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 KUGEL IN DER EBENE
definition: Menge aller Puncte des Raums, die von
einem Mittelpunkt den gleichen Abstand haben
KUGELGLEICHUNG
=> K ist e

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Zusammenfassung Mathe Thema Kugel Q4

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KUGEL IN DER EBENE definition: Menge aller Puncte des Raums, die von einem Mittelpunkt den gleichen Abstand haben KUGELGLEICHUNG => K ist eine Kugel um den Mittelpunkt M (M,|M₂ IM3) mit dem Radius r Ein Punkt (xp lyplzp) liegt genau dann auf der Kugel, wenn eine der Gleichungen erfüllt ist beispiel: M(41719); r=-6 K: [X-(§}')]³² = 36 / K² (x-4)²+(y-7)² + (z-9)² = 36 R&M BESTIMMEN K² x² - 2x + y² - 4y + z² +82=15 x²-2x+ 1 + y²-4y+ 4 + z² +8z+ 16 VORZEICHEN K: (xp-m₂)² + (yp-m₂)² + (zp-m3)² =p² K: [(x-M)]² =₁² (x-1)² + (y-2)² + (Z + 4 ) ² = 36 PUNKT PROBE: M(1121-4); r = 6 Rugel →Lagebeziehung Kugel + Punkt Allgemein: P(x₂lylz) Setze Pink K: (x-m₁₂)² + (y -m₂)² + (z −m₂) ² =157 1 wenn Variable von P gesucht wird K: (x-m₁₂)² + (y -m₂)² + (z −m₂) ² 1. PCmit allen Variabeln) ink und nach gesuchter Variabel auflösen 2.P mitt einseren und vergl. 225=225 (Paufk) (quad. Ergänzen) + 4 + 16 Cauf der Seite addieren) <r² Cinnerhalb a kugel) = r² (auf Kugel > ² Caußerhalb a. kugen? KUGEL & GERADE lagebeziehung →Tangente kng {B} ein gem. Berührungspunkt → Sekante kng= {$₁;5₂} 2 Schnittpunkte •Passante Senze g₁ in kein keine gem. Punkte Geg: k mit MCS1110); r =√14² K: CX-5)²+(y-1 )² +2²=14 9₁: (§) + s (-1) (6+5-5)² + (1-5-1)² + (7+25)² = 14 (1+5)² + 5² + (7+25)² = 14 1+25+5² +5² +49+285+45²=14 65² +30s +50 =14 1-14 65² +305+36 =0...

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1:6 S² + SS+ 6 =0 S1₁/₂2 = − ( ² ) ± √(²) ² - 6 5112= 215 015 S₁ = ·2,5 + 0,5 =-2 S2=-2₁5-0₁5 = -3 S₁ ing einsetzen S2 in g einsetzen => 9₁ ist eine sekante mit S₂ (314/1) u. S₂(41313) Geg: k mit MC51110); r =√14² K: Cx-5)²+(y −1 )²+(21²=14 92² 8 = ( ² ) + 5 ( ²1 ) K: (-2+ S−5)²+(2+S−1)² + (1+5)² =14 (-7+5)² + (1+5)² + (1+ 5)² =14 49-145+5² +1+25+5² +1+25+5² = 14 →Passante, da keine Lösung ablauf: 1. g in k einsetzen 2. => wenn Lesung nach variabel auflösen u. Wertle in geinsetzen für Punkt Geg: k mit MCS1110); r =√14² K: CX-5)²+(y-1 )²+(21²=14 9₂: 8 = (-1) + 5 (2) g₂in keinsetzen (4+25-5)²+(-4-45-1)²+(3+5)² = 14 (-1+25)²+(-5-45)² +(3+5)² =14 1-45+45²+25+49+165² +9+65 +5² = 14 215² +423 +35 215² + 425 + 21 S²+ 25 +1 =14 1-14 =0 1:21 =0 S₁/2 = - ( ²3 ) ± √(²)² + 1 S₁1/2=10 S₁=-1 S₁ in g2 einsetzen 8 = (²4/1) + (-1) - (2²/1) =>B(21012) 92 ist eine Tangente KUGEL EBENE lagebeziehung r > d (M,F) → Schnittlarets r = d (M₁F) → Berühnpunkt (Tangentialebene) r< d (M,F) → keine gem. Punkie K mit MC-21411); 5=6 Ebene E mit A(21-112) B(31013) C(-51411 (1.(-1)-1.5 ñ = Ù × v = ( 1 · (-7) 1.5 2 1-5-2 ED(-3)+² (6-10)+5. (1-10) E: S 4- 3-2 - 2 E: x²= (-²^2)+r · (1) + 5- ( 13² ) 1. Lotgerade 1.(-1) 1. (-7) 1)Lotfußgerade: ABSTANDS BESTIMMUNG ^^ = ( ²12 ) - ( ²₂² ) - ₁×-₁y+ 2 ² = 3² -1X-19+2 )-( g: x = ( ²³² ) + t · (¯-1) M vom creis 2. gin E einsetzen 3.t in geinsetzen 2+t-4+t+2+4= 12 -(-2-t)-(4-) +2·(1+2) = 3 =3 6t=3 1:6 t = 1/2 Radius & Mittelpunkt des Schnittbreis: •Stützuektor# Normalen velfor KO-FORM ~g : x = ( ²4² ) + ₁² · (¯-^₁^) = ( ¯²³6) —=> F(-2$13,512) 3,5 2 4. Absland MF dat,F)/1AFI=√(-2,5 + 2)² + (3,5-4)² + (2-1)² p²² = √r²-01²² M' = Lolfußpunkt (Ebene kugel) = 1,22 r> 1,22 →Schnittkreis 1. N-Vektor von E (x√=¯) 2. KO-Form aus ñ und axñ NORMALENVEKTOR 2. hessische NF ABSTANDSBESTIMMUNG a(M₁E) = IM₁ P₁+ A₂²P₂+13 P3-Cl √7₁²+1₂²+773² |(-1)-(-2)-1-4+2-1-3) √C-17²+(-1)²+(2)² TANGENTIALEBENE wenn & eine Tangentialebene an die Kugel k im Beronpunkt B3 ist, dann kann man die gleichung für E wie folgt angeben . Ebene gent durch Punkt B der vektor MB= (Normalenvektor von E deshalb gilt: E: (-5)-(6-m²) = 0 [x - 5] x 1 = 0 Bsp.: Ebenenguichung von Tangentialebene Kugel MC41213); r = 3 Berührpunkt BC31015) €: [* - ( ² )] * (²2) = 0 (0 ( ¯-2) = ()+(²1) - 1x-2y+2z = −3+10 - 1x-2y+2z = 7 )

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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1:6 S² + SS+ 6 =0 S1₁/₂2 = − ( ² ) ± √(²) ² - 6 5112= 215 015 S₁ = ·2,5 + 0,5 =-2 S2=-2₁5-0₁5 = -3 S₁ ing einsetzen S2 in g einsetzen => 9₁ ist eine sekante mit S₂ (314/1) u. S₂(41313) Geg: k mit MC51110); r =√14² K: Cx-5)²+(y −1 )²+(21²=14 92² 8 = ( ² ) + 5 ( ²1 ) K: (-2+ S−5)²+(2+S−1)² + (1+5)² =14 (-7+5)² + (1+5)² + (1+ 5)² =14 49-145+5² +1+25+5² +1+25+5² = 14 →Passante, da keine Lösung ablauf: 1. g in k einsetzen 2. => wenn Lesung nach variabel auflösen u. Wertle in geinsetzen für Punkt Geg: k mit MCS1110); r =√14² K: CX-5)²+(y-1 )²+(21²=14 9₂: 8 = (-1) + 5 (2) g₂in keinsetzen (4+25-5)²+(-4-45-1)²+(3+5)² = 14 (-1+25)²+(-5-45)² +(3+5)² =14 1-45+45²+25+49+165² +9+65 +5² = 14 215² +423 +35 215² + 425 + 21 S²+ 25 +1 =14 1-14 =0 1:21 =0 S₁/2 = - ( ²3 ) ± √(²)² + 1 S₁1/2=10 S₁=-1 S₁ in g2 einsetzen 8 = (²4/1) + (-1) - (2²/1) =>B(21012) 92 ist eine Tangente KUGEL EBENE lagebeziehung r > d (M,F) → Schnittlarets r = d (M₁F) → Berühnpunkt (Tangentialebene) r< d (M,F) → keine gem. Punkie K mit MC-21411); 5=6 Ebene E mit A(21-112) B(31013) C(-51411 (1.(-1)-1.5 ñ = Ù × v = ( 1 · (-7) 1.5 2 1-5-2 ED(-3)+² (6-10)+5. (1-10) E: S 4- 3-2 - 2 E: x²= (-²^2)+r · (1) + 5- ( 13² ) 1. Lotgerade 1.(-1) 1. (-7) 1)Lotfußgerade: ABSTANDS BESTIMMUNG ^^ = ( ²12 ) - ( ²₂² ) - ₁×-₁y+ 2 ² = 3² -1X-19+2 )-( g: x = ( ²³² ) + t · (¯-1) M vom creis 2. gin E einsetzen 3.t in geinsetzen 2+t-4+t+2+4= 12 -(-2-t)-(4-) +2·(1+2) = 3 =3 6t=3 1:6 t = 1/2 Radius & Mittelpunkt des Schnittbreis: •Stützuektor# Normalen velfor KO-FORM ~g : x = ( ²4² ) + ₁² · (¯-^₁^) = ( ¯²³6) —=> F(-2$13,512) 3,5 2 4. Absland MF dat,F)/1AFI=√(-2,5 + 2)² + (3,5-4)² + (2-1)² p²² = √r²-01²² M' = Lolfußpunkt (Ebene kugel) = 1,22 r> 1,22 →Schnittkreis 1. N-Vektor von E (x√=¯) 2. KO-Form aus ñ und axñ NORMALENVEKTOR 2. hessische NF ABSTANDSBESTIMMUNG a(M₁E) = IM₁ P₁+ A₂²P₂+13 P3-Cl √7₁²+1₂²+773² |(-1)-(-2)-1-4+2-1-3) √C-17²+(-1)²+(2)² TANGENTIALEBENE wenn & eine Tangentialebene an die Kugel k im Beronpunkt B3 ist, dann kann man die gleichung für E wie folgt angeben . Ebene gent durch Punkt B der vektor MB= (Normalenvektor von E deshalb gilt: E: (-5)-(6-m²) = 0 [x - 5] x 1 = 0 Bsp.: Ebenenguichung von Tangentialebene Kugel MC41213); r = 3 Berührpunkt BC31015) €: [* - ( ² )] * (²2) = 0 (0 ( ¯-2) = ()+(²1) - 1x-2y+2z = −3+10 - 1x-2y+2z = 7 )