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Klausur Integrale und Vektoren

23.9.2022

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19.03.2021
Name:
(2)
Aufgabenstellungen:
a) In Abbildung 1 ist der Graph der
Funktion f gegeben.
(1)
1. Klausur
Mathematik, Grundkurs
Prüfun
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a) In Abbildung 1 ist der Graph der
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19.03.2021 Name: (2) Aufgabenstellungen: a) In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion f gegeben. (1) 1. Klausur Mathematik, Grundkurs Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel (max. 35 min - 18 Punkte) Berechnen Sie den Flächen- inhalt der markierten Fläche. Erklären Sie, warum gilt. f(x) dx = -2,2 gilt. (1+2 Punkte) -4 c) Berechnen Sie folgende Integrale. (1) 5x³+3x²-x-3 dx A1 = 14 -3 b) Geben Sie jeweils eine beliebige Stammfunktion F von f an (1) f(x) = 9x² - 4x + 3 -2 2 1 A3=1.5 Afind 1 2 3 A2 = 1.5 A4 = 3.6 -1 3 (2) S x²-x dx -1 d) Geben Sie jeweils einen Punkt im Raum an, der ... (1) ... in der x₁-x₂2-Ebene liegt. (2)... auf der x3-Achse liegt Ty (2) f(x) = x³ + x²-x Seite 1 von 1 -2 Mathematik Q1.2- GK3 4 ✿ 5 (1+1 Punkte) (3+2 Punkte) e) Gegeben seien die Punkte A(0/2/-1) und B(2/0/4). (1) Bestimmen Sie die Koordinaten des Verbindungsvektors AB und geben Sie den Gegenvektor an. (2) Bestimmen Sie den Mittelpunkt C der Strecke AB . (1+1 Punkte) Viel Erfolg!!! (3+3 Punkte) 1. Klausur Aufgabe d WIFE = A₁ + A² + A3+ Au = 1₁4 + 1,5 + 1,5 +3.6 = 5 FE (2) ≤ f(x) dx = -2,2 gilt, d (11) F(x) = 3x²³ (2) F(x) = 3x² + 3x²³. = LI [1] c) (1) ≤ (x³ + 3x² - x - 3) dx = [4x + x² - 2x - 3x² = ( ²4 · 24 + 2³ - ²/2 · 2²-3-2) - = ( 4 · 16+ 8-2-61 = 14 +8-2-6) = da Az sowie A4 im negativen Bereich liegen somit...

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würde man 1,9-1,5+1,5-3,6 rechnen und auf -2,2 kommen. Hilfsmittelfreier Teil =0 - 144 144 A 1₂2 - 2x²² + 3x +C to F T J (² + 1³ - 2/2 - 1²-3-1) 수 + 1-2-3) û + 1 - 12/2 - 31 -3 看 () (2) S (x³ - x) dx -4 A = ²X² + x²] = ( ²₁ · 1ª - 3.1²) - ( ² · (-1)ª - 3. (-1)²) 솜) MIJ 3 לס 19 213 23.211 212 Achtung. 213 212 Finesklame 212 1313 313 W A(11-210) (2) B(01019) el ( AB # # AB = Gegenvektor: (1) (2) OM² = OK + 2 AB OM = (1²5) -OA+OB (一只)+(意) + + ✓ ✓ V 19.03.2021 Name:_ Wichtige Infos zu den Operatoren: Berechnen 1. Klausur Mathematik, Grundkurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmittel (max. 100 min - 45 Punkte) Bestimmen/ ermitteln Ergebnisse mit Darstellung von Ansatz und Berechnung gewinnen (Aufschreiben und rechnen, wie bei einer Erarbeitung ohne Hilfsmittel. Nur die letztendlich Rechnungen mit GTR berechnen) Aufgabe 1: (20 Punkte) a) Gegeben ist der Graph der Funktion f. Für die Funktion f gilt f(x) = 0,1x¹ +0,1x³ - 1,3x² -0,1x + 1,2 Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Seite Mathematik Q1.2 GK3 Zusammenhänge bzw. Lösungswege aufzeigen, das mee Vorgehen darstellen und die Ergebnisse formulieren (Kennzeichnen, welche Ergebnisse mit GTR berechnet wurden) +6 c) Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = -x(x-8) und g(x) = x(x − 8) sowie der Kreis mit dem Mittelpunkt M(4/0) una aem kaaius 2. Bestimmen Sie den Inhalt der weißen Fläche des ,,Auges". 2- 1+ O -2+ -4+ 2 (5 Punkte) b) Die Funktionen f und g mit f(x) = x³ - 6x² + 9x und g(x) = − 1x² + 2x schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 4 (10 Punkte) 6 (5 Punkte) Aufgabe 2: (10 Punkte): finanziellen Einbuße der letzten Monate möglichst zügig zu relativieren, bietet ein Outlet-Zentrum Durch die Lockerungen der Corona-Beschränkungen dürfen Outlet-Zentren wieder öffnen. Um die an. Der Besucherandrang wurde an einem Samstag gemessen. Das Zentrum ,,All-Day-Shopping" öffnete um 8:00 Uhr morgens (t=0). Die Funktion f mit f(t) = ³ +21² + beschreibt den Besucherandrang für. Dabei gibt t die Zeit der vergangenen Stunden seit Urnung des Zentrums und f(t) die Besucheranzahl pro Stunde a) Bestimmen Sie das folgende Integral und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang: 14 f f(t) dt an. c) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt das Zentrum 250 Besucher hat. b) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Besucherandrang von 11:00 bis 18:00 Uhr. Aufgabe 3: (7 Punkte): Gegeben seien die Punkte A(5|1|2), B(2|4|2) und C(-1|1|2) (3+4+3 Punkte) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und einig ist und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. ( 7 Punkte) Aufgabe 4: (8 Punkte): Untersuchen Sie, ob das Viereck ABCD ein Trapez, ein Parallelogramm, eine Raute, ein Rechteck oder ein Quadrat ist. A(2|1|4); B(3|3|7); C(2|5|8); D(1|3|5) (8 Punkte) Viel Erfolg!!! 1. Klausur Aufgabe 1. a)f(x) = 0₁ 1x² +0, 1x³ - 1,3x² - 0₁1x + 1₁2 mit Hilfsmittel O = f(x) X₁ = -4 X₂ = -1 X3 = 1 x4 = 3 $(0,1x² + 0,₁1x³ - 1,3x² -0,1x + 1,2) dx -^ = [0,02x³ + 0,025x4 - 13³0x²³ - 0,05x² + 1₁² x 14 = - 8,865 F₁ = 18,8651 $(0,1x² + 0₁ 1x²³ - 1,3x² - 0₁1x + 1,2)dx D = [0,02x³ + 0,025x" - 3³x² - 0,05x² + 1,2x] = 1.57 F₂ ✓ $ (0,1x² + 0₁ 4x² - 1,3x² - 0₁ Ax + 1, 2)dx = [0,02x³ +0,025x² - 3 ³x³ - 0,05x² + 1₁2 x 1² -2,43 A3 12,431 FE= F₁₁ + A₂ + A3 = = 8,865 + 1,57 + 2,43 =12,865 FE Antwort: Der Inhalt, der eingeschlossen wird, beträgt 12,805 FC. g(x)==-²2 x ² A b) f(x) = x² - 6x² + 9x und f = g x² - 6x² + 9x = - ²x² + 2x 2 x² - 4x² + 9x = 2x 11 2 10 = x²³ - ²x² + 7x 1²x O = x (x² - 2x + 7) 1-2x P= -5,5 X₁ = 0 = x² - 2x + 7 X212 = - (²²³2²) ± √(-525) ² - 71 9 = 7 X213 = 2,75 ± 0,75 X₁²0 X₂ = 2x 2 X3 = ✓ 19.03.2021 2 Z 515 -A- 12 1415 8110 XA = O X₂ = 2 Ś (x³ - ¹2/³x² + 7x) dx X3 = 3 = (²-24-¹1-2³+3.2²) - ( â·0ª - ¹¹.0³ + ¾ .0² ) 3,33 = A FE= A $ (x²- ^^x² + 7x) dx = [4x4 - 4x³ + x²] =14-3¹-44-3³+ · 3²) - (4-24-1-2³ +²·2²) ~ -1,55 F₂ = 11,551 + H₂ 1 = [0;3] ≤) f(x) = - ¾ x(x-8) $(f-g) dx Akzarre AK 12.57. 21,33 FE = 3,33 + 1,55 =4,88 FE Antwort: Beide Funktionen schließen eine Flache mit dem Inhalt 4,88 FE ein. 3 x(x-8) AF - AK = Aw 21, 33-12,57 = 8,76 FE AK-Aus = V AKs = πr-r² 0,79 f(t 3(-2+ Es 43 11,78 FE له Antwort: Die weiße Fläche hat den Flächeninbalt 12,57 FE bzw. M.PIFE, wenn die schwarze Fläche auch abgezogen wird. f 61 f(3) f(3) fuc m= Ant eio. Aufgabe 2. at f(t) = - = + ³ + 2 + ² + £ + 49 § (-²+³ + 2+² + ½ t) d# = [ 2²³ +²° + 5 +³ + √ √ ² Is 439,07 by f(3) = -7.3² +2·3² + ½·3 f(3) = 15,64 16 $(10) = -1 · 10³ +2·10² + ¾·10 f(0) = 62, 19≈ 63 63 16 M = 10 ≈6,71~8 Antwort: Der durchschnittliche Besucher- drang liegt bei ungefähr 80 Besuchern von 11 bis 18 Uhr. c) 25 = 1/2 +³ + 2 + ² + ² + 1-25 - O = − X=4 2 + ³ + 2 + ² + 2 +-25 X₂ = 13 Antwort: Das Zentrum bat ungefähr um 120hr und um 210 hr 250 Besucher. f TEL. 113 falsehr Ausal falsch Aurak 013 4- AC ist di Baris 6/767 Aufgabe 3. A(5/112) 3/2/412) C(-11/12) = XA = AB= -0A +03 KA ×3 S = √(-3)² + 3² +0² = 4,24 = -OB + OC A3 = 3 A = = c.hc A= 2.6.3 A 9FE 5-√√(-3)² + (-31² +0² = 4,24 a *3 AC = -OK + OC xz S = √(-6)² + O² +0² OM = ŌẢ + ½ · A Č = = + + ✓ MC = - OM + OC = ( ³ ) + (1) S = √(-3)² + 0² +0² Antwort: Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks beträgt 9FE. ✔ Aufoabe 4. A(2/14) 3131317) C121518) 0111315) D X₁ AĎ--ŌÅ + OB = (1) A3 = -0² + 03 = -4+ 3 2 ܠܐܢ 4 Parallel 3 = = D C BC = -03 +02 zwei Symmetrie- achsen = 4 CD = -OC+03 = ( ³₁ ) + ( ³ ) Gegenvektor Parallel Antwort: Das Viereck ABCD ist eine X₂ 19.03.21 Raute, da die gegenüber- liegenden Seiten (AD BC & AB<> B) zu einander parallel sind. Außerdem kann man in der Skizze ungefähr sehen, dass es eine Raute ist und es gibt zwei Symmetrieachsen, welche eine Eigenschaft der Raute sind. Langen + Diajonch --5- gegenüber liegenden 518 Dadurch kann das Parallelogramm direkt ausgeschlossen werden, da dies keine Symmetrieachsen hat. Das Trapez hat nicht alle Seiten parallel zu einander und das Quadrat hat alle Seiten gleich lang. ) gera 6 163 A 73% 15.4.21 28