Kurvendiskussion

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bestimmen gilt: f'(x)=0 (notwendige Bedingung) f"(x) #0 (hinreichende Bedingung); f"(x)=6>0 f'(x)=0 0=6x 7. Wertebereich und Graph f'(x)=0 f(x)=3x² W₁ = R+ 0=6x Wendepunkt bestimmen: f"(x)=0 für f'(x) >0 ist die Funktion linksgekrümmt. für f'(x) <0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. Der Wertebereich beinhaltet alle Werte, die der Funktionswert annehmen kann. 6. Krümmung und Wendepunkte Der Graph einer Funktion kann entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Der Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt beschrieben. x=0 falls f'(x)<0 ➜ Hochpunkt bei (xo|f(xo) falls f'(x)>0 ➜ Tiefpunkt bei (xo|f(xo) →→ x=0 TP (0|0) Anschließend muss der Graph noch skizziert werden, also alle obigen Erkenntnisse visualisiert werden. →WP(xo|f(xo) DEFINITIONSMENGE Die Definitionsmenge umfasst alle Zahlen, die für x in die Funktion eingesetzt werden dürfen. ▸ Beispiel 1: D₁ = R f(x)=3x² ; alle reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden ► Beispiel 2:f(x)==-1/2 Dƒ = R \0 ; alle reellen Zahlen außer Null (vgl. Divide by 0 Error) SCHNITTPUNKTE MIT DEN KOORDINATENACHSEN ► Schnittpunkt mit Y-Achse: ▸ Schnittpunkte mit X-Achse: ► Beispiel: f(x)=3x2 Schnittpunkt mit Y-Achse: P(0|f(0)), also P(0|0) Schnittpunkte mit X-Achse: P1(0|0) P(0|f(0)) P1(f(x1) =0|0) SYMMETRIEVERHALTEN f(-x) = f(x) ► f(-x) = -f(x) ► Beispiel: f(x)=3x2 Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse → Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch: f(-x) = f(x) 3x2 = 3(-x)2 Punktsymmetrisch:-f(x) = f(-x) -(3x2) # 3(-x)2 › Funktion ist achsensymmetrisch → › Funktion ist nicht punktsymmetrisch GLOBALVERHALTEN Das Verhalten im Unendlichen wird durch fiktives Einsetzen einer sehr großen und sehr kleinen Variablen bestimmt. ▸ Mathematisch wird dies dann so geschrieben: lim f(x) und lim f(x) x →∞0 X→→∞ ► Beispiel: f(x)= 3x² lim 3x²= ∞ x →∞0 und lim 3x²=∞0 X→→∞ ΜΟΝΟΤΟΝΙΕ ▸ Das Monotonieverhalten gibt Auskunft über die Steigung der Funktion in bestimmten Intervallen. Das Steigungsverhalten von Funktionen kann sich nur an Extremstellen ändern, also Stellen mit f'(x)=0. Als nächstes prüft man, ob der Graph der Ableitung zwischen den Nullstellen oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. ► Beispiel: f(x)=3x² f'(x)=6x f'(x)=0 0=6x x=0 Also ergeben sich folgende Intervalle: 1₁ (-∞0;0) und 1₂(0;+00) Da f'(x) in 1₁ <0 ist f in 1₁ streng monoton fallend; da f(x) in l2>0 ist f in l₂ streng monoton wachsend. EXTREMWERTE ► Um Hoch- oder Tiefpunkte zu bestimmen gilt: f'(x)=0 (notwendige Bedingung) f''(x) #0 (hinreichende Bedingung); ► Beispiel: f(x)=3x2 f'(x)=6x f''(x)=6>0 f'(x)=0 0=6x falls f'(x) <0 → Hochpunkt bei (x0 | f(x0) falls f''(x) >0 →→→ Tiefpunkt bei (x0 | f(x0) x=0 TP (0|0) KRÜMMUNG UND WENDEPUNKTE ▸ Der Graph einer Funktion kann entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Der Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt beschrieben. ► Wendepunkt bestimmen: f''(x)=0 →WP(x0 | f(x0) ▸ Intervalle festlegen (zwischen Wendepunkten) für f'(x) >0 ist die Funktion linksgekrümmt. für f'(x) <0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. WERTEBEREICH UND GRAPH ▸ Der Wertebereich beinhaltet alle Werte, die der Funktionswert annehmen kann. Beispiel: f(x)=3x² Wf = R+ ▸ Anschließend muss der Graph noch skizziert werden, also Erkenntnisse über den Graphen visualisieren. GRAPH ▸ Beim skizzieren des Graphens zu f empfiehlt es sich, sich zunächst alle Punkte (vgl. Hoch- und Tiefpunkte, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Wendepunkte) in das Koordinatensystem zu übernehmen und dann unter Berücksichtigung des Globalverhaltens, ggf. einer Symmetrie und der Krümmung den Graphen einzuzeichnen. 4 -3 -2 f -1 10 -9 8 7 6 5 4 3 2 0 2 3 Graph der Funktion f(x)