komplettes Matheabi, Themenübersicht, Lernzettel

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von Messergebnissen) 9.3 Erweiterungswert, Standardabweichung → theoretische Wahrscheinlichkeit (Zukunft, Prognose) 9.4 Bernoulli-Experimente; Bionomialverteilung 9.5 Praxis der Bionomialverteilung 9.5.1 Test von Hypothesen mittels Entscheidungsregel (Stichprobe) 9.5.2 μ,0, Sigmaregel 9.6 Problemlösen mit der Bionomialverteilung 9.6.1 Komplexe Anwendung [p,n.k vorher berechnen, M (Entschädigungszahlung)] 9.6.2 Anzahl n bzw. k ermitteln 9.6.3 Treffer wahrscheinlichkeit ermitteln 10 Sonstiges 10.1 Taschenrechnerbefehle 10.1.1 Rechnungen 10.1.2 Graphen 10.2. Dreiecke 10.3 binomische Formeln 10.4 Umfang, Flächeninhalte, Volumen 10.5 Fenler | Probleme 2 ^^ ^^ ^^ 12 12 12. 12 12 13 13 13 13 13 14 A4 14 14 A4 14 AS AS 15 15 AS AS AS 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 KURVENDISKUSSION 1.1 Nullstellen Die Gleichung mit 0 gleichsetzen Beispiel: f(x)=3x² + 12x + 24 f(x)=0:3x² + 12x-15 = 0 1:3 <=> x² + 4x-5=0 x₁=2+√√2²+5₁ X₂=-2-√2²+5 x₁ = -2+3 ; x₂ = -2-5 = A ; x₂ = -7 =>Schnittpunkte mit der X-Achse 1.2 Extrempunkte 1. Ableitung bilden 2.1. Ableitung mit Ogleichsetzen [notw. Bed.] 3. mögl. Extremstelle in 2. Ableitung einsetzen >0→Tiefpunkt <0 → Hochpunkt ODER Vorzeichenwechsel. - nach →Tiefpunkt, + nach →Hochpunkt J 4. mögl. Extremstelle in Funktion einsetzen 5. Extrempunkt aufschreiben Beispiel: f(x)=x²+5 f'(x)=2x_f"(x)=2 hinr. Bed.: f'(x)=0 A f(x)=0 f" (0)=2>0} f(0) = 5 [notw. Bed.] f(xe) = 0:2x = 0 => mögliche Extremstelle xe = 0 Ipq-Formel Tiefpunkt (0/5) Wertebereich: [x^; X₂] 1.3 Verschiedenes Symmetrie: Achsensymmetrie →nur gerade Exponenten Sattelpunkt: Wendepunkt mit der Steigung o Grenzwerte: lim [f(x)]-+-00; lim [f(x)]=+-00 X→ +00 X-8 ODER: hinr. Bed. f'(x)=0 ^ VZW bei f'(x) f'(-0,6)=-17 f'(0,5) = 1 Bei Sachzusammenhang: Randwerte beachten! F"(x)=0 →Sattelpunkt hinr. Bed. -VZW - → + Tiefpunkt Punktsymmetrie →nur ungerade Exponenten Schnittpunkte Koordinatenachsen: f(x)=0→Nullstelle und f(0) = x →Schnittpunkt mit der y-Achse Graph zeichnen anhand von Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten, Symmetrie, Ableitung und Grenzwerten Ableitung (zeichnen): f(x1=ax²+bx+c → f'(x1=2ax+b+c YA-Y₂ momentane Änderungsrate: durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten m = x₁-x₂ Monotonie: in welchem Bereich der Graph fällt / steigt streng monoton steigend f'(x) >0 streng monoton fallend f'(x) <0 3 1.4 Wendepunkte 1. Ableitungen bilden 2. Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen [notw. Bed.] 3. mögl. Wendestelle in 3. Ableitung einsetzen (f(x) =0) oder Vorzeichenwechsel bei f"(x) (hinreichende Bedingung) 4. Wendestelle in Funktion einsetzen → Wendepunkt 5. Wendestelle in 1. Ableitung einsetzen → Steigung des Wendepunkts Beispiel: f(x)=x-2x¹²+2 f'(x) = x² - 4x _f"(x)=3x²-4_f"(x) = 6x [notw. Bed.] f(x)=0:3x²-4=0=>mögl. Wendestelle: Xw -1,15; xw* 1,15 Bei Sachzusammenhang, Randwerte beachten! f'(x) = 0 → Sattelpunkt Steigung: 9₂-9₁ Zwischen zwei Punkten: m=X₂-X₁ an einer Stelle: f'(x) 1.5 Tangente Eine Tangente ist eine Gerade, clurch genau einen Punkt eines Graphen geht Tangentengleichung: f(x)=mx+n m=Steigung, n=y-Achsenabschnitt m= f'(x) n = x+y (des Berührungspunktes) + m in Tangentengleichung einsetzen 1.6 Bedeutung der Wendestelle im Anwendungszusammenhang Vorgehen: 1. Sachzusammenhang durchlesen + wichtiges markieren 2. Funktionsgleichung abschreiben + Ableitungen bilden 3. alles im Taschenrechner eintippen 4. Aufgaben nacheinander bearbeiten →Definitionsbereich! Randwerte! Einheiten! 5. Antwortsatz 6. wenn Zeit alles im Taschenrechner kontrollieren →Graph zeichnen lassen OPERATOREN! Formulierungen:... Menge maximal? Hochpunkt + Randwerte ....Menge minimal? Tiefpunkt + Randwerte .... Zuwachs maximal? Steigung Wendepunkt + Randwerte .... Veränderung maximal? Steigungen Wendepunkt + Randwerte vergleichen ....durchschnittliche Zuwachs? m = x-x₂ 74-Y₂ 1.7 Zeichnen einer Ableitung bzw. Aufleitung f(x) Hochpunkt n Tiefpunkt U Wendepunkt Sattelpunkt Nullstelle (+ nach -) \ Nullstelle (-nach + ) / Extrempunkt Extrempunkt+ Nullstelle U hinr. Bed.: f(x)=0 ^f" (xw) 0 f"(-1,15)= -6,9 +0] f(-1,15)= -0,22 f'(-1,15)=3,08 →Steigung ५ u th Wendepunkt (-1,15/-0,22) ANW 2.1 Allgemeine Übersicht Anwendung/Realität momentane/punktuelle Änderungsrate bei xd (z.B. Momentangeschwindigkeit) durchschnittliche/mittlere Änderungsrate (z. B. Durchschnittsgeschwindigkeit von 12:30 - 15:00 Uhr; 2.40 km 210km zurückgelegt →v = 2,5h = 84 km/h) größter/kleinster Wert 2.2 Differenzfunktion NDUNG SAUFGABEN d(x)=f(x)-g(x) Symmetrie. stärkster Anstieg, größter Abfall, stärkste Veränderung Wendestellen →Steigung ...Grad: z. B. 4.Grad f(x) = ax + bx³ + cx² +dx+e f(x)=48x³+3bx² + 2cx+d f"(x)= 128x+bbx + 2cx ...gent durch den Punkt (x/y) f(x1=y ..schneidet die y-Achse Del y f(0) =y schneidet die x-Achse bei x f(x1=0 ... Nullstelle bei x f(x)=0 ...geht durch den Ursprung f(0) = 0 ... hat an der Stelle x=8 einen Extrempunkt f'(4/0) (f(a)-a (F₁(a) = 0 (f" (a)=0 [f(a)=b (f(a) b [f" (a)=0 (f(a)-b f'(a) - 0 bestimmungsaufgaben ... hat im Punkt T(alb) einen Extrempunkt Achsensymmetrie zur y-Achse →nur gerade Exponenten z.B. ax + cx² +d Punktsymmetrie zum Ursprung →nur ungerade Exponenten z. B. ax³1 cx ..hat an der Stelle x-a einen Wendepunkt mathematischer Hintergrund m= f'(xo) ..hat im Punkt w (a/b) einen Wendepunkt .... hat im Punkt P(a/b) einen Sattelpunkt P. (affca)) xP₂ ((b)-f(a) (b/f(b) m=x₂-x₁ b-a f"(8)=0 ...hat an der Stelle x-a eine Tangente mit der Steigung b f'(a)=b ... hat an der Stelle x-a eine waagerechte Steigung f'(a)=0 ...hat bei x =a eine wendestelle mit der Steigung b fla)=b f"(a)=0 Extrempunkte Randwerte VORGEHEN: 1.alle Informatien aufschreiben 2 Funktionsgleichungen aufstellen 3. Gleichungssystem aufstellen 4. Gleichungssystem lösen 5. mit Ergebnissen Funktionsgleichung aufstellen ...hat an der Stelle x=a eine zu der Geraden y=-bx+c parallele Tangente f'(a) = -b 5 1. Extremalbedingung: Flächeninhalt möglichst groß A= 0,5 g h (möglichst groß) → hier: Dreieck 2. Nebenbedingungen: Definition der Variablen g=x=u_h=f(x)=f(4) 3.Zielfunktion: Aufstellen der Funktion A(u) - 0,5-u-f(u) 4. Optimierung a) relativer Extrempunkt b) Randwerte A'(U)-0 A A" (u) #0 A(0)=15 A(20)=3 Lösung: Antwortsatz und evtl. Koordinaten o.a. berechnen (→ Aufgabenstellung) tegralrechnungintegralrechnung integralrechnung integralie. EXTREMWERTAUFGABEN 5.1 Einführung - Flächeninhaltsfunktion IM 5.2 Stammfunktion f(x) ist die Ableitung F(X). F(x) ist die Stammfunktion. Als muss aufgeleitet werden n+A f(x) = kx" →F(x)=x" 2.8. f(x)= 5x³ → F(x)=√x" oder f(x) = 3 → F(x)= 3x oder f(x)=x² → F(x)=√₁² 5.3 Zusammenhang: Flächeninnalt -Integral 5.3.1 Fläche zwischen Graph und x-Achse 1. Skizze erstellen 2. Nullstellen/Schnittpunkte berechnen 3. Integral aufstellen 4. Stammfunktion bilden f(x)=2x²-12x-14 Bezeichnung: f(x)→ Randfunktion 5. Integral ausrechnen 6. Antwortsatz BEISPIEL 1. Berechne den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse und dem Graphen von feingeschlossen wird bis A(b)→Flächeninhalt im Bereich a ≤ x ≤ b Nullstellen: f(x)=0: 2x²-12x-14=0 1:2 (=) *-6x-7=0 Ipq-Formel <=> x= + √(2)+7; x₂=3-√√3+7 = 3+4 i x₂= 3-4 = 7 = -1 =>mögliche Nullstellen bei x₁=7 und ₁=1 von-4 Das Integral fix) Fläche: J(2²-12x-14) dx = der niedrigere Wert steht immer unten Die Stammfunktion. [x²-6x²-14x. 6 Skizze: F(3) = Flächeninhalt ↓ -1633-7,3=170,6 [Fe] F(-A) Diese Fläche muss bestimmt/berechnet werden 5.3.2 Fläche zwischen zwei Graphen 1. Skizze erstellen 2. Differenzfunktion aufstellen 3. Schnittstellen ausrechnen 4.Stammfunktion bilden 5. Integral aufstellen + ausrechnen (6.FlächeninhaH) 7. Antwortsatz 5.4 Änderungsratenfunktionen → Integral als Wirkung Erkennung. 1. Aufgabenstellung 2.Einheiten z. B. km/h gleiche Vorgehensweise wie bei 5.3.1 3 Sachzusammenhang z. B. Durch ussmenge, Förderrate etc. → mit der Berechnung des Integrals ändert sich die Einheit Funktion beschreibt die Durchflussmenge in m³/h, der Flächeninhalt beträgt xm³ 5.5 Bestimmungsaufgaben mit Integralen Beispielaufgaben Woran kann man erkennen, dass es sich um eine Änderungsratenfunktion handelt? Welche Bedeutung haben die x/y-Werte im Sach zusammenhang Berechne die Wasserzulaufgeschwindigkeit nach x Stunden Berechne wie viel m³ Wasser zu Beginn/zum Zeitpunkt x ist Berechne die Zeitpunkte, an dene Wasser weder zu- oder abläuft 5.6 mittlerer Funktionswert m=b-afcx) dx 7 6.1 Punkte im R³ 6.2 Vektoren Die Menge aller Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind, heißen Vektoren. Man sagt: Der Pfeil AB ist repräsentant des Vektors B Der Vektor ist der Gegenvektor zu Vektor ✓ (B=(-3) oder V--76) * A V=AB= (³) b = cb = ( -1,5 ✓ 20 Ortsvektoren Ein Vektor, dessen Anfangspunkt im Ursprung und dessen Endpunkt im Punkt A liegt, Ortsvektor OA von A A(-4/5/3) a=(3) 6.3 Rechnen mit Vektoren 6.3.1 k-Multiplikation = (^^) F B analytische Geometrie A(2/010) B(-2/4/0) ((0/3/0) D(0/0/0) E(01013) F(0/3/3) है -1,5 E = (-3) 0101010) -1,5 8 = -15- (^)= (-15) 28= 2 - (^) = (²) IABI=Abstand zwischen AB <=> IABILänge der Strecke AB <=> IABI= Länge des Vektors 6.4 Betrag - Länge eines Vektors - Abstand zweier Punkte |VI = Betrag von = Länge des Pfeiles AB |= H D E (2/3/9) 6.3.2 Addition von Vektoren. d Verbindungsvektoren V A(-41513) с Abstand der Vektoren b c = √a²¹b² v() →Vektor P(x/x₂13)→ Punkt 3 Zeichnerisch addiert man 3 Vektoren, indem man Vektorketten bildet. 3=a+b á a => TV1 = |(¥§) = -√(√₂³²+ (v₂)² + (√3)² Berechnung der Fehlenden Eckpunkte =>F(613/9) A(2/3/3) =+ = ()+(i) = () => C(6/^^13) B(6/3/3) +AE = (1) · (8) - (1) D(2/MA/3) 3-AAE (1)· (1) · (8) - () => G(6/4414) 7=2+ = (!)+(!)-(+¹) => (2/11/9) 8 b B(11-216) V-Verbindungsvektoren B 0 (01010) = x [LE] Formel V=AB=-6 Beispiel: Ãß = -ã+b = − ( 3¹) · (²1) = (-3) 6.3.3 Subtrahieren von Vektoren B a 3 -6 5=8-6=2+(-6) Subtraktion ist die Addition des Gegenvektors 8.5 Linearkombination, Ortsvektor zum Mittelpunkt Mittelpunkt von der Länge des Vektors m=2(a+b) => M(X₁/X2/X3) 6.6 Geraden Man nennt 9:x=p+t-u (+ ER) die Parametergleichung der Geraden g mit Pals Stütevektor und u als Richtungsvektor P 15 Schnittpunkte berechnen 9 g: x=p++.u Besondere Geraden 9: 7 = (8) + +- ( 1 ) <=> +. (1) Die Gerade gent durch den Ursprung Bestimme eine Parametergleichung der Gerade g durch die Punkle A(11-215) und B(4/61-2) Stützvektor: p=(3) Richtungsvektor : = AB = −(3) · (1) - (4) => Geradengleichnung 9:7=(²3) ++·(²₂) +¶R Beispiel: g.-()+(²) Ansatz: g= 0 (01010) und Volumen berechnen 1. Längen der Vektoren berechnen (+(V₂)² + (v₂)² + (v₂)² ) 2. Volumen berechnen (Länge Höhe Breite) Punktprobe Liegt P(-51-5/10) auf der Geraden P₂ (25/10/-5) P₁(-51-5/10) P₂ (25/101-5) 6.6.1 Lagebeziehung zweier Geraden im Raum R³ Zwei Geraden g und him Raum konnen sich in einem Punkt S schneiden [S=g nh] → Schnittpunkt zueinander echt parallel liegen [gll h undg #h] →kein Schnittpunk identisch sein [g=h] →unendlich viele Schnittpunkte windschief zueinander liegen [gth und gnh=t (4) + r. (3) = ( ) => A+2r=-A+251-A 1-2s Ir-25-2 I-II -2+r=-2+251-26 1+2 <=> r-25= 0 A-38=2-551-A1+5s -3r+ 65 = A hit. (2) ² (3) .(1)...(4) A+2=25 -2+ A0 <=> r=A2 => Pg 0-0-0-E-B]- (1) ···(¹) - (4) = 9:-( Zr-25=-2 <=> r= -2 -3r+5s = A A+2-5 -21-5 E]×B]· =>r-3 A-31 A0 ={}] → kein Schnittpunkt => Der Punkt Pliegt auf der Geraden g (kurz: Peg) |(C) r=-2 (II)-4-25=-2 (=> -25=2 (=> S=-A C) 6-5=A (wahre Aussage) => eine Lösung mit r=-2 und 5=-/ Schnittpunkt (r=-2 in ₁ einsetzen). $=()-2-(²3) = (²) Die Geraden schneiden sich im Punkt S(-3/-417) 9 A Ergebnisse echt parallel-6r-35=-2 D S=-1 (I) S=-^ windschief: -2r-S=A |)-2r+A=A<=> -2r=0 <=> r=0 +35=2 identisch: 0 =0 (allgemeinwärtige Aussage) 0 = 0 Trapez L0=8 |(falsche Aussage) => keine Lösung bzw. kein Schnittpunkt Vergleich der Richtungsvektoren: () = -2. ·(1) → Die Geraden liegen echt parallel zueinander (g#h) Vergleich der Richtungsvektoren: (-2) = k·(4) => -41-25=6 [r-2s=-5) 2=-5 (falsche Aussage) > keine Lösung bzw. kein Schnittpunkt ] wish (widersprucn =>gkn => gund h liegen windschief zu einander. (im Taschenrechner. 3-2-c3, C3) 6.6.2 Skalarprodukt 6.6.2.1 Definition Skalarprodukt der Vektoren und B: (i)-() = =Q₁·b₁+Q₂-b₂+Q3b3 (₁0) 1 orthogonal Eigenschaft:a=0> Beim überprüfen von Geraden, ob sie orthogonal sind, nimmt man die Richtungsvektoren 6.6.2.2 Untersuchung eines Vierecks im R³ D 6.7 Ebene B (A) AB = DC (2) AB-AO = 0 <=> x = 90° (3) IABI=IADI (4) AB = k· DC (K € IR) Spannvektoren, (allgemeinwärtige Aussage) =>unendlich viele Lösungen bzw. Schnittpunkte B pat A Parallelogramm 6.6.2.3 Winkel a zwischen zwei Vektoren Für den Winkel zwischen den vektoren und to gilt: वे. है cos a = 11-161 ↳ cos^ (x) = ...* (1) Parallelogramm (1) (2) Rechteck (A) (2) (3) Quadrat (4) Tropez (1)(3) Raute (für 0°<< 180°) F • (01010) b Rechleck Stützvektor K=0 k-2 ₂ a Definition: 0 a A A a a Quadrat a 0 9 Route gund h sind identisch. Fürden Winkel a zwischen zwei Geraden wird immer der kleinere Winkel (0°≤ a ≤90°) genommen: Beispiel:... a = 120° => Winkel zwischen den Geraden 9, und 9₂ beträgt α= 180°-120° = 60° Man nennt: E:=x+u+s·V (r₁s € R; ₁0;**) eine Parameterform der (Ebengleichung der) Ebene E, mit als Stützvektor und als Spannvektor Spannvektoren sind die Richtungsvektoren der Ebenengleichung ло 6.7.1 Ebenengleichung in Parameterform Stützvektor + r. Spannvektor 1+S. Spannvektor 2 P₂ (2/31-1); P₂ (-112/1); P3(-31-2/4) →Für die A.Ebenengleichung: Bestimme für 1-5 und S=-2 einen weiteren Punkt der Ebene ². = (§³. ) ·6· ( 2 ) - 2· (?) - (C ) => P,(-3/81-A) = 6.7.2 Lagebezienung Gerade - Ebene im Raum Rª 1.g und E schneiden sich einem Punkt → Durchstoßpunkt 2. g liegt in E→unendlich viele Lösungen 3. g liegt echt parallel in E → kein Durchstoßpunkt Durchstoßpunkt bestimmen: Ebenengleichung mit Geradengleichung gleichsetzen (=) 6.7.2.1 Schnittpunkt einer Gerade mit einer Koordinatenebene Stützvektor: =(3) Spannvektor = P₂ = *. V = P.P₂ x₁=O=> X₂-X3 Ebene [dritte Zeile der Geradengleichung =0] → +=x t-x in Geradengleichung einsetzen => Schnitt punkt 6.7.2.2Schnittpunkt einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen A.Schnittpunkt mit der x,-Achse → Ansatz: X₂=0 ^ X3=0 2.Schnittpunkt mit der x₂-Achse → Ansatz: x₁=0 A x₂=0 3.Schnittpunkt mit der x3-Achse → Ansatz: x₁=0 x₂=0 6.7.2.3 Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt, n-Vektor Unter dem Vektorprodukt der Vektoren, versteht man den Vektor mit 3 xb • GTR: Menü 7C2 (Eingabe der Vektoren mit [] und )→ crossP (a,b) Eigenschaften: (1)-3x => V₁, V ¹5 (möglicher -Vektor) امام 6.7.3 Abstand Punkt -Ebene (Lotfußpunktverfahren) (2) Ap-laxbl - der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms (3) A = 3x bl=der Flächeninhalt des von und aufgestannten Dreiecks VORGEHEN: Beispiel- Bestimme den Abstand des Punktes P(-6/5/5) von Ebene E = (§ )+¹-(-²2° ) +₁-(¯~^) => E: x=(³₁)+ +· (²²³)+₁- (²²³) S Lotfußpunkt Ermittlung einer Lotgeraden & -vektor bestimmen →Geradengleichung (Stützvektor: P, Richtungsvektor:) (1°)-(3) - (*) liz_(*)*+- (4) 2 Bestimmung Lotfußpunkt F=→Lösung Einsetzen in F 1543 GTR 6A7 Ansatz: x==> r= 2023; s=2023; t 3. Berechnung Abstand PE IPI /-3,49 IFPI=1-2,88/ = 4,77 [LE] -2021 7-(*)-222-(4) => F(-2,81/2,92/7,88) ^^ lax b→ Betrag des Kreuzprodukt 7. A Definition und Graphen Die Funktion f mit f(x)=e* und e-lim (1+1)* 2,71828...* 2,72 heißt natürliche Exponentialfunktion bzw. e-Funktion ex 7.2 Umformungen, Gleichungen lösen Potenzgesetz a) e^=e* 2,72 b)eᵒ=1 cletê d)e*.e=e** e) e*:e"=e*-y f)e*=a [a € R*] => x= In (a) [In=natürlicher Logarithmus] g) In (ek) = k h)e= lim xn.en=to0 und X→+00 e-TUNKIONEN 8.1 Untersuchungs des Grenzverhalten lim e* = +00 und lim e* = O + 00 +00 Hethode A: Logarithmieren Beispiele: e¹-2-0 e³ = 2 Produktregel: f(x) = g(x).h(x) →f'(x) = g'(x)-h(x) + g(x).h'(x) Beispiele: f(x) = 4x³.ex f'(x) = 12x²-e* +4x³. e*- (4x³ + 12x²).e* 8 Allgemeine Kurvendiskussion bei e-Funktionen X-8 lim x^.er =0 +00 7.3 Ableiten von e-Funktionen Ableitung von e*. f(x)=e* →f'(x)=e* Kettenregel: f(x) = g(i(x)) →f'(x)= Ableitung der inneren Funktion- Ableitung der äußeren Funktion Beispiele: f(x)= x² f'(x)=10x. eBut f(x) = 2x₁e³x².8x f'(x) = 2 (10x+8). e³x²+ 8× ↓ ±00 Beispiele: lim Ce**] =+00 X+00↓ ↓ +00 | In 0 3x In 2 1:3 x=(In 2):3 * 0,23 f(x) = (3x³ +7x).e-2x f'(x) = (15x² +28x³). e- ²x + (3x³ + 7x". (-2e-²) = (-6x³+x²+28x³).e-2x lim [(2x+5)*] -0 X4+00 e-24-10 =0 e-2-10 In -2x In 10 1:(-2) x = (In 10): (-2) -1,15 8.2 Kurvendiskussion inklusive Tangente e* # 0 Extrempunkte bestimmen: notw. Bed. f'(x)=0 Wendepunkte bestimmen notw. Bed. F"(x)=0 Wendetangente: f'(x) = m →y=mx+n ↓ +00 Methode 3: GTR →mit nsolve lim [e"]=+00 X→-00 lim [(2x+5)*]=-00 X4-00 +00 Methode 2: Ausklammern Beispiele: 2e-4-4(x+1)e-2x =0 lim [e-²+e-*]=e-² 0,14 lim [e-²+e-x]=+00 X→ +00 X→ +00 ↓ *0,14 0 *0,14 +00 e-2x (2-4(x+1))=0 le-2x +0 |+A 1:(-2) -2x-1=0 -2x=1 12 x = -0,5 Jede e-Funktion wächst stärker als jede Potenzfunktion bzw. ganzrationale Funktion Wenn e* im negativen Bereich liegt = 0 "+ ninr. Bed. VZW bei f'(x) oder f'(x) = 0 ^f"(x) *0 hinr. Bed. VZW bei F"(x) oder f"(x)=0 f (x) *0 (2+2x) ex+ (2x+x²)e* =0 e* (x²+4x+2) = 0 x² + 4x +2=0 x₁= -3,41; x₂= -0,59 le* *0 Ipq-Formel 8.3 Integralrechnung 1. Integral bestimmen (Aufgabenstellung oder Nullstellen) 2.Stammfunktion bilden. 3. Integral ausrechnen: Sf(x) dx = [...] = F(k) - F(t) = ... [FE] 4. Flächeninhalt Az(p) = Ergebnis z + Ergebnis p 8.5 Differenzfunktionen Differenz funktion aufstellen: d(x) = f(x) = g(x) 8.4 Anwendungsaufgaben Fläche/Integral für ü→ ∞o: Für ±00 setzt man eine sehr große/kleine Zahl ein z.B. 1000 oder -1000 - kein Unterschied zu normalen Analysis - Bestimmungsaufgaben - d(x)=0→Schnittpunkte der Funktionen, Nullstelle von d(x) größte Differenz der Funktionen: Hochpunkt kleinste Differenz der Funktionen: Tiefpunkt 8.6 Steckbriefaufgaben Ansatz. Funktion 1.Grades: f(x) = ax+b f'(x) = a Funktion 2.Grades: f(x)=8x²+bx+c f'(x) = 2ax + b Funktion 3.Grades: f(x) = ax³ + bx² + (x + → f'(x) = 38x² +2bx+c ...gent durch den Punkl P(2/7) ....Schneidet die y-Achse bei 5 ...schneidet die x-Achse bei 3 ** f(x) → F(x) e²x →1.e+zx e-5x .hat eine Nullstelle bei 3 ...geht durch den Ursprung .hat an der Stelle x=4 einen Extrempunkt ... hat im Punkt T(1/3) einen Tiefpunkt/Hochpunkt ... hat an der Stelle x= 1 einen Wendepunkt ...hat im Punkt W(-3/7) einen Wendepunkt ... hat im Punkt P(2/4) einen Sattelpunkt .... hat an der Stelle x=3 eine Tangente mit der Steigung 8 .. hat an der Stelle x=4 eine waagerechte Tangente .... hat bei x=2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung 4 ... hat an der Stelle x=2 eine zu der Geraden y=-3x+7 parallele Tangente -.e-5x e-0,25x4.e-0,25x be 3x23x Funktion 4. Grades: f(x) = ax + bx³ + cx² + ax +e → f'(x) = 4ax ³ + 3bx² + 2 cx + d eine eventuelle Symmetrie berücksichtigt man gleich im Ansatz: Punktsymmetrie zum Ursprung (0/0), 3. Grades f(x) = ax³ + bx 5.Grades: f(x) = 8x²+bx³ + cx Achsensymmetrie zur y-Achse, 4. Grades f(x) = ax²+bx² +C =>Matrix bilden und ausrechnen ➜ e-Funktion: f(t) = c.ekit f(2)=7 f(0)=5 f(3)=0 f(3)=0 f(0)-0 f'(4)=0 f(1) =3 f¹ (1)=0 f"(A)=0 f(-3)=7 f"(-3)=0 |f(2)=4 f'(2)=0 f" (2)=0 |f'(3)=8 ||f₁64)=0 f'(2)=4 f" (2)=0 f'(2)= -3 8.7 Extremwertaufgaben 1. Extremalbedingung: Flächeninhalt möglichst groß A= 0,5 g h (möglichst groß) g=x=u_h=f(x)=f(u) 2. Nebenbedingungen: Definition der Variablen 3.Zielfunktion: Aufstellen der Funktion A(u) = 0,5-u-f(u) 4. Optimierung a) relativer Extrempunkt b) Randwerte A'(U)=0 A A" (u) #0 A(0) 15 A (20)=3 5. Lösung: Antwortsatz und evtl. Koordinaten o.a. berechnen (→ Aufgabenstellung) 13 88 Bestandsfunktion → Änderungsratenfunktion 8.8.1 Übersicht/Vergleich innermathematische Bedeutung im Bereich [a,b] Nullstelle abs. HP Randwert fra), fro]] abs. TP[Randwert fra), f(b)] Wendestelle [Vergleich f'(xw) mit f'ran,f(b)] momentane Steigung f'(to) ((b)-f(a) mittlere Steigung m= D-8 durchschnittlicher Funktionswert m*-i Sof(t) f(t) at 8.8.2 Prozentuale Veränderung -B²₁S₁ neuer Wert alter Wert Beispiele: alt⋅ 0,7 neu: 0,8 alt: 1,7 neu: 0,6 8.8.3 Tangente ermitteln: Tangentengleichung y=mx+n f'(x) =m 8.8.4 Unterschied f(x) -m-m*: f'(x) = Steigung beix (momentane Steigung) m = Steigung von x bisy (mittlere Steigung) m* = F Nullstelle Hochpunkt Nullstelle + nach - Tiefpunkt Nullstelle - nach + Wendepunkt Extrempunkt 8.9 Zusammenhang der Graphen von F-f-f² f f 1 7 / Bestandsfunktion z.B.Wasserstand in m max. Veränderung des Wasserstands mistd momentane Veränderung des Wasserstands m/std. durchschn. Veränderung des Wasserstandes mista. f(t) at durchschn. Wasserstand in m / Wasserstand Om Nullstelle max Wasserstand in m min Wasserstand in m 0,721, 1429 => Steigerung 14,29% 0,6 1,7 * 0,3529 => Reduzierung um 64,71%. 14 Änderungsraten funktion Veränderung des Wasserstandes in mistd Wasserstandsänderung= 0 m/std max. Wasserstandsänderung m/std min. Wasserstandsänderung m/sid max. Veränderung der Wasserstandsänderungsrate mistd momentane Veränderung der Wasserstandsänderungsrate durchschn. Veränderung der Wasserständsänderungsrate durchschn. Wasserab-/anstieg mistd * Veränderung des Wasserstandes in m m/std 9.1 Wiederholung 9.1.1 Wahrscheinlichkeit ohne zurücklegen 0 Aa 8=8 P₂-16-14 Pu-15. A4 P₁-15-AU ele B B Ergebnis B+B STOCHASTIK A DI A 5% 10% 15% Ergebnis A+A 25% 60% 85% ^ 30% 70% 100%. 9.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit; Vierfeldertafel · Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können sich verändern, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind PB (A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass Beingetreten ist NORMALE WAHRSCHEINLICHKEIT: P(A) P(ANB) 3 Noten Xi relative Häufigkeit 10% 25% 30% (hi) 2 9.2 Mittelwert, Standard bezeichnung (Auswertung von Messergebnissen Beispiel: 4 dieses Feld muss immer 100% ergeben 5 20% 10%. P(BnA) PB(A) P(B) => P(B)-15%. P(BA) = 5% 9.1.2 Wahrscheinlichkeit mit Zurücklegen 승 6 5% Hittelwert: x= x· h₁ + x₂. h31X3. hz + xu hut.... Standarbabweichung: s= f(x₁-x)² h₁ + (x₂-x)²³¹h₂¹ (x₂-x)² h3+... Maß für die Verteilung bzw. Streeung von Messergebnissen Erwartungswert:μ = x₁ · P(X= x₂ ) + x₂ P(X=x₂) 1 X3 P(X=Xg) +... Standardabweichung: 0 = f(x₁ -μ)²· P(x = x₂) + (x₂¯µμ)² · P(x= x₂)+... Beispiel: Gewinn g: 0,50€ -^€ O 음 -Werte: x₁, x₂, x3, x4," -relative Häufigkeil: h., h₂, h P(x-g). 0,625 0,375 μ = 0,5-0,625 -1.0,375 -0,0625 0 o=(0,5+0,0625) + (-1+0,0625)² 0,375 = 0,7262 15 Ž 93 Erwartungswert, Standardabweichung → theoretische Wahrscheinlichkeit (Zukunft, Prognose) Werte: X₁, X₂, X 31--- 송 O 5% 15% = 33,33% Faires Spiel: -0 => GTR : Menü 5;3 nCr (n,k) 7 (1) 1 9.4 Bemoulli - Experimente; Binomialverteilung Bei einem Bernoulli-Experiment geht es in jedem Schritt um zwei mögliche Ergebnisse (z.B Treffer und nicht-Treffer) (2)→n zanl der Schritte/Versuch k-Anzahl der Treffer runter 5.4.3 händische Berechnung: rauf Beispiel: (3) ·1·2·3 = 10 BERNOULLI-FORMEL n-Anzahl der Versuche k-Anzahl der Treffer p-Treffer wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit für, k Treffer "1" Bnp (X=k) = (2).pk. (^-p)n-k Probe ok Anzani der Möglichkeit bei n Versuchen genau k Treffer zu erzielen 9.5 Praxis der Bionomialverteilung 9.5 1 Test von Hypothesen mittels Entscheidungsregel Probe ok Realität Realität ok ok Fehler B Fehler A Wahrscheinlichkeit für (n-k) nicht-Treffer => Bernoulliformel (je nach Aufgabe) => Überbuchung 9.5.2 μ,0, Sigmaregel Hinweis IRegeln: Die Bionomialverteilte Zufallsgröße mit X (mit p,k,n) kann man, wie eine Funktion betrachten X-Achse =k p=a n=b y-Achse P(x-k)-Bnp(x-k) Erwartungswerte: μ-n⋅p (-Maximalstellen → Hochpunkt) Standardabweichung: 0=tn-p.(4-p) Sigmaregel: Plμ-o = x ² μ₁0) 2-0 Intervall: P(μ-20 * X *μ+20) => GTR: Menü 5;6 D (für k-1 Wert) E (für k-> A Wert) Beispiel: 100 Testreifen 1. Bernoulliformel aufstellen 2. b(n) bzw. b(k) definieren 3. Zahl für n einsetzen Insolve mina. 16 Teststreifen unbrauchbar → Herstellungsverfahren wird verbessert Ziel: max. 10% unbrauchbar a) Wahrscheinlichkeit, dass der Hersteller seine Tests verbessert Fehler B (Realität ok, Probe ok) B400,0.4 (16 X 100) b) 18% sind unbrauchbar: Wahrscheinlichkeit, dass dieser Defekt nicht bemerkt wird Fehler 6 (Realität ok, Probe ok) B100,0.18 (0≤x≤ 15) 9 6 Problemlösen mit der Bionomialverteilung 9.6.1 Komplexe Anwendung [p,n,k vorher berechnen; μ (Entschädigungszahlung)] Beispiel 100 Tickets 95 Sitzplätze 10%. fliegen kurzfristig nicht 9.6.2 Anzahl n bzw k ermitteln B(X=k) n Je größer die Treffer wahrscheinlichkeit p bei fester Versuchzahl n, desto weiter rutscht das Maximum, des Säulendiagramms nach rechts. Besonders breit sind die Säulendiagramme bei p. 0,5 i a) wahrscheinlichkeit, dass elie Sitzplätze reichen: n=100, planwesend) = 0,9 B100,0.9 (0$X$ 95) n=100, p (fehlena) = 0, BA00,0.4 (5X* 100) BA00,01 (96 X 100) b) Wahrscheinlichkeit für eine Überbuchung: n=100 p(anwesend) = 0,9 ENTSCHÄDIGUNG¹ μ = X ₁ · P₁ + X₂ P₂ + X3 · P₂st Xu Put Xs Pst... 1000€/überbuchung μ-1000€ - P(X=96) + 2000€ - P(X-97)+ 3000 € P(x=98)+4000 € P(x=99) +5000 €-P(x=100) -1000€-1,59% +2000€ 0,59% + 3000€-0,16% +4000€ -0,03% +6000€ -0,003% 15,9€ +11,8€ + 4,8€ + 1,2€ + 0,15€ -33,85 € 9.6.3 Trefferwahrscheinlichkeit ermitteln 1.Bernoulliformel aufstellen 2. b(p) definieren 3. nsolve gegeben: p(Farbenblina) - 0,04 gesucht: n mit Bn;0,04 (1X*n) = 0,9 1.) Definiere bin):= bin Cdf (n, 0.04, n 2.) Systematisches Probieren bis bon) 20,9 ⇒>Es mussen mindestens 57 Männer sein. 16 Je höher die Versuchszahl n bei fester Treffer- wahrscheinlichkeit p, desto flacher und breiter das Säulendiagramm und desto weiter rutscht das Haximum nach rechts. Pz0,9 gegeben: n=100 P-0,8 K-0X₁10 gesucht:p-? mit B,00,p (0*x+10) A) Definiere b(p):=bin Caf (100, p, 0,10) 2.) Berechne nSolve (bcp) -0.8,p)/p>0 =>Die Fehlerquote darf höchstens pa0,0824 -8,24% betragen. 10.1 Taschenrechnerbefehle !DocB alles löschen! 10.1.1 Rechnungen (A) 1.Funktionswerte berechnen Definiere f(x)=→Berechne f(x₁), f(x₂),... 2. Ableitungen berechnen Definiere 1. Ableitung f (x):= ax (fcx1)→2. Ableitung (2(x):= x² (f(x)) 3. alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermitteln [f(x)=0] Menü 33/ 4. Lösung einer beliebigen Gleichung schrittweise suchen Menü 31→nsolve (Gleichung, x) oder (Gleichung, x=Schätzwert) oder (Gleichung, x)/x >0 bzw. Ix<0 Analysis 5. Gleichungssystem lösen Menü 32 6. Integral berechnen Menü 42 7. Kreuzprodukt cross P(3,6) Menü 7C2 8. Vektor erstellen [] und 9. (k) Menü 53 sonstiges 10. Bnp (X-k) Menü 550 M. Bnp (ks Xk₂) Menü 55E, 10.1.2 Graphen (B) Geometrie 10.3 binomische Formeln 1. (a+b)²=a²+ 2ab+b² 2. (a-b)-a-2ab+b² 3 (a+b) (a-b)-a²-b² Stochastik A. FA(x)=f(x) 2. zusätzliche Funktion Tab 3 liniertes Gitter Menü 223 4.Fenstereinstellung Menü 41 5.Wertetabelle Henü 71 oder Ctrl. T 6. Stammfunktion zeichnen Tab f20)= So (11 7. Graph/eingeschlossene Fläche analysieren Henü 6 (F1(x)) dx 10.2 Dreiecke alle Winkel im Dreieck ergeben 180° gleichseitiges Dreieck→alle Seiten sind gleich lang gleichschenkliges Dreieck → zwei Seiten sind gleich lang rechtwinkliges Dreieck→ ein rechter Winkel A Quader V-a-b.c 10.5 Fenler/Probleme Ableitung im Sachzusammenhang: Steigung der Funktion Gerade durch zwei Punkte: P₁:3=m·2+n P₁:6=m-5+n B 10.4 Umfang, Flächeninhalte, Volumen Quadrat: U-4a A=a² •Rechteck: U= 2(a+b) A= 8.b •Dreieck: U-arbrc A=.G.h 13xl Pyramide V--G-n Prisma V=G.h Parallelogramm: U=2(a+b) A=G⋅h l3xbl Trapez: U=a+b+c+d A-2-(a+c).h Satz des Pythagoras a²+ b² = c² (=3-2m=b einsetzen in P₂ 6-5m+nm=1 einsetzen in P₁ 3-2m+n=n=A => m.^ n=1 17