X₁ = 2+4 2 = 2-4 Extremstellen Nullstellen von f'w: (x) = O x ² - 2x-3 = 0, X 2 ± √(-2) ²-4-1-(-3) N 41 f'(x) an der Stelle X=3 Verzeichenwechsel. hat 01 2 2.1 11 co/~ =-2² = 3 = 11 f'(x) = x ² f"(x) = 2x - 2 f (x) = 2 X 2 3 2 ± √16 2 1 - 3 x 2x + 4 - 3 einsetzen in f" (x): f(3) = 2.3-2 = 6-2 =4>O →Tiefpunkt F" (-1) = 2 · (-1)-2 = -2-2 -4<0 Hochpunkt einsercen in f(x) f(3) = 3-3 = = 2 9-9-9 +4 17 3 ✓ 3²-3·3+4 1 1 A4: 414 5 f(-^) = 3 - (-1) ³ - (-1) ²- 3- (1) 14 = -1 +3 +4 →T (31-5) / → H (-11 ²1/³3) ✓ zoe