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Kurvendiskussion: Lösen von Textaufgaben
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somestudystuff
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11/12/10
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Schritt-für-Schritt Anleitung zum Vorgehen beim Lösen von Textaufgaben zur Kurvendiskussion.
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Worauf muss man achten? 1. Lies dir die Aufgabe sorgfältig durch. 2. Beantworte folgende Fragen: Was ist gesucht? Was ist gegeben? 3. Überlege dir nun, mit welchem Verfahren und welchen Formeln man die Aufgabe lösen könnte. Sicherlich habt ihr einige in der Schule kennen gelernt. 4. Achte beim Lesen der Aufgabe auf bestimmte Formulierungen. Diese geben oft den entscheidenden Hinweis zur Lösung der Aufgabe. Beispielaufgabe aus dem Abitur Das Wachstum eines Baums A kann für t ≥ 0 bis zum Erreichen der maximalen Höhe näherungsweise durch die Funktion h mit h(t) = -0,1.t4 + 20 t²2 beschrieben werden. Dabei gibt t die Zeit in Jahren und h(t) die Höhe in cm an. Lies diesen Einleitungstext sorgfältig durch und notiere dir die Infos, die du aus diesem Text gewinnst. Folgendes solltest du aus dem Text herausfiltern können: 1. Es geht um den Bereich von 0 bis zur maximalen Höhe. 2. Die Funktionsgleichung. 3. t gibt Die Zeit in Jahren an. 4. h(t), also der y-Wert, gibt die Höhe an Beispielaufgabe aus dem Abitur Bestimmen Sie die Höhe des Baums A nach 2 Jahren und nach 8 Jahren. In dieser Aufgabe geht es um reines Einsetzen von Funktionswerten in die gegebene Funktionsgleichung. Am besten geht ihr dabei vor wie am Anfang gezeigt: Gegeben: t1 = 2, t2 = 8. ⇒ Da euch in der Einleitung gesagt worden ist, dass t in Jahren die Wachstumszeit des Baumes beschreibt und ihr zudem wisst, dass der Funktionswert h(t) die Höhe angibt, könnt ihr euch daraus...
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ableiten, dass ihr einfach die Werte für t in h(t) einsetzen müsst. Gesucht: h(t1) und h(t2) Welche Formeln kann ich nutzen? → Die Funktionsgleichung in der Einleitung ist die Gleichung, die ihr zum Lösen der Aufgabe benötigt. ⇒ Das t in der Gleichung wird durch die oben genannten Zahlenwerte ersetzt und der y-Wert ausgerechnet: h(8)= -0,1 24+20 2² = 78,4 Beispielaufgabe aus dem Abitur Berechnen Sie die maximale Höhe des Baums A. Geben Sie an, wie viele Jahre der Baum A wächst. Hier gibt euch das Wort maximal den Lösungshinweis. In der Einleitung wurde gesagt, dass der Baum eine maximale Höhe hat. Die gilt es nun zu berechnen. Da die Funktion das Wachstum des Baums beschreibt, müsst ihr den Extrempunkt berechnen. Warum nicht Extremstelle? Diese würde nur den x-Wert, d.h. die Zeit meinen. Da aber nach der Höhe des Baums gefragt wird, müsst ihr auch den Funktionswert berechnen. Welche Formeln kann ich nutzen? ⇒ Zunächst musst du die erste Ableitung berechnen. → Diese setzt du mit 0 gleich (notwendiges Kriterium) und stellst nach t um. → Diesen Wert setzt du in h(t) ein. h'(t) = -0,4 t³ + 40 t 0 = -0,4 t³ + 40t t1 = 0, t2 = 10 ⇒h(10) = 1000 (entspricht 10m) Beispielaufgabe aus dem Abitur Berechnen Sie die höchste Wachstumsgeschwindigkeit des Baums A in cm/Jahr. Es genügt die Arbeit mit dem notwendigen Kriterium. Hier gibt euch das Wort höchste Geschwindigkeit den Lösungshinweis. Da die Gleichung das Wachstum angibt, kannst du anhand der Steigung der Funktion die Geschwindigkeit bestimmen. Hier haben wir aber keine lineare Funktion mit einer konstanten Steigung, sondern eine Polynomfunktion mit einer anderen Steigung in jedem Punkt. Um die Aufgabe lösen zu können, sollte dir bekannt sein, dass am Wendepunkt die maximale Steigung vorliegt. Hier muss also die Steigung der Funktioniert am Wendepunkt ermittelt werden. Welche Formeln kann ich nutzen? ⇒ Zunächst musst du die zweite Ableitung berechnen. ⇒ Diese setzt du mit 0 gleich (notwendiges Kriterium siehe Aufgabenstellung!) und stellst nach t um. - h"(t) = -1,2 t² + 40 t = 5,77 ⇒h'(5,77) = 153,96 reicht aus, ⇒ Diesen Wert setzt du in die erste Ableitung ein! Denn diese gibt den Verlauf der Steigung von h(t) an.
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