Lernzettel Mathe Abi‘22

Alternativer Bildtext:

-2 f(-2) = 13/3/2 HP (-2/13) -(-2) ² - 2 (-2) X₁ 3x + ² X (4) Hochpunkt bestimmen: (6x + 6) => → wendestellen: f(x) = 3/² · (x³ + 3x² + 3x - 7) = -1 (1) alle Ableitungen bestimmen: f'(x) = (3x² + 6x + 3) f"(x) = f"(x) = rechtsgekrümmt • rechtsgekrümmt HP (2) notwendige Bedingung: f" (x) = 0 = (6x + 6) 6 = 3 O ein O X z = 0 1-7 Muss wenn f" (x) = 0 HP 1. 롭 (3) hinreichende Bedingung a) dritte Ableitung: f"(x) = 0 v f" (-1) f"" (0) L> + -> 6) VZW - Kriterium: f" (0) = 4 f" (-2) = 롭 = a 3 > 0 f (x) 0 b (4) Wendepunkt bestimmen: X = - 1 fl-1) = -1 (1) Skizze machen: A = a. b O 20 = U = 2 а + da a = Links → rechts -> Extremwert probleme mit Nebenbedingung: zaunen Aufgabe: wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man mit einem 20m langen zaun ein - kann ? U = 20 links links -> (2) Hauptbedingung bestimmen. > passende Funktion aufstellen. L> Formel: Fläche eines Rechtecks 2 b rechts rechts 2a + 2 b 20 m = 2a + 2.b 20 m 2b = 2a 10m - b = a ein Muss, wenn f" (x) = 0 10m-b (3) Nebenbedingung aufstellen > gegeben: u = 20m ↳ in mathematische Schreibweise umschreiben => WP > U = 20 m. (4.) Nebenbedingung umformen: > Nebenbedingung so WP > Fläche muss maximiert werden WP 1-2b umformen, dass eine variable allein auf einer Seite der Gleichung steht 1:2 (S.) Variable in Hauptbedingung einsetzen: > A = a b (Hauptbedingung) > a durch 10m-b ersetzen A = (10m -b) b A = 10m. b-b2 (6.) Extremwert berechnen: > bei quadratischen Funktion ist der Extrem wert immer der scheitelpunkt erster Ableitung oder quadratischen Ergänzung > Scheitelpunktform ↳ Scheitelpunkt: Minimum oder Maximum einer Parabel (nach oben geöffnet: TP I nach unten geöffnet : HP) 10 2b = 0 notwendige Bedingung: A(b) = 10b - b² A' (b) = 10 2b A' (6) = 0 - 2b b a = 10m - b = -10 2 = 10m - 5m = 5m a = 5 m (7) Zweite variable bestimmen: > mithilfe der umgestellten Nebenbedingung -2- → Beispiel 1: 1- y => Zielfunktion. Ergebnisse überprüfen a und b in Hauptbedingung einsetzen: A = a b = 5m. 5m = 25m² -2- -3+ mit → Ganzrationale Funktionen bestimmen H(1/2) -1 10 1 1 - 10 1: (-2) 12 X hinreichende Bedingung: A(b) = 0 Antwort · wenn man mit einem 20m langen Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen möchte, dann müssen die Seitenlängen des Rechtecks jeweils sm lang sein. Die Fläche des Rechtecks ist dann maximal und beträgt 25 m ² Fig. 1 A" (b) 0 A" (b) = -2 <0 : (1.) überlegen, welchen Grad in die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n+1 Para- metern notieren. (z.) Aufstellen geeigneter Gleichungen für fi f'. f". aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mind. n+1 Gleichungen. (3.) Lösen des linearen Gleichungssystems. (4.) Funktionsgleichung notieren und kontrollieren. HP Hochpunkt berechnen: A(S) = 10m 5-5² 50m - 25 = > Gegeben: HP (1/2) Graph schneidet 3. mal. die x- Achse = 25 S(5/25) (1) ganzrationale Funktion dritten Grades L>Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d (2) Der abgebildete (11) X (3) Der Graph hat in H (1/2) einen Hochpunkt (1) f(1) = 2 2 + c = 2 (4) 35 30 b=0 25 => f(x) = ax ³ + cx 20 f(x) = -x³ + 3x 15 f'(1) = 0 10 d = 0 2 (1) 5 m -4 C = 2-a f'(x) = -3x² + 3 f"(x) = 6 x f'(1) = 0 => Hochpunkt bei x = 1 3a + c = 0 3a + 2a = c Bereich der Funktion ist punktsymmetrisch zum ursprung: nur ungerade Exponenten 2a + 2 2a -2 a a L>Enthält ein Funktionsterm fa (x), die jedem x den a und c in Funktion || = = - 1 + C = C = 3 - 2 f(x) = 0.2 x² f(x) = 0.5 x2 f(x) = 0.8 x² f(x) = 1.0 x² f(x) = 1.2x² 0 f" (1)= -6 <0 HP - 1 Funktionenscharen X 2 2 1-a I ceinsetzen 1-2 1:2 in (1) einsetzen einsetzen und kontrollieren. 1+1 außer der variablen x noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion. Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen. fa bilden eine Funktionenschar. 4 omnin Sammanin → Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionsschar hängen Parameter häufig von dem ab. Für die Berechnung der Punkte wer- den der Funktion wie eine Zahl behandelt. ft (x) = x³ - 12t² x ft '(x) = 3x²-12t² ft" (x) X die Parameter X = 6 x notwendige Bedingung 3x² - 12t² 1 + 12 +² 3x² .२ O = 12t² = 4+² = = 2 t y- werte ft (at) = 2t3³ - 12t²³. at 2t³- = 16+ hinreichende Bedingung ft'(X) = 0 v ft" (X) *0 ft" (at) = 6 at = 12t > O TP 1:3 in - 24t3 te R* 3 ft'(x) = 0 -> ortskurve · Funktionsschar L> Eine Kurve, auf der z. B. alle Tiefpunkte der Graphen einer Funktionenschar ft liegen nennt man ortskurve der Tiefpunkte. zum Bestimmen der Ortskurve berechnet man zunächst die koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit des Parameters t und eliminiert. dann aus der Darstellung der x- und y- Koordinaten den Parameter t. Man erhält eine Gleichung mit den Variablen x und y. TP (2t/-16 + ³) (1) X = 2t (11) y = - 16+ ³ X = z t 0,5 x = t Lt in (11) einsetzen 3 y = -16-(0,5x) ³ y = -16 0,125 x 3 y = - 2 x ³ 1:2 (b) Schlüsselkonzept. Integral 2 → Rekonstruieren einer Größe - 2 momentane Durchflussrate 11 Intervall 3 А1 (in m ) Flächeninhalt orientierter Flächeninhalt 2 volumenänderung +61 [0;3] + 6 FE I +6 FE 3 Az ។ [35] [5; 9] +21 + 2 FE 5 I + 2 FE - 61 + 6 FE - 6 FE 6 A 3 8 Insgesamt 21 Zufluss A1+ AZ + A3 = 14 FE A1+ AZ-A3 = 2 FE Zeit in min → wenn die Funktion f die Änderung einer Größe (z. B. in Abhängigkeit von der Zeit oder dem Ort) in einem Intervall [a, b] beschreibt, lässt sich die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von f und der X-Achse als Gesamtänderung der Größe zwischen a und b deuten. →> Das Integral ->f sei eine Funktion auf dem Intervall [a, b] bzw. Obersumme von orientierten Rechtecksflächen. Dann heißt der Grenzwert lim On n8 Man schreibt dafür j f(x) dx (lies: Integral von f(x) von 1 릅 ds 4 롭 릅 ↓ untersumme: f(x) = x² 습 Obersumme: 2 _f(x) = x² N|J 급 NJ F/W MIJ 1 1 lim Un = 7-8 U4 = 04 √₂x dx = [x²]"]=4²-0² - 16 2x ≈ 0.2188 = 1 40² 22 In die Anzahl der Teilintervalle und un bzw. On eine 0.4688 Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b. a bis b). ¼ · ( 3 ) ²³ · 4 · ( 3 ) ² + ¾ ()² + û · ( 4 ) ² + û · ( ³ )² + ¼ · ( ²3 ) ² + 4 · 1² -> Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung → Eine Funktion. F heißt Stammfunktion. x € I gilt: F'(x) = f(x) Satz: Sind F und Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine konstante C & R, sodass alle x € I gilt: F(x) = 6 (x) + C zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn -> Für eine stetige Funktion f auf dem Intervall [ab] gilt: f(x) dx = F(b) - Fla) wobei F eine beliebige stammfunktion von f auf [a, b] ist. unter- für alle für →› Stammfunktionen f(x) F(X) Stammfunktionen von einfachen Funktion X 2) 3 33 x ³ Regel: Z c.f(x) dx Beispiel: 7.x f(x) = 7x5 - 0,5 X g(x) h(x) G (X) = H(X) = -0,5 1x F(x)= x - 4x² Rechenregeln für Integrale: b [ f(x) dx 6 1 2 X A = {g(x)+h(x)dx= [g(x)dx + ] 2 = 2- f (x) = x ² Ay. 1- O f(x) = g(x) f(x) = c・g(x) F(X) = C G(X) = C -1+ =√x 6 1 - 4x² (f(x) - g(x)) dx X X X 2/2 /2 bestimmen -f- (Z = -1) ² + h (x) = → Integral und Flächeninhalt X ·x h(x) dx f(x) = Z 2 sin (x) cos(x) 3x F(x) = F(x) = 3 -cos(x) sin(x) x³ (1) Man bestimmt die Nullstellen von f auf [a, b] (2) Man untersucht, welches vorzeichen f(x) in den Teilinter vallen hat (3) Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie f(x) = -2-x-³ 3 F(x) = -2. (2-x²) Beispiel: Fläche zwischen Graph und x- Achse 1 Z+1 -> Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphem einer Funktion f und der x- Achse über dem Intervall [ab] geht man so vor: xZ+1 G(X) + H(X) Wird eine Fläche über dem Intervall [a, b] von den Graphen zweier Funktionen f und g begrenzt und gilt f(x) = g(x) für alle xe [a,b], dann gilt für ihren Inhalt A: 0 = x² - 2x X₁ = O = X 0 = x (x-2) XP f(x) = x² - 2x ↳> Fläche zwischen Graphen und X-Achse X = -1 x = 3 (1) Nullstellen bestimmen: f(x)= f(x) = 3x - F(x)= 34+1 ISVN V x 2 = 0 1+2 Ха A = +1 (2) Integral berechnen: 1 (x² - 2x) dx + = g 봄+봄 + 늘 대 = 3 Tf 3- 2 3 -1- 0 = 4 x³ y = [x³x²]+[x³ = x²] + [¾x³- x² ] ²₂ = (0-(3-(-1)³ - (-1)²)) + |( 1 · 2³ −2²) −0 | + (( · 3³ - 3² ) - (-2³ - 2² ) ) + 1] (x² - 2x) dx | + √(x² - 2x) dx g ff- -2 -1 Beispiel: Fläche zwischen zwei Graphen, die sich nicht schneiden Z-O -4- lim Z10 -3- Ay. -2+ -3- 1- Ay 2 O Beispiel Fläche Zwischen zwei Graphen, die sich schneiden O -A₁ 1 2 2 -A₂ 3 → Integralfunktionen g. 4 f(x) = x² J₁ (X) = √²+² dt = [ +² k 4. √2-4. √Z 5 A(Z) = 4√√2 X 4 Z= linke Grenze Z mit A(z) = j dx 4. √2 f(x) = -0,1x² + 1,5 g(x) = 2 L> Fläche zwischen f(x) und g(x), zwischen y-Achse und x=3 (1) Intervall suchen 2 y-Achse : x=0 gegeben: x = 3 = [03] (zur unteren Grenze 1) → unbegrenzte Flächen - uneigentliche Integrale dx f(x) x³6x² + 9x g(x) = 2x² + 2x L>Fläche zwischen beiden Graphen (1) Schnittstellen von f(x) und g(x) x³6x² + 9x = - 0,5 x² + 2 x X1 = O -> Die Funktion f sei auf einem Intervall I stetig. Zu jeder Zahl 글 X3 - 슬 Xz= 2 Z > C => A = 4√2 = 5,66 bzw. lim z → C X3 = 3,5 (2) Integral berechnen. } (g(x) - Ju(x) = √fitidt mit XEI Integralfunktion von f zur unteren Grenze u. Die Integralfunktion Ju ist differenzierbar mit Ju(x) = f(x) für XEI. Kurz: Jede Integralfunktion ju ist eine Stammfunktion von f. = [4 x 0¹5] ² (4-√73 wie A= • = 4√2 = 4. √2 (30-27 S (0,1x² + 0,5) dx 0 ++) - o 10 f(x)) dx ↳ Die Integralfunktion ordnet jedem x € [a; b] den orientierten Flächeninhalt auf dem Intervall [u; x] ZU (u € [a,b]) = 2,4 → Bei der Untersuchung von unbegrenzten Flächen auf einen Inhalt untersucht man Integrale mit einer Variablen und einer festen Grenze f(x) dx oder f(x) dx auf einen bzw. für Z→ C, falls f für x = C eine Definitionslücke hat. lim [fix) dx = [fux) dx f(x) dx = - [ f(x) dx Z→ 00 wie → Beispiel: f(x)=√x untersuchen sie, ob die Fläche, die vom Graphen von f, der x- Achse, der y-Achse und. der wird, einen endlichen Flächeninhalt hat. = UE I 10 [0x³+x] A₁ = (2) Integral berechnen (f(x) = g(x)) dx ײ - Az = [(g(x) = f(x)) dx = √(-x²+#x² - 7 Ages = A₁ + A₂ = 18+ 24 = 337 3,5 192 + 45 = (x³ - 2x² + 7x) dx = [4ד - #x² + + x²] = 7x) dx = [-4x¹ + x³ - ²×² ] ₂³ 24 = 1,547 heißt die Funktion. 4,88 Grenzwert = Geraden Ju für mit Z→ ± 00 x = 2 eingeschlossen 3 2 → Integral und Rauminhalt Rauminhalte von Rotationskörpern: ↳ein Rotationskörper entsteht, wenn die vom Graphen einer Funktion f über dem Inter vall [a, b] ein- geschlossenen Fläche um die x-Achse rotiert. → Die Bestimmung des volumens bei Rotationskörpern orientiert sich am verfahren zur Bestimmung von Flächeninhalten Flächeninhalte AY g(a=x₁) OT 2. Schritt y=f(x) ds JO b aΔx Δx 1. Schritt: Die Fläche wird mit gleich 1 Anzahl der Tiere ↑ (in Tausend) 2 → Gegeben ist eine Funktion körper. sein Volumen V beträgt g(x₂) P Axb breiten Rechtecken angenähert. Jedes Rechteck hat die Breite AX. Der Flächeninhalt aller Recht- ecke ist An = g(x₁) · Ax + g(xz). ax + ... + g(xn). Ax (*) · Mittelwerte von Funktionen 1 + Die zahl m. b-a [flx)dx ↳ Beispiel: 3 Bestimmung des Grenzwertes lim An. Dieser Grenzwert 718 entspricht nach Definition dem Integral g(x)dx 4 5 f auf dem. zeit (in Jahren) V = T. √ (f(x))² x X Z 3 4 Rauminhalte АУ P(x) 1,9 1.4 0,7 1 f(x₁) AX AX 1.schritt: Der Körper wird mit gleich breiten Zylindern angenähert. Jeder zylin- Höhe Ax. Das Volumen der hat die aller Zylinder ist. Vn= π· (f(x₁))² · Ax + πT · (f (x₂))² AX + + π· (f(xn))² · Ax. Dies entspricht einer summe wie (*), wenn. man g(x) = πT. (f(x)) ² heißt Mittelwert der Funktion f auf [a,b]. f(x) n->∞0 2. Schritt Bestimmung des Grenzwertes lim Vn. Dieser entspricht dem Integral g(x) dx = πr (f(x))² dx = π. } (f(x))ª dx. Intervall [a; b] um die x-Achse, so entsteht ein Rotations- = setzt. → Eine Tierpopulation. verändert sich in einem Rhytmus von vier Jahren, mo- dellhaft beschrieben durch P(x) = 0,2x³ - 1,3 x² + 2x + 1 Aus wie vielen Tieren besteht die Population durchschnittlich ? P = . f(x) dx 4 19 15 76 = 15 1,267 Die mittlere Population beträgt 1267 Tiere. Mit P = = · ( 1,9 + 1,4 +0.7 + 1) = 1,25 ergibt sich annähernd derselbe Mittelwert von 1250 Tieren. (c) Exponentialfunktionen → Wiederholung Eine Funktion f mit f(x) = c. a* (a> o; a 1) heißt Exponentialfunktion. Wenn eine Exponentialfunktion f einen wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für a> 1 eine exponentielle zunahme und für a < 1 um eine exponentielle Abnahme. Der Faktor cent- spricht dem Anfangsbestand flo) zum Zeitpunkt f(x) = 1,5 · (7)* | a* = b Die Lösung einer Exponentialgleichung (a, b > 0) bezeichnet man als loga (b) (Logarith- mus von b zur Basis a) Der loga (b) ist diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. f(x) = 1,5 · (²²-)* -3 50 a a ³ a 3 -2 -1 50. 0,6* 0,6 500,6* X = = 10, x = 4,51 wachstumsfaktor gesucht eine Potenz gleichung lösen → wenn exponentielles wachstum vorliegt, reicht es aus, zwei Bestände zu zwei Zeitpunkten zu kennen, um daraus den wachstumsfaktor a sowie die Funktionsgleichung zu bestimmen. Mit P(0/50) und Q (3/10,8) sind der Anfangsbestand 50 und der Bestand 10,8 (jeweils in Mio.) nach drei Stunden bekannt. Hieraus ergibt sich : 10, 8 50 0,1 3 + AY 2 5 1+ logo,6 (0,1) 0,216 √0,216 8 f(x) = 1,5-2* 50 0,1 f(x)=1,5 + + 1 2 1:50 I'V 3 3 = 0,216 Mit dem Anfangsbestand 50 erhält man die Funktionsgleichung g(x) = 50·0,6* (x in Stunden und g(x) in Mio.) zeitraum gesucht eine Exponentialgleichung lösen → Es soll untersucht werden, nach welcher Zeit sich ein Bakterienbestand, dessen Entwicklung durch die Funktion g(x) = 50- 0,6* (x in Stunden) beschrieben wird auf ein zehntel reduziert hat. Hierfür muss ein x gefunden werden, das folgende Gleichung erfüllt: 0,6 X = O Eigenschaften der E-Funktionen f mit f(x) = c.a* Exponential funktionen besitzen keine Nullstellen. Ihr Graph verläuft ober- halb der x-Achse. → Der Graph verläuft durch A (0/c) → Für sehr große x-Werte bei a<1. sehr kleine bei a> 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Werte x-Achse beliebig hah an. ↳ Nach etwa 4,5 stunden hat sich <> 0 : der um bzw. (Der Faktor a³ beschreibt die veränderung in 3 Stunden) Nach x Stunden muss der Bestand 5 betragen. Eine Gleichung a = b. bei der die gesuchte zahl x im Exponenten steht, nennt man Exponentialgleichung. Die Lösung x dieser Gleichung heißt Loga- rithmus von b zur Basis a oder kurz loga (b). Man bestimmt den Logarithmus mit dem Taschen- rechner. Bestand auf ein Zehntel reduziert. Beispiel 1: Einen Wachstumsfaktor bestimmen Der Graph einer Exponentialfunktion verläuft durch die Punkte Bestimme den Wachstumsfaktor. 6-2 = 4 (In vier Zeitschritten vergrößert sich der wert von 768 4 768. a = a a 4 = Der Wachstumsfaktor a beträgt 1.25. Nach einem → Die natürliche Exponentialfunktion und ihre b = 0 1875 1875 768 Beispiel: f(x)= 0.se + x² - 2 x + 1 e 1,25 (1) Ableitung: (2) Tangente im P (^/f(^)). f(1) = 0,5 e ₁¹ + 1² = 2 · 1 + 1 = 0,se ≈ 1,36 m = f'(1) = 0,5·e^ + 2·1 - 2 = 0, se y = mx + b 0,5 e = X e t(x)= 0.5e x X Es gibt →Für die Ableitung von Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a* (a> o) gilt: f'(x) = f'(0).a* eine Basis e 2,71828, für die die Exponentialfunktion mit f(x) = ex exakt mit ihrer Ableitungs- funktion übereinstimmt. Diese zahl e heißt Euler 'sche Zahl. Die zugehörige Exponentialfunktion f mit f(x) = e* heißt natürliche Exponentialfunktion. Für f(x) = ex gilt f'(x) = ex. Außerdem ist F mit F(x) = ex eine Stammfunktion von f. ose 1 + b |: 768 IS in (6) = 6 (n (b) = (n (6) 6 Der natürliche Logarithmus Ableitung von Exponentialfunktionen Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung Logarithmus von b. Man schreibt x = ln (b). Es gilt e = b und In le ²) = c f'(x) = 0,5 ex + 2x - 2 P(2/768) und Q (6/1875). P(1/0,5e) darstellen: f(x) = ax = (eIn(a)) x = eIn(a).x auf 1875 a") Ableitung = Zeitschritt nimmt der wert um 25% zu. ex = b der natürliche Mit dem natürlichen Logarithmus kann man beliebige Exponentialfunktionen der Form f(x) = a* mit a>0 als Exponentialfunktion mit der Basis e darstellen. Es gilt wenn man das Potenzgesetz (ar)³ = aris anwendet, kann man die Funktion f(x) = ax (n(a) a = e wie folgt h(x)= ex f-0,25 f-1 -2 -1,5 -1 -0,5 3+ 2,5- Beispiel: 2- 1,5+ 1₂ 0,5+ |Y g(x) = ²x 6+ 5+ 4+ 3+ (n(a).x → Exponentialfunktionen mit einer beliebigen Basis der Basis e darstellen. Es gilt: f(x) = a* = e Für die Ableitungsfunktion f' gilt dann Außerdem ist F mit F(x) = na (n(a) x 1+ -1+ 0,5 1 1,5 2 2,5 f(x) = 2ekx + f₁ 1 e X X = 2 fo,25 3 دام X X in (²) g(x) = ²x h(x) = ex = Inle -^) · flo). ek.x = -1 h hat an x = 1₁ den gleichen Funktionswert wie 9 an X = 0,5 K. TH X = O : für c<o → Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang g'(0) = 2 h (0) = 2 = = Eigenschaften der Exponential funktion: f(x) = cekix • es gilt für alle K & R : f(0) = C f hat keine Nullstellen. • Die Graphen zu fk(x) = cek.x und f-k (x) = ce-k.x Spiegeln sich an der y-Achse • für c>o verläuft der Graph oberhalb der x-Achse und ist links gekrümmt für c> 0 und k>0 f'(x) (n(a) e In(a).x = In(a) a* ist eine Stammfunktion. von f. ↳ (im f(x) = O x->-00 a>o ↳f ist streng monoton steigend ↳ lim f(x) + Steigung vong ist doppelt so groß wie stei- gung von h ∞ lassen sich als 2x e X 2 x = (n (a) ax verlaufen die Graphen. zu f(x) = cek.x unterhalb der x Achse. Sie er- Graphen mit Icl ek.x geben sich durch Spiegelung der entsprechen den an der x- Achse. = 5 = (n (5) Exponentialfunktionen mit 2. in (5) für C > O und k< O ~0,805 f(x) = für beliebige x. ↳f ist streng monoton fallend f(x) = 0 ↳ lim →Exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme liegt vor, wenn ein Bestand von einem Zeitschritt zum nächsten um. den gleichen Wachstumsfaktor a zu- bzw. abhimmt. Den Bestand. zum Zeitpunkt t kann man dann mithilfe einer Funktion f mit f(t) = f(0) at bestimmen. Mit k= (n(a) gilt auch f(t) = f(0) ekit Die Ableitung f'mit. f'(t) f(0).K.ekt beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit des Bestandes zum Zeitpunkt t. ↳ lim f(x) = + ∞0 Man nennt die Zeit, in der sich der bzw. Halbwertszeit TH. Weil f(Tv) = f(0) ·ek. Tv in (²) ergibt sich TH= K bei exponentieller in (2) Anfangs bestand verdoppelt bzw. halbiert, verdoppelungszeit Tv = 2 f (0), erhält man ek Tv = 2, also Tv = K bei k>o. Entsprend Abnahme (K<0). Nicht nur der Anfangsbestand verdoppelt bzw. halbiert sich in der Zeit TV bzw. TH sondern jeder beliebige Bestand, denn es gilt z. B. bei Abnahme f(x+ TH) = f(0) · ek⋅ (x+ TH) →→ Beschränktes Wachstum Beschränktes Wachstum mit der Schranke s liegt vor, wenn die Differenz. Zwischen einer Schranke s und dem Bestand zum Zeitpunkt t exponentiell abnehmen. Den Bestand zum Zeitpunkt t kann man mithilfe einer Funktion vom Typ f(t) = S-c.at bzw. f(t) = S-cek.t (mit k<o) bestimmen. Dabei ist c= S-flo) und k= (n(a). Beispiel: stehen lässt, wenn man aus einem Kühlschrank eine Flüssigkeit herausholt und in einem dann nähert sich die Temperatur der Flüssigkeit immer mehr der Raumtemperatur an. In der folgenden Tabelle sind Messwerte eines solchen versuchs (bei einer Raumtemperatur von 20°C) dargestellt. Die Temperatur des Getränks wurde jeweils im Abstand von 5 Minuten gemessen. tizeit in Minuten) f(t) (Temperatur in °c) d (t) (Differenz zu 20°C) Temperatur (in °C) 20+ 15+ 10+ 5+ 15 10 ◆ 5 Fig. 1: Temperaturverlauf der Flüssigkeit 20 ◆ O Wenn man die Messwerte f(t) grafisch darstellt, so erkennt man, dass diese ansteigen und dass die stei- gung immer kleiner wird (vergl. Fig. 1). Stellt man auch die Differenz d (t) = 20 f(t) zwischen den Messwer- ten und der Raumtemperatur grafisch dar, so kann man vermuten, dass die Differenz exponentiell ab- nimmt (vergl. Fig. 2). Zeit (in Minuten) 25 4 16 5 9,3 10,7 10 12,8 7,2 Temperaturdifferenz (in °C) 20 15 10+ 5+ 15 15,2 4,8 • Logarithmusfunktion und Umkerfunktion ● 20 16,8 3,2 O 5 10 15 20 25 Fig. 2: Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Temperatur der Flüssigkeit Zeit (in Minuten) mehr 25 17,8 २,२ (0<a < 1) Raum Die Datenpunkte aus Fig. 2 können dann näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form. d (t) = c.ekt (mit ko) beschrieben werden. Mit P(0/16) folgt direkt c= 16. k lässt sich z. B. durch Einsetzen der Koordina- ten von Q(25/2.2) in die Funktionsgleichung berechnen. Man erhält 2,2 = 16. ek. 25. umformen ergibt. K = 25. 25 · (n (²²) ~ -0,08 und somit d(t) = 16 ·e-0,08t Für die Temperatur der Flüssigkeit in °C nach t Minuten erhält man dann die Modellfunktion & mit f(t) = 2016 · e -0,08+. Da die Funktionswerte sich der Außentemperatur immer annähern diese aber in dem Modell nicht erreichen, spricht man von beschränktem Wachstum. Die Raumtemperatur entspricht hier der Schranke S = 20. " Eine Funktion of heißt umkehrbar, wenn es zu jedem y aus der Wertemenge von f genau ein x aus der Definitionsmenge von f mit f(x) =y gibt. Die Umkehr funktion der natürlichen Exponentialfunktion. f mit f(x) = ex heißt natürliche Logarithmusfunk- tion In mit (n(x) = F(X) ; X € R*. Die natürliche Logarithmusfunktion f mit f(x) = (n(x), XE R², hat die Ableitungsfunktion f'(x) mit_f'(x) = 7. umgekehrt gilt, dass F mit F(x) = (n(x) eine Stammfunktion von f mit f(x) = (mit x = 0). ist. -> Neue Funktionen aus alten Funktionen: Summe, Produkt, Verkettung Gegeben sind die Funktionen u und v. Die Funktion U• V mit (uov) (x) = u(v(x)) heißt Verkettung von u und v. →> Produktregel → Sind die Funktionen u und v renzierbar, und es gilt: f'(x) = u(x) •v (x) + u(x) • V'(x). Beispiel: (1) f(x) = (x² + 1).ex u(x) = x ² + 1 v(x) = ex (2) f(x) = f'(x) = u²(x) • v (x) + u(x) • v'(x) = (2x)·(e x) + (x² + 1) · (ex) : ex u(x) = = = x^ v (x) = ex →Kettenregel Beispiel: (1) f(x) = (5-3x) 4 u(x) = x 4 v(x) = 5-3x f'(x) u'(x) = 2x V'(x) = ex f'(x)= u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x) = (-x-²) · (ex) + ( x¯^) · (ex) = (-x-² + x -^) · ex (2) f(x) = 3·e ²x²-1 u(x)= 3.ex v(x) = 2x² - 1 4x - 3 differenzierbar, so ist auch die Funktion u'(x) = -x-² 2 V'(x) = ex → Ist f = U• V eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen f differenzierbar, und es gilt : f'(x) = u' (v(x))• V'(x). (3) f(x) = (x² - 1). e4 = u'(v(x)). V'(x) = 4(5-3x)³ · (-3) = -12 · (5-3x) ³ u'(x) = 4x³ v'(x) = -3 f'(x) = u' (v (x)) - v² (x) = 3 ⋅ @ ²x²-1 u'(x) = v '(x) = 4x 3.ex 4x = 12x.e -> Produktregel. u(x) = x² - 1 V(X) = e 4x-3 f'(x) = u(x) · v²(x) + u' (x) · v (x) = (2x). le 4x-3) = ex (2x + x² + 1) 2x²-1 u'(x) = 2x V'(x) = Kettenregel e 4x-3 .4 . (+ · +)... + = f = U. v + (x²-1)·(@4x-3-4 ) = (4x² + 2x - 4). e4-3x u und v mit f(x) = u(x). v(x) diffe- mit f(x) Ketten regel: V (x) u(x) = ex ✓ (x) v'(x) = e = 4x-3 4x-3 = u(v (x)), so ist auch 4 = e 4x-3 u'(x) = ex v '(x) = 4 → zusammengesetzte Funktionen untersuchen f(x) = 0 Achsensymmetrie f(x) = f(-x) Punktsymmetrie f(x)= -f(-x) für X₁>Xz gilt f(x₁) > f (x₂) für X₁ X₂ gilt f(x) < f (x₂) Nullstellen Symmetrie Monotonie wann ist die wachstumsgeschwindigkeit am größten ? halb Eigenschaften zur untersuchung von Funktionen und Graphen mum ? Extrempunkte. zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang Frage im Sachzusammenhang wann wächst die Pflanze nicht? Frage bei der Funktionsuntersuchung Wo hat die Funktion f Nullstellen? wann nimmt die Wachstumsgeschwin- wo erreicht die Ableitung von digkeit am stärksten ab? f ihr Minimum ? Krümmungs- verhalten Wendepunkte Wo erreicht die Funktion f ihr Maxi- f'(x) = 0 und f"(x) O f'(x) = 0 VZW bei f'(x) Linkskurve: f'(x) >0 Rechtskurve: f"(x) < 0 Flächeninhalte A=| ffuxidx | und f"(x)= 0 und f"(x) = 0 f"(x) = 6 und 4-0 wie viel ist die Pflanze in den welchen orientierten Flächen- Berechnung des ersten vier wochen gewachsen if(t) dt in halt schließt der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [04] ein ? Mögliches Rechenverfahren Lösen der Gleichung f(x) = 0 VZW bei f(x) Bestimmen von Hochpunkten; verhal- ten von f an den Definitionsrändern (Rand- werte) berücksichtigen Bestimmen der wendepunkte von f; ver- halten von f' an den Definitionsrändern (Randwerte) berücksichtigen. Wie hoch ist die durchschnittliche welchen Mittelwert hat die Funk- Berechnung des Mittelwertes der Wachstumsgeschwindigkeit inner - tion f im Intervall [0;4] ? Funktion mithilfe. des Integrals: o fitidt der ersten vier Wochen ? Integrals: → um einen besseren Überblick über das verhalten von zusammengesetzten Funktionen zu erhalten, ist es sinnvoll, neben den zuvor betrachteten Eigenschaften auch das verhalten für x→ ∞0 bzw. für X → - 00 zu untersuchen. Bei ganzrationalen Funktionen wie f(x) = x³ -x wird das Verhalten. des Graphen für x → summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt. Ist eine Funktion aus einer ganzrationalen Funk- tion und einer Exponentialfunktion zusammengesetzt, können u.a. folgende Fälle ein treten : untersuchung von zusammengesetzten Exponentialfunktionen + -2 y=0 -1 4 6 Der Graph der Funktion f mit f(x) = ex nähert sich für X→ ∞ der x-Achse immer mehr an. -2 Für Allgemein gilt: Für x→ 00 Für X → Beispiel: f(x) = 4 2+ 4 y 1+ у f(x) = e-x N x → n X → O + 2 x → 00 Für xo gilt für NEN, n ² 1 gilt für neN, n = ₁ Für x→ 00 (n (x) X f - 00 2 - 00 4 3 X f(x) → O Eine Gerade, der sich der Graph immer stärker , anschmiegt“, heißt Asymptote. Der Ab- stand zwischen der Asymptote und der Kurve wird dabei beliebig + 4 5 6 -6 an. : D f = R + und 1 f(x) = 1 + ex gilt für neN = x^.e-* → 0 und gilt für gerade n EN *e* → 0 gilt für ungerade n&N : x².e² -0 8个 -2 → untersuchung von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen (n (x) x^ Der Graph der Funktion g mit g(x) = 1 + ex nähert sich für x → ∞ der Geraden mit der Gleichung y=1 immer mehr xn xn AY O X => f(x) = (n(x) = y=1 →8 + · (n (x) → o In (x) → und und a) Definitions menge Verhalten der Funktion. an den Definitionsrändern: (n(x) → ∞ X x^ ∞ ·e xn und und + = x^.e → -X e-x (n (x) xn an. →-00 → 4+ 2+ 0 ∞ Ø Der Graph der Funktion h mit h(x) = x + e¯* nähert sich für x → ∞ der Geraden mit der Gleichung y=x immer mehr f(x) = x + ex ; Die X-Achse und die y-Achse sind Asymptoten des Graphen y = x + 2 4 6 X klein. vom b) Nullstelle: 4·(n(x) = 0 Хл Extrempunkte: f(x) = 4. f'(x) = 4.x=₁-x-₁-4X-² In (x) = 4⋅ (1-(n(x)) · X-² f"(x) = 4·(-x-1) · X-² +4·(1- (n(x)) · (-2)-x-³ = 4·(2(n(x)-3)-x-3 f'(x) = 0 1- ln(x) = 0 x = e f" (e) = 4·(2-3).e-³ <0 fle) = ~1,47 - AB= (d) Vektoriale Geometrie Abstand zweier Punkte: • Punkte und vektoren im Raum 3 + b = r.a In der Betrag Für a Sind zwei Vektoren. HP (e/) Die Koordinaten des vektors AB B(b₁/b₂/bs) bestimmen. Es gilt: = 1 bл - ал (3) bz - az bB - 23/ A D (n (x) X 2₁ + b₁ + be a₂ = \r.as. B 4. (n(x) · X-1 A (a₁/2₂/23) Geometrie bezeichnet man die Länge eines Pfeils, der den vektor a repräsentiert, als des Vektor a. Für den Betrag eines vektors a schreibt man Tai. (3) gilt 15| = √a₁ + a₂² + a₂²¹. (:) 2 = und b = BC (Eigenschaft eines AD = BC OD = B(b₁/bz/b3) kann man aus den Koordinaten der Punkte b₁ bz die summe der Vektoren 2 und bund Einen Ausdruck wie ra + s⋅ b + t · 2². nennt man Linear kombination der Vektoren a, 6 und 2. Die Zahlen r, s und + heißen Koeffizienten. Wenn zwei vektoren vielfache voneinander sind, dann heißen sie kollinear. Die zu- gehörigen Pfeile sind parallel zueinander. So sind z. B. die vektoren - (²³) und b = (-10) kollinear, weil 2. a = b b gilt. Beispiel: Fehlenden Eckpunkt eines Parallelogramms bestimmen A(1/2/3) , B (3/4/1), ((115/3) A B C D ↳ D So bestimmen, dass (^) AD OA + BC die Multiplikation des Vektors a mit der zahl r. und eine reelle zahlr gegeben, dann heißt →D muss die Koordinate D(-1/3/5). ein Parallelogramm ist. parallelogramm) BC= AB= √ (b₁-a₁)² + (bz-a₂)² + ( 1-3 5-4 13-1 २ ^ 3 OD 1 2 3 -Z 1 -1 Alanlazla 3) und 3 S Beispiel: Dreieck untersuchen A(1/2/3), B(2/4/3) C(3/1/3) → A b A S A zeigen, dass BC AC AB = = |AC| = AC AD 3 - 2 1 -2 A(11-2/5) 9: x = OA OR = 1 B 5 - 4 3- 3 2-1 4-2 3-1 80 1-2 -1 AB' 3-3 LABI → Geraden = das Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig |BC| = √ ₁² + (-3)² + 0² + r. AB = "1 AB = → Punkt probe BL 4/6/-2) => -1 Flächeninhalt berechnen √5 V5 121.151 2 Z " O => gleich setzen: g:x 1 Z 4-1 O 6 6-(-2) gleich schenklig 1-2-5 = 3 -1 2 1 Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form X = P² +ru (r ETR) beschreiben. Der Vektor p heißt stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt P, der auf der Geraden g liegt. Der vektor u heißt Richtungsvektor. GTR liefert: 2 O LA liegt auf g:x² 5 2 Prüfe, ob die Punkte A(-7/-5/8) |AC| = √₂² 3 8 = t= -2 |AB| = √1² +2²+0² 2.5 FE + (-1)² +0²' + t. 5 = (2.1) + (-1·2) + (0·0) = 2 + 1-2) = 0 und B(-2/3/5) २ g: x² = · Vio - 7 -5 8 = √5 V5 5 + r. 3 8 -7 auf g:x I 3+ St = -7 I 1+ 2+ = -5 III 2-3t = 8 3 -1 => 2 + t. 5 २ 90 -3 recht winklig 9:x² 11 3 -1 + t. 5 २ 11 GTR liefert: keine Lösung ↳B liegt nicht auf g: x² - 2 3 5 I 3+ 5t= -2 II-1+2 t = 3 2-3 t = 5 + Gegenseitige Lage von Geraden Zwei Geraden und h im 9 Raum können. (1) sich schneiden: Sie besitzen einen gemeinsamen Punkt (2) zueinander parallel sein: Sie besitzen keine gemeinsamen Punkte (3) zueinander windschief sein: Sie besitzen. keine gemeinsamen Punkte und sind nicht zueinander parallel Die Geraden g und h sind identisch 3 (1) parallel: 9: x' -1 Sich schneidende Geraden Zueinander parallele Geraden Zueinander windschiefe Geraden 2 h₁ Fig. 1 Die Richtungsvektoren sind nicht zueinander parallel. Die Geraden haben einen ge- meinsamen Punkt. Sie schnei- den sich. = 1 1 und identisch 2 6 4X3 5 4+ 7 10 2 t - q 3 1 2 Punkt probe liegt der stützvektor von -9 Liegt der Punkt P mit Idem Ortsvektor p auf der Geraden h? 3 AX3 sind 6- 4+4 → Punkt P liegt nicht auf h: x² 2+ 14 0 Die Richtungsvektoren sind zueinander parallel. Die Geraden haben keine ge- meinsamen Punkte. Sie sind zueinander parallel. h: x² = 5 00-00 2 ja g Fig. 2 7 parallel nein T: 7+ 3r III. 4-6r Die Geraden g und h sind zueinander 9:x² auf hx³? I: 5-9r = 1 = 0 + 4X3 4+ 2+ r ≤2+ Die Richtungsvektoren sind nicht zueinander parallel. Die Geraden haben keine ge- meinsamen Punkte. Sie sind zueinander windschief. zueinander parallel 9:x und h:x² 10 9 2 sind die Richtungsvektoren und v zueinander parallel? g X2 4 parallel Fig. 3 -3. 3 Die Geraden 9 und h schneiden sich - 1 2 GTR liefert: keine Lösung ja Hat die Gleichung p+r. ū = 9² +5₁ V² eine Lösung? -9 nein M nein Die Geraden und h 9 sind zueinander windschief →g und h sind. parallel. (2) sich schneidene Geraden g: x² = 7 rin Die Richtungsvektoren 9: x² = => 7 9 - Gleich setzen: 4 0000 3 6 2 X' 3 २ -2 4 २ g: x² einsetzen: 7 +(-1). 2 -0-00 Die Geraden. + r. (3) wind schiefe Geraden 3 6 Gleichsetzen. 4 8 2 Die Richtungsvektoren 4 1 und 0-0 => Die Geraden 9 4 8 h: x² = 000-0 und b und h schneiden sich im Punkt g Zu den Vektoren. a' = 3 toren a Es gilt: zwei Vektoren. a' = und h sind h:x² = 2₁ az 23 1 8 2₁ 1 az 2 00001 6 2 23 4 und 1 + r. - 6 und sind keine vielfachen voneinander: und h schneiden. g I 7+ 25 = 4+t I 2+ 3r = - 6+t und b → zueinander orthogonale Vektoren - skalarprodukt wind schief ab a₁.b₁ + a² b ² + 23 b3 = 0 ↳ Bei Geraden: beide Richtungsvektoren 1 a+r= -1 + 2t -4 sind keine vielfachen voneinander: und h schneiden = b 2 II6+8r b₁ - 4 TI: 4+2r = 3+ 25 b₁ ba b₂ bs b3 P(51-5/1) 3+41 = GTR liefert heißt r = - 1 und t = 1 sind genau GTR liefert: keine Lösung der Term 2₁b₁ + az ba +23.63 sich oder sind dann zueinander orthogonal windschiet. a 15 sich oder sind Skalarprodukt a' .a windschief. wenn gilt. der Vek- →Winkel zwischen Vektoren Skalarprodukt Für den Winkel zwischen a b al 161 cos(x) bzw. cos(x) = 131-161 AB = A(11-11-5) , B(3/2/-4) ((51-11-2) ↳ Größe des winkels. zwischen den vektoren AB und AC : BA = AC 2 3 4 O 3 α (zwischen AB und AĆ ) : AB AC (4)·() cos(x) = IABI LACI IABI= √√√2² + 3² + 1²1 = √/14 E: X= Bl zwischen BA und AC) BA AC COS(B) = IBAI. TAČI = |BA| √(-2)² + (-3)² + (-1)² = √/14¹ |AC| = √4² +0² + 3²² = 725 = 5 XP + r. u + s. V √14 √25 (2) 1 -8+0-3 चाप.5 -1 Hierbei sind die vektoren Vektoren u und E: XOA +r. AB + S·AC Die Gleichung x = P Punktprobe : → Ebenen im Raum. Parameter form. (r.se IR A(11-111) Bl1.5 / 1 / 0) (2.4)+ (3.0)+ (1.3) Vाप.5 = Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form 0,5 2 - 11 714.5 den Vektoren a' und b V heißen + S gleich wie ≈126° ū Ō, V = 0' ) 8+0+3 V14.5 2 O und V C(0/1/1) " gilt: mit 0° ≤ x ≤ 180° Spannvektoren. bei ^^ √ S in +ru +S.V heißt Paramet ergleichung der Ebene. beschrieben, wobei x der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene ist. nicht zueinander parallel. Der Vektor p die beiden 54° Gleichung => lineares Gleichungssystem → Lagebeziehung von Ebenen und Geraden Gegeben ist eine Gerade 9:x = P² +tu Falls die Gleichung p+t- u q+r. V + S. W (1) genau eine Lösung hat, schneiden keine Lösung hat, sind die Gerade (3) unendlich viele Lösungen hat, liegt und eine Ebene E: X Gerade g sich die g und die Gerade die = a +r. V + S.W. und Ebene E g in der heißt auf stellen und die Ebene E zueinander stützvektor Ebene E parallel und lösen → Geometrische objekte und situationen im Raum Mithilfe von Geraden - und Ebenengleichungen kann man viele Fragestellungen zu geometrischen objekten und anderen. sach zusammenhängen bearbeiten will man durch P.₁ und Pz lösen: untersuchen, ob die zwei Punkte P₁ (11/22/-2) P₂ (-1/-1/2) auf derselben Seite einer gegebenen Ebene E liegen, lässt sich das mithilfe einer Geraden g Man bestimmt. den Schnittpunkt der Geraden P₂ nicht. liegt oder 9 mit der Eine Gleichung der Geraden Den Schnitt punkt Ansatz z. B. 11 1 -> 22 P (-1/2/1). Normalen form: + t X GT R: der Geraden g - 12 -23 P₁ ; ñ = (31-217) X₁ TE Xz X3 → Das Vektor produkt von Die beiden spann vektoren der Ebene E 5 6 und Pz. 34 durch derselben - 1 2 P₁ mit der die Punkte + r. 1 0 Ebene E: X wird mithilfe aus betrachtet + Seite der durch Strecke zwischen Die ist, liegt der Schnitt punkt liegen beide Punkte auf -> Normalengleichung und Koordinatengleichung Jede Ebene E lässt sich. beschreiben - eine Normalengleichung (x² -P²) ² = 0 mit einem stützvektor p und einem Normalenvektor n d = P², - eine koordinatengleichung 2x₁ + bxz + cx3 =d₁ wobei bei der mindestens einer der koeffizienten a, b, c ungleich null ax₁ + bxz + CX 3 = d eine koordinatengleichung der Ebene E - So Ist 3 [9] -2 7 A 1 - 1 1 1 P₁ S -1 0 der → Der Normalenvektor ist orthogonal zu beiden 4 und P₂. multiplizieren. Ebene E und ermittelt, ob dieser = = 5 134 I 11 - 12+ = I 22 23t = III-2 + 4t = + ist gegeben durch: 2 Geradengleichung 9 außerhalb der Strecke Ebene E. ܠ Q e o 1 1 O -5 + r + OS schnürsenkelprinzip: bei dem opperator ,berechne" Spannvektoren mit u und v definieren: beide Buch cross P (u, v) 6+ or + S 34 + Or + 45 10) 니 mit P₁ P₂ n² + ist. ist Ď² Koordinaten form: 3x₁ + (-2) x2 + 7×3 +1 -2 -1 = 0 3х1 - 2 ха + 7х3 -2-0 2 3x₁2x2 + 7 X 3 = Spannvektoren der g=x² 8. = hinter (?) ein 1-1:2 GTR liefert: ^^ = 11.0 (-1. ZZ 2 erhält man mit -1.0 für 0 = t = 1 beschrieben. Da t = 294 > 1 dem Punkt Pz. Somit 1.1-1.2 Ebene E zwischen Pa + t. t=24949 - 12 - 23 4 sonst geht := menu - 7 - 1 - 1 :3 zeilen r = 2 Normalen vektor von E. auch GTR: dem und 1 191 S= 24. -2 1 1 Spalte E: x² = îo a 2 | Tipp 2 ↳ mithilfe E: X b هـا = 0 > 2 (Z) X (3) 2₁ az + r 23 zur Berechnung. G b DEFINITION VEKTOR PRODUKT X + t. = 10t= 30 t = 3 2 0 2 0 1 19 + 10t = ५१ = des Vektorprodukt = 2x₁5xz - X3 = 49 az b3 - as bz 2 3 b₁ la₁ b₂ - Ebene in koordinaten form: 9: x² = 3 3 x6 = (5) Lage beziehung : : Gerade und 8 6 + 4+ + 20+ 5t - 7 + t 2₁ bs az b₁ Schnürsenkelprinzip 1-19 1:10 2 O g in E einsetzen. EX'= 2(3+2+) + 5. (4+t) - (7-t) = 49. kann Ap= la xbl X₁ = 3 + 2t X₂= 4 + + = ५१ X3 = 7 - t für o n' G a' x b'orthogonal zu ā' + heißt das Vektor produkt von man den 0.100 0.01.2 2.0-0.0 Ebene und b t = 3 in g:x² einsetzen Es gilt trotzdem: (1) genau eine Lösung hat, schneiden. sich die Lösung hat, sind die Gerade 9 unendlich viele Lösungen hat, liegt die Gerade keine und den Durchstoß punkt Flächeninhalt eines Îro 13xb|= √(-6)² + 4 ² + 6²¹ ≈ 9,38 und b Gerade g und die Ebene E 9 in der -2 sind a'o' und bo' A = 9,38 FE nicht Parallelogramms berechnen: die Ebene E zueinander parallel Ebene E kollinear, so ist der vektor 1 E: : ² N D h: x = x² = 2 x₁ 3 8 7 3 3 4 7 5₁=161010) Sz=(0/0/0) + 5 X2 X 3 53= (0/0/5) + + • Analytische + t E₁ 5x₁+ 6x3 = 30 t ⒸIXA| = √0² parallel zu X₂-Ebene. 2 -1 2 2 + 3² 1 → Abstand : Punkt -Ebene Geometrie Gegeben ". E: X Abstand der Punkte A, B und ( von Beispiel mit A: Gerade aufstellen: = 49 3x2 + 4 X 3 = O 9. पर x² = 3 -1 √ 25 Beispiel g r Für die = 5 X₁ = X ₂ = X 3 = 25 r →E Einsetzen in E Gerade g gilt: 2 (3+2+) + 5. (4-+) - (7-+) 6 + 4 + + 20 - 5t - 7 + t 19 = ५१ M r in g einsetzen um zu ermitteln: 3 -1 3+at 4 - + r. 7-t und g E₂ X₁ 2x3 = 6 S₁ = (6/0/0) S₂ = (0/0/0) S3 = (0/01-3) t der Ebene 7 • parallel zu X2-Ebene A(3/-1/7) B(6/8/19) 3 (Lotfußpunkt - Verfahren) 4 X₁, X₂ und x 3. in E einsetzen: 3·(-1+3r) + 4·(7 + 4r) 28 + 16 r = G - 3+ gr + 25 + 25r sind parallel = X₁ = x₂ = = -1 X 3- O -25 = 49 ५१ = 0 + (-1) O zueinander C (-31-31-4) 3+ or - 1 + 3r 7+45 1 - 25 1:25 3 - 4 => Abstand A zur Ebene E Beispiel hi 2 (3+2 t) + 5. (8-t) - (-3-t) = 6 + 4 t + 40-5t + 3+ t 49 = 49 -> h liegt in E Beispiel i X² 2 (3+2+) + 5. (4+t) - (7-t) = 49 6 + 4+ + 20+ st+t = ५१ = ५१ 19 + 10t 10t t = 36 3 i 3 und t = 3 in i 4 E + 3. XA = schneiden sich E3: 4X3- 20 = 0 5₁ = (0/0/0) S₂ = (0/0/0) 53= (0/0/5) einsetzen ( 2 = 910 7 •parallel zu 49. = ५१ 3 - 3 -1- (-4) 73 (Schnittpunkt) X₁ X₂ Ebene O SP (91714) 3 Lotfußpunkt Beispiel: R(51-4/3) ↳ Abstand, R. ZU E 9 x² = 5 5 - 4 nominiert E (X-a) n no 1 "@ 2 3 = 3 iç iç + S 2 - 2 Х1 11000 2 TENE ME 2 Hesse sche - 2 = 0 = Normaleneinheitsvektor: → Hesse 'sche Normalen form (Hessesche - verfahren) E: 2x₁2x₂ + x3 = 0 Hierbei handelt es sich um eine Normalengleichung der Ebene, in der ein Normalenvektor no verwendet ist, d. h. die Länge Iñ³1 = 1 3 → Abstand Punkt Ebene: 2 (5+25)-2-(-4-25) + 1· (3+5)=0 10+45 + 8 + 45 + 3+S = 0 2 Abstand P und E: !!! 21 + Hesse sche Normalen form bestimmen: 11 lõi l v1+2+32 √14 gs îx O Hesse' sche Normalenform : E: d = Normalen form von E 95 = 0 P (4/475) = -21 X₁ Xz IX R1 = √( 31 ) ² 3 R für x einsetzen besitzt. => E: X₁ Xz X3 2 4 2 10:01 4 2 2 X₁ Xz X3 3 1 2 n = Normaleneinheitsvektor √6¹ + (3³) ² 2 2 VTT 2 ५१ = 7 1 1 = O 2 = 0 = 1Z √6 ~4,90 wird, der → Abstand Punkt - Gerade | Ebene und Punkt gegeben. E-X₁ 3x2 + x3 = 9 orthogonale (Gerade) + r. *80 9: x² r = - 2 퓐 9: x² = -1-51+ 3 (5+3r) - 2 + r = 3 Abstand F und P -5 2 schnitt punkt von g und E : ergibt den Punkt F 0 5 5 -2 2 (-1) -2 (-५) Gerade und Punkt 9: x² = sin S = 2 9: x² = + (-2). -1 000 3 L ( 9 +S 295 = 58 H: 3x₁ + 2x2 - 4x3 = a Hilfsebene H bestimmen -15 + gs 10 + 45 -20 -45+295 = 13 :X² 3 (r in g H 3.5+ 2·1-4-1 = 13 1 1-5 ·S 3 + 2 zu (9) 6 2 √36 = 6 gegeben 3 P in H einsetzen um a zu erhalten. 1:29 E durch P bestimmen X₁ P (0151-2) einsetzen) 3 Schnittpunkt. von g und H bestimmen H: 3 (5+ 35) + 2 · (-5 + 25) 4∙ (5-45) = 13 - 9 1+ 45 Xz = 5+ 3r Abstand zwischens und P 10-01- X3 = 2 +r = -r mit Hilfsgerade 2 + 16 S = 13 -1 P (5/1/1) = |FP| = √√√₁-2)² + 6² +2° 1 = F - 1 = √ 36 = 6 3 = S →Abstand zweier windschiefer Geraden g: x 3 = Punkt Abstand GH = G und G(3-2r/2+r / ₁+2r) I: 3 N H(4+35/3-25/3-25) GH 9: x = Abstand + r M - 1 2 (4+ 3s) (3+2r) (3-25) - (2-r) 1(3-25) - (1-2r) 1 + 35+ 25 2 (3) 16 1-25-r 12-25 - ar 2 3-125 gr = 0 GH mal die Richtungsvektoren von lineares Gleichungssystem 5 -2 G und H 5 - 2 Punkt H ermitteln: (-3) داس شاس G und H + r ·2 1 2 ermitteln. 2 N/M ગ્ = W/N W/ - 2 X 3 0.00 -2 1 O h: x in G und Heinsetzen. 4 r und s G(3-2r/2+r / ₁ + 2r) = (3-2-(3) / 2 + (²³) / 1+2·()) = (- 3 / 3 / 33³ ) H(4+35/3-25/3-25) = (4 +3·1-1)/3-2-(-1)/3-2-(-1)) = (-1/5/5) = 1+ 35 + 2 r 1-23 - r 12-25 - 2r n II h: x² = 4 g: x² und 3 3 4 GTR liefert: 3 1 + 3S + 2 r - 3+ 17 5 + →Abstand zweier windschiefer Geraden mithilfe einer Hilf sebene 1-25 - r Normalenvektor der beiden Richtungsvektoren von n = 2-25 - 2r h:x² + S 2 8 २ 3 IGHT= √(-3)² + (\)² ·()²¹ - √ - -2 2 3 12 r = O - 2 3 -2 1-2 wla = 0 h und S = g bilden -1 √2² +2²+1²²= √9² = 3 2 Ebene E: 3 Hesse' sche Normalen form. 3 0100 zwischen g: x². d (P, E) = Iml = sin y 2 in Normalen form aufstellen 2 2 sin y 1 → Schnitt winkel von Gerade und Ebene + Im. Schnittpunkt. Im².11 = √2²+1²+(-2) ²¹ 3. unter dem schnitt winkel у einen Geraden g und einer Ebene E versteht man und der Geraden s, welche durch senkrechte Projektion der Geraden g 0° und Im I Im³².11 2 1 -2 2 m² 2 = √T 90° X₁ X₂ 3 √9¹.√14 X3 von g Im = (e) stochastik = = √(n⋅p) ・(1-P) > 3 O mit no 3 2 2 sin (0,2673) = 15,5° => Schnitt winkel und E: -2 E: In²³1= √√√3² + 1² ~0,2673 X1₁ Xz X3 3 1 2 +2² Stochastische unabhängigkeit 3 = √/14 3 5 · 6 = 2 n = 0 = 2.3 +1·1+ (-2) 2 = den winkel auf die Ebene E entsteht. Er liegt zwischen der Geraden g 6 + 1 + (-4) = 3 P (ANB) = P(A) · P(B) auf stoch- Die stochastische unabhängigkeit von Ereignissen impliziert, dass das Eintreten des einen keine Auswirkung. die wahrscheinlichkeit des Eintreten des anderen Ereignis hat. Man nennt das Ereignis A astisch unabhängig von dem Ereignis B, wenn wahrscheinlichkeit. P(A) nicht davon beeinflusst es egal, ob das zweite Ereignis eintritt oder nicht. die wird. Dabei ist Laplace Bedingung Bedingungen Bernoulli - Experiment: ↳ nur zwei mögliche Ereignisse 9 = 1 P ↳n-malige Durchführung. ohne Änderung Komulierte Wahrscheinlichkeit ↳ höchstens k - Treffer P (X ≤ K) ↳ weniger als K-Treffer P(x<K) = P(x≤ (k-1)) ↳mindestens K-Treffer P(X=K) ↳ mehr als K-Treffer P(x >K) k und ↳mindestens Binomialverteilung • Bernoulli - Experiment= Zufallsexperiment. mit genau zwei Ausgängen • Binomialverteilung. X ↳n- Länge der Bernoulli 4 P-Treffer wahrscheinlichkeit • wahrscheinlichkeit für genau k-Treffer: (2) ↳ Formel von Bernoulli : P(X=K) ↳GTR "binompdf" · Erwartung swert (mü) ↳ P höchstens 1-Treffer N = n.p • Standard abweichung 1 47 o= √(n⋅p). (1-P)¹ • Komulierte wahrscheinlichkeit (höchstens k- Treffer) ↳ P(x = k) = P(X=0] + P(x = 1) ... + P(x= n) 4 GTR ,, binom cd f" 1 ist Bin nip Kette Fragestellungen (1.) P(x = k) oder • Histogramm = Darstellung der Wahrscheinlichkeiten L... (4.) k gesucht: 8 verteilt 9 (2.) In gesucht ausprobieren (3.) p gesucht ausprobieren "Lists = 10 der P(K≤ x ≤ () P(x≤ K) gesucht → GTR wahrscheinlichkeit K n-k P (^-p) ^. für GTR menu-s5-3 Definition Binominialloeffizient Mit Hilfe des Binominialleffizienten kann berednet werden, auf wie viele Arten man l Objelite aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann (ohne zurücklegen, ohne Beachtung der Rheinfolge). Der Bino- mialhoeffizient ist also die Anzahl eher u-elementigen Tailmenge einer n-ele- mentigen Menge. Er berechnet sich so: (₁) = n(n-1).... (n-k+1) Beachte. Es gilt (ö) = 1. jeden Treffer k in einem Balkendiagramm o-Regeln (gelten wenn & > 3)₁ ← →> PIN-20 ≤ x ≤N +20) ≈ PIN - 30 ≤ x ≤ N +30) ≈ 99,7%. → PIN-O ≤ x ≤ N₂+O²) ≈ 68,3%. Testen von Hypothesen 4 • Einseitiger Hypothesentest 4 Stichprobenumfang n, wahrscheinlichkeit ↳ Anwendung: L> 95,4%. es wird eine x ist B nipo - verteilt wenn man vermutet, dass p in wirklichkeit ➜>> Entscheidungsregel: linksseitiger Test Nullhypothese Ho: pz Po • Gegenhypothese H₁: p² po • Ablehnungsbereich: [0;9₁] → P ( x ≤ g₁) ≤ x N-O • P(x = 9₁) Stichprobe vom Umfang gemacht ≤ Entscheidungsregel: Ansonsten wird Ho P und zweiseitiger Hypothesen test ↳ Stichproben umfang n, wahrscheinlichkeit p und signifikanzniveau < festlegen ↳ Anwendung: P = Po wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich landet. wird Ho verworfen man überprüft, ob die Annahme Zweifelt werden. muss ↳ CS wird. eine Stich probe vom Umfang n durchgeführt. X ist Bpin - verteilt. Nullhypothese Ho : Gegen hypothese H₁: 4 Ablehnungsbereich â р е ро und P(x=g₂) Signifikanzniveau & festlegen [o; g₁] und = 1- P (X← g2 - 1) = Sigma-Umgebungen größer, bzw. kleiner ist rechtsseitiger Test • Nullhypothese Но : Pе ро • Gegen hypothese H₁: p² po • Ablehnungsbereich [gzin] P ( X = 9₂) = 1- P(x ≤ g2-1) → N + O Signifikanzniveau 10% Signifikanzniveau 5% Signifikanzniveau 1% angenommen dass die Treffer wahrscheinlichkeit genau Po ist, Wenn das worfen. Anstonsten wird [gain] als po.. Stichproben ergebnis. im Ablehnungsbereich liegt, wird. Ho Ho angenommen. zweiseitiger Test 1,64 o 1,96 o 2,58 σ be - einseitiger Test 1,28 o 1,64 o 2,33 o ver- Fehler erster Art: Ho Hypothese wird verworfen, obwohl Ho wahr : P ( X = g ₁) / P(x= ga) / P ( xs g₁) u → Irrtumswahrscheinlichkeit → man berechnet den Ablehnungsbereich • höchstens so groß wie das signifikanzniveau Fehler 2 Art: 4 Ho Hypothese wird nicht verworfen, obwohl man hat ist. eine P (x = ga) zweite wahrscheinlichkeit gegeben ↳man rechnet Pn; neue wahrscheinlichkeit (Annahmebereich) Ho falsch ist Glücksspiel,,Tor" oder ,,Rot" Ein Glücksrad ist in drei Felder mit den Bezeichnungen T, O und R geteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zei- ger auf einem bestimmten Feld stehen bleibt, beträgt P(T) = 0,5 bzw. P(R)=P(O) = 0,25. Es gelten die folgenden Spielregeln: Das Glücksrad darf maximal dreimal gedreht werden. Gewinne gibt es für die Ergebnisse,,TOR", "ROT" sowie für „TTT",,,000" und ,,RRR". Wenn kein Gewinn mehr möglich ist, endet das Spiel vorzeitig. Ergebnis a) Begründen Sie, dass mit 2-0,5-0,252 +0,53 +2.0,253 die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dass ein beliebiger Gewinn erzielt wird. Vervollständigen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Tabelle. Wahrscheinlichkeit TOR 32 Ergebnis Auszahlung ROT 01501252 3/2 TOR 20 € b) Das Spiel wird mit einem Einsatz von 3,50€ gespielt. Die Tabelle enthält die Auszahlungsbeträge im Fall eines Gewinns. ROT 20€ TTT Rechnen Sie im Folgenden mit p = TTT 5€ 7 16 000 1 64 R 000 50 € weiter. RRR 0,253 T RRR 50 € Weisen Sie rechnerisch nach, dass ein Spieler langfristig einen Verlust von 6,25 Cent pro Spiel macht. Bestimmen Sie eine veränderte Auszahlung für den Fall,,TTT", sodass das Spiel fair ist. sonstige 5000 c) Die Wahrscheinlichkeit p steht für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spiel vorzeitig nach dem zweiten Dreh endet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p. sonstige 0€ Es werden 2000 Spiele betrachtet. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl an Spielen, die vorzeitig nach dem zweiten Drehen enden. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X binomialverteilt ist. Bestimmen Sie das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % liegen. Als Länge Leiner 20-Umgebung wird die Differenz zwischen der oberen und der unte- ren Grenze der Umgebung bezeichnet. Bei einer unbekannten Anzahl an Spielen hat die 20-Umgebung eine Länge von L = 84. Bestimmen Sie eine zugehörige Anzahl an Spielen. d) Y sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert 875 und der Standardabweichung o = 22,19 Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 1-875;22.19(x) dx für reelle Zahlen a und b mit a ≤ b. Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Werte von Y mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % liegen. STOCHASTIK