Lagebeziehung Punkt-Ebene

Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Ebene kann zwei Formen annehmen: Der Punkt kann entweder in der Ebene liegen oder einen Abstand zu ihr haben. Um diese Beziehung zu überprüfen, wird der Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt.

Example: Für die Ebene E: 2x₁ - 4x₂ + 3x₃ - 8 = 0 und den Punkt Q(1|1,5|4) ergibt sich: 2·1 - 4·1,5 + 3·4 - 8 = 0. Da die Gleichung erfüllt ist, liegt Q in E.

Highlight: Eine wahre Aussage (Gleichung ergibt 0) bedeutet, dass der Punkt in der Ebene liegt. Eine falsche Aussage (Gleichung ergibt ≠ 0) zeigt, dass der Punkt einen Abstand zur Ebene hat.

Vocabulary: Ebenengleichung - Eine mathematische Gleichung, die alle Punkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt.

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene kann drei verschiedene Formen annehmen: Die Gerade kann die Ebene schneiden, parallel zur Ebene verlaufen oder in der Ebene liegen. Um diese Beziehung zu überprüfen, wird die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichgesetzt.

Definition: Durchstoßpunkt - Der Punkt, an dem eine Gerade eine Ebene durchstößt oder schneidet.

Die Überprüfung erfolgt durch das Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Eine einzige Lösung bedeutet, dass die Gerade die Ebene schneidet. Keine Lösung zeigt, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft. Unendlich viele Lösungen weisen darauf hin, dass die Gerade in der Ebene liegt.

Example: Für g: x = p + t · u und E: ax + by + cz + d = 0 wird das LGS a(p₁ + tu₁) + b(p₂ + tu₂) + c(p₃ + tu₃) + d = 0 gelöst.

Highlight: Der Schnittpunkt Gerade Ebene wird durch Einsetzen des gefundenen Parameters t in die Geradengleichung bestimmt.

Vocabulary: Lineares Gleichungssystem (LGS) - Ein System von linearen Gleichungen, das gemeinsam gelöst wird, um die Lagebeziehung zu bestimmen.