Grundlagen der Kugelgleichung
Die Kugelgleichung in Koordinatenform basiert auf dem Konzept des Kreises in der Ebene. Alle Punkte auf einer Kugel haben den gleichen Abstand r Radius zum Mittelpunkt. Die allgemeine Form lautet x1−m1²+x2−m2²+x3−m3²=r², wobei m1,m2,m3 der Mittelpunkt ist.
Definition: Die Kugelgleichung Formel x1−m1²+x2−m2²+x3−m3²=r² beschreibt alle Punkte x1,x2,x3 auf einer Kugel mit Mittelpunkt m1,m2,m3 und Radius r.
Eine alternative Schreibweise der Kugelgleichung ist x₁²+x₂²+x₃²+ax₁+bx₂+cx₃+d=0. Diese Form erschwert jedoch das direkte Ablesen von Mittelpunkt und Radius.
Highlight: Um den Mittelpunkt und Radius aus der alternativen Form zu bestimmen, muss die Gleichung mithilfe der binomischen Formel umgeformt werden.
Für die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Kugel gibt es drei Möglichkeiten:
- x1−m1²+x2−m2²+x3−m3²=r² : Der Punkt liegt auf der Kugel
- x1−m1²+x2−m2²+x3−m3²>r² : Der Punkt liegt außerhalb der Kugel
- x1−m1²+x2−m2²+x3−m3²<r² : Der Punkt liegt innerhalb der Kugel
Bei der Untersuchung von Schnittpunkten zwischen einer Geraden und einer Kugel wird die Geradengleichung in die Kugelgleichung eingesetzt. Je nach Anzahl der Lösungen ergeben sich verschiedene Situationen:
- Keine Lösung: Kein Schnittpunkt
- Eine Lösung: Ein Berührpunkt
- Zwei Lösungen: Zwei Schnittpunkte
Example: Um die Schnittpunkte zu berechnen, setzt man den gefundenen Wert in die Geradengleichung ein.
Für die Lagebeziehung zweier Kugeln mit Mittelpunkten M₁ und M₂ sowie Radien r₁ und r₂ gilt:
- |M₂-M₁| > r₁+r₂ : Keine gemeinsamen Punkte
- |M₂-M₁| = r₁+r₂ : Ein gemeinsamer Punkt Beru¨hrpunkt
- |M₂-M₁| < r₁+r₂ : Ein Schnittkreis
