Rechenregeln für Integrale und Flächenberechnung zwischen Graphen
Dieses Kapitel behandelt wichtige Rechenregeln für Integrale sowie Methoden zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und der x-Achse.
Rechenregeln für Integrale
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Faktorenregel: Faktoren können aus dem Integranden herausgezogen werden, ohne das Ergebnis zu verändern.
Example: ∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x) dx
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Summenregel: Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Summanden.
Example: ∫ (g(x) + h(x)) dx = ∫ g(x) dx + ∫ h(x) dx
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Vorzeichenregel: Werden die Intervallgrenzen vertauscht, ändert sich nur das Vorzeichen des Integrals.
Example: ∫ₐᵇ f(x) dx = - ∫ᵇₐ f(x) dx
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Intervalladditionsregel: Aneinander grenzende Intervalle mit identischer Funktion können zu einem Intervall zusammengefasst werden.
Example: ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx
Integral und Flächeninhalt
Integrale bilden die Bilanz der orientierten Flächeninhalte. Dabei haben Flächeninhalte über der x-Achse ein positives Vorzeichen, während Flächeninhalte unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.
Highlight: Die Bilanz kann null oder negativ sein, obwohl Flächeninhalte grundsätzlich immer positiv sind.
Bei der Berechnung von Flächeninhalten mit Integralen wird der Betrag gebildet, um negative Werte zu vermeiden.
Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse berechnen
Um den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse zu berechnen, folgt man diesen Schritten:
- Nullstellen des Funktionsgraphen f(x) berechnen
- In Intervalle einteilen
- Integral für jedes einzelne Teilintervall bestimmen
- Summe der Beträge bilden
Example: Für f(x) = x² - x² im Intervall [0, 2]: F₁(x) = ∫ f(x) dx = [x³/3 - x²]₀² = 8/3 - 4 = -4/3 F₂(x) = ∫ f(x) dx = [x³/3 - x²]₂⁴ = 64/3 - 16 - (8/3 - 4) = 4/3 |∫₀² f(x) dx| = |-4/3| + |4/3| = 8/3
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen
Zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen bildet man die Differenz der beiden Integrale:
A = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx = ∫ (f(x) - g(x)) dx
Wenn sich die Graphen schneiden, geht man wie folgt vor:
- Schnittstellen der Funktionen bestimmen
- In Teilintervalle aufteilen, sodass die Schnittpunkte die Intervallgrenzen sind
- Integrale der Teilintervalle (Differenzen) bestimmen
- Beträge addieren
Highlight: Die Differenz der Integrale entspricht dem Integral der Differenzfunktion.
Integralfunktionen
Integralfunktionen stellen Stammfunktionen Fₐ gegebener Funktionen f dar, wobei a die Stelle ist, an der die Stammfunktion Fₐ die x-Achse schneidet.
Definition: Eine Integralfunktion Fₐ lässt sich durch das Integral ∫ₐˣ f(t) dt berechnen.
Diese Unterscheidung zwischen Stammfunktionen und Integralfunktionen ist wichtig für das tiefere Verständnis der Integralrechnung und ihrer Anwendungen.
