Kurvendiskussion: Lösen von Textaufgaben

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dass ihr einfach die Werte für t in h(t) einsetzen müsst. Gesucht: h(t1) und h(t2) Welche Formeln kann ich nutzen? → Die Funktionsgleichung in der Einleitung ist die Gleichung, die ihr zum Lösen der Aufgabe benötigt. ⇒ Das t in der Gleichung wird durch die oben genannten Zahlenwerte ersetzt und der y-Wert ausgerechnet: h(8) = -0,1 24 + 20 2² = 78,4 Beispielaufgabe aus dem Abitur Berechnen Sie die maximale Höhe des Baums A. Geben Sie an, wie viele Jahre der Baum A wächst. Hier gibt euch das Wort maximal den Lösungshinweis. In der Einleitung wurde gesagt, dass der Baum eine maximale Höhe hat. Die gilt es nun zu berechnen. Da die Funktion das Wachstum des Baums beschreibt, müsst ihr den Extrempunkt berechnen. Warum nicht Extremstelle? Diese würde nur den x-Wert, d.h. die Zeit meinen. Da aber nach der Höhe des Baums gefragt wird, müsst ihr auch den Funktionswert berechnen. Welche Formeln kann ich nutzen? ⇒ Zunächst musst du die erste Ableitung berechnen. ⇒ Diese setzt du mit 0 gleich (notwendiges Kriterium) und stellst nach t um. → Diesen Wert setzt du in h(t) ein. h'(t) = -0,4 t³ + 40.t 0 = -0,4 t³ + 40t t1 = 0, t2 = 10 ⇒h(10) = 1000 (entspricht 10m) Beispielaufgabe aus dem Abitur Berechnen Sie die höchste Wachstumsgeschwindigkeit des Baums A in cm/Jahr. Es genügt die Arbeit mit dem notwendigen Kriterium. Hier gibt euch das Wort höchste Geschwindigkeit den Lösungshinweis. Da die Gleichung das Wachstum angibt, kannst du anhand der Steigung der Funktion die Geschwindigkeit bestimmen. Hier haben wir aber keine lineare Funktion mit einer konstanten Steigung, sondern eine Polynomfunktion mit einer anderen Steigung in jedem Punkt. Um die Aufgabe lösen zu können, sollte dir bekannt sein, dass am Wendepunkt die maximale Steigung vorliegt. Hier muss also die Steigung der Funktioniert am Wendepunkt ermittelt werden. Welche Formeln kann ich nutzen? → Zunächst musst du die zweite Ableitung berechnen. ⇒ Diese setzt du mit 0 gleich (notwendiges Kriterium - reicht aus, siehe Aufgabenstellung!) und stellst nach t um. Diesen Wert setzt du in die erste Ableitung ein! Denn diese gibt den Verlauf der Steigung von h(t) an. h"(t) = -1,2 t² + 40 t = 5,77 ⇒h'(5,77) = 153,96 Beispielaufgabe aus dem Abitur Das Wachstum des Baums B Sei beschrieben durch g(x) = -2t³ + 30t². Die Bäume A und B beginnen gleichzeitig mit dem Wachstum. Zu welchen Zeiten besitzen beide Bäume dieselben Wachstumsgeschwindigkeiten? Hier muss man etwas um die Ecke denken. Da die Steigung der Funktion in cm/Jahr angegeben wird und die erste Ableitung die Steigung angibt, musst du die Schnittpunkte der ersten Ableitungen der Funktionen bestimmen. Welche Formeln kann ich nutzen? → Zunächst musst du die erste Ableitung der Funktion g berechnen (die von h kennst du ja schon). ⇒ Diese setzt du gleich, da du ja wissen willst, an welcher Stelle die Werte gleich sind. Das t muss also beide Gleichungen erfüllen. → Umstellen, mit pq-Formel restliche Lösungen ermitteln h'(t) = -0,4 t³ + 40.t g'(t) = -6 t² + 60.t -6t² + 60t = -0,4t³ + 40t | ÷t/t1 = 0 -6t+60= -0,4t² + 40 t²-15t +50=0 ⇒ L = {0;5;10} Beispielaufgabe aus dem Abitur Die Graphen von g' und h' schließen im 1. Quadranten zwei Teilflächen vollständig ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Teilfläche, die im Intervall 1 = [0;5] liegt. 150 100 50 2 6 . Ich hab euch das Problem grafisch veranschaulicht. Die lila eingefärbte Fläche ist die zu berechnende. Sie liegt zwischen zwei Funktionen komplett oberhalb der x-Achse in einem geschlossenen Intervall (das zeigen die eckigen Klammern an). Welche Formeln kann ich nutzen? → Bilde die Differenz der Funktionen. → Davon berechnest du das Integral in den Grenzen 0 bis 5. d(x) = h'(x) - g'(x) = -0,4t³ + 6t² - 20t D(x) = -0,1t4 + 2t³ - 10t² A = | D(5) - D(0)| = |-62,5-01 = 62,5