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Lernzettel Integralrechnung

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Mathe

 

11/12/13

Lernzettel

Lernzettel Integralrechnung

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Flächen berechnung unter Graphen
→ Fläche unter einer Funktion = Menge der Stamm funktion
Mengen, z. B. Wassermengen, lassen sich mithilf

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Integrale, Stammfunktionen & Flächeninhalte unter Graphen

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. Flächen berechnung unter Graphen → Fläche unter einer Funktion = Menge der Stamm funktion Mengen, z. B. Wassermengen, lassen sich mithilfe bekannter Flächenberechnung rekonstruieren L> Flächen oberhalb der x-Achse Fließrichtung Abflusse (negatives Vorzeichen) L> Bilanzierung (Verrechnung positiver und negativer Posten) kann Gesamtänderung bestimmen → orientierter Flächeninhalt ↳ Berechnung gibt nur die Bilanz über den Beobachtungszeitraum, Anfangsbestand ist unbekannt - Flächen unterhalb der x-f 1. unter geradlinigen Graphen: 2 unter krummlinigen Graphen Integrale & Integral rechnung Integral schreibweise: Hauptsatz: Summe der berechneten -Achse Stammfunktionen bestimmen L> f(x) = = 1 2 Zuflüsse (positives Vorzeichen) durch bekannte Flächenberechnung erschließen Flächen berechnen die den Flächeninhalt näherungsweise wiedergeben (Rechtecke, Dreiecke, etc.) angegebenes Intervall in Abschnitte einteilen Dreiecke a untere Intervallgrenze {f(x) dx = [F(x) ] ⁰ a ↑ Änderungsraten funktion 1 -> f(x) = x^ => F(x)=n+qx' +C 1 Ls Flächenberechnung mit dem größeren Intervallende = Obersumme Flächenberechnung mit dem kleineren Intervallende = Untersumme L> je mehr, bzw. kleinere Abschnitte, desto genauer das Ergebnis => Grenzwertprozess = zentrale Idee der Integrabrechnung n+1 obere Intervalgrenze Integrand: Funktionsgleichung b f(x) dx üs Bestands-/Stammfunktion 4 X => F(x) = A → kleineren /größeren Intervallrand durch Funktionswert bestimmen -> Rechtecksflächeninhalte bilden und summieren = : = Lim Un Lim On n-200 n->00 n = Anzahl der Rechtecke = = Exponent zum Bilden der Stammfunktionen um 1 erhöhen und durch diesen erhöhten Exponenten dividieren L> bsp: f(x)= x5 => F(x)= x +c 1 5+1 5+1 16. =x +c Faktoren bleiben auch beim Bilden der Stammfunktion erhalten 441 X = F(b)- F(a) 1 2 4+1 1 1 5 2.5 x "+c" wird oft weg gelassen, dann hat man nur eine Stamm funktion besteht eine Funktion aus mehreren...

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Summanden, bildet man die Stammfunktion, indem man die Stammfunktion zu jedem einzelnen Summanden bildet L> bsp: f(x)=x²+x => F(x)= с 1 641 1 4+1 X + X + 6+1 1+1 1 7 1 2 + X + c 7x 2 + C steht far den Grenzwert O + C }* unter wessen Graphen der Flächeninhalt zu bestimmen ist = Vorzeichen = -> Grenzwert - 10 = Integral 5 ·x + c Rechenregeln für Integrale 1. Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis L> Śc.f(x) dx c. S f(x)dx = 2. Man kann das Integral aus einer Summe von Funktionen bilden indem man die Summe der Integrale der einzelnen Summanden bildet > 5° (g(x) + h(x) )dx = Sg(x)dx + Šº haxidx L> a 3. Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen ↳> Sºf(x) dx = -5° f(x) dx 4. Ist die Funktion identisch und grenzen die Intervalle aneinander an, lassen sich mehrere Intervalle zu einem zusammenfassen ↳> Sºf(x) dx + √²f(x)dx = $²f(x) dx a Integral und Flächeninhalt - Integrale : • bilden die Bilanz der orientierten Flächeninhalte · Flächeninhalte über der x-Achse haben ein positives Vorzeichen, Flächeninhalte unter der x-Achse ein negatives L> Bilanz kann 0 oder negativ sein - Flächeninhalte : • grundsätzlich immer positiv bei Integralen mit negativen Werten wird der Betrag gebildet L> Betragsstriche! →→ Vorzeichen wird weggelassen →>bsp.: . Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen Ⓒ Nullstellen des Funktionsgraphen (f(x)) berechnen 2 in Intervalle einteilen 3 Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen 4 Summe der Beträge bilden zu verändern Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen -> Differenz der beiden Integrale bilden A = S²f(x) dx - Sg&idx, = "obere " minus "untere" Funktion S(f(x)-g(x) dx = | 5² f(x)dx| = |- // | = →> aneinanderliegende Abschnitte die beide klar oberhalb, bzw. unterhalb, der x-Achse liegen können zusammengefasst werden · ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt, spielt bei der Berechnung des Flächeninhalts keine Rolle wenn die beiden Graphen sich schneiden, geht man wie folgt vor: Schnittstellen der Funktion bestimmen 4 = x²-x² - (1² - 1²) = x²-x² 4 2 F₁(x) = f(x)dx = [x²_x²]* 4 4 2 4 2 F₂(x) = √ √²* f(x)dx = [x²-x²]*² = ד-x² - (2¹-2³) = ד-ײ – 12 {* عاس →> Differenz der Integrale, enspricht dem Integral der Differenzfunktion Unterscheidung wichtig! ℗ so in Teil intervalle aufteilen, dass die SP die Intervallgrenzen sind 3 Integrale der Teilintervalle (Differenzen) bestimmen 4 Betrate addieren Integralfunktionen L> stellen Stammfunktionen Fa gegebener Funktionen f dar, wobei a= Stelle wo die Stammfunktion Fa die x- Achse schneidet ↳> Fa lässt sich durch das Integral $*fxldx berechnen Bsp: f(x) = 4x³-2x

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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