Lernzettel Integralrechnung

Alternativer Bildtext:

einzelnen Summanden bildet L> bsp: f(x)=x² + x => F(x) = 614 + (1+1+ 1 x C 6+1x 17 7x + steht far den Grenzwert 0 1 Q 2x Faktoren bleiben auch beim Bilden der Stammfunktion 1 4+1 L> f(x) = 1/2 x ² => F(x) = 1/ 4+1 115 2 5 + C +( + erhalten = 1 10 "+c" wird oft weg gelassen, dann hat man nur eine Stamm funktion C 1 x ³ + c Rechenregeln für Integrale 1. Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis. • 5³ c. f(x) dx = c. 5° f(x)dx 2. Man kann das Integral. aus einer Summe von Funktionen bilden indem man die Summe der Integrale der einzelnen Summanden bildet 5° (g(x) + h(x) dx Sºg(x)dx + Sh(x) dx L₂ = 3. Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen ↳> Sof(x) dx = -Sfax) dx 4. Ist die Funktion identisch und grenzen die Intervalle aneinander an, lassen sich mehrere Intervalle zu einem zusammenfassen L> Sºf(x) dx + S²f(x)dx = $²f(x)dx + Integral und Flächeninhalt Integrale : bilden die Bilanz der orientierten Flächeninhalte · Flächeninhalte über der x-Achse haben ein L> Bilanz kann 0 oder negativ sein grundsätzlich immer positiv bei Integralen mit negativen Werten wird der Betrag gebildet L> Betragsstriche! →> Vorzeichen wird weggelassen ->bsp. Flächeninhalte: Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen Nullstellen des Funktionsgraphen (f(x)) berechnen 2 in Intervalle einteilen 3 Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen 4 Summe der Beträge bilden Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen →> Differenz der beiden Integrale bilden A = { "f(x)dx - Sg6dx, = "obere" minus "untere" Funktion zu veränder S (f(x)-g(x)) dx positives Vorzeichen, Flächeninhalte unter der x-Achse ein negatives F₁(x) = 5*f(x]dx = [x²-x²]* F₂(x) = √ √* f(x)dx = [x²-x²] 4 = x-x |$²f(xldx| = 1-41 = 4 -> aneinanderliegende Abschnitte die beide klar oberhalb, bzw. unterhalb, der x-Achse liegen können zusammengefasst werden ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt, spielt bei der Berechnung des Flächeninhalts keine Rolle wenn die beiden Graphen sich schneiden, geht Iman wie ・folgt vor: Schnittstellen der Funktion bestimmen x²-x² - (1² - 1²) = x²-x² (2²-2²)=x²-x² - 12 →> Differenz der Integrale, enspricht dem Integral der Differenzfunktion Integralfunktionen L> stellen Stammfunktionen Fa gegebener Funktionen f dar, wobei a= Stelle wo die Stammfunktion Fa die x-1 L> Fa lasst sich durch das Integral Bsp: f(x) = 4x³-2x fldx berechnen Unterscheidung wichtig! 2 so in Teil intervalle aufteilen, dass die SP die Intervallgrenzen sind Integrale der Teilintervalle (Differenzen) bestimmen 4 Betrate addieren Achse schneidet