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Kugel (Geometrie)
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Laurin Wagner
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Dies ist eine Zusammenfassung zum Thema Kugel im Fach Mathematik
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Mathe ● Handout Punkte auf einem Kreis ● Alle Punkte haben den Gleichen Abstand zum Mittelpunkt Der Abstand r ist der Radius und lässt sich mithilfe des Pythagoras berechnen -> x² + y² = r² (YL-YM)² + (XL-XM)² = r² Punkte auf einer Kugel (Kugelgleichung) Kugel Andere Schreibweise der Kugelgleichung x₁²+x₂²+x3²+ax₁+bx+cx3+d = 0 Alle Punkte wieder mit dem Radius r vom Mittelpunkt entfernt Jetzt aber noch eine 3. Achse -> x₁²+x₂²+x3² = r² ➜ Kugelgleichung: (x₁-M₁)²+(x₂-M₂)²+(x3-M3)²= r² Punkt-Kugel Wenn man den Punkt in eine Kugel einsetzt gibt es 3 Optionen (x₁-M₁)²+(x₂-M₂)²+(x3-M3)²= r² -> Punkt liegt auf der Kugel (x₁-M₁)²+(x₂-M₂)²+(x3-M3)²> (x₁-M₁)²+(x₂-m₂)²+(x3-M3)²< r² -> Punkt liegt in der Kugel r² -> Punkt liegt außerhalb der Kugel Gerade-Kugel 1. Gerade in die Kugelgleichung einsetzen 2. Auflösen Problem: man kann nicht den Mittelpunkt & den Radius ablesen Deshalb sollte man es mithilfe der binomischen Formel in die obere Gleichung umformen Q Keine Lösung -> keinen Schnittpunkt Eine Lösung -> einen Berührpunkt 2 Lösungen -> zwei Schnittpunkte 3. Wert in die Gerade einsetzen -> die Schnittpunkte Kugel-Kugel |m₂- M₁ | > r₁ + 12 -> Keine gemeinsamen Punkte |m₂- M₁ | = r₁ + 1₂ -> einen gemeinsamen Punkte |m₂- M₁ | <r₁ + 1₂ ->einen Schnittkreis 2- Kugeln ineinander X K₁ M M₁ .Q ppp Laurin Wagner r1 .P B d(M₁; M₂) M₂ K₂ Mathe Aufstellen einer Kugelgleichung Werden mindestens 4 Punkte benötigt, da es vier Unbekannte gibt m₁, M2, M3 & r 1. Punkte in die Kugelgleichung einsetzen -> 4 Gleichungen 2. Binomische Formel anwenden 3. Gaußverfahren oder anderweitig...
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lösen 4. Mit M₁, M2, M3& r eine Kugelgleichung aufstellen Schnittpunkte von 3 Kugeln berechnen 1. Kugelgleichungen alle in diese Form umformen: X₁²+x₂²+x3²+ax₁+bx₂+cx3+d = 0 2. Eine der Kugelgleichungen von den anderen beiden abziehen, um 2 Ebenengleichungen der 3 Ebenen, auf denen die Schnittkreise sind, zu bekommen 3. Die Schnittgerade der beiden Ebenen berechnen B.S. 211 Übungsaufgaben Handout Nr. 1 b) & c) Nr.2 Nr.3 a) & b) Nr.4 b) & c) Nr.5 +--+---+ Internetquellen: Laurin Wagner K₁ 4. Die Gerade in einer der Kugelgleichungen einsetzen und auflösen 5. Den Wert in der Geradengleichung einsetzen, um die Schnittpunkte der 3 Kugeln zu berechnen http://www.mathematische-basteleien.de/kugel.htm M₁ ٢١ Quellen Buch: Lembacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 d Stand: 25.10.2020 Bild: https://gisgeography.com/gps-accuracy-hdop-pdop-gdop-multipath/ (03.08.2020) 12 M₂ https://www.mathelike.de/abi-check-mathe-abi-skript-bayern/2-geometrie/2-7-die-kugel/2- 7-5-lagebeziehung-zweier-kugeln.html (03.09.2020) K₂
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lösen 4. Mit M₁, M2, M3& r eine Kugelgleichung aufstellen Schnittpunkte von 3 Kugeln berechnen 1. Kugelgleichungen alle in diese Form umformen: X₁²+x₂²+x3²+ax₁+bx₂+cx3+d = 0 2. Eine der Kugelgleichungen von den anderen beiden abziehen, um 2 Ebenengleichungen der 3 Ebenen, auf denen die Schnittkreise sind, zu bekommen 3. Die Schnittgerade der beiden Ebenen berechnen B.S. 211 Übungsaufgaben Handout Nr. 1 b) & c) Nr.2 Nr.3 a) & b) Nr.4 b) & c) Nr.5 +--+---+ Internetquellen: Laurin Wagner K₁ 4. Die Gerade in einer der Kugelgleichungen einsetzen und auflösen 5. Den Wert in der Geradengleichung einsetzen, um die Schnittpunkte der 3 Kugeln zu berechnen http://www.mathematische-basteleien.de/kugel.htm M₁ ٢١ Quellen Buch: Lembacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Kursstufe, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 d Stand: 25.10.2020 Bild: https://gisgeography.com/gps-accuracy-hdop-pdop-gdop-multipath/ (03.08.2020) 12 M₂ https://www.mathelike.de/abi-check-mathe-abi-skript-bayern/2-geometrie/2-7-die-kugel/2- 7-5-lagebeziehung-zweier-kugeln.html (03.09.2020) K₂