Kurvendiskussion

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Globalverlauf bei der Funktion; F(x)=x46x² +5 • Lim(x4)= +00 X->-8 Rechenweg: (-1000)4 -> +00 • Lim(x4)= +00 X -> +00 • Rechenweg: (1000)4 -> +∞ 3. Definition: Nullstellen • Eine Nullstelle ist ein Punkt eines Funktionsgraphen, welcher die x-Achse schneidet, berührt oder auf ihr liegt. Berechnung von Nullstellen: p/q Formel: Um die Nullstellen einer Funktion herauszufinden kann man die p/q Formel anwenden. Beachte: Um die p/q Formel anwenden zu können muss der Leitkoeffizient vor x² Eins sein. 2 Beispiel: f(x) = x² + px + q. Die Formel X₁,2 = - 1/2 - / + q Polynomdivision: Es werden 2 Polynome (nicht nur zwei Zahlen, sondern ganze Terme) durcheinander dividiert, Ziel ist es die Funktion auf eine Funktion 2. Grades zu bringen Beispiel: nächste Seite • Eine Nullstelle muss man vorher erkennen, um die Polynomdivision anwenden zu können -> diese wird durch einsetzen der Zahlen in die Funktion von +3 bis -3 herausgefunden Ausklammern: Das Ziel ist es, x auszuklammern, um eine Klammer mit einem Term zu erhalten, welcher den Grad x² enthält. Anschließend wendet man die p/q Formel an. Beachte: Jede Zahl des Terms muss den selben Faktor x besitzen. Beispiel: f(x)=x²-3x² + 7x → f(x) = x (x²-3x + 7) Nullstellen bei der Funktion F(x)=x² - 6x² +5 Polynomdivision: (x4-6x²+5) : (x +1) = x³-x²-5x+5 -(x4+x3) -(-x3-x2) -(-5x2-5x) -(5x+5) Rest: 0 (x3-x2-5x+5) : (x -1) = x2-5 -(x3-x2) -(-5x+5) Rest: 0 x²-5 in pq-Formel: +/- 2 + 5 X₁ +2,24 X₂= -2,24 4. Definition Extremwerte Extrempunkte umfassen Hoch- sowie Tiefpunkte. Berechnung von Extremwerten: 1. Bilde die erste Ableitung und setze diese 0 um die Nullstellen zu berechnen. 2. Bilde nun die zweite Ableitung und setze die Ergebnisse aus Schritt 1 in diese ein. Hochpunkt 3. Ist die zweite Ableitung <0 handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist sie >0 handelt es sich um einen Tiefpunkt. 4. Setze die Werte aus Schritt 1 in die Normalfunktion ein, um die y- Koordinaten der Extremwerte zu erhalten. → HP (x|y); TP (x|y) Tiefpunkt Extremwerte in der Funktion: F(x)=x² - 6x² +5 • Ableitungen der Funktion: f(x) = 4x³-12x f(x)=12x²-12 F'(x)=0-> 4x³-12x = 0 x(4x²-12) = 4x²-12 =x²-3 Jausklammern → x₁ = 0 :4 Ipq-Formel 을바 (을)² +3 > X₂=+√√3 x3= -√3 X1,2,3 in F(x)-> f (√3)=12*√√3²-12 = 24 f(-√3)=12*(-√3)² -12 = 24 f(0) = 12* 0²-12 = -12 > <0 = TP ) <0 = TP → >0 = HP Extremwerte in der Funktion: F(x)=x4 - 6x² +5 2 X1,2,3 in Normalfunktion -> f(√√3) = √√3ª-6* √√3² +5 = -4 > TP(V3|-4) 2 f(-√3)= (-√3)¹-6* (-√3)² +5 = -4 f(0) = 0¹- 6*0² +5 = 5 > TP(-V3)-4) → HP(015) Bedeutung der Ersten und Zweiten Ableitung Im Intervall von ∞ ≤ x ≤-4 →g monoton steigend und g'(x) > 0 12 11 10 -9 -8 -7 -6 -5 9 Extrempunkt Nullstelle 4 -3 -2 -1 Nullstelle 18y-Achse 16 14 Extrempunkt 12 10 Wendepunkt 8 6 2 10. -6 -8] -10 -12 -14] -16 1 2 3 4 5 x-Achse 6 • Die erste Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an → momentane Änderungsrate • Da ein Extrempunkt immer die Steigung 0 besitzt, kann mithilfe der Ersten Ableitung der x-Wert des Extrempunkts bestimmt werden. → Schneidet die Erste Ableitung bei x=4 die x-Achse, liegt in der Normalfunktion bei x=4 ein Extrempunkt vor. Bedeutung der Ersten und Zweiten Ableitung Im Intervall von ∞ ≤ x ≤-4 →g monoton steigend und g'(x) > 0 12 11 10 -9 -8 -7 -6 -5 9 Extrempunkt Nullstelle 4 -3 -2 -1 Nullstelle 18y-Achse Extrempunkt 16 14 Wendepunkt 12 10 8 6 4 2] 10. -6 -8 -10 -12] -14] -16 1 2 3 4 5 x-Achse 6 ● Sind die Funktionswerte der zweiten Ableitung an einem Punkt positiv, hat der Graph der Funktion einen Tiefpunkt. Sind sie negativ, hat er einen Hochpunkt. 5. Definition Wendestellen • An einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Dies geschieht von einer Links in eine Rechtskurve oder andersrum. Berechnung von Wendepunkten: 2. 1. Setze die Zweite Ableitung 0 um die Nullstellen x zu erhalten. Bilde die Dritte Ableitung und setze die zuvor erhaltenen Werte in diese ein Ist dieses Ergebnis # 0, liegt ein Wendepunkt vor. Ist f(x) > 0 liegt bei x eine Rechts-Links Wendestelle vor. Ist f```(x) < 0 liegt bei x eine Links-Rechts Wendestelle vor. 3. Setze die in Schritt 1 berechneten Werte in die Normalfunktion ein um die dazugehörigen y-Werte zu erhalten. → WP(x|y) Wendestellen in der Funktion: F(x)=x4-6x² +5 Ableitungen der Funktion: f(x)=12x²-12 f(x)=24x ● ● F(x)=0-> 12x²-12 = 0 +12 12x² = 12 1:12 = x₁ = -√₁ = −1 x₂= +√₁ = +1 • X₁,2 in F```(-/+ 1) -> f```(-1) = 24* -1 = -24 0 f(1) = 24* 1 = +24 # 0 Bei x₂ +24 (>0) liegt ein Rechts-Links Wendepunkt vor Wendestellen in der Funktion: F(x)=x² - 6x² +5 (-1)4-6-(-1)²+5 = 0 • X₁,2 in Normalfunktion: f(-1) = → (Links-Rechts) WP(-1|0) f(1) = 14-6-1²+5 = 0 → (Rechts-Links) WP (110) Bedeutung der Zweiten und Dritten Ableitung Im Intervall von ∞ ≤ x ≤-4 →g monoton steigend und g'(x) > 0 12 11-10 -9 -8 -7 -6 -5 g Extrempunkt Nullstelle 4 -3 -2 -1 Nullstelle 18y-Achse Wendepunkt Extrempunkt 16 14 12 10 8 6 2 10. -6 -8 -10 -12 -14] -16 1 2 3 4 5 x-Achse 6 ● Ein Wendepunkt der Funktion ist immer ein Extrempunkt der Ersten Ableitung. • Da die Zweite Ableitung die momentane Steigung der Ersten angibt, lässt sich der Extrempunkt der Ersten Ableitung und somit der Wendepunkt der Funktion definieren. → An dem Extrempunkt der Ersten Ableitung ist die Steigung 0. Deshalb muss dort in der Zweiten eine Nullstelle sein, da sie die Steigung der Ersten Ableitung angibt. Bedeutung der Zweiten und Dritten Ableitung Im Intervall von ∞ ≤ x ≤-4 →g monoton steigend und g'(x) > 0 12 11 10 -9 -8 -7 -6 -5 9 Extrempunkt Nullstelle -3 -2 -1 Nullstelle 18y-Achse Extrempunkt 16 14 Wendepunkt 12 10 8 6 2] -6 -8 -10 10. -12] -14 -16 1 2 3 4 5 x-Achse 6 • Ist f(x) > 0 liegt bei x eine Rechts-Links Wendestelle vor. Ist f(x) < 0 liegt bei x eine Links- Rechts Wendestelle vor.