Kurvendiskussion

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Formel -P X112 = Z •√(2) ²³- x₁ = x₂ = = = =/²2 ± √( ²₂ ) ³². -2+√2 -2-√2 3. Grades (quadratische Funktionen) • auflösen durch Ausklammern 2. B. Nullstellen von f(x)= x³ + 6x² + ^^ f(x) = 0 _0= x³ + 6x² + 11 0= x (x² + 6X) + ^^ x₁ =.0 X₂ X3 imit p-q Formel weiter lausklammern 4.Grades : nur gerade Exponentan. z. B. f(x) = ax² + bx² +.c Substitution. :X wird ersetzt: x² = 2 :0-az²+z+c • umstellen nach Z₁,2 und die Lösungen mit x? gleichsetzen und nach x auflösen z. B. Nullstellen von f(x)=x²-19x² +48 f(x)=0 0-x-19x² + 48 x² = 2 evsetzen 0-2² 192 +48 lp-9 21/2 = 19 ± √(-12) ²-48 Z₁ = 16 2₂= 3 Rücksubstition: 16=x² 1√√7 X₁ = 4 X₂=-4 4 Nullstellen 2=x² 3=x² 177 X3 = 1₁7 X4=-1₁7 vorgehensweise: Extrempunkte 1. f'(x)=0 setzen. 2. x-Wert in F"(x) einsetzen; Hochpunkt oder Tiefpunkt? 3. x-wert in f(x). (Ausgangsfunktion) einsetzen, um dazugehörigen y-wert zu bestimmen notwendiges Kriterium: Für eine an der Stelle xo differenzierbare Funktion gilt: wenn f(x) bei xo einen Extrempunkt hat, dann gilt f'(x) = 0 ninreichendes kriterium: Die Funktion f sei in einer Umgebung von x zweimal differenzierbar und. es sei f'(x₁) = 0 : wenn f'(x₁) = 0 und f"! (x₁) <0, so liegt an der Stelle x₁ ein lokales Maximum (Hochpunkt) wenn f'(x₁) = 0 und f" (X₁) 20, so liegt an der Stelle x₁ ein lokales Minimum (Tiefpunkt). : wenn f' (x₁) = 0 und f"! (x₁) = 0,₁ kann man keine Aussage über die Extremstellen machen Bsp.: ninreichendes Kriterium: Die Funktion of sei in einer Umgebung von x differenzierbar und es sei f'(x₁) = 0 wenn die Ableitung f'(x) an der Stelle x₁. f(x) = 2x² + 3x -5 f'(x) = 4x +3 f" (x) = 4 not. kriterium: f'(x) = 0 4x +3=0 4x = -3 x = -3/1/ hin. kriterium: x in f" (x) f"(x)=4>0 1-3 1:4 Tiefpunkt: (-21-49) Tiefpunkt x in f(x) f(x) = 2 (-²)² + 3. (-) - 5 - 49 Hochpunkt THE vonf Tiefpunkt von f Vorgehensweise: wendepunkte 1. f"(x)=0 setzen 2. x- wert in f""(x) einsetzen; Links - Rechts-Wendepunkt oder Rechts- Links - Wendepunkt 3.x-wert in f(x). (Ausgangsfunktion) einsetzen um dazugenehörigen Y- wert zu bestimmen notwendiges Kriterium: Dle Funktion f sei an der Stelle x。 zweimal differenzierbar, aann gilt: wenn bei Xw ein wendepunkt liegt, dann ist f" (Xw) = 0. ninreichendes kriterium: Die Funktion f sei an der Stelle xo areimal differenzierbar. Dann gilt: wenn f" (XW) #0 i Wendepunkt. f"(x) > Oi Rechts- Links-Wendepunkt ("(Xw) ≤0i Links - Rechts-Wendepunkt ninreichendes kriterium: wenn f"(x) einen vorzeichenwechsel hat, liegt dort eine Wendestelle von f Bsp.: f(x) = = 12׳ - ²³×² f'(x) = ²/₁x²-3x f"(x) = 3x -3 f(x) = 3. hin. kriterium: vorzeichenwechsel von. + nach i Links - Rechts-Wendepunkt. vorzeichenwechsel von nach +; Rechts- Links - Wendepunkt not. kriterium: f"(x)=0 0=3x-3 3x = 3 x = 1 1+3 1:3. x in f(x) = 3.0 Wendestelle bei xw = 1₁ fill (X)=3>0; Rechts- Links-Wendepunkt x in f(x) f(1) = 1/2 (1) ³ - 2/2 (1) ²³ = -1 Wendepunkt: (11-1) Sattelpunkt: 1. Wendepunkte berechnen also f"(x)=0 und F"(x₁) #0 2. wenn WP in f'(X₁) einsetzen wenn f'(x₁) = 0 ergibt ist der Wendepunkt an sattelpunkt. Wendepunkt von f steigung Steigung in einem Punkt Vorgehensweise: 1., 1. Ableitung bilden 2. x-koordinate des Punktes für x einsetzen Bsp.: f(x) = 2x² +3. p(3124) f'(x) = 4x f(3)=4.3 = 12 Der Punkt hat eine Steigung von 12 DURCHSCHNittliche ÄnderunGSRATE lim Graphen: Steigungsdreieck mit sekante) Bei einer ganzrationalen Funktion ist die stagung überall ver- schieden. Man kann aber zwischen zwei Punkten die durchschnitt- liche Steigung berechnen: ΔΥ m=; Уг-Уг n=DX = X₁₂ - Y₁ = (f(x₁) = f(x^³ ) X2-X1 -X1 Vorgehensweise: 1. es müssen 2. Punkte gegeben sein 2. DY = Y₂-Y₁ Х2-X1 3. ausrechnen Bsp.: f(x) = 0,25 x ² + X-1 Punkte in die Gleichung einsetzen P₁1-612) P2 (-21-2) x y mittlere Änderungsrate von -1 2 -2-2 -2-(-6) -1 tangentengleichung Eine Tangente ist eine Gerade der Form f(x) = Y = mx +n. sie berührt eine Funktion in einem Punkt. y=mx+n Steigung der Funktion an dem Berührpunkt m = f'(x) vorgehensweise: 1. wenn nur an x-wert gegeben ist, diesen in f(x). einsetzen und den y-wert bestimmen 2. flx). bestimmen Schnittpunkt mit der Y-Achse Beispiel: +(X) = = 1/2x²x₁ =2 1. Xo in f(x) f(2)=1/2² 3. x in f'(x) einsetzen und im bestimmen. 4. Berührpunkt in y=mx+n einsetzen und n bestimmen 5. Tangentengleichung notieren. 2. f'(x)=x = 2P(212) 3. f(2)=2 m = 2 Y=2x+n 4. Pin y = 2x+n 2 = 2.2+n 2 = 4+n 1-4 n=-2 5. Y=2x-2 Eine wendetangente ist eine Tangente, die eine Funktion an anem inrer Wendepunkte berührt.. vorgehensweise: wendetangente f'(x) = 3x²-6x f"(x) = 6x-6 fill(x) = 6. f"(x)=0 1. Wendepunkt berechnen. F"(x)=0 und nach x umstellen x in f(x), wenn x 70 liegt ein. Wendepunkt vor x in f(x) um y-wert zu bestimmen; Koordinaten des Wendepunktes Tangentengleichung: t¹y=mx+n-Schnittpunkt Beispiel: f(x) = x³ - 3x² x in full (x) m berechnen m = f'(x). x - koordinate des Wendepunktes in f'(x) einsetzen, y- wert=m 0=6x-6 1+6 6x = 6 1:6 X = 1 n-berechnen für x und y werden die koordinaten des Wendepunkts eingesetzt in f(x) = mx +n für m wird die vorher berechnete Steigung eingesetzt nach n umstellen und berechnen f"(x) = 6 +0. →wendpunkt I Steigung x in f(x) mit der Y Achse. fix)=x²-3x² = 1³-3.1² = -2 WP (11-2) y=mx+n m = f'(x) = 3x² - 6x m = 3·1² -6.1 = 3 Y=-3x+n 3. WP (11-2) in y=-3x+n -2=-3.1+n -2=-3+n 1+3 n = 1 y=-3x+1 steigungswinkel Vorgehensweise: Beispiel: d AX f(x)= x² +1 1. f'(x)=2x AY Ableitungen bestimmen 2. m an der Stelle Xo berechnen (m= f'(xo)). 3. m in m = tand einsetzen und & berechnen (α = tan (m) bzw. α= tan" 1 (m)) m= f'(xo) m= 2.1 Tangente Xo = 1 m = 2 m=tand α = tan^^ (m) x = tan1 (2) x 63,43° Parallele zu X- nse m= ΔΥ Gegenkathete tan x= Ankathete tanx = AX m=tanα. wenn & positiv ist, liegt der rechte Teil der Tangente über der x-Achse und der unke Teil der Tangente unter der x-Achse. Der Winkel liegt zwischen der x-Achse und dem rechten Teil der Tangente, dev oberhalb der x-Achse liegt. 1st & negativ, ist es genau andersherum. Dann ist der berechnete schnittwinkel der winkel zwischen der x-Achse und dem reanten Teil der Tangente,. der unterhalb der x-Achse liegt. schnittwinkel von Funktionen Der Schnittwinkel zweier Funktionen bzw. ihrer Graphen entspricht dem. winkel zwischen den beiden Tangenten an der Stelle xo. vorgehensweise: 1. Ableitungen der beiden Funktionen bilden. 2. xo einsetzen und im bestimmen 3. m jeweils in m-tan & einsetzen und beide a bestimmen 4. y mit y = 180° - (x +ß) oder wenn α-B größer als 90° ist: y=180°-(x-B) (der größere winkel minus der kleinere winkel) Beispiel: f(x)=x² x6 =1 g(x)=2-x D f'(x) = 2x g'(x) = -1 2. f(1) = 2 M₁ = 2 g₁ (1) = 1 m₂ = -1 3. m₁ und m₂ in m = tan & -D 2=tan d x = tan ¹ (2) α63,43° -1 = tan B B = tan ¹ (-1) B = -45° 4.180°-(x-B) r = 180°-163,43°-(-45°) 8 = 180° -108,43° 8=71,57 Vi x B 180⁰-8 .tg es wird immer der kleinere. Winkel genommen (nier: 8) symmetrie Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) gilt Eine Funktion f ist punktsymmetrisch zum koordinatenursprung. wenn fl-x) = -f(x) gilt → f(-x) = f(x) Achsensymmetrisch zur y-Achse Symmetrie bestimmen f(-x) = -f(x) Punktsymmetrisch zum koordinatenursprung Eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist achsensymmetrisch zur y-Achsc. Eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten ist punktsymmetrisch zum koordinatenursprung. Eine ganzrationale Funktion mit sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten weißt keine symmetrie auf. Beweis der symmetrie Die Funktion wird in die Gleichung f(x) = f(-x) oder -f(x) = f(-x) eingesetzt wird aufgelöst bis sich eine Lösung oder falsch Aussage ergilot Beispiel 1: f(x)=x+x 6 bereits an den Exponenten abzulesen f(x)=f(-x). x² + x²- S = (-x)² + (− x)² +6. x² + x²-6= x² + x² - 6. 0 = 0 W.A. symmetrie Die Funktion ist achsensymmetrisch zury-Achse Beispiel 2: f(x)= x + 6x2-3x2+7 bereits an den Exponenten abzulesen f(x) = f(-x) x+6x²-3x² + 7 = (-x)5 + 6 :(-x)4 -3.(-x)² +7 x³ + 6x43x² + 7 = -x5 + 6x²-3x² + x³ = -xs f. A Die zur y-Achse on ist nicht achsensymmetrisch f(-x) = -f(x). (-x15 +6 (-x14 -3L-x1² + 7 = −(x³ + 6x²-3x² +7) + 6x4-3x² + 7 = -x5-6x² + 3x² - 7 = -6x² + 3x² - 7.f..A.. 6x²-3x² + 7 Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum koordinatenursprung. Die Funktion ist weder achsensymmetrisch noch ist sie punktsymmetrisch Eine Funktion f auf einem intervall I = [a,b] heißt... monoton steigend, wenn f(x₁) ≤ f(x₂) für alle x₁ und x₂ aus I mit X₁ < x₂ streng monoton steigend, wenn flx₁) < f(x₂) für alle x₁ und x₂ aus. I mit x₁ <.x₂. monoton fallend, wenn f(x₁) = f(x₂) für alle x₁ und X₂ aus I mit X₁ < x₂ streng monoton fallend, wenn f(x₁) = f(x²) für alle x₁ und x₂ aus I mit x₁ < x₂ Grafische Beispiele: f(x₂) f(x₁) monotonie -1 fist streng monoton steigend. da x₁ < x₂ und f(x₁).< f(x₂) + f ist streng monoton steigend, da f'(x) > 0.ist. 2 ·1 -3 ·1 f(x₁)-₁ Eine differenzierbare Funktion f auf einem intervall I ca¡b] ist.... monoton steigend, wenn f'(x) =0 für alle xf I streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0 für alle xfI. monoton fallend, wenn f'(x) ≤.0 für alle xf I streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0 für alle xfI Grafische Beispiele: Fig 2 X₁ f ist monoton steigend, da x₁ < x₂ und f(x₁) ≤ f(x₂) f(x₂) f ist für x<0 streng monoton fallend.da f'(x) <0 ist. f ist für x<0 streng monoton steigend.da f'(x) > 0 ist. 1 f ist monoton steigena, da f(x). 20 ist. Beispiele: p I₁ [12] · f'(x₂₁) = f'(1) monotonie = 1²-5.1 +6 = 2 positives vorzeichen. FILX) >0. also ist f(x) m intervall I₁ [-∞0; 2] streng monoton Steigena f(x) = x³x² + 6x +3. Extrempunkte von f(x) + f'(X) = 0. Intervalle bestimmen: I₂ [213] f'(X12) = f'(2,5 f'(x) = x²-5x + 6 1₁ [12] 1₂ [213] 1₂ [3₁00] jeweils beliebige Stelle wählen, die in dem Intervall zwischen den intervallgrenzen liegt und in die Ableitung einsetzen = 2.5²-5.2,5+6 = -0,25 negatives vorzeichen f'(x) <0. also ist f(x) im intervall I₂ [213] streng manoton fallend O=x²-5x + 6 mit p-q xq = 3 Xz =.2 I3 [3₁00] f'(x₂₂) = f'(10) = 10²-5.10+6 - 56 positives Vorzeichen f'LX) >0, also ist f(x) m. intervall I₂ [3100] streng monoton Steigena. Kurvendiskussion UNTERSUCHUNG eines Graphen einer Funktion auf seine Geometrischen EIGEnschaften schnittpunkt mit der y- Achse Nullstelle Hochpunkt schnittpunkt mit der y-Achse X=0 f(0) = -04+2.02-1 ·Y = -1 ZUSAMMENFASSUNG 9. y = (0.1-1) f'(x). punkt. Wende- Beispiel: f(x) = -xª + 2x² -1 (→D = {XEIR} ) Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen / f(x) Tiefpunkt Nullstellen Monotonie vernauen im unendlichen -DX y=0 nach x auflösen 0=x²+2x² - 1 → Substitution: x² = z 0= 2² +22-1 1·(-1). 0= 2²-22+1 -D p-q Formel: 21/2 = was wird betrachtet ? (Definitions- und wertebereich) Schnittpunkte • Extrem- und Wendepunkte. • Monotonie Symmetrie -- (²²³) ± √√√²²) ²-1² ·2₁/2 = 1 ± √0 2₁ = 1 Rücksubstitution: z = x² 1 = x² √ x₁ = 1 X₁₂ = -1 Kurvendiskussion Beispiel: f(x)=x² + 2 x ² - 1 (→→D = {XER}) Symmetrie f(-x) = f(x) -(-x)+2.(-x)² - 1 = − x² + 2x² -1. - x² + 2x² - 1 = -x² + 2x² - 1 1 + x² - 2x +1 0 =0. W.A.. f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse Extrempunkte 1. notwendiges kriterium: f'(x)=0 0=4x³+4x 0= x (-4x² + 4) x₁ = 0. 2. hinreichendes kriterium f"(x₁) 0 3. X₁, X₂, X3 in f(x) f(x₁)=-04+20² - 1 = 0 +0 - 1 = 1 TP (01-1) -4x²+4= 1+ 4x² 4 = 4x² 1:4 x² = 1 X₂ = 1 X3 -1 f(-x) = f(x) → punktsymmetrisch f(-x) = f(x) achsensymmetrisch f"(x₁) = -12.0² +4 = 4 >0 Tiefpunkt f" (x 3) = -12- (-1)² +4 f(x₂)=-17 +2.1²-1 = 1 + 2 - 1 HP (110) Ableitungen: f(x) = -x + 2x²-1 f'(x) = 4x³ + 4x f"(x) = -12 x² + 4 flll(x)= - 24x f"(x₂)=-12-1² + 4. = -8 <0 Hochpunkt = -8 <0 Hochpunkt f(x3)= (-1)+2: (-1)² - 1 = 1+2 -1. = 0 HP (-1.10) Kurvendiskussion Beispiel: f(x) = − x² + 2x² − 1 (→D = {XER}) Wendpunkte. 1. notweniges Kriterium : f"(x) = 0 2. hinreichendes kriterium: f¹" (x₁) 70 ·f!!! (x₁) = -12x 3. x₁, x₂ in f(x) = 4x+2x²-1 f(x₂)=(√√¹)² +2. (√???) ²-1 a - (√) Monotonie =-24√ = -813 <0 Links-Rechts Wendepunkt >0 Rechts- Links Wendepunkt Intervalle bestimmen I₁ [-∞i-1] f'f2) = -4 (-2)³+4·(-2) = 24 20 1 Df ist auf dem intervall 0=12x² +4 12x² = 4. x² 슬 X₁ = √ x₂ = √√-3₁¹ IC-00;-^] Streng. monoton steigend I₂ [-1;0] 1+12x² 1:12 IV f(x₂)=(√²+2. (-√3)²-1 - - ² / W²-√²/²1 - 12/1). f'(-0,5= -4 (-0,51³ 44.(-0,5) ====<6 f"(x₂1= -24. (-√√) = 8√3 D f ist auf dem intervall IC-10] Streng monoton fallend Is [0:1] f'0₁5)=-4-0,52 14.0₁5. 20 | Df ist auf dem intervall 14 [1; +00] f(2)=-4.2³ +4.2 ICO; 17 Streng monoton steigend =-2450 D f ist auf dem intervall I[110] Streng monoton fallend Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = 0,04x²-x² +0,96, XER. a. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Symetrie. Ermitteln sie die Nullstellen und den schnittpunkt mit den Koordinatenachsen. Kurvendiskussion AnwenDUNGSAUFGABE 6. Ermitteln Sie Extrem-und wendepunkte des Graphen von f.. C. Skizzieren Sie den Graphen von f für -5≤x≤5.. d. Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion. a. Es liegt eine Achsensymmetrie an der y-Achse vor, da nur gerade Exponenten im Term voruegan. Nullstellen: f(x)=0 0,04 x-x² +0.96=0 x4-25x² + 24-0 z²25z + 24 =0 2 ₁/2 = - = -√√(²³-9² 21/2 = 25+ √(25)²-24 2₁ = 24 2₂ = 1 724 = = X1 4,898 X₂= -4,898 x3 = 1 x₂ = -1 1:0.04 I substitution (x²=2²) (x² = z) Ip-q Formel | p= -25,9 = 24 4,898 und -4,898 1 un d - 1 I Rücksubstitution f(x)= 0,04x4x² +0.96 f(0) = 0,04-04-0² +0,96 Nullstellen: (4,89810) (-4,89810) (110) (-110) Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 O Y-Achsenabschnitt = (0,9610) 0.96 Kurvendiskussion AnwenDUNGSAUFGABE b. flx)= 0,04 x-x² +0,96 Ableitungen f'(x)= 0, 16x³ - 2x f"(x) = 0,48 x²-2 f(x)=0,96 x Extrempunkte: f'(x)=0 ; D x₁ if" (x₁) #0 0, 16x³-2x =O I AUSKlammern x. (0.16 x²-2)=0 X₁ = 0 0,16x²-2=0 0, 16x² = 2 x² = 12,5 X₂ 3,536 X3-3,536 1+2 1:0,16 15 f" (X₁ X₂iXg) # 0. f" (0) = 0,48 0 3-2 f"(-3,536)= 0,48 (-3.536)²-2 * 4,002 f"(3,536)= 0,48 3.536²-2 x 4,002 Y- Kordinaten Wendepunkt: f"(x)=0 0,48 x² -2=0 0,48 x² = 2 x² = 4,167 X₁ 2,041. X₂ -2,041 1+2 1:0,48 IN f (xX₁, X₂) #0 Bedingung erfüllt, somit Wendepunkt f" (2,041)= 0,96: 2.041 1,959 40 fal (-2,041)=0.96 (-2041) -1,959 +0 Y-koordinaten: f (2,041)= 0,04 (2,041)4- (2,041)² +0,96 -2,512 f(-2,041)=0,04 (-2,041)*- (-2,041)² +0.96 -2,512 WP₁ = (2,0411-2,512) WP₂ = (-2,0411-2,512). f" (0) = -2 → Bedingung erfüllt, da f" (0) *0; da negatives vorzeichen Hochpunkt f"(-3,536) * 4,002 → Bedingung erfüllt, da f" (4,0021 0; da positives vorzeichen. f"(3,536) 4,002 → Bedingung erfüllt, da f" (4,002)#0 ein Tiefpunkt f(0) = 0.04:04-0² +0,96 = 0,96 HP (010,96) f(3,536) = 0,043,5364-3,536² +0,96= -5,29. TP13,5361-5,29) f(-3,536) = 0,04 (-3,536)4 - (-3,536)² + 0.96 = -8,29 TPL-3,5361-8,29) Kurvendiskussion AnwenDUNGSAUFGABE W -2 -1 1 d. Monotonieverhalten. fällt der Graph; steigt der Graphi von B bis 3,536 fällt der Graphi von 3,536 bis +∞ steigt der Graph. von bis -3,536 von-3,536 bis 0