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22.2.2020
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1. Definitionsmenge Die Definitionsmenge umfasst alle Zahlen, die für x in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Beispiel 1: f(x)=3x² Df = R Beispiel 2: f(x)= Df = R \0 2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit Y-Achse: Schnittpunkte mit X-Achse: Beispiel: f(x)=3x² 3. Symmetrieverhalten f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) Beispiel: f(x)=3x² Kurvendiskussion achsensymmetrisch: Schnittpunkt mit Y-Achse: Schnittpunkte mit X-Achse: Punktsymmetrisch: ; alle reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden Beispiel: f(x)=3x² lim 3x² = ∞o x→+∞0 ; alle reellen Zahlen außer Null (vgl. Divide by 0 Error) P(0|f(0)) P₁(f(x₁)=0|0) → Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse → Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung P(0|f(0)), also P(010) P₁(0|0) f(-x) = f(x) 3x² = 3(-x)² -f(x) = f(-x) -(3x²) # 3(-x)² → Funktion ist achsensymmetrisch 4. Globalverhalten Das Verhalten im Unendlichen wird durch fiktives Einsetzen einer sehr großen und sehr kleinen Variablen bestimmt. Mathematisch wird dies dann so geschrieben: lim f(x) und lim f(x) x → +∞ x-18 → Funktion ist nicht punktsymmetrisch lim 3x² = co X418 5. Monotonie und Extremwerte Das Monotonieverhalten gibt Auskunft über die Steigung der Funktion in bestimmten Intervallen. Das Steigungsverhalten von Funktionen kann sich nur an Extremstellen ändern, also Stellen mit KURVENDIKUSSION Klasse 10-12 f'(x)=0. Als nächstes prüft man, ob der Graph der Ableitung zwischen den Nullstellen oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Beispiel: f(x)=3x² f'(x)=6x Beispiel: f(x)=3x² f'(x)=6x Also ergeben sich folgende Intervalle: 1₁(-00;0) und 1₂(0;+00) Da f'(x) in 1₁<0 ist f in 1₁ streng monoton fallend; da f(x) in l₂>0 ist f in 1₂ streng monoton wachsend. Um Hoch- oder Tiefpunkte zu...
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bestimmen gilt: f'(x)=0 (notwendige Bedingung) f"(x) #0 (hinreichende Bedingung); f"(x)=6>0 f'(x)=0 0=6x 7. Wertebereich und Graph f'(x)=0 f(x)=3x² W₁ = R+ 0=6x Wendepunkt bestimmen: f"(x)=0 für f'(x) >0 ist die Funktion linksgekrümmt. für f'(x) <0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. Der Wertebereich beinhaltet alle Werte, die der Funktionswert annehmen kann. 6. Krümmung und Wendepunkte Der Graph einer Funktion kann entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Der Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt beschrieben. x=0 falls f'(x)<0 ➜ Hochpunkt bei (xo|f(xo) falls f'(x)>0 ➜ Tiefpunkt bei (xo|f(xo) →→ x=0 TP (0|0) Anschließend muss der Graph noch skizziert werden, also alle obigen Erkenntnisse visualisiert werden. →WP(xo|f(xo) DEFINITIONSMENGE Die Definitionsmenge umfasst alle Zahlen, die für x in die Funktion eingesetzt werden dürfen. ▸ Beispiel 1: D₁ = R f(x)=3x² ; alle reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden ► Beispiel 2:f(x)==-1/2 Dƒ = R \0 ; alle reellen Zahlen außer Null (vgl. Divide by 0 Error) SCHNITTPUNKTE MIT DEN KOORDINATENACHSEN ► Schnittpunkt mit Y-Achse: ▸ Schnittpunkte mit X-Achse: ► Beispiel: f(x)=3x2 Schnittpunkt mit Y-Achse: P(0|f(0)), also P(0|0) Schnittpunkte mit X-Achse: P1(0|0) P(0|f(0)) P1(f(x1) =0|0) SYMMETRIEVERHALTEN f(-x) = f(x) ► f(-x) = -f(x) ► Beispiel: f(x)=3x2 Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse → Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch: f(-x) = f(x) 3x2 = 3(-x)2 Punktsymmetrisch:-f(x) = f(-x) -(3x2) # 3(-x)2 › Funktion ist achsensymmetrisch → › Funktion ist nicht punktsymmetrisch GLOBALVERHALTEN Das Verhalten im Unendlichen wird durch fiktives Einsetzen einer sehr großen und sehr kleinen Variablen bestimmt. ▸ Mathematisch wird dies dann so geschrieben: lim f(x) und lim f(x) x →∞0 X→→∞ ► Beispiel: f(x)= 3x² lim 3x²= ∞ x →∞0 und lim 3x²=∞0 X→→∞ ΜΟΝΟΤΟΝΙΕ ▸ Das Monotonieverhalten gibt Auskunft über die Steigung der Funktion in bestimmten Intervallen. Das Steigungsverhalten von Funktionen kann sich nur an Extremstellen ändern, also Stellen mit f'(x)=0. Als nächstes prüft man, ob der Graph der Ableitung zwischen den Nullstellen oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. ► Beispiel: f(x)=3x² f'(x)=6x f'(x)=0 0=6x x=0 Also ergeben sich folgende Intervalle: 1₁ (-∞0;0) und 1₂(0;+00) Da f'(x) in 1₁ <0 ist f in 1₁ streng monoton fallend; da f(x) in l2>0 ist f in l₂ streng monoton wachsend. EXTREMWERTE ► Um Hoch- oder Tiefpunkte zu bestimmen gilt: f'(x)=0 (notwendige Bedingung) f''(x) #0 (hinreichende Bedingung); ► Beispiel: f(x)=3x2 f'(x)=6x f''(x)=6>0 f'(x)=0 0=6x falls f'(x) <0 → Hochpunkt bei (x0 | f(x0) falls f''(x) >0 →→→ Tiefpunkt bei (x0 | f(x0) x=0 TP (0|0) KRÜMMUNG UND WENDEPUNKTE ▸ Der Graph einer Funktion kann entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Der Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt beschrieben. ► Wendepunkt bestimmen: f''(x)=0 →WP(x0 | f(x0) ▸ Intervalle festlegen (zwischen Wendepunkten) für f'(x) >0 ist die Funktion linksgekrümmt. für f'(x) <0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. WERTEBEREICH UND GRAPH ▸ Der Wertebereich beinhaltet alle Werte, die der Funktionswert annehmen kann. Beispiel: f(x)=3x² Wf = R+ ▸ Anschließend muss der Graph noch skizziert werden, also Erkenntnisse über den Graphen visualisieren. GRAPH ▸ Beim skizzieren des Graphens zu f empfiehlt es sich, sich zunächst alle Punkte (vgl. Hoch- und Tiefpunkte, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Wendepunkte) in das Koordinatensystem zu übernehmen und dann unter Berücksichtigung des Globalverhaltens, ggf. einer Symmetrie und der Krümmung den Graphen einzuzeichnen. 4 -3 -2 f -1 10 -9 8 7 6 5 4 3 2 0 2 3 Graph der Funktion f(x)