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Kurvendiskussion Aufgaben und Lösungen für Klasse 10-12

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R

Ricarda

12.2.2021

Mathe

Kurvendiskussion und Funktionsscharen

Kurvendiskussion Aufgaben und Lösungen für Klasse 10-12

Die Aufgabensammlung behandelt verschiedene Themen der Analysis, insbesondere Funktionenscharen und Symmetrie. Sie umfasst sechs Aufgaben zu folgenden Schwerpunkten:

  • Untersuchung von Funktionenscharen auf Symmetrie und Wendepunkte
  • Analyse des Verlaufs einer Grippewelle mittels einer Funktion
  • Überprüfung mathematischer Aussagen zu Extrempunkten
  • Bestimmung von Nullstellen einer Funktionenschar
  • Ermittlung von Parametern für spezielle Eigenschaften von Funktionen
  • Graphische Darstellung und Analyse von Funktionen und ihren Ableitungen
...

12.2.2021

6709

Bearbeitungshinweise: Die Lösungswege müssen ausführlich dargestellt und nachvollziehbar sein. Die mathematischen
Ausdrücke sind soweit wie

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Page 1: Introduction and Initial Problems

This page introduces the exam format and presents the first two problems of the set.

Problem Instructions

The instructions emphasize the importance of showing detailed work and simplifying mathematical expressions. Students are advised against using correction aids to ensure the possibility of contesting any marking errors.

Problem 1: Function Family Analysis

The first problem introduces a function family faxx = a·x² + 3x² - 2 and asks students to: a) Investigate the symmetry for all real values of a b) Determine the inflection points when a = -1 c) Calculate the slope at a specific point for a = -3

Highlight: This problem tests students' ability to analyze function behavior across different parameter values, a key skill in Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen Abitur.

Problem 2: Real-World Application

The second problem presents a real-world scenario modeling a flu outbreak in a school with 2000 students. The spread is modeled by the function ftt = 0.002t⁴ - 0.127t³ + 2.02t² + 1, where t represents days and ftt represents the number of sick students multipliedby100multiplied by 100.

Students are asked to: a) Calculate when the number of sick students stops increasing and how many are sick at that point b) Determine when the number of sick students is decreasing most rapidly

Example: This problem demonstrates how Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen ganzrationale Funktionen PDF can be applied to model and analyze real-world situations.

Bearbeitungshinweise: Die Lösungswege müssen ausführlich dargestellt und nachvollziehbar sein. Die mathematischen
Ausdrücke sind soweit wie

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Page 2: Additional Problems and Graph Analysis

This page continues with more advanced problems and introduces graphical analysis tasks.

Problem 3: Mathematical Statements

Students are asked to evaluate the correctness of three mathematical statements and provide brief justifications: a) If there's a local extremum at x=b, then f'bb ≠ 0 b) There are cubic functions with exactly one local extremum c) Every saddle point is also an inflection point

Vocabulary: A saddle point is a point on the graph of a function where the slope is zero in all directions but is neither a local maximum nor a local minimum.

Problem 4: Function Family with Parameter t

This problem introduces a new function family fxx = x³ - 4t·x² + 4t²·x with t ∈ ℝ. Students must: a) Find the zeros of the function when t = -1 b) Determine t so that the function has a zero at x₁ = 6

Definition: Zeros of a function are the x-values where the function equals zero, also known as roots or x-intercepts.

Problem 5: Parameter Determination for Specific Behavior

Students are given the function family fxx = x³ + 3x² + 3tx + 1 and asked to: a) Determine the value of t for which the function has exactly two points with horizontal tangents b) Provide a concrete example of a function satisfying this condition

Highlight: This problem combines Funktionsscharen Aufgaben with the concept of horizontal tangents, testing students' ability to manipulate parameters for specific function behavior.

Problem 6: Graphical Analysis

The final problem on this page requires students to determine missing graphs as accurately as possible and mark significant relationships. Two scenarios are presented: a) A graph showing fxx and its derivative f'xx b) A graph with a saddle point and a line with slope m = 1

Example: This graphical analysis task is crucial for developing skills in Kurvendiskussion Aufgaben e-Funktion and understanding the relationship between a function and its derivative.

Bearbeitungshinweise: Die Lösungswege müssen ausführlich dargestellt und nachvollziehbar sein. Die mathematischen
Ausdrücke sind soweit wie

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Page 3: Detailed Solutions

This page provides detailed solutions to the problems presented on the previous pages.

Solution to Problem 1

The solution demonstrates the step-by-step process for analyzing the function family faxx = a·x² + 3x² - 2.

a) Symmetry analysis shows that the function is even symmetricabouttheyaxissymmetric about the y-axis for all real values of a.

b) For a = -1, the inflection points are calculated: W₁ 282|8 and W₂ 28-2|8

c) The slope at point P232|3 for a = -3 is calculated as m = 15/11

Highlight: This solution exemplifies the thorough approach required in Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen Klasse 11 PDF, showing each step of the calculation process.

Solution to Problem 2

The solution to the flu outbreak problem is presented in detail:

a) The maximum point peakoftheoutbreakpeak of the outbreak is calculated to occur at approximately 15.94 days, with about 129,004 students sick at that time.

b) The point of steepest decline wherethenumberofsickstudentsisdecreasingmostrapidlywhere the number of sick students is decreasing most rapidly is determined to be around 25.02 days.

Example: This solution demonstrates how to apply calculus concepts to analyze real-world scenarios, a key aspect of Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen klasse 10 PDF.

Bearbeitungshinweise: Die Lösungswege müssen ausführlich dargestellt und nachvollziehbar sein. Die mathematischen
Ausdrücke sind soweit wie

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Page 4: Continuation of Solutions

This page continues with solutions to the remaining problems.

Solution to Problem 3

The correctness of the mathematical statements is evaluated:

a) The statement is incorrect. For a local extremum at x=b, f'bb must equal 0, not be non-zero.

b) The statement is false. Cubic functions always have at least two extrema onemaximumandoneminimumone maximum and one minimum.

c) The statement is correct. Every saddle point is indeed an inflection point, as it represents a change in concavity.

Definition: An inflection point is a point on a curve at which the curvature changes sign, from concave upwards to concave downwards or vice versa.

Solution to Problem 4

The solution for the function family fxx = x³ - 4t·x² + 4t²·x is provided:

a) For t = -1, the zeros are calculated: x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = -2

b) To have a zero at x₁ = 6, t must equal 3.

Vocabulary: Nullstellen berechnen calculatingzeroscalculating zeros is a fundamental skill in function analysis, crucial for understanding the behavior of functions.

Solution to Problem 5

The solution demonstrates how to determine the parameter t for the function fxx = x³ + 3x² + 3tx + 1 to have exactly two points with horizontal tangents:

The value of t is calculated to be -3, and an example function satisfying this condition is provided.

Highlight: This solution showcases the application of Funktionsschar Parameter bestimmen techniques to achieve specific function characteristics.

Bearbeitungshinweise: Die Lösungswege müssen ausführlich dargestellt und nachvollziehbar sein. Die mathematischen
Ausdrücke sind soweit wie

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Page 5: Final Solutions and Graphical Analysis

This page concludes the solutions and provides graphical analysis for the final problem.

Solution to Problem 6

The graphical analysis problem is solved by carefully sketching the missing graphs and marking significant relationships:

a) The relationship between fxx and its derivative f'xx is illustrated, showing how the derivative's behavior corresponds to the original function's slope.

b) A graph with a saddle point is sketched, along with a line of slope m = 1, demonstrating the geometric interpretation of these concepts.

Example: This graphical solution is essential for developing skills in Funktionsscharen Lernzettel and understanding the visual representation of mathematical concepts.

Additional Notes

The page includes additional notes and explanations for various mathematical concepts encountered in the problems, such as the relationship between saddle points and inflection points.

Highlight: Understanding the Unterschied Sattelpunkt Wendepunkt differencebetweensaddlepointandinflectionpointdifference between saddle point and inflection point is crucial for advanced function analysis.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

6.709

12. Feb. 2021

6 Seiten

Kurvendiskussion Aufgaben und Lösungen für Klasse 10-12

R

Ricarda

@aboutricarda

Die Aufgabensammlung behandelt verschiedene Themen der Analysis, insbesondere Funktionenscharen und Symmetrie. Sie umfasst sechs Aufgaben zu folgenden Schwerpunkten:

  • Untersuchung von Funktionenscharen auf Symmetrie und Wendepunkte
  • Analyse des Verlaufs einer Grippewelle mittels einer Funktion
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  • Bestimmung... Mehr anzeigen

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Problem Instructions

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Problem 1: Function Family Analysis

The first problem introduces a function family faxx = a·x² + 3x² - 2 and asks students to: a) Investigate the symmetry for all real values of a b) Determine the inflection points when a = -1 c) Calculate the slope at a specific point for a = -3

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Problem 2: Real-World Application

The second problem presents a real-world scenario modeling a flu outbreak in a school with 2000 students. The spread is modeled by the function ftt = 0.002t⁴ - 0.127t³ + 2.02t² + 1, where t represents days and ftt represents the number of sick students multipliedby100multiplied by 100.

Students are asked to: a) Calculate when the number of sick students stops increasing and how many are sick at that point b) Determine when the number of sick students is decreasing most rapidly

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Problem 3: Mathematical Statements

Students are asked to evaluate the correctness of three mathematical statements and provide brief justifications: a) If there's a local extremum at x=b, then f'bb ≠ 0 b) There are cubic functions with exactly one local extremum c) Every saddle point is also an inflection point

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Problem 4: Function Family with Parameter t

This problem introduces a new function family fxx = x³ - 4t·x² + 4t²·x with t ∈ ℝ. Students must: a) Find the zeros of the function when t = -1 b) Determine t so that the function has a zero at x₁ = 6

Definition: Zeros of a function are the x-values where the function equals zero, also known as roots or x-intercepts.

Problem 5: Parameter Determination for Specific Behavior

Students are given the function family fxx = x³ + 3x² + 3tx + 1 and asked to: a) Determine the value of t for which the function has exactly two points with horizontal tangents b) Provide a concrete example of a function satisfying this condition

Highlight: This problem combines Funktionsscharen Aufgaben with the concept of horizontal tangents, testing students' ability to manipulate parameters for specific function behavior.

Problem 6: Graphical Analysis

The final problem on this page requires students to determine missing graphs as accurately as possible and mark significant relationships. Two scenarios are presented: a) A graph showing fxx and its derivative f'xx b) A graph with a saddle point and a line with slope m = 1

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a) Symmetry analysis shows that the function is even symmetricabouttheyaxissymmetric about the y-axis for all real values of a.

b) For a = -1, the inflection points are calculated: W₁ 282|8 and W₂ 28-2|8

c) The slope at point P232|3 for a = -3 is calculated as m = 15/11

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Solution to Problem 2

The solution to the flu outbreak problem is presented in detail:

a) The maximum point peakoftheoutbreakpeak of the outbreak is calculated to occur at approximately 15.94 days, with about 129,004 students sick at that time.

b) The point of steepest decline wherethenumberofsickstudentsisdecreasingmostrapidlywhere the number of sick students is decreasing most rapidly is determined to be around 25.02 days.

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The correctness of the mathematical statements is evaluated:

a) The statement is incorrect. For a local extremum at x=b, f'bb must equal 0, not be non-zero.

b) The statement is false. Cubic functions always have at least two extrema onemaximumandoneminimumone maximum and one minimum.

c) The statement is correct. Every saddle point is indeed an inflection point, as it represents a change in concavity.

Definition: An inflection point is a point on a curve at which the curvature changes sign, from concave upwards to concave downwards or vice versa.

Solution to Problem 4

The solution for the function family fxx = x³ - 4t·x² + 4t²·x is provided:

a) For t = -1, the zeros are calculated: x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = -2

b) To have a zero at x₁ = 6, t must equal 3.

Vocabulary: Nullstellen berechnen calculatingzeroscalculating zeros is a fundamental skill in function analysis, crucial for understanding the behavior of functions.

Solution to Problem 5

The solution demonstrates how to determine the parameter t for the function fxx = x³ + 3x² + 3tx + 1 to have exactly two points with horizontal tangents:

The value of t is calculated to be -3, and an example function satisfying this condition is provided.

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a) The relationship between fxx and its derivative f'xx is illustrated, showing how the derivative's behavior corresponds to the original function's slope.

b) A graph with a saddle point is sketched, along with a line of slope m = 1, demonstrating the geometric interpretation of these concepts.

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Overall Summary

This document contains a set of advanced mathematics problems and solutions focused on Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen Klasse 12 PDF. The problems cover a range of topics related to function analysis and curve sketching, suitable for upper secondary school students preparing for their Abitur exams.

Key aspects include: • Analysis of function families with parameters • Determination of symmetry, inflection points, and slopes • Application of calculus concepts to real-world scenarios • Examination of critical points, including extrema and saddle points • Graphical analysis and interpretation of function behavior • Solving equations to find specific function characteristics

The problems progressively increase in complexity, requiring students to apply a variety of mathematical skills and concepts to arrive at solutions.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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