Körperberechnungen

Alternativer Bildtext:

(9cm+4cm)/2*6cm G (Prisma) 13cm/12cm G (Prisma) = 1,08cm² A V (Prisma) = G*h V (Prisma) = 1,08cm*6cm V (Prisma) = 6,48cm³ G (Dreieck) = 1/2 *a*b G (Dreieck) = 1/2*3cm*5cm G (Dreieck) = 7,5cm² V=G*h V= 7,5cm*9cm V= 67,5cm³ Aufgabe 3) Textaufgaben: G=50m*40m G=2000m² V=G*h V=2000m*0,3m V=600m³ 9cm 6cm H 4cm G=1/2*15cm*12cm G=90cm² 5cm 3cm 6cm 8cm Die Grundfläche (Rechteck) hat die Seitenlänge 50m und 40m. Die Höhe des Prismas beträgt 30cm. G=a*b 12cm 5cm 5cm 9cm Die Grundfläche ist ein Dreieck, dessen Grundfläche 15 cm lang und 12 cm hoch ist. Die anderen Seiten des Dreicks sind 14 und 8 cm lang. Das Prisma ist 1 dm hoch. G=1/2*a*b G=1/2*a*b G=1/2*14cm*8cm G=56cm² V=G*h V=90cm*10cm V=900cm³ Buch S.165, 1. a) Beispiele für Prismen im Alltag: • Toblerone Schokolade Verpackung • Buch • Manche Stifte • Geschenkbox b) Definition für Prisma: Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der von zwei in zwei parallelen Ebenen liegenden kongruenten Vielecken (als Grundfläche und Deckfläche) und von Parallelogrammen (als Seitenflächen) begrenzt wird. c) Unterschied zwischen einem geradem und schiefem Prisma: Die Fromeln sind bei beiden Prsimaarten gleich außer die, mit der man die Höhe berechnet. Ein schiefes Prisma hat die gleiche Grundfläche wie ein gerades Prisma. d) Schrägbild und Netz eines geraden Dreiecksprismas: e) Formel für das Berechnen des Volumens: Es kommt auf die Art des Prismas an, aber man braucht die Größen: Höhe, Grundfläche, a und b f) Volumen und Oberfläche berechnen: V=G*h V=320cm*10cm V=3200cm³ V=G*h Mantelfläche V=660cm*11cm V=7260cm³ G=1/2*a*b*h G=1/2*8cm*8cm*10cm G=320cm² G=1/2*a*b*h V=G*h G=1/2*10cm*12cm*11cm V=56cm*10cm V=560cm³ G=660cm² Buch S.165, 2. a) Herleitung des Volumenformels: Wenn man einen Quader oder Würfel schräg durch die Mitte zerteilt, sieht man, dass ein Prisma entsteht. Wenn man die Hälfte dieser wieder andersherum an den halben Quader (jetzt Prisma) lehnt entsteht wieder ein Quader, was ebenfalls zur Familie der Prismen gehört. Wenn man einen großen Körper hat, kann man diesen in drei verschiedene Prismen verteilen und deren Volumen einzeln ausrechnen und dann addieren, damit man das Volumen des großen Körpers erhält. b) Volumenformel des schiefen Prismas: mit dem Bild wird deutlich gemacht, dass das Volumen sich bei einem schrägen Prisma nicht verändert, da es ja nur verschoben wurde. Die Anzahl und die Farben der Blätter machen dies auf dem Bild gut erkennbar. Zylinder • Wenn man den Zylinder zerlegt, sieht man, dass der Zylinder aus zwei parallel überliegenden Kreisflächen und einer rechteckigen Mantelfläche. • Die Fläche eines Kreises kann man mit der Formel A = π*r² berechnen. • Der Umfang eines Kreises kann man mit der Formel • U = d*π Berechnungen von Zylindern: Volumen (V): V = G*h V = π*²*h Mantelfläche (M): M = U*h Oberfläche (O): O = M+2G Aufgaben mit Zylinder: Aufgabe 1) d = 7cm, h=8cm, V = ? V = π*r²*h V = π*3,5cm²*8cm V = π*12,25cm²*8cm V = 308cm³ Aufgabe 2) d = 8cm, V = 150ml³, h = ? V = π*²*h→→V/*r² = hh = V/π*r² h = 150ml³/π*(4cm)² h = 150cm³/50,24 h = 3cm Oberfläche Grundfläche Buch S.168, 15. Die Formel für das Volumen eines Hohlzylinders: V=n*(₂²-²)*h Die Fromel ähnelt dem von einem normalen Zylinder, denn mit pi berechnet man den Kreis und die Radien sind von den jeweiligen Kreisauschnitten. Die Höhe multipliziert man hier ebenfalls. Die Formnel für den Oberflächeninhalt eines Hohlzylinders: O=M außen + M innen + 2*G Kreisring Man findet Hohlzylinder im Alltag als Küchenrolle, Mülleimer oder auch Glas. Schrägzylinder • hat eine runde Grundfläche, eine gleich große Deckfläche und eine Mantelfläche • Ist ein Zylinder, der um einen bestimmten Neigungswinkel gekippt ist Berechnungen von Schrägzylindern: Volumen (V): V = π*r²*h V = G*h Grundfläche (G): G (Kreis) = n*r² Höhe (h): h = V/π*r² Radius (r): r = √V/h*π Aufgaben mit Schrägzylindern: Aufgabe 1) Berechne das Volumen des Schrägzylinders mit dem Umfang 5cm und der Höhe 8cm: r=U/2*π r=5cm/2*m r=7,85cm V=π*r²*h V=π*7,85cm²*8cm V=197,192cm³ -Deckfläche Höhe Mantel Grundfläche Aufgabe 2) Berechne die Höhe des Schrägzylinders mit dem Volumen 18cm³ und dem Durchmesser 1,8cm: h=V/π*r² h=18cm³/n*0,9cm² h=5,16cm Aufgabe 3) Berechne den Radius des Schrägzylinders mit dem Volumen 12cm³ und der Höhe 6cm: r=√√V/π*h r=√/12cm³/n*6cm r= √√22,93 r=4,79cm Aufgabe 4) Berechne das Volumen des Schrägzylinders mit dem Durchmesser 2,5cm und der Höhe 6cm: V=π*r²*h V=π*1,25²*6cm V=29,44cm³ Pyramide • ihre Seitenflächen bestehen aus Dreiecken jede Pyramide hat eine Spitze . Berechnungen von Pyramiden: Gesamtkantenlänge (K): K 2a+2b+4K Satz des Phytagoras: a²+b² = c² c = √a²+b² Kantenlänge (K): k²= h²+(c/2)² k = √h²+(c/2)² Volumen (V): V = 1/3*G*h Oberfläche (O): Quadratische Pyramide O=a²+2*a*√(a/2)²+h² Rechteckige Pyramide O= a*b+a* √/(a/2)²+h² +b*(a/2)²+h² Pyramide A: h=10,06m, a=1,97m V=1/3*a²*h V=1/3*1,97m²*10,06m V=12,88m³ Pyramide B: h=5,98m, a=3,12m V=1/3*a²*h V=1/3*3,12m²*5,98m V=19,21m³ Pyramide C: h=4,01m, a=4,04m V=1/3*a²*h V=1/3*4,04m²*4,01m Aufgaben mit Pyramiden: Aufgabe 1) Sortiere die Pyramide nach der Größe ihres Volumens. Die Grundflächen der Pyramiden sind Quadrate. V=21,6m³ a 4. 2. a 1. k a b Pyramide D: h=1,99m, a=5,09m V=1/3*a²*h V=1/3*5,09m²*1,99m V=17,01m³ Aufgabe 2) Die Cheops Pyramide hat eine Länge von 230m, eine Breite von 230m und eine Höhe von 139m. Wie groß ist ihr Volumen? V=1/3*a²*h V=1/3*230m²*139m V=2426523m³ Aufgabe 3) In der Ecke eines Kellerraumes liegt eine Sandhaufen schräg aufgeschüttet. Die Spitze des Sandhaufens liegt 1,50m über der Bodenecke. Die quadratische Grundfläche des Sandhaufens beträgt 6m². Wie groß ist das Volumen des Sandhaufens? V = 1/3*G*h V=1/3*6m²*1,5m V=17,82m³ Aufgabe 4) Gegeben ist eine gerade Pyramide. Die Grundfläche dieser ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a=3cm und b=4cm. Die Höhe h der Pyramide beträgt 7cm. Berechne die Gesamtkantenlänge der Pyramide. K = √h²+(c/2)² K=√7cm²+(5/2)² K=√55,25cm K=7,43cm K = 2a+2b+4K K=2*3cm+2*4cm+4*7,43cm K=43,72cm 3. Aufgabe 5) Berechne die Oberfläche der Pyramide. Ihre Grundfläche ist quadratisch. O=a²+2*a* √(a/2)²+h² O=18²+2*18*√(18/2)²+7,94² O=360*9+63,0436 O=3303,04cm² h=√/s²-0,5*a² h=√/15cm²-0,5*18cm² h=√63 h=7,94cm Kegel ist ein dreidimensionaler Körper • entsteht, wenn man alle Punkte eines Kreises mit einem Punkt außerhalb der Kreisebene verbindet Berechnungen von Kegeln: Oberflächeninhalt (O): O = G+M О = π*²+¹*r*s Volumen (V): V = 1/3*G*h V = 1/3*π*²*h Mantelfläche (M): M = π*r*s O = a²+2*a*√/(a/2)²+h² O=4cm²+2*4cm*√/(4cm/2)²+4cm² Aufgaben mit Kegeln: Buch S.173, 8. Oberflächeninhalt und Volumen einer quadratischen Pyramide und eines Kegels vergleichen: quadratische Pyramide - a=4cm, h=4cm Kegelr=2cm, h=4cm O=63,71cm² s=√(h²+r²) s=√(4cm²+2cm²) s=4,47cm О = π*r²+Ï*r*s О=π*2cm²+1*2cm*4,47cm O=40,63cm² V=1/3*a²*h V=1/3*4cm²*4cm V=21,12cm³ Buch S.173, 10. Die Werte der Variablen bestimmen: V = 1/3*π*r²*h V=1/3*1*2cm²*4cm b) X=√18,69 c) X=√√22,68 d V=16,583 S Buch S.173, 9. Vergleiche die Volumina des einbeschriebenen Kegels und des Doppelkegels. Was lässt sich aus der Mantelfläche aussagen? Ich denke, dass das Volumen des grünen Kegels größer ist, aber die Mantelfläche dagegen viel kleiner. Buch S.174, 14. Das Zelt ist 13m hoch und hat einen Durchmesser von 12,8m. Vergleiche die Größe des Innenraumes mit der deines Klassenzimmers. Wie viel m² Fell braucht man für das Zelt? Volumen des Zeltes: V = 1/3*π*r²*h V=1/3*n*6,4m²*13m V=551,76m³ Volumen des Klassenraumes: G=1/2*a*b G=1/2*9m*9m G=40,5m² M = π*r*s M=π*6,4m*14,49m M=291,19m² V=G*h V=40,5m*2,5m V=81m³ Der Innenraum des Klassenzimmers ist wesentlich kleiner als der vom Zelt. s=√(h²+r²) s=√(13m²+6,4m²) s=14,49m Man braucht ca. 291,19m² Fell für das Zelt. Kegelstumpf und Pyramidenstumpf • Ein Kegelstumpf entsteht dann, wenn man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet • Ein Pyramidenstump entsteht dann, wenn man von einer Pyramide parallel zur Grundfläche an den Mantelflächen eine kleine, ähnliche Pyramide abschneidet Berechnungen von Kegelstümpfen und Pyramidenstümpfen: Mantellinie (M): M = √(r Grundfläche - r Deckfläche)² +h² Oberfläche (O): O = A (Grundfläche) + A (Deckfläche) + A (Mantelfläche) O = n*(r² Grundfläche + r² Deckfläche + m*(r Grundfläche + r Deckfläche)) Volumen (V): V = 1/3*h*n*(r² Grundfläche + r Grundfläche + r² Deckfläche + r Deckfläche) Volumen (V): V = h/3*(a²+a+b+b²) Oberfläche (O): Oa²+b²+2*(a+b)*hm Kantenlänge (K): K = a/b K = k/k oben G μ Aufgaben mit Kegelstümpfen und Pyramidenstümpfen: Aufgabe 1) r Grundfläche=16cm, r Deckfläche-7cm, m=30cm O = π*(r² Grundfläche + r² Deckfläche + m*(r Grundfläche + r Deckfläche)) О=π*(16cm² + 7cm² + 30cm*( 16+ 7)) O=3124,3cm² r Grundfläche=74cm, r Deckfläche=18cm, h=90cm M = √(r Grundfläche - r Deckfläche)² +h² M=√(74cm - 18cm)² +90² M=√11236 M=106cm r Grundfläche-8,5cm, r Deckfläche-3cm, h=17cm V = 1/3*h*n*(r² Grundfläche + r Grundfläche + r² Deckfläche + r Deckfläche) V=1/3*17cm*n*(8,5cm² + 8,5cm + 3cm² + 3cm) V=1633,83cm³ μ 3 D G Th Aufgabe 2) a) r Grundfläche=35cm, r Deckfläche=10cm, m=40cm O = π*(r² Grundfläche + r² Deckfläche + m*(r Grundfläche + r Deckfläche)) О=п*(35cm² + 10cm² + 40cm*(35cm + 10cm)) O=9812,5cm² r Grundfläche=12cm, r Deckfläche-4cm, m=20cm O = π*(r² Grundfläche + r² Deckfläche + m*(r Grundfläche + r Deckfläche)) O=n*(12cm² + 4cm² + 20cm*(12cm + 4cm)) O=1507,2cm² b) r Grundfläche=18cm, r Deckfläche=7cm, h=35cm M = √(r Grundfläche - r Deckfläche)² +h² M=√(18cm - 7cm)² +35cm² M=√1346 M=36,69cm r Grundfläche=21cm, r Deckfläche-9cm, h=32,5cm M = √(r Grundfläche - r Deckfläche)² +h² M=√(21cm - 9cm)² +32,5cm² M=√1068,25 M=32,68cm c) r Grundfläche=7,8cm, r Deckfläche=4cm, h=21cm V = 1/3*h*n*(r² Grundfläche + r Grundfläche + r² Deckfläche + r Deckfläche) V=1/3*21cm*n*(7,8cm² + 7,8cm + 4cm² + 4cm) V=1928,82cm³ r Grundfläche=9cm, r Deckfläche=6,6cm, h=37,5cm V = 1/3*h*n*(r² Grundfläche + r Grundfläche + r² Deckfläche + r Deckfläche) V=1/3*37,5cm*n*(9cm² + 9cm + 6,6cm² + 6,6cm) V=5446,27cm³ Aufgabe 3) a) In einem Krieg mit den Aliens wurde die Spitze von der Pyramide von Gizeh abgeschnitten. Sie ist jetzt nur noch 120m hoch, 230m breit und die Kantenlänge der Schnittfläche beträgt 50m. Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes. V=h/3*(a²+a*b+b²) V=120m/3*(230m²+230m*50m+50m²) V=25118000m³ Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt 25118000m³. b) Du möchtest einen Pyramidenstumpf bemalen. Berechne wie viel Farbe du brauchst, wenn du 170ml pro m² brauchst. Die Grundfläche ist 1m breit und die Schnittfläche 70cm. Die Mantelfläche beträgt 1,5m. O=a²+b²+2*(a+b)*hm O=100cm²+70cm²+2*(100cm+70cm)*150cm O=65900cm² O=6,59m² Man braucht ca. 1,11 Farbe für die Bemalung des Pyramidenstumpfes. c) von einer Pyramide wurde die Spitze abgeschnitten. Jetzt ist es ein Pyramidenstumpf. Berechne die Kantenlänge oben, wenn die Grundfläche 15m lang, die Schnittfläche 10m lang und die ursprüngliche Kantenlänge 18m beträgt. a/b k/k oben 15m/10m=18m/k oben |*k oben /1,5 15m k oben=18m k oben=12m Die Kantenlänge oben beträgt 12m. Kugel • Man muss die Formeln der Kreisberechnungen können • Die Kugel besitzt weder Knaten noch Ecken • Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetriebenen Berechnungen von Kugeln: Oberfläche (O): O = 4*π*r² O = π*d² Durchmesser (d): d = 2*r Umfang (u): u = 2*π*r u = π*d Volumen (V): V = 4/3*T*r³ Aufgaben mit Kugeln: Aufgabe 1) Berechne das Volumen einer Kugel mit einem Radius von 5cm. V = 4/3*T*r³ V=4/3*π*5cm³ V=510cm³ Aufgabe 2) Berechne das Volumen einer Kugel mit einem Umfang von 7cm. V = 4/3*π*r³ V=4/3*n*1,11cm³ V=5,58cm³ r=U/(2*π) r=7cm/(2*π) r=1,11cm Aufgabe 3) Berechne den Umfang einer Kugel mit einem Volumen von 10cm³. U=2*π*r U=2*T*2,87cm U=18,02cm r= √(3*V/(4*π)) r= √(3*10cm³/(4*π)) r= √23,55cm r=2,87cm U Aufgabe 4) Sandra ist mit ihren Freunden am Strand und möchte mit dem Wasserball spielen. Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball pusten, damit er einen Durchmesser von 50cm hat? V = 4/3*π*r³ V=4/3*n*25cm³ V=63781,25cm³ Sandra muss ca. 63,781 Luft in den Ball pusten. Aufgabe 5) Nach einem Hagelschauer hat Herr Sammler jede Menge Hagelkörner aufgesammelt. Alle Hagelkörner sind nahezu kugelförmig und haben einen Durchmesser von durchschnittlich 2cm. Herr Sammler hat insgesamt 47 Hagelkörner aufgesammelt. Wenn alle Hagelkörner schmelzen würden, könnte er dann das Wasser in einem 21 Eimer aufbewahren? V = 4/3*π*r³ V=4/3*π*1cm³ V=4,082cm³ 4,082cm³*47= 191,854cm³ 191,854cm³=0,191 Herr Sammler könnte die geschmolzenen Hagelkörner in dem Eimer aufbewahren. Aufgabe 6) a) d=14,7cm O = π*d² O=π*14,7cm² O=678,54cm² c) r=7,5cm O = π*d² О=π*15cm² O=706,5cm² e) O=5387cm² r=√(0/(4*π)) r=√ (5387cm²/(4*π)) r=√428,90cm² r=20,71cm • Panka Patartics b) d=65cm O = π*d² О=π*65cm² O=13266,5cm² d) r=2,3cm O = π*d² О=π*4,6cm² O=66,44cm² f) O=1436cm² d=√(O/π) d=√457,32cm d=21,39cm