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30. Jan. 2026

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Integralrechnung leicht gemacht: Flächen, Stammfunktionen & Integralrechner

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Jenny

@jenny_brt

Die Flächenberechnung unter Graphenist ein zentrales Konzept der Integralrechnung.... Mehr anzeigen

Flächenberechnung unter Graphen

→ Fläche unter einer Funktion = Menge der Stammfunktion

- Mengen, z. B. Wassermengen, lassen sich mithilfe

Rechenregeln für Integrale und Flächenberechnung zwischen Graphen

Dieses Kapitel behandelt wichtige Rechenregeln für Integrale sowie Methoden zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und der x-Achse.

Rechenregeln für Integrale

  1. Faktorenregel: Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis zu verändern.

    Example: ∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x) dx

  2. Summenregel: Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Summanden.

    Example: ∫ g(x)+h(x)g(x) + h(x) dx = ∫ g(x) dx + ∫ h(x) dx

  3. Vorzeichenregel: Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen des Integrals.

    Example: ∫ₐᵇ f(x) dx = - ∫ᵇₐ f(x) dx

  4. Intervalladditionsregel: Aneinander grenzende Intervalle mit identischer Funktion können zu einem Intervall zusammengefasst werden.

    Example: ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx

Integral und Flächeninhalt

Integrale bilden die Bilanz der orientierten Flächeninhalte. Dabei haben Flächeninhalte über der x-Achse ein positives Vorzeichen, während Flächeninhalte unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Highlight: Die Bilanz kann null oder negativ sein, obwohl Flächeninhalte grundsätzlich immer positiv sind.

Bei der Berechnung von Flächeninhalten mit Integralen wird der Betrag gebildet, um negative Werte zu vermeiden.

Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen

Um den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

  1. Nullstellen des Funktionsgraphen f(x) berechnen
  2. In Intervalle einteilen
  3. Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen
  4. Summe der Beträge bilden

Example: Für f(x) = x² - x² im Intervall [0, 2]: F₁(x) = ∫ f(x) dx = x3/3x2x³/3 - x²₀² = 8/3 - 4 = -4/3 F₂(x) = ∫ f(x) dx = x3/3x2x³/3 - x²₂⁴ = 64/3 - 16 - (8/3 - 4) = 4/3 |∫₀² f(x) dx| = |-4/3| + |4/3| = 8/3

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen

Zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen bildet man die Differenz der beiden Integrale:

A = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx = ∫ f(x)g(x)f(x) - g(x) dx

Wenn sich die Graphen schneiden, geht man wie folgt vor:

  1. Schnittstellen der Funktionen bestimmen
  2. In Teilintervalle aufteilen, sodass die Schnittpunkte die Intervallgrenzen sind
  3. Integrale der Teilintervalle (Differenzen) bestimmen
  4. Beträge addieren

Highlight: Die Differenz der Integrale entspricht dem Integral der Differenzfunktion.

Integralfunktionen

Integralfunktionen stellen Stammfunktionen Fₐ gegebener Funktionen f dar, wobei a die Stelle ist, an der die Stammfunktion Fₐ die x-Achse schneidet.

Definition: Eine Integralfunktion Fₐ lässt sich durch das Integral ∫ₐˣ f(t) dt berechnen.

Diese Unterscheidung zwischen Stammfunktionen und Integralfunktionen ist wichtig für das tiefere Verständnis der Integralrechnung und ihrer Anwendungen.

Flächenberechnung unter Graphen

→ Fläche unter einer Funktion = Menge der Stammfunktion

- Mengen, z. B. Wassermengen, lassen sich mithilfe

Flächenberechnung unter Graphen und Integralrechnung

Die Flächenberechnung unter Graphen ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das eng mit der Integralrechnung verbunden ist. Dieses Kapitel erläutert die grundlegenden Prinzipien und Methoden zur Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen.

Grundlagen der Flächenberechnung

Die Fläche unter einer Funktion entspricht der Menge der Stammfunktion. Dies ermöglicht die Rekonstruktion von Mengen, wie beispielsweise Wassermengen, mithilfe bekannter Flächenberechnungsmethoden.

Highlight: Flächen oberhalb der x-Achse repräsentieren Zuflüsse (positives Vorzeichen), während Flächen unterhalb der x-Achse Abflüsse (negatives Vorzeichen) darstellen.

Die Bilanzierung, also die Verrechnung positiver und negativer Posten, ermöglicht die Bestimmung der Gesamtänderung. Dies wird als orientierter Flächeninhalt bezeichnet.

Vocabulary: Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt sowohl die Größe als auch die Lage der Fläche relativ zur x-Achse.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Berechnung nur die Bilanz über den Beobachtungszeitraum liefert, der Anfangsbestand bleibt unbekannt.

Methoden der Flächenberechnung

  1. Unter geradlinigen Graphen: Diese Methode nutzt bekannte geometrische Formeln zur Flächenberechnung.
  2. Unter krummlinigen Graphen: Hier kommen Integrale und die Integralrechnung zum Einsatz.

Integrale und Integralrechnung

Die Integralschreibweise und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bilden die Grundlage für die Flächenberechnung unter krummlinigen Graphen.

Definition: Ein Integral ist ein mathematisches Konzept zur Berechnung von Flächen unter Kurven und zur Bestimmung von Stammfunktionen.

Um den Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, wird das angegebene Intervall in Abschnitte eingeteilt und die Summe der berechneten Teilflächen (z.B. Dreiecke oder Rechtecke) gebildet.

Example: Die Flächenberechnung mit dem größeren Intervallende ergibt die Obersumme, während die Flächenberechnung mit dem kleineren Intervallende die Untersumme liefert.

Je mehr und kleinere Abschnitte verwendet werden, desto genauer wird das Ergebnis. Dieser Grenzwertprozess ist die zentrale Idee der Integralrechnung.

Stammfunktionen und ihre Bestimmung

Die Bestimmung von Stammfunktionen ist ein wesentlicher Schritt in der Integralrechnung. Dabei wird der Exponent zum Bilden der Stammfunktionen um 1 erhöht und durch diesen erhöhten Exponenten dividiert.

Example: Für f(x) = x³ ist die Stammfunktion F(x) = ¼x⁴ + C.

Bei Funktionen mit mehreren Summanden wird die Stammfunktion für jeden Summanden einzeln gebildet und dann addiert.

Highlight: Faktoren bleiben beim Bilden der Stammfunktion erhalten.



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Integralrechnung leicht gemacht: Flächen, Stammfunktionen & Integralrechner

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Die Flächenberechnung unter Graphen ist ein zentrales Konzept der Integralrechnung. Sie ermöglicht die Bestimmung von Mengen und Bilanzen über bestimmte Zeiträume. Durch die Anwendung von Stammfunktionen und Integralenkönnen komplexe Flächen zwischen Graphen und der x-Achse berechnet werden. Wichtige Aspekte... Mehr anzeigen

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Rechenregeln für Integrale und Flächenberechnung zwischen Graphen

Dieses Kapitel behandelt wichtige Rechenregeln für Integrale sowie Methoden zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und der x-Achse.

Rechenregeln für Integrale

  1. Faktorenregel: Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis zu verändern.

    Example: ∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x) dx

  2. Summenregel: Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Summanden.

    Example: ∫ g(x)+h(x)g(x) + h(x) dx = ∫ g(x) dx + ∫ h(x) dx

  3. Vorzeichenregel: Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen des Integrals.

    Example: ∫ₐᵇ f(x) dx = - ∫ᵇₐ f(x) dx

  4. Intervalladditionsregel: Aneinander grenzende Intervalle mit identischer Funktion können zu einem Intervall zusammengefasst werden.

    Example: ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx

Integral und Flächeninhalt

Integrale bilden die Bilanz der orientierten Flächeninhalte. Dabei haben Flächeninhalte über der x-Achse ein positives Vorzeichen, während Flächeninhalte unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Highlight: Die Bilanz kann null oder negativ sein, obwohl Flächeninhalte grundsätzlich immer positiv sind.

Bei der Berechnung von Flächeninhalten mit Integralen wird der Betrag gebildet, um negative Werte zu vermeiden.

Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen

Um den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

  1. Nullstellen des Funktionsgraphen f(x) berechnen
  2. In Intervalle einteilen
  3. Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen
  4. Summe der Beträge bilden

Example: Für f(x) = x² - x² im Intervall [0, 2]: F₁(x) = ∫ f(x) dx = x3/3x2x³/3 - x²₀² = 8/3 - 4 = -4/3 F₂(x) = ∫ f(x) dx = x3/3x2x³/3 - x²₂⁴ = 64/3 - 16 - (8/3 - 4) = 4/3 |∫₀² f(x) dx| = |-4/3| + |4/3| = 8/3

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen

Zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen bildet man die Differenz der beiden Integrale:

A = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx = ∫ f(x)g(x)f(x) - g(x) dx

Wenn sich die Graphen schneiden, geht man wie folgt vor:

  1. Schnittstellen der Funktionen bestimmen
  2. In Teilintervalle aufteilen, sodass die Schnittpunkte die Intervallgrenzen sind
  3. Integrale der Teilintervalle (Differenzen) bestimmen
  4. Beträge addieren

Highlight: Die Differenz der Integrale entspricht dem Integral der Differenzfunktion.

Integralfunktionen

Integralfunktionen stellen Stammfunktionen Fₐ gegebener Funktionen f dar, wobei a die Stelle ist, an der die Stammfunktion Fₐ die x-Achse schneidet.

Definition: Eine Integralfunktion Fₐ lässt sich durch das Integral ∫ₐˣ f(t) dt berechnen.

Diese Unterscheidung zwischen Stammfunktionen und Integralfunktionen ist wichtig für das tiefere Verständnis der Integralrechnung und ihrer Anwendungen.

Flächenberechnung unter Graphen

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Flächenberechnung unter Graphen und Integralrechnung

Die Flächenberechnung unter Graphen ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das eng mit der Integralrechnung verbunden ist. Dieses Kapitel erläutert die grundlegenden Prinzipien und Methoden zur Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen.

Grundlagen der Flächenberechnung

Die Fläche unter einer Funktion entspricht der Menge der Stammfunktion. Dies ermöglicht die Rekonstruktion von Mengen, wie beispielsweise Wassermengen, mithilfe bekannter Flächenberechnungsmethoden.

Highlight: Flächen oberhalb der x-Achse repräsentieren Zuflüsse (positives Vorzeichen), während Flächen unterhalb der x-Achse Abflüsse (negatives Vorzeichen) darstellen.

Die Bilanzierung, also die Verrechnung positiver und negativer Posten, ermöglicht die Bestimmung der Gesamtänderung. Dies wird als orientierter Flächeninhalt bezeichnet.

Vocabulary: Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt sowohl die Größe als auch die Lage der Fläche relativ zur x-Achse.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Berechnung nur die Bilanz über den Beobachtungszeitraum liefert, der Anfangsbestand bleibt unbekannt.

Methoden der Flächenberechnung

  1. Unter geradlinigen Graphen: Diese Methode nutzt bekannte geometrische Formeln zur Flächenberechnung.
  2. Unter krummlinigen Graphen: Hier kommen Integrale und die Integralrechnung zum Einsatz.

Integrale und Integralrechnung

Die Integralschreibweise und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bilden die Grundlage für die Flächenberechnung unter krummlinigen Graphen.

Definition: Ein Integral ist ein mathematisches Konzept zur Berechnung von Flächen unter Kurven und zur Bestimmung von Stammfunktionen.

Um den Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, wird das angegebene Intervall in Abschnitte eingeteilt und die Summe der berechneten Teilflächen (z.B. Dreiecke oder Rechtecke) gebildet.

Example: Die Flächenberechnung mit dem größeren Intervallende ergibt die Obersumme, während die Flächenberechnung mit dem kleineren Intervallende die Untersumme liefert.

Je mehr und kleinere Abschnitte verwendet werden, desto genauer wird das Ergebnis. Dieser Grenzwertprozess ist die zentrale Idee der Integralrechnung.

Stammfunktionen und ihre Bestimmung

Die Bestimmung von Stammfunktionen ist ein wesentlicher Schritt in der Integralrechnung. Dabei wird der Exponent zum Bilden der Stammfunktionen um 1 erhöht und durch diesen erhöhten Exponenten dividiert.

Example: Für f(x) = x³ ist die Stammfunktion F(x) = ¼x⁴ + C.

Bei Funktionen mit mehreren Summanden wird die Stammfunktion für jeden Summanden einzeln gebildet und dann addiert.

Highlight: Faktoren bleiben beim Bilden der Stammfunktion erhalten.

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