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Kurvendiskussion und Funktionsscharen
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Mathe Klausur 15P
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2 ! Bearbeitungshinweise: Die Lösungswege müssen ausführlich dargestellt und nachvollziehbar sein. Die mathematischen Ausdrücke sind soweit wie möglich zu vereinfachen. Eine Beanstandung von Korrekturfehlern ist nur dann möglich, wenn keine Korrekturhilfen (z.B. TippEx, Tintenkiller o.ä.) verwendet werden. Formfehler und Fehler in der Fachsprache werden mit Punktabzug bewertet. Jedes Blatt ist zu nummerieren und die Gesamtzahl der abgegebenen Blätter ist auf dem Aufgabenblatt einzutragen. Endergebnisse sind eindeutig doppelt zu unterstreichen. Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktionenschar f₁(x) = a · x² + 3x² - 2. a) Untersuche die Funktionenschar auf Symmetrie für a E R. b) Bestimmen Sie die Wendepunkte für a = -². c) Bestimmen Sie die Steigung der Funktion im Punkt P(2| ?) für a = – -1/3 Aufgabe 2: An einer Schule mit 2000 Schülerinnen und Schülern ist eine Grippewelle ausgebrochen, die etwa einen Monat anhält. Während dieser Zeit ist immer eine bestimmte Anzahl von Personen erkrankt. Der Verlauf der Grippewelle während der ersten dreißig Tage kann näherungsweise durch folgende Funktion dargestellt werden: f(t) = 0,002t4 - 0,127t³ +2,02t² + 1. Dabei gilt: t Zeit in Tagen f(t) = Anzahl der Erkrankten x100 an diesem Tag 50 40 seb guto (15P) 30 Bitte umblättern! 20 10 10 20 1 30 40 50 IN 10-20 a) Berechne den Zeitpunkt, ab welchem die Anzahl der Erkrankten nicht weiter ansteigt und ermittle, wie viele Schülerinnen und Schüler zu diesem Zeitpunkt krank sind. b) Berechne den Zeitpunkt, an dem die Anzahl an Erkrankten...
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am stärksten zurückgeht. Wendepunk z 20²30 a) Liegt an der Stelle x=b ein lokaler Extrempunkt vor, so ist f"(b) nicht gleich 0. b) Es gibt Funktionen dritten Grades, die genau ein lokales Extremum besitzen. c) Jeder Sattelpunkt ist auch ein Wendepunkt. Aufgabe 3: Überprüfen Sie folgende Aussagen auf Ihre Richtigkeit und begründen Sie kurz Ihre Entscheidungen. 25 60 26 70 20 far 08.17-2020 Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktionenschar: f(x) = x³ − 4t · x² + 4t² . x mit te R a) Bestimmen Sie für den Fall t = -1 die Nullstellen der zugehörigen Funktion. b) Bestimmen Sie t so, dass die zugehörige Funktion die Nullstelle x₁ = 6 besitzt. Aufgabe 5: Wie muss der Parameter t der Funktionenschar f(x) = x³ + 3x² + 3t · x + 1 gewählt werden, damit es genau zwei Stellen mit waagerechter Tangente gibt und geben Sie ein konkretes Beispiel einer Funktion an, die diese Bedingung erfüllt. Aufgabe 6: Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Graphen so genau wie möglich und markieren Sie prägnante Zusammenhänge. a) 2/2 -4 -4 -2 4- 2 -2 -2 f(x) + f'(x) 4 X b) ·^ m== Bitte umblättern ! [(x) Sattelpunkt MaGraf.de MateGra 2/2 RE Nocl a) Da alle e Exponenten gerade und in diere kenktion Vachrensymmebesch X² + 3x b) fa (x1= c J'a (x = a (v f" a (x) = J₁a (x) = 0 B 2 - 4 #2 - = X * [a(R) = a-2 Ja (2) Ja (-2) = कार X + 14 18 XXX 2 2 2 Bx X 8 X 2 J₁ (2) = = = =3²) 13 fa (x) = - = x P+6x t B.R 13- (-2) 6 12 # 6 5 = 1-6 +6X +61 16 2 J T 70 70 A 3.2 22-2 W. (218 W₂ (-218 13 P/2/ 12== 好 R +6.2 3 A: 2m Punkt P (2/3) ist are Steigung m= 4 15/15 414 2/2 19 2,5/2,5 = 2 2/2 4.2 al fiel = prit) = JZE Ji t يل 77 = 0 = € f (t) = 0 가 125 H 0 = €² उ 0 = € 1. Fall ER/E3 to 二六七 . ||| 725 125 + -425 EX 4 7 0,002€" - 0,127 = 3 +2,02 € t 125 2 Hos 1² (311, 69 & D (1 OF 25 0 = 77 1 ( ² ) = 0 - - H 125 - 긋 # €112 1₁* 25, 02 ㅊ 3 381 1000 N 384 1000 384 14 404 ॠड (311, 69) * 3.99 - + (-381) 2 ->> HALL 2 - 381 500 94) ≈ - 2.008 384 1000 381 € + + F00 381 2 €3 片 500 + + 381 1900 0 it + 125 € + 505 t 701 215 t + 115, A: 47 es ist ein Maximum, also Hochpunkt, gesucht das temps wea at dem 15.94 t + 2. Fall of Lag Tag steigt die Anzahl der Erkrankten nicht mehr weiter an. £115,94) € 129,004 A. An diesem Tag rind ca. 129.004 Schiller ſinnen b 101 25 381 T 505 2 127 € + 505 13 $1 H 127 2 14 31.69 to Minimum o Minimum PO Ko Maximum 2 Ł 104 TV 2 tw₂= 6,73 H E3 104 25 tot 25 A ≈ 15,94 125 sost +7 15 225 7 [25.02) = 200 ↳y to racher ein Punkt an dem die Steigung neg. ist also kommt new [email protected] 25 024 in Frage, wee nur aus m #0X WA 3 a Pas stimmt, denn die Liweichende Bedingsing for Extrempunkte lautet f (x) +0. all day b Nein da me immer von oder nach + mach sie mindestens zwei that plus volausen mum, Dal im Wendepunkt die Steigung am Großten oder Medrigsten ist, ist hier auch die Stelle an dem die Anzahl der Sharkten am stärksten zweichgeht. An dem ca. 25,02 lag geht me над also am Wahrter sweich N. M.H C C Extremstellen. c) 20, jeder Sattelpunkt ist auch ein Wende + punet, dass besibt er eine Steigung mit wagerechter Tangente also f cx = 0 & f(x) = x Q F O EX H XOA a = x X Хочтя H 11 tr a e L T X + 4x 2+ J + 4x + 161 2 11/²27-46 I hann teine Wurzel gezogen werden, da meg ред M + = 0 = 24 t 0 t 2 N +H f √2 + 4x + 16 - A: Eine Bullstelle bei x = 0 b) J (6) + 116 X 2 4x + 16x 6 = 4t 6³ +4 t 216 -144t + 24 t 24 t ² 144 t +276 2 2 + 6 t + 19 + | q ) ² g X6 2 de 2 rulling of flad C 24 to A: Die Funktion mit A=3 benk die Nullstelle X₂=6. 2,5/3 1,5/2 2/2 3
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am stärksten zurückgeht. Wendepunk z 20²30 a) Liegt an der Stelle x=b ein lokaler Extrempunkt vor, so ist f"(b) nicht gleich 0. b) Es gibt Funktionen dritten Grades, die genau ein lokales Extremum besitzen. c) Jeder Sattelpunkt ist auch ein Wendepunkt. Aufgabe 3: Überprüfen Sie folgende Aussagen auf Ihre Richtigkeit und begründen Sie kurz Ihre Entscheidungen. 25 60 26 70 20 far 08.17-2020 Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktionenschar: f(x) = x³ − 4t · x² + 4t² . x mit te R a) Bestimmen Sie für den Fall t = -1 die Nullstellen der zugehörigen Funktion. b) Bestimmen Sie t so, dass die zugehörige Funktion die Nullstelle x₁ = 6 besitzt. Aufgabe 5: Wie muss der Parameter t der Funktionenschar f(x) = x³ + 3x² + 3t · x + 1 gewählt werden, damit es genau zwei Stellen mit waagerechter Tangente gibt und geben Sie ein konkretes Beispiel einer Funktion an, die diese Bedingung erfüllt. Aufgabe 6: Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Graphen so genau wie möglich und markieren Sie prägnante Zusammenhänge. a) 2/2 -4 -4 -2 4- 2 -2 -2 f(x) + f'(x) 4 X b) ·^ m== Bitte umblättern ! [(x) Sattelpunkt MaGraf.de MateGra 2/2 RE Nocl a) Da alle e Exponenten gerade und in diere kenktion Vachrensymmebesch X² + 3x b) fa (x1= c J'a (x = a (v f" a (x) = J₁a (x) = 0 B 2 - 4 #2 - = X * [a(R) = a-2 Ja (2) Ja (-2) = कार X + 14 18 XXX 2 2 2 Bx X 8 X 2 J₁ (2) = = = =3²) 13 fa (x) = - = x P+6x t B.R 13- (-2) 6 12 # 6 5 = 1-6 +6X +61 16 2 J T 70 70 A 3.2 22-2 W. (218 W₂ (-218 13 P/2/ 12== 好 R +6.2 3 A: 2m Punkt P (2/3) ist are Steigung m= 4 15/15 414 2/2 19 2,5/2,5 = 2 2/2 4.2 al fiel = prit) = JZE Ji t يل 77 = 0 = € f (t) = 0 가 125 H 0 = €² उ 0 = € 1. Fall ER/E3 to 二六七 . ||| 725 125 + -425 EX 4 7 0,002€" - 0,127 = 3 +2,02 € t 125 2 Hos 1² (311, 69 & D (1 OF 25 0 = 77 1 ( ² ) = 0 - - H 125 - 긋 # €112 1₁* 25, 02 ㅊ 3 381 1000 N 384 1000 384 14 404 ॠड (311, 69) * 3.99 - + (-381) 2 ->> HALL 2 - 381 500 94) ≈ - 2.008 384 1000 381 € + + F00 381 2 €3 片 500 + + 381 1900 0 it + 125 € + 505 t 701 215 t + 115, A: 47 es ist ein Maximum, also Hochpunkt, gesucht das temps wea at dem 15.94 t + 2. Fall of Lag Tag steigt die Anzahl der Erkrankten nicht mehr weiter an. £115,94) € 129,004 A. An diesem Tag rind ca. 129.004 Schiller ſinnen b 101 25 381 T 505 2 127 € + 505 13 $1 H 127 2 14 31.69 to Minimum o Minimum PO Ko Maximum 2 Ł 104 TV 2 tw₂= 6,73 H E3 104 25 tot 25 A ≈ 15,94 125 sost +7 15 225 7 [25.02) = 200 ↳y to racher ein Punkt an dem die Steigung neg. ist also kommt new [email protected] 25 024 in Frage, wee nur aus m #0X WA 3 a Pas stimmt, denn die Liweichende Bedingsing for Extrempunkte lautet f (x) +0. all day b Nein da me immer von oder nach + mach sie mindestens zwei that plus volausen mum, Dal im Wendepunkt die Steigung am Großten oder Medrigsten ist, ist hier auch die Stelle an dem die Anzahl der Sharkten am stärksten zweichgeht. An dem ca. 25,02 lag geht me над also am Wahrter sweich N. M.H C C Extremstellen. c) 20, jeder Sattelpunkt ist auch ein Wende + punet, dass besibt er eine Steigung mit wagerechter Tangente also f cx = 0 & f(x) = x Q F O EX H XOA a = x X Хочтя H 11 tr a e L T X + 4x 2+ J + 4x + 161 2 11/²27-46 I hann teine Wurzel gezogen werden, da meg ред M + = 0 = 24 t 0 t 2 N +H f √2 + 4x + 16 - A: Eine Bullstelle bei x = 0 b) J (6) + 116 X 2 4x + 16x 6 = 4t 6³ +4 t 216 -144t + 24 t 24 t ² 144 t +276 2 2 + 6 t + 19 + | q ) ² g X6 2 de 2 rulling of flad C 24 to A: Die Funktion mit A=3 benk die Nullstelle X₂=6. 2,5/3 1,5/2 2/2 3