Integralrechnung leicht gemacht: Flächen, Stammfunktionen & Integralrechner

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Jenny

27.11.2021

Mathe

Lernzettel Integralrechnung

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Spezielle integrale

Fläche zwischen zwei graphen

Integralrechnung leicht gemacht: Flächen, Stammfunktionen & Integralrechner

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die Flächenberechnung unter Graphen ist ein zentrales Konzept der Integralrechnung. Sie ermöglicht die Bestimmung von Mengen und Bilanzen über bestimmte Zeiträume. Durch die Anwendung von Stammfunktionen und Integralen können komplexe Flächen zwischen Graphen und der x-Achse berechnet werden. Wichtige Aspekte sind die Unterscheidung zwischen Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse sowie die Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen. Die Integralrechnung bietet effiziente Methoden zur Lösung dieser Aufgaben und ist ein unverzichtbares Werkzeug in der höheren Mathematik.

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27.11.2021

2222

Flächen berechnung unter Graphen
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Fläche unter einer Funktion = Menge der Stammfunktion
Mengen, z. B. Wassermengen, lassen sich mithilfe

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Rechenregeln für Integrale und Flächenberechnung zwischen Graphen

Dieses Kapitel behandelt wichtige Rechenregeln für Integrale sowie Methoden zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und der x-Achse.

Rechenregeln für Integrale

Faktorenregel: Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis zu verändern. Example: ∫ c · f $x$ dx = c · ∫ f $x$ dx
Summenregel: Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Summanden. Example: ∫ $g(x$ + h $x$ ) dx = ∫ g $x$ dx + ∫ h $x$ dx
Vorzeichenregel: Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen des Integrals. Example: ∫ₐᵇ f $x$ dx = - ∫ᵇₐ f $x$ dx
Intervalladditionsregel: Aneinander grenzende Intervalle mit identischer Funktion können zu einem Intervall zusammengefasst werden. Example: ∫ₐᵇ f $x$ dx + ∫ᵇᶜ f $x$ dx = ∫ₐᶜ f $x$ dx

Integral und Flächeninhalt

Integrale bilden die Bilanz der orientierten Flächeninhalte. Dabei haben Flächeninhalte über der x-Achse ein positives Vorzeichen, während Flächeninhalte unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Highlight: Die Bilanz kann null oder negativ sein, obwohl Flächeninhalte grundsätzlich immer positiv sind.

Bei der Berechnung von Flächeninhalten mit Integralen wird der Betrag gebildet, um negative Werte zu vermeiden.

Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen

Um den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

Nullstellen des Funktionsgraphen f $x$ berechnen
In Intervalle einteilen
Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen
Summe der Beträge bilden

Example: Für f $x$ = x² - x² im Intervall $0, 2$ : F₁ $x$ = ∫ f $x$ dx = $x³/3 - x²$ ₀² = 8/3 - 4 = -4/3 F₂ $x$ = ∫ f $x$ dx = $x³/3 - x²$ ₂⁴ = 64/3 - 16 - $8/3 - 4$ = 4/3 |∫₀² f $x$ dx| = |-4/3| + |4/3| = 8/3

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen

Zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen bildet man die Differenz der beiden Integrale:

A = ∫ f $x$ dx - ∫ g $x$ dx = ∫ $f(x$ - g $x$ ) dx

Wenn sich die Graphen schneiden, geht man wie folgt vor:

Schnittstellen der Funktionen bestimmen
In Teilintervalle aufteilen, sodass die Schnittpunkte die Intervallgrenzen sind
Integrale der Teilintervalle $Differenzen$ bestimmen
Beträge addieren

Highlight: Die Differenz der Integrale entspricht dem Integral der Differenzfunktion.

Integralfunktionen

Integralfunktionen stellen Stammfunktionen Fₐ gegebener Funktionen f dar, wobei a die Stelle ist, an der die Stammfunktion Fₐ die x-Achse schneidet.

Definition: Eine Integralfunktion Fₐ lässt sich durch das Integral ∫ₐˣ f $t$ dt berechnen.

Diese Unterscheidung zwischen Stammfunktionen und Integralfunktionen ist wichtig für das tiefere Verständnis der Integralrechnung und ihrer Anwendungen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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27. Nov. 2021

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Jenny

@jenny_brt

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Rechenregeln für Integrale und Flächenberechnung zwischen Graphen

Dieses Kapitel behandelt wichtige Rechenregeln für Integrale sowie Methoden zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und der x-Achse.

Rechenregeln für Integrale

Faktorenregel: Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis zu verändern. Example: ∫ c · f $x$ dx = c · ∫ f $x$ dx
Summenregel: Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Summanden. Example: ∫ $g(x$ + h $x$ ) dx = ∫ g $x$ dx + ∫ h $x$ dx
Vorzeichenregel: Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen des Integrals. Example: ∫ₐᵇ f $x$ dx = - ∫ᵇₐ f $x$ dx
Intervalladditionsregel: Aneinander grenzende Intervalle mit identischer Funktion können zu einem Intervall zusammengefasst werden. Example: ∫ₐᵇ f $x$ dx + ∫ᵇᶜ f $x$ dx = ∫ₐᶜ f $x$ dx

Integral und Flächeninhalt

Highlight: Die Bilanz kann null oder negativ sein, obwohl Flächeninhalte grundsätzlich immer positiv sind.

Bei der Berechnung von Flächeninhalten mit Integralen wird der Betrag gebildet, um negative Werte zu vermeiden.

Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen

Um den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

Nullstellen des Funktionsgraphen f $x$ berechnen
In Intervalle einteilen
Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen
Summe der Beträge bilden

Example: Für f $x$ = x² - x² im Intervall $0, 2$ : F₁ $x$ = ∫ f $x$ dx = $x³/3 - x²$ ₀² = 8/3 - 4 = -4/3 F₂ $x$ = ∫ f $x$ dx = $x³/3 - x²$ ₂⁴ = 64/3 - 16 - $8/3 - 4$ = 4/3 |∫₀² f $x$ dx| = |-4/3| + |4/3| = 8/3

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen

Zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen bildet man die Differenz der beiden Integrale:

A = ∫ f $x$ dx - ∫ g $x$ dx = ∫ $f(x$ - g $x$ ) dx

Wenn sich die Graphen schneiden, geht man wie folgt vor:

Schnittstellen der Funktionen bestimmen
In Teilintervalle aufteilen, sodass die Schnittpunkte die Intervallgrenzen sind
Integrale der Teilintervalle $Differenzen$ bestimmen
Beträge addieren

Highlight: Die Differenz der Integrale entspricht dem Integral der Differenzfunktion.

Integralfunktionen

Integralfunktionen stellen Stammfunktionen Fₐ gegebener Funktionen f dar, wobei a die Stelle ist, an der die Stammfunktion Fₐ die x-Achse schneidet.

Definition: Eine Integralfunktion Fₐ lässt sich durch das Integral ∫ₐˣ f $t$ dt berechnen.

Diese Unterscheidung zwischen Stammfunktionen und Integralfunktionen ist wichtig für das tiefere Verständnis der Integralrechnung und ihrer Anwendungen.

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Flächenberechnung unter Graphen und Integralrechnung

Die Flächenberechnung unter Graphen ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das eng mit der Integralrechnung verbunden ist. Dieses Kapitel erläutert die grundlegenden Prinzipien und Methoden zur Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen.

Grundlagen der Flächenberechnung

Die Fläche unter einer Funktion entspricht der Menge der Stammfunktion. Dies ermöglicht die Rekonstruktion von Mengen, wie beispielsweise Wassermengen, mithilfe bekannter Flächenberechnungsmethoden.

Highlight: Flächen oberhalb der x-Achse repräsentieren Zuflüsse $positives Vorzeichen$ , während Flächen unterhalb der x-Achse Abflüsse $negatives Vorzeichen$ darstellen.

Die Bilanzierung, also die Verrechnung positiver und negativer Posten, ermöglicht die Bestimmung der Gesamtänderung. Dies wird als orientierter Flächeninhalt bezeichnet.

Vocabulary: Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt sowohl die Größe als auch die Lage der Fläche relativ zur x-Achse.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Berechnung nur die Bilanz über den Beobachtungszeitraum liefert, der Anfangsbestand bleibt unbekannt.

Methoden der Flächenberechnung

Unter geradlinigen Graphen: Diese Methode nutzt bekannte geometrische Formeln zur Flächenberechnung.
Unter krummlinigen Graphen: Hier kommen Integrale und die Integralrechnung zum Einsatz.

Integrale und Integralrechnung

Die Integralschreibweise und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bilden die Grundlage für die Flächenberechnung unter krummlinigen Graphen.

Definition: Ein Integral ist ein mathematisches Konzept zur Berechnung von Flächen unter Kurven und zur Bestimmung von Stammfunktionen.

Um den Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, wird das angegebene Intervall in Abschnitte eingeteilt und die Summe der berechneten Teilflächen $z.B. Dreiecke oder Rechtecke$ gebildet.

Example: Die Flächenberechnung mit dem größeren Intervallende ergibt die Obersumme, während die Flächenberechnung mit dem kleineren Intervallende die Untersumme liefert.

Je mehr und kleinere Abschnitte verwendet werden, desto genauer wird das Ergebnis. Dieser Grenzwertprozess ist die zentrale Idee der Integralrechnung.

Stammfunktionen und ihre Bestimmung

Die Bestimmung von Stammfunktionen ist ein wesentlicher Schritt in der Integralrechnung. Dabei wird der Exponent zum Bilden der Stammfunktionen um 1 erhöht und durch diesen erhöhten Exponenten dividiert.

Example: Für f $x$ = x³ ist die Stammfunktion F $x$ = ¼x⁴ + C.

Bei Funktionen mit mehreren Summanden wird die Stammfunktion für jeden Summanden einzeln gebildet und dann addiert.

Highlight: Faktoren bleiben beim Bilden der Stammfunktion erhalten.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Rechenregeln für Integrale und Flächenberechnung zwischen Graphen

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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