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Funktionen und analysis

Lineare funktionen

Geradengleichung aus zwei punkten

1.116

•

27. März 2021

•

2 Seiten

Kugelgleichung und Volumen einfach erklärt - Aufgaben, Formeln und Parameter

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Laurin Wagner

@laurinwagner_hhqx

Die Kugelgleichungist ein zentrales Konzept in der analytischen Geometrie.... Mehr anzeigen

Mathe Punkte auf einem Kreis ● Alle Punkte haben den Gleichen Abstand zum Mittelpunkt Der Abstand r ist der Radius und lässt sich mithilfe d

Fortgeschrittene Konzepte der Kugelgleichung

Das Aufstellen einer Kugelgleichung aus 4 Punkten ist ein wichtiges Verfahren in der analytischen Geometrie. Hierfür werden mindestens vier Punkte benötigt, da die Kugelgleichung vier Unbekannte enthält: m₁, m₂, m₃ KoordinatendesMittelpunktsKoordinaten des Mittelpunkts und r RadiusRadius.

Vorgehen zum Kugelgleichung aufstellen:

  1. Punkte in die Kugelgleichung einsetzen, um vier Gleichungen zu erhalten
  2. Binomische Formel anwenden
  3. Gleichungssystem lösen z.B.mitdemGaußverfahrenz.B. mit dem Gaußverfahren
  4. Mit den ermittelten Werten für m₁, m₂, m₃ und r die Kugelgleichung aufstellen

Highlight: Die Berechnung des Mittelpunkt Kugel berechnen ist ein wesentlicher Schritt beim Aufstellen der Kugelgleichung.

Für die Berechnung von Schnittpunkten dreier Kugeln wird folgendes Verfahren angewandt:

  1. Alle Kugelgleichungen in die Form x₁²+x₂²+x₃²+ax₁+bx₂+cx₃+d=0 umformen
  2. Eine Kugelgleichung von den anderen beiden subtrahieren, um zwei Ebenengleichungen zu erhalten
  3. Die Schnittgerade der beiden Ebenen berechnen
  4. Die Gerade in eine der Kugelgleichungen einsetzen und auflösen
  5. Den Wert in die Geradengleichung einsetzen, um die Schnittpunkte zu berechnen

Example: Die Frage "Wie findet man den Schnittpunkt von Kugeln?" wird durch dieses schrittweise Verfahren beantwortet.

Das Handout enthält auch Übungsaufgaben zu verschiedenen Aspekten der Kugelgleichung, die das Verständnis vertiefen und die praktische Anwendung der Konzepte fördern.

Vocabulary: Schnittkreis Kugel Ebene bezeichnet die Schnittmenge einer Kugel mit einer Ebene, die in der Regel einen Kreis bildet.

Abschließend werden Quellen für weiterführende Informationen angegeben, darunter ein Mathematikbuch und verschiedene Internetquellen, die zusätzliche Erklärungen und Beispiele zur Kugelgleichung bieten.

Mathe Punkte auf einem Kreis ● Alle Punkte haben den Gleichen Abstand zum Mittelpunkt Der Abstand r ist der Radius und lässt sich mithilfe d

Grundlagen der Kugelgleichung

Die Kugelgleichung in Koordinatenform basiert auf dem Konzept des Kreises in der Ebene. Alle Punkte auf einer Kugel haben den gleichen Abstand r RadiusRadius zum Mittelpunkt. Die allgemeine Form lautet x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²=r², wobei m1,m2,m3m₁,m₂,m₃ der Mittelpunkt ist.

Definition: Die Kugelgleichung Formel x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²=r² beschreibt alle Punkte x1,x2,x3x₁,x₂,x₃ auf einer Kugel mit Mittelpunkt m1,m2,m3m₁,m₂,m₃ und Radius r.

Eine alternative Schreibweise der Kugelgleichung ist x₁²+x₂²+x₃²+ax₁+bx₂+cx₃+d=0. Diese Form erschwert jedoch das direkte Ablesen von Mittelpunkt und Radius.

Highlight: Um den Mittelpunkt und Radius aus der alternativen Form zu bestimmen, muss die Gleichung mithilfe der binomischen Formel umgeformt werden.

Für die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Kugel gibt es drei Möglichkeiten:

  1. x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²=r² : Der Punkt liegt auf der Kugel
  2. x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²>r² : Der Punkt liegt außerhalb der Kugel
  3. x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²<r² : Der Punkt liegt innerhalb der Kugel

Bei der Untersuchung von Schnittpunkten zwischen einer Geraden und einer Kugel wird die Geradengleichung in die Kugelgleichung eingesetzt. Je nach Anzahl der Lösungen ergeben sich verschiedene Situationen:

  • Keine Lösung: Kein Schnittpunkt
  • Eine Lösung: Ein Berührpunkt
  • Zwei Lösungen: Zwei Schnittpunkte

Example: Um die Schnittpunkte zu berechnen, setzt man den gefundenen Wert in die Geradengleichung ein.

Für die Lagebeziehung zweier Kugeln mit Mittelpunkten M₁ und M₂ sowie Radien r₁ und r₂ gilt:

  • |M₂-M₁| > r₁+r₂ : Keine gemeinsamen Punkte
  • |M₂-M₁| = r₁+r₂ : Ein gemeinsamer Punkt Beru¨hrpunktBerührpunkt
  • |M₂-M₁| < r₁+r₂ : Ein Schnittkreis


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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hans T

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Geradengleichung aus zwei punkten

 

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Laurin Wagner

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Die Kugelgleichung ist ein zentrales Konzept in der analytischen Geometrie. Sie beschreibt alle Punkte im dreidimensionalen Raum, die den gleichen Abstand zum Mittelpunkt einer Kugel haben. Die Kugelgleichung in Koordinatenformlautet (x₁-m₁)²+(x₂-m₂)²+(x₃-m₃)²=r², wobei (m₁,m₂,m₃) der Mittelpunkt und r der Radius... Mehr anzeigen

Mathe Punkte auf einem Kreis ● Alle Punkte haben den Gleichen Abstand zum Mittelpunkt Der Abstand r ist der Radius und lässt sich mithilfe d

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Fortgeschrittene Konzepte der Kugelgleichung

Das Aufstellen einer Kugelgleichung aus 4 Punkten ist ein wichtiges Verfahren in der analytischen Geometrie. Hierfür werden mindestens vier Punkte benötigt, da die Kugelgleichung vier Unbekannte enthält: m₁, m₂, m₃ KoordinatendesMittelpunktsKoordinaten des Mittelpunkts und r RadiusRadius.

Vorgehen zum Kugelgleichung aufstellen:

  1. Punkte in die Kugelgleichung einsetzen, um vier Gleichungen zu erhalten
  2. Binomische Formel anwenden
  3. Gleichungssystem lösen z.B.mitdemGaußverfahrenz.B. mit dem Gaußverfahren
  4. Mit den ermittelten Werten für m₁, m₂, m₃ und r die Kugelgleichung aufstellen

Highlight: Die Berechnung des Mittelpunkt Kugel berechnen ist ein wesentlicher Schritt beim Aufstellen der Kugelgleichung.

Für die Berechnung von Schnittpunkten dreier Kugeln wird folgendes Verfahren angewandt:

  1. Alle Kugelgleichungen in die Form x₁²+x₂²+x₃²+ax₁+bx₂+cx₃+d=0 umformen
  2. Eine Kugelgleichung von den anderen beiden subtrahieren, um zwei Ebenengleichungen zu erhalten
  3. Die Schnittgerade der beiden Ebenen berechnen
  4. Die Gerade in eine der Kugelgleichungen einsetzen und auflösen
  5. Den Wert in die Geradengleichung einsetzen, um die Schnittpunkte zu berechnen

Example: Die Frage "Wie findet man den Schnittpunkt von Kugeln?" wird durch dieses schrittweise Verfahren beantwortet.

Das Handout enthält auch Übungsaufgaben zu verschiedenen Aspekten der Kugelgleichung, die das Verständnis vertiefen und die praktische Anwendung der Konzepte fördern.

Vocabulary: Schnittkreis Kugel Ebene bezeichnet die Schnittmenge einer Kugel mit einer Ebene, die in der Regel einen Kreis bildet.

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Grundlagen der Kugelgleichung

Die Kugelgleichung in Koordinatenform basiert auf dem Konzept des Kreises in der Ebene. Alle Punkte auf einer Kugel haben den gleichen Abstand r RadiusRadius zum Mittelpunkt. Die allgemeine Form lautet x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²=r², wobei m1,m2,m3m₁,m₂,m₃ der Mittelpunkt ist.

Definition: Die Kugelgleichung Formel x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²=r² beschreibt alle Punkte x1,x2,x3x₁,x₂,x₃ auf einer Kugel mit Mittelpunkt m1,m2,m3m₁,m₂,m₃ und Radius r.

Eine alternative Schreibweise der Kugelgleichung ist x₁²+x₂²+x₃²+ax₁+bx₂+cx₃+d=0. Diese Form erschwert jedoch das direkte Ablesen von Mittelpunkt und Radius.

Highlight: Um den Mittelpunkt und Radius aus der alternativen Form zu bestimmen, muss die Gleichung mithilfe der binomischen Formel umgeformt werden.

Für die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Kugel gibt es drei Möglichkeiten:

  1. x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²=r² : Der Punkt liegt auf der Kugel
  2. x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²>r² : Der Punkt liegt außerhalb der Kugel
  3. x1−m1x₁-m₁²+x2−m2x₂-m₂²+x3−m3x₃-m₃²<r² : Der Punkt liegt innerhalb der Kugel

Bei der Untersuchung von Schnittpunkten zwischen einer Geraden und einer Kugel wird die Geradengleichung in die Kugelgleichung eingesetzt. Je nach Anzahl der Lösungen ergeben sich verschiedene Situationen:

  • Keine Lösung: Kein Schnittpunkt
  • Eine Lösung: Ein Berührpunkt
  • Zwei Lösungen: Zwei Schnittpunkte

Example: Um die Schnittpunkte zu berechnen, setzt man den gefundenen Wert in die Geradengleichung ein.

Für die Lagebeziehung zweier Kugeln mit Mittelpunkten M₁ und M₂ sowie Radien r₁ und r₂ gilt:

  • |M₂-M₁| > r₁+r₂ : Keine gemeinsamen Punkte
  • |M₂-M₁| = r₁+r₂ : Ein gemeinsamer Punkt Beru¨hrpunktBerührpunkt
  • |M₂-M₁| < r₁+r₂ : Ein Schnittkreis

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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