Lernzettel Mathe Abi‘22

Alternativer Bildtext:

-4/ X 2 = -2 X = 2 f(-2)= 1/3/ HP (-2/13) (4) Hochpunkt bestimmen: -> Wendestellen: -> rechtsgekrümmt HP f(x) = (x³ + 3x² + 3x - 7) 3x++ (1) alle Ableitungen bestimmen: f'(x) = (3x² + 6x + 3) f"(x)== (6x + 6) f" (x) == ₁6 = X^= -1 (2) notwendige Bedingung: f" (x) = 0 (6x + 6) ein Muss wenn f"(x) = 0 0 0 Xz O 1-4 (3) hinreichende Bedingung a) dritte Ableitung: f" (x) = 0 v f"" (x) f"¹² (-1) = ² > 0 f"" (0) => 0 6) VZW - Kriterium: f" (0) = 3 f" (-2) - Aufgabe (4) Wendepunkt bestimmen: X = - 1 f(-1) = -1 Links rechts (1) Skizze machen: 0 A ab links rechts links rechts. ein Extremwert probleme mit Nebenbedingung: U = 2a + 2 b da u = 20 20= 2a + 2.b. wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man mit einem. 20m langen zaun. ein- záunen kann ? => WP (2) Hauptbedingung bestimmen. 20 m = 2a + 2b 20 m 2b = 2a 10m - b a = 10m-b Muss, wenn f" (x) = 0 U= 20 m >passende Funktion aufstellen L>Formel Fläche eines Rechtecks > Fläche muss maximiert werden WP (3) Nebenbedingung aufstellen > gegeben: u = 20m ↳in mathematische Schreibweise umschreiben. WP (4.) Nebenbedingung umformen > Nebenbedingung so 1-2b umformen, dass eine variable. allein auf einer Seite der Gleichung steht. 1:2 (5.) Variable in Hauptbedingung einsetzen. > A = a b (Hauptbedingung) > a durch 10m-b ersetzen. A = (10m-b) b A = 10m b-b² (6.) Extremwert berechnen. > bei quadratischen Funktion. ist der Extremwert immer der scheitelpunkt > scheitelpunktform mit erster Ableitung oder quadratischen Ergänzung > Scheitelpunkt Minimum oder Maximum einer Parabel (nach oben geöffnet: TP / nach unten geöffnet HP) notwendige Bedingung A(b) = 10b - 6² 1'(6) 10 - 2b. A'(6) - O 10 2b = 0 - 26 b =10 = 5m a = 10m - b a= 10m - 5m a = 5 m => Zielfunktion (7) Zweite variable bestimmen: > mithilfe der umgestellten Nebenbedingung 1 - 10 → Ergebnisse überprüfen. a und bin Hauptbedingung einsetzen: A a b 5m 5m = 25m² 1: (-2) →Ganzrationale Funktionen bestimmen › Beispiel 1: hinreichende Bedingung A(b) = 0 A" (b) 0 A" (b) = 2 <0 HP Antwort. wenn man mit einem 20m langen Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen möchte, dann müssen. die Seitenlängen des Rechtecks jeweils sm lang sein. Die Fläche des Rechtecks ist dann maximal und beträgt 25 m ² H(112) 12₂ (1.) überlegen, welchen Grad in die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n+1 Para- metern notieren. (3.) Lösen des linearen Gleichungssystems. (4.) Funktionsgleichung notieren und kontrollieren. Fig. 1 (2.) Aufstellen geeigneter Gleichungen für f. f'.f" aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mind. n+1 Gleichungen. Hochpunkt berechnen. A(S) = 10m 5-5² 50m - 25 25 > Gegeben • HP (1/2) S(5/25) • Graph • schneidet 3. mal. die x- Achse (1) ganzrationale Funktion dritten Grades ↳ Ansatz: flx) = ax³ + bx² + cx + d (2) Der abgebildete (11) => f(x) = ax + cx (3) Der Graph hat in H(1/2) einen Hochpunkt (1) f(1) = 2 f'(x)=-3x² 3 f"(x) = -6x f'( 1) = 0 35 g (4) a und c in f(x)= x³ + 3x 30 25 b=0 20 15 f'(1) - 0 10 5 d-o 0 2 Â -4 Bereich der Funktion ist punktsymmetrisch zum ursprung nur ungerade Exponenten 2 + c = 2 c=2-a 3a + c = 0 3a 2-a = o -2 2a + 2 = 0 →Funktionenscharen ਕਰ = -2 a = (1) - 1 + C Hochpunkt bei x = 1 C = 3 Funktion L>Enthält ein Funktionsterm außer der variablen X noch einen Parameter a so gehört zu jedem a eine Funktion fa (x), die jedem x den Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen fa bilden. eine Funktionenschar.. f" (1) -6 <0 HP - 1 f(x)= 0.2 x² f(x)= 0.5 x f(x)= 0.8 x2 f(x) = 1.0 x² f(x) = 1.2 x² 0 X 2 ||||| 2 1-a I ceinsetzen. 1-2 in (1) einsetzen einsetzen und kontrollieren. 1+1 4 →> Die koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionsschar hängen häufig von dem ab. Für die Berechnung der Punkte wer- wie eine Zahl behandelt. den die Parameter der ft (x) = x³ 12t²x f₁¹(x) = 3x²³ - 12t² ft" (x) = 6 x notwendige Bedingung 3x² - 12t² - O 3x2 x 2 X = 12t² - 4t² = 2 t 1+12 +² 1:3 = -16+³ IV y- werte ft (at) = 2t - 1at². at 2t³-2463 Parameter Funktion te R hinreichende Bedingung ft' (X) = 0 ✓ ft" (x) *0 ft" (at) = 62t = 12t > O TP ft'(x) = 0 ->ortskurve Funktionsschar der Tiefpunkte. L> Eine Kurve, auf der Z.B alle Tiefpunkte der Graphen einer Funktionenschar ft liegen nennt man ortskurve Zum Bestimmen der Ortskurve berechnet man zunächst die koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit des Parameters t und eliminiert. dann aus der Darstellung der x- und y-Koordinaten den Parameter t. Man erhält eine Gleichung mit den variablen x und y TP (2t - 16+³) (1) X = 2t (11) y = - 16 +³ X = z t 0.5 x t ↳tin (1) einsetzen y=-16 (0.5x) ³ y=-16 0,125 x y = -2x³ (b) Schlüsselkonzept: Integral 1:2 → Rekonstruieren einer Größe momentane (in) Durchflussrate 2 11 Intervall А volumenänderung. +61 Flächeninhalt [0;3] orientierter Flächeninhalt + 6 FE +6 FE Az [3;5] [59] +21 +2 FE 5 +2 FE - 61 + 6 FE -GFE A 3 Insgesamt 21 Zufluss A1+AZ+A3 = 14 FE A1+ AZ-A3 = 2 FE zeit in min → wenn die Funktion f die Änderung einer Größe (z. B. in Abhängigkeit von der Zeit oder dem Ort). in einem Intervall [a; b] beschreibt, lässt sich die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse als Gesamtänderung der Größe zwischen a und b deuten. -> sei eine Funktion auf Idem Intervall [a, b], n die Anzahl der Teilintervalle bzw. Obersumme von orientierten Rechtecksflächen. Dann heißt der Grenzwert lim On Man schreibt dafür į f(x) dx + Das Integral dr untersumme: f(x) = x² 급 릅 Obersum me: f(x) = x² t + # 릅 ² 2 ₂x dx = [x²] lim Un = n-6 (lies: Integral von f(x) von U4 = 0² · (4)² + 4 ()² # (#)* 3 * 0.2188 = 4²-0² = 16 04 = Integral der Funktion f zwischen den Grenzen. a und b. a bis b). (4)² (4)² · ² · ( \ )² · 4 · ₁² 0.4688 -> Für eine stetige Funktion. f auf dem Intervall [a,b] gilt: f(x) dx = F(b) - Fla) wobei F eine beliebige stammfunktion von f -> Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung →→ Eine Funktion F heißt stammfunktion zu einer Funktion f auf einem x € I gilt: F'(x) = f(x) Satz Sind F und Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine konstante CER. sodass für alle x € I gilt F(x) = 6 (x) + C und Un. bzw. On eine auf [a, b] ist unter- Intervall I, wenn für alle → Stammfunktionen bestimmen Stammfunktionen von einfachen Funktionen sin (x) cos(x) 3x 2 X x-1 1x² 2 X -cos(x) sin(x) X³ f(x) X F(X) 3x³ Regel 2) Rechenregeln für Integrale: $c-f(x ·f(x) dx Beispiel: f(x) dx 6) [+hxx- gard+ [ nex) dx h(x) f(x) = 7x5 -0.5 x g(x) h(x) G(X) = H (x) = F(x)= x - 4x² f(x) = x² (Z = -1) = f(x) = g(x) + h(x) f(x) = C-g(x) F(X)= C G(X) 7. 4x6 = ²x6 = C. 1 -0,5 xe - 4x² X A = -X-1 = F(X) = (f(x) - g(x)) dx (F(x) - 9 F(x) = f(x)= → Integral und Flächeninhalt Z+1 x ²+1 G(X) + H(X) f(x)=2x-3 F(x) = -2.(2x²) x² = -> Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphem einer Funktion f und der x-Achse über dem intervall [ab] geht man so vor (1) Man bestimmt die Nullstellen von f auf [a, b] (2) Man untersucht, welches vorzeichen f(x). in den Teilinter vallen. hat (3) Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie. Wird eine Fläche über dem Intervall [a, b] von. den Graphen zweier Funktionen und gilt f(x) = g(x) für alle xe [a,b], dann gilt für ihren Inhalt A → Beispiel: Fläche zwischen Graph und x-Achse f(x)=√ f(x)= 3x - 4 F(x) = 3-4+1 Xa f(x)= x² - 2x Fläche zwischen Graphen und X-Achse x= -1 (1) Nullstellen x = 3 bestimmen: 0= x² - 2x o= x (x-2) ISV N X₁ = OV x 2 = 0 1+2 (2) Integral berechnen: (x² - 2x) 3.x* = 4√ A = 2x) dx AV + √(x²-2x) dx + √(x²-2x) dx = [x²-x²][x²-x²] + [4x²-x²]² -(0-(3-(-1)-(-1)²))+1(8-2²-2²)-01 + (($3³-3²) - (-2²-2²)) und g begrenzt → Beispiel: Fläche zwischen zwei Graphen, die sich nicht schneiden. → Integralfunktionen →Beispiel: Fläche zwischen zwei Graphen, die sich schneiden A₂ Lim 2-40 bzw. lim Z→* 4 Z= linke Grenze A(z) = f(x) = -0,1x² + 1,5 g(x) = 2 L> Fläche zwischen f(x) und g(x), zwischen y-Achse und x=3 (1) Intervall suchen y-Achse: x=0 gegeben: x= 3 [0; 3] f(x) = x² (zur unteren Grenze 1) J₁(x) = ² dt = [+] 4. VZ 4. VE A(Z) = 4√2 f(x) x³6x² + 3x g(x)=-4x²+2x L>Fläche zwischen beiden Graphen (1) Schnittstellen. von f(x) und g(x) x³6x² + 9x = 0,5 x² + 2x X^= 0 Z Xz = 2 mit Z > C -> Die Funktion f sei auf einem Intervall I stetig. Zu jeder Zahl X3 3,5 => A= 4√2 = 5.66 (2) Integral berechnen. (gw) - Loxea +0,5) dx = [5x³+4x] = (50-27 ++)-0 = 10 + 45 A= Ju(x) = √fit)dt mit ΧΕΙ Integralfunktion von f zur unteren Grenze u Die Integralfunktion Ju ist differenzierbar mit J'u (x) = f(x) für XEI. Kurz Jede Integralfunktion Ju ist eine Stammfunktion von f. dx=2x-05 dx = [4x] = C4-√7]} = 4√2 - 4.√Z = 10 ↳ Die Integralfunktion ordnet jedem x € [a; b] den orientierten Flächeninhalt auf dem Intervall [u; x] zu (ue [a b]). = 2,4 A₁ = Integral berechnen (f(x) = g(x)) dx = √(x²-x² + 7x) dx = [4x*-+x+++ - [(x²+x²-x) dx = [-tx² + x²-x²²² = 1,547 -f(x)) dx = fighl-fl Ages = A₁ + A₂ = 10 + 24 = 192² * 4,88 A₂ = →> unbegrenzte Flächen - uneigentliche Integrale →Bei der Untersuchung von unbegrenzten Flächen auf einen Inhalt untersucht man integrale mit einer Variablen und einer festen Grenze wie f(x) dx oder f(x) dx auf einen Grenzwert für Z100 für zc, falls f für x = C eine Definitionslücke hat. f(x) dx = f(x) dx bzw. (im fox) dx = f(x) dx )-f(x)) dx wie →Beispiel: f(x)= • untersuchen sie, ob die Fläche, die vom Graphen von f, der x- Achse, der y-Achse und der wird, einen endlichen Flächeninhalt hat.. UE I heißt die Funktion Ju mit Geraden x 2 eingeschlossen → Integral und Rauminhalt Rauminhalte von Rotationskörpern: ein Rotationskörper entsteht, wenn die vom Graphen einer Funktion f über dem Intervall [a, b] ein- geschlossenen Fläche um. die x-Achse rotiert. Flächeninhalte → Die Bestimmung des volumens bei Rotationskörpern orientiert sich am verfahren. zur Bestimmung von Flächeninhalten 4Y 0 g(a=x₁) y-f(x), ds SAX AX 2. Schritt 1. Schritt Die Fläche wird. mit gleich breiten Rechtecken angenähert. Jedes Rechteck hat die Breite ΔΧ Der Flächeninhalt aller Recht- ecke ist An= g(x₁) Ax + g(x₂) Ax +... + g(xn). Ax (*) g(x) Bestimmung des Grenzwertes Ilim An. Dieser Grenzwert entspricht nach Definition dem Integral g(x) dx →Gegeben ist eine Funktion f auf dem körper. sein Volumen V beträgt Die zahl m b-a f(x)dx ↳ Beispiel Anzahl der Tiere (in Tausend) = →Mittelwerte von Funktionen V = πr- zeit (in Jahren) x 1 [{(f(x) dx 2 3 4 Rauminhalte P(x) 1.9 1.4 0,7 1 f(x₂) 50 f(x₂) AY 1. schritt: Der Körper wird mit gleich breiten Zylindern angenähert. Jeder zylin- Höhe Ax. Das Volumen der hat die aller Zylinder ist. Vn= πT· (f(x₂))² -Ax + πT. (f(x₂))² AX +..... + π (f(xn))"· AX. Dies entspricht einer summe wie (), wenn. man glx) = πT. (f(x))² setzt. 2. Schritt Bestimmung des Grenzwertes lim Vn. Dieser entspricht dem Integral g(x) dx T. (f(x))* dx = πr. (f(x))* dx. Intervall [a, b] um die heißt Mittelwert der Funktion f auf [a,b], = x-Achse, so entsteht. ein Rotations- → Eine Tierpopulation. verändert sich in einem Rhytmus von vier Jahren, mo- dellhaft. beschrieben durch. P(x) 0,2 x³ 1.3 x² + 2x + 1 Aus wie vielen Tieren besteht die Population durchschnittlich ? P. + √f(x) dx 1,267 Die mittlere Population beträgt 1267 Tiere. Mit P ( 1.9 1.4 0.71) 1.25 ergibt sich annähernd derselbe Mittelwert von 1250 Tieren (c) Exponentialfunktionen • Wiederholung Eine Funktion f mit f(x) = ca* (a> o; a 1) heißt Exponentialfunktion. Wenn eine Exponentialfunktion f einen wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für a> 1 um eine exponentielle zunahme und für a < 1 um eine exponentielle Abnahme Der Faktor cent- spricht dem Anfangsbestand f(0) zum Zeitpunkt Die Lösung einer Exponentialgleichung a = b (a, b > 0) bezeichnet man als loga (b) (Logarith- mus von b zur Basis a). Der loga (b) ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. f(x) = 1,5-()* f(x)=1,5-()* 50 a d³ a³ a -3 -2 3 0,6 * X 50 0,6* = 6 -1 2 wachstums faktor gesucht eine Potenzgleichung lösen → wenn exponentielles Wachstum vorliegt, reicht es aus, zwei Bestände zu zwei Zeitpunkten zu kennen, um daraus den wachstumsfaktor a sowie die Funktionsgleichung zu bestimmen. Mit P(0/50) und Q (3/10,8) sind der Anfangsbestand 50 und der Bestand. 10,8 (jeweils in Mio.) nach drei stunden bekannt.. Hieraus ergibt sich X = 4,51 AY = 0,1 1+ 50. 0.6* = SO 0,1 5 10, 8 10, 8 50 0.216 Vo.2 16 logo.6 (0.1) 1 f(x) = 1,5-2* f(x)=1,5 (5)* 2 1:50 I'V } 0,216 ↳ Nach etwa 4,5 Stunden 3 Mit dem Anfangsbestand so erhält man die Funktionsgleichung g(x) = 50-0.6* (x in Stunden und g(x) in Mio.) X zeitraum gesucht eine Exponentialgleichung lösen ES soll untersucht werden, nach welcher zeit sich ein Bakterienbestand, dessen Entwicklung. durch die Funktion g(x) = 50 0.6* (x in Stunden) beschrieben wird, auf ein zehntel reduziert hat Hierfür muss ein. x gefunden werden, das folgende Gleichung erfüllt: X = O = 0,6 Eigenschaften der E-Funktionen f mit '(x) = c·a*; <> 0 → Exponentialfunktionen besitzen keine Nullstellen. Ihr Graph verläuft ober- halb der x-Achse. Der Graph verläuft durch. A (0/c) → Für sehr große x- werte bei a<1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a> 1 nähern sich die Funktionswerte der x- Achse beliebig nah an. (Der Faktor a3 beschreibt die veränderung in 3 stunden). hat sich der Nach x Stunden muss. der Bestand 5 betragen. Eine Gleichung a = b, bei der die gesuchte zahl x im Exponenten steht, nennt man Exponentialgleichung. Die Lösung x dieser Gleichung heißt Loga- rithmus von b zur Basis a oder kurz loga (b).. Man bestimmt. den Logarithmus mit dem Taschen- rechner. Bestand. auf ein Zehntel reduziert. Beispiel 1 Einen Wachstumsfaktor bestimmen Der Graph einer Exponentialfunktion. verläuft durch die Punkte P(2/768) und Q (6/1875). Bestimme den Wachstumsfaktor. 6-2 = 4 Un vier Zeitschritten vergrößert sich der wert von 768 auf 1875 = a"). 768 a 1875 ត ។ a Der Wachstumsfaktor a beträgt 1.25 Nach einem Zeitschritt 1875 768 1,25 y = Beispiel: f (x) 0.5e + x² - 2x + 1 → Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Für die Ableitung von Exponentialfunktionen vom Typ f(x)= a (a> 0) gilt f'(x) = f'(0)-ax Es gibt eine Basis e 2,71828, für die die Exponentialfunktion mit f(x) = cx exakt mit ihrer Ableitungs- funktion übereinstimmt. Diese Zahl e heißt Euler'sche Zahl. Die zugehörige Exponentialfunktion f mit f(x) = e* heißt natürliche Exponentialfunktion. Für f(x) = ex gilt f'(x)=e*. Außerdem ist F mit F(x) = ex eine Stammfunktion von f. (1) Ableitung. (2) Tangente im P(^/f(1)). f(1) = 0,5 e ₁ + 1² - 2 1.1 m = f'(1) = 0.5·₁+2·1 - 2 = 0,se mx + b = 0,se 1 + b 0.5 b = O t(x)= 0.5e x → Der |: 768 ex = 6 X ein (6) = (n (6) (n (b) = 6 natürliche Logarithmus - Ableitung von Exponentialfunktionen → Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung ex = b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt x = in (b). Es gilt e = b und In lec) = C f'(x) = 0,5 ex + 2x - 2 -0.se 1,36 nimmt der wert um => P(1/0,50) 25% zu. Mit dem natürlichen Logarithmus kann man beliebige Exponentialfunktionen der Form f(x) = ax mit a>0 als Exponentialfunktion mit der Basis e darstellen. Es gilt a= ein(a) wenn man das Potenzgesetz (arjs = ars anwendet kann man die Funktion f(x) = ax wie folgt darstellen: f(x) = ax = (ein(a)) x = ein(a)-x f-0.25 h(x)=e* -2 -1,5 -1 -0,5 f-1 2,5+ 2- 1,5- -1 05+ Y g(x)=²x 1+ -1+ 0,5 → Exponentialfunktionen mit einer beliebigen Basis a> o der Basis e darstellen. Es gilt f(x) = a* Für die Ableitungsfunktion f' gilt dann - (n(a).x Außerdem ist F mit F(x) = inta) e in(a)-x f₁ f(x)=zekx Beispiel: e* = X 15 2 2,5 2 f0,25/ g(x) = ²x h(x) = ex 12 in (²) = inle-^) = -1 = f(0) ek.x h hat an x=1 den gleichen Funktionswert wie g an X = 0,5 X = O g'lo) = 2 → Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang ek. Tu er f'(x) = (n(a) = (n (a) a* in(a) a ist eine Stammfunktion von f. Eigenschaften der Exponentialfunktion: f(x) = cek.x es gilt für alle K & R f(0) = C hat keine Nullstellen Die Graphen zu fk (x) = cek:* und f-k (x) = ce-k-x Spiegeln sich an der y-Achse • für co verläuft der Graph oberhalb der x-Achse und ist links gekrümmt für co und ko ↳ lim f(x) = 0 X11 : Steigung von g ist doppelt so groß wie stei- gung von h h'(0) = 2 fist streng monoton steigend. ↳ lim f(x) = +00 1- f(x) - 2/1/2 lassen sich als e2x 2 x e (n(a)-x X • für c<o verlaufen die Graphen zu f(x) = ce unterhalb der x-Achse Sie er- geben sich durch Spiegelung der entsprechen den Graphen mit an der x-Achse. Exponentialfunktionen mit = (n (5) = 2 · (n (5) 0,805 für C> O und ko für beliebige x. ↳ f 1st ↳ lim f(x) = 0 streng monoton fallend →Exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme liegt vor, wenn ein Bestand von einem Zeitschritt zum nächsten um den gleichen Wachstumsfaktor a zu bzw. abhimmt. Den Bestand zum Zeitpunkt t kann man dann mithilfe einer Funktion f mit. f(t) = f (0) at bestimmen. Mit k= In(a) gilt auch f(t) = f(0) ek-t f' mit f'(t) = f (0) Die Ableitung Zeitpunkt t kekt beschreibt die Wachstums geschwindigkeit des Bestandes zum 4 lim f(x) = +00 Man nennt die Zeit, in der sich der bzw. Halbwertszeit TH weil f(Tv) = f(0) ·ek. Tv in (#) ergibt sich TH= K bei exponentieller Anfangs bestand verdoppelt bzw. halbiert, verdoppelungszeit Tv • 2 f(0), erhält man. ek Tv = 2, also Tv K bei ko. Entsprend Abnahme (k<0). Nicht nur der Anfangsbestand verdoppelt bzw. halbiert sich in der Zeit TV bzw. TH , sondern jeder beliebige Bestand, denn es gilt z. B. bei Abnahme (n(z) f(x+ TH) = f(0) ·@K. (x+ TH) Ic1-ekx → Beschränktes Wachstum Beschränktes Wachstum mit der Schranke s liegt vor, wenn die Differenz Zwischen einer Schranke s und dem Bestand zum Zeitpunkt t exponentiell abnehmen. Den Bestand zum Zeitpunkt t kann man mithilfe einer Funktion vom Typ f(t) = S-c·at (021) bzw. f(t) S-c.ekt (mit k < 0) bestimmen. Dabei ist cS- flo) und k= (n (a). Beispiel: wenn man aus einem Kühlschrank eine Flüssigkeit herausholt und in einem Raum stehen lässt, dann nähert sich die Temperatur der Flüssigkeit immer mehr der Raumtemperatur an. In der folgenden Tabelle sind Messwerte eines solchen versuchs (bei einer Raumtemperatur von 20°C) dargestellt. Die Temperatur des Getränks wurde jeweils im Abstand von 5 Minuten gemessen. tuzeit in Minuten) f(t) (Temperatur in °c) d (t) (Differenz zu 20°C) Wenn 20+ 15- 10+ Temperatur (in °C) 5+ O 5 Fig. 1: Temperaturverlauf der Flüssigkeit 10 15 20 O Zeit (in Minuten) 25 4 man die Messwerte fit) grafisch darstellt, so erkennt man, dass diese ansteigen und dass die stei- gung immer kleiner wird (vergl. Fig. 1). Stellt man auch die Differenz dit) = 20 f(t) zwischen den Messwer- ten und der Raumtemperatur grafisch dar, so kann man vermuten, dass die Differenz exponentiell ab- nimmt (vergl. Fig. 2). 16 5 9,3 10,7 20 15 10- 10 12,8 5- 7,2 Temperaturdifferenz (in °C) • 15 15,2 4,8 20 16,8 3,2 ♦ Zeit (in Minuten) 25 17,8 2,2 10 15 20 25 Fig. 2: Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Temperatur der Flüssigkeit Die Datenpunkte aus Fig. 2 können dann näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form. dit)= cekt (mit ko) beschrieben werden. Mit P(0/16) folgt direkt c= 16. k lässt sich z. B. durch Einsetzen der Koordina- von Q(25/2.2) in die Funktionsgleichung berechnen. Man erhält 2.2 = 16. ek. 25. Umformen ergibt. K = 25 · (n (=) = -0,08 und somit d (t) = 16e-0.08t ten nach Für die Temperatur der Flüssigkeit in °C f(t) = 2016 C -0.08€ Da die Funktionswerte sich der Außentemperatur immer mehr annähern, diese aber in dem Modell nicht. erreichen, spricht man von beschränktem. Wachstum. Die Raumtemperatur entspricht hier der Schranke S = 20. t Minuten erhält man dann die Modellfunktion f mit →Logarithmusfunktion und Umkerfunktion Eine Funktion of heißt umkehrbar, wenn es zu jedem y aus der Wertemenge von f genau ein x aus der Definitionsmenge von f mit f(x) y gibt. Die Umkehr funktion. der natürlichen Exponentialfunktion. f mit f(x) = ex heißt natürliche logarithmusfunk- In mit (n(x)= F(x); XER*. tion Die natürliche Logarithmusfunktion f mit f(x) = (n(x), XE R¹, hat die Ableitungsfunktion f'(x) mit f'(x) = 7. umgekehrt gilt, dass F mit F(x) = (n(x) eine Stammfunktion. von f mit f(x) = (mit x > 0) ist → Neue Funktionen aus alten Funktionen: Summe, Produkt, Verkettung • Gegeben sind die Funktionen u und v. Die Funktion ->Produktregel Beispiel (1) f(x) = (x² + 1).e* u(x) = x² + 1. v(x) = ex → Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion renzierbar, und es gilt. f'(x) = u(x) ·v (x) + u(x) · v²(x). (2) f(x) = f'(x) = u'(x) • v (x) + u(x) · v'(x) = (2x)-(ex) + (x² + 1) · (e*) = e* (2x + x² + 1) ex u(x)= = = x^ v (x) = ex U• v → Kettenregel → Ist mit (uv) (x) = u(v(x)) heißt Verkettung von u und v. f'(x)= u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x) = (-x-²) · (ex) + ( x-^) · (ex) = (-x²²+x-^) · e* = Beispiel: (1) f(x)= (5-3x)" u(x) = x 4 v(x) = 5-3x u'(x) = 2x V'(x) = ex (2) f(x) = 3·²x²-1 u(x)= 3:ex v(x) = 2x² - 1 f = Uv eine Verkettung zweier. differenzierbarer Funktionen f differenzierbar, und es gilt: f'(x)= u' (v(x)) v' (x). u'(x) = -x-² V'(x) = ex (3) f(x) = (x² - 1) @4x-3 ->Produktregel. u(x) = x² - 1 f'(x) = u'(v(x)). V'(x) = 4(5-3x) ³ (-3) = -12 · (5-3x) ³ u'(x) = 4x³ v'(x) = -3 u'(x) = 3.ex v '(x) = 4x f'(x) = u' (v (x)) - v²(x) = 3- @ ²x² - 1 4x = 12xe 2x²-1 (+).... u'(x) = 2x V(X) = 4x-3 v'(x) = Kettenregel = f'(x) = u(x) · v'(x) + u' (x). v(x) = (2x). le 4x-3) + (x² - 1) · (@4x - 3·4) = (4x² + 2x-4). e4-3x e 4x-3.4 f = u.v u und v mit f(x) = u(x) v(x) diffe- mit f(x) = u(v (x)), so ist auch. Kettenregel: V (x) = u(x) = ex √(x) = 4x-3 V'(x) = e 4x-3 4 e 4x-3 u'(x) = ex v'(x) = 4 → zusammengesetzte Funktionen untersuchen f(x) = 0 Achsensymmetrie f(x) = f(-x) Punktsymmetrie f(x)= -f(-x) für X₁>Xz gilt f(x₁) > f (x₂) für X^< X₂ f(x) = f(x₂) gilt Nullstellen Symmetrie Monotonie Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ? Eigenschaften zur untersuchung von Funktionen und. Graphen wie viel ist die Pflanze in den ersten vier wochen gewachsen wann nimmt die wachstumsgeschwin wo erreicht die Ableitung von f ihr digkeit am stärksten ab? Extrempunkte. → zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang Frage im Sachzusammenhang wann wächst die Pflanze nicht? Frage bei der Funktionsuntersuchung Wo hat die Funktion f Nullstellen? Krümmungs- verhalten Minimum ? Wendepunkte: Wo erreicht die Funktion f ihr Maxi- mum ? welchen orientierten Flächen- in halt schließt der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0; 4] ein Z f'(x) = 0 f"(x) #0 Linkskur ve: f'(x) > und f'(x) o und VZW bei f'(x) Rechtskurve: f"(x) < 0 Flächeninhalte A=fundx | f"(x)=0 und f"(x) = 0 f"(x)=0 und VZW bei f(x) Mögliches Rechenverfahren. Lösen der Gleichung f(x) = 0 Berechnung des f(t) dt Bestimmen von Hochpunkten; verhal- ten von f an den Definitionsrändern (Rand- werte) berücksichtigen Wie hoch ist die durchschnittliche welchen Mittelwert hat die Funk- Berechnung des Wachstumsgeschwindigkeit inner- tion. f im Intervall [0;4] ? Funktion mithilfe. 40 fitidt halb der ersten vier Wochen ? Bestimmen der wendepunkte von f; ver- halten von f' an den Definitionsrändern. (Randwerte) berücksichtigen. Integrals Mittelwertes der des Integrals: → untersuchung von zusammengesetzten Exponentialfunktionen → um einen besseren Überblick. über das verhalten von zusammengesetzten Funktionen. zu erhalten, ist es sinnvoll, neben den zuvor betrachteten Eigenschaften auch das verhalten für x→ ∞ bzw. für x-00 zu untersuchen. Bei ganzrationalen Funktionen wie f(x) = x³ -x wird das verhalten des Graphen für x→:00 vom summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt. Ist eine Funktion aus einer ganzrationalen Funk- tion und einer Exponentialfunktion zusammengesetzt, können u. a. folgende Fälle eintreten -2 4 2+ y=0 -2 O y f(x) = e-x Der Graph der Funktion f mit f(x) = ex nähert sich für X→ ∞ der x-Achse immer mehr an. Beispiel: f(x) = 4 2 Für xo Für x→ 00 x → O 4 x → 00 (n (x) 6 2 X -6 3 4 5 an. f(x) = 1 + ex 4- -4 -2 gilt für DEN, n = 1 gilt für neN, n = 1 →∞ Allgemein gilt: Für X→∞0 gilt für neN = x^.e-* →0 und Für X-00 gilt für gerade n EN: x^.e* - 0 und = x^.e-*. Für x → gilt für ungerade ne N xn.exo und e 2- O Der Graph der Funktion g mit g(x) = 1 + ex nähert sich für x → ∞ der Geraden mit der Gleichung y=1 immer mehr y=1 → untersuchung von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen xn x" 2 Eine Gerade, der sich der Graph immer stärker anschmiegt", heißt Asymptote. Der Ab- stand zwischen der Asymptote und der Kurve wird dabei beliebig klein. (n(x) → 0 und In (x) → und 00 -2 (n(x) (n(x) → Definitionsrändern. an. → 4- 2+ a) Definitions menge D+R* ver halten der Funktion an den (n(x) →-00 und f(x) = (n(x). →. f(x) → O ; Die X-Achse und die y-Achse sind Asymptoten des Graphen 0 Ø f(x)=x+ex Der Graph der Funktion h mit h(x) = x + e* nähert sich für x → ∞ der Geraden mit der Gleichung y=x immer mehr y = x 2 4 6 b) Nullstelle: 4·(n(x) = 0. = 1 Extrempunkte: f(x) = 4. f'(x) = 4x1-x-₁-4X-² (n (x) = 4₁ (1-(n(x)) -x-² f"(x) = 4·(-x-^1) · X-² +4·(1- (n(x))-(-2)-x-³ = 4·(2(n(x)-3)-x-3 f'(x) = 0 1-ln (x) = 0 x = e f" (e)=4-(2-3) e-3 ====< 0 fle) = 1,47 X₁ => HP (e/ \) (d) Vektoriale Geometrie → Punkte und vektoren im Raum AB= b1-81 Abstand zweier Punkte: A (a/az/as). bz - az 168-23/ r = r in (x) X - 4. (n(x) Die Koordinaten des vektors AB kann man aus den Koordinaten der Punkte. Alanlaz las) und B(ba/b₂/bs) bestimmen. Es gilt: 3 + B = () · (8) - () (39) In der Geometrie bezeichnet man die Länge eines Pfeils, der den vektor a repräsentiert, als Betrag des Vektor a Für den Betrag eines vektors a schreibt man Tal Für a gilt 15| = √² + a² + a² ¹. Sind zwei Vektoren. X-1 und 6. (:) 3 B(b₁/bz/ba) AB= √ (b₁-2₁)² + (bz-a₂)² + ( die summe der Vektoren a und 5 und und eine reelle Zahl r gegeben, dann heißt die Multiplikation des Vektors a' mit der zahl r. Einen Ausdruck wie (a+sbt. c² nennt man Linear kombination der vektoren a, 6 und 2. Die Zahlen r, s. und + heißen Koeffizienten. Wenn zwei vektoren vielfache voneinander sind, dann heißen sie kollinear. Die zu- gehörigen Pfeile sind parallel zueinander. so sind z. B. die vektoren = (-3) und b = (-10) kollinear, weil 2.5-b gilt. →D muss die Koordinate D(-1/3/5). Beispiel: Fehlenden Eckpunkt eines Parallelogramms bestimmen A(1/2/3), B(3/4/1) ,((1/5/3) 4D so bestimmen, dass ABCD ein Parallelogramm ist (A) AD = BC (Eigenschaft eines Parallelogramm) AD = BC OD S OA + BC BC= 1 00-000 2 Beispiel Dreieck untersuchen A(1/2/3), B(2/4/3) C(3/1/3) N → zeigen, dass das Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig. BC |BC| = √ ₁²+(-3)², 0² = √10 3-2 00 - 4 -3 AC- |AC| = AC AD 33 = AB= 2-1 *00 4-2 13-3 3-1 1-2 x = 1 IABI Geraden -2 AB' = => Z →Flächeninhalt berechnen 12. √5 VS → Punkt probe -1 2 O -1 gleich schenklig B 1 0 5 => gleich setzen: g:x² = 3 |AC| = √√√₂ + (-1)² +0² A(11-2/5) B(4/6/-2) AB Foere 00 AB' = 4-1 1 3 6-(-2) 8 -2-5, 3 |AB| = √1 2² ¹0² 8 Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form X Pru (r ER) beschreiben. Der Vektor P' heißt. Stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt P, der auf der Geraden g liegt. Der vektor u heißt Richtungsvektor. 2.5 FE = √5 = (2-1) + (-1·2) + (0-0) - 2 + (-2) = 0 GTR liefert: t= -2 A liegt auf g:x² V5 9:3². Prüfe, ob die Punkte A(-7/-5/8) und B(-2/3/5) auf gx' = 1 3+ St-7 3 II 1+2+ = -5 8 III 2-3t = 8 * -1 => + t 5 = t 5 000 000 2 -3 90° २ recht winklig 9:7 3 GTR liefert LB liegt nicht auf gx² keine Lösung. I.3.5t -2 3 II 1+ 2+ = 3 2-3t 5 →Gegenseitige Lage von Geraden Zwei Geraden g und h im Raum können. (1) sich schneiden: Sie besitzen einen gemeinsamen Punkt (2) zueinander parallel sein Sie besitzen keine gemeinsamen Punkte (3) zueinander windschief sein sie besitzen keine gemeinsam en Punkte und sind. Inicht zueinander parallel 3 -1 Die Geraden g und h sind identisch 2 (1) parallel 9:x- 1 Sich schneidende Geraden Zueinander parallele Geraden 6x3 64% I Die Geraden haben einen ge- meinsamen Punkt. Sie schnei- den sich. Fig. 1 Die Richtungsvektoren sind nicht zueinander parallel. 1 1 10 ja 1 und a identisch 2 liegt der stütz vektor 5 7 14 t 3 Liegt der Punkt P mit Idem Ortsvektor p auf der Geraden h² - q 3 00-00 -9 2 Punkt probe 3 Die Richtungsvektoren sind zueinander parallel. Die Geraden haben keine ge- meinsamen Punkte. Sie sind zueinander parallel. ja →Punkt P liegt nicht auf h: X² 8 Fig. 2 von g:x² auf 7 Die Geraden g und h sind zueinander parallel Zueinander windschiefe Geraden 64x3 nein 7+ 3r Fig. 3 Die Richtungsvektoren sind nicht zueinander parallel. Die Geraden haben keine ge- meinsamen Punkte. Sie sind zueinander windschief. sind zueinander parallel I s-ar 1 h:x²? 4-6r 0 sind die Richtungsvektoren u und v zueinander parallel? 3 - 9x und hix" 2 parallel ja -3 3 Die Geraden g und h schneiden sich GTR liefert keine Lösung Hat die Gleichung pr. u = + s. v eine Lösung? - 9 nein 3 nein Die Geraden g und h sind zueinander windschief. →g und h sind. parallel. (2) sich schneidene. Geraden 9: x² = 7 0000 h:x= 4 Die Richtungsvektoren 2 rin 9:x einsetzen: g: x² = | 7 Gleich setzen: 4 0000- 3 6 3 (3) wind schiefe Geraden g: x'. 6 + (-1). 2 000) 3 1 14 3 6 Gleichsetzen + r Die Richtungsvektoren 2 2 und :) :) 3 1 1 2 8 27 Die Geraden. g und h schneiden sich im Punkt P(51-511) 4 zu den Vektoren 8 und b toren a' Es gilt: zwei Vektoren. a. t 1 4 000 az 8 3₁ 1 az h: x² = 1 -6 und 0 -4 - 6 sind keine vielfachen voneinander: g und h schneiden -> Die Geraden 9 und h sind. wind schief und b = I 7+2r und b = II: 2+ 3r=-6+t Ia+r= A + 2t → zueinander orthogonale Vektoren-skalarprodukt 1 a bab₁ + a² b ² + as bs=0 ↳ Bei Geraden: beide Richtungsvektoren 4+t -4 1: 3.41. 1-45 II 6+ 8r = -65 6 II: 4+2r = 3+25 b₂ sind keine vielfachen voneinander: ba b₁ ba GTR liefert 1 = -1 und + = 1 sind genau 9 sich oder sind und h schneiden. GTR liefert: keine Lösung. sich oder sind windschiet. heißt der Term ал bu + az ba +23.68 Skalarprodukt aa der vek- dann zueinander windschiet. . or thogonal, a 15 wenn gilt. →Winkel zwischen Vektoren - skalarprodukt Für den winkel. ∞ zwischen den Vektoren und b 3-6 a b 151 161 cos(x) bzw. cos(x) = 151-161 A11-11-5) AB = BA = ↳ Größe des winkels zwischen den vektoren AB und AC AC 3 3 4 O B(3/2/-4) a (zwischen AB und AC ) : AB AC (£) (E) cos (a) IABI-IACI = VIT V25 A(11-1/1) Blzwischen BA und AC) BA AC COS(B) IBAI-IACI (2) IABI= √√2+3² +1²²= √14² |BA| √(-2) +(-3)² = (-1)" = √/14 A IAC | √4¹ +0² 3²² √23.5 -1 -8+0-3 √14:5 ((51-11-2) E: XORr. AB + SAC → Ebenen im Raum - Parameter form 0,5 (2-4)+(3:0) (4.3) B(1.5/1 / 0) 2 • VIS Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form (r.se R ữo, v = 8² ) beschrieben, wobei X der Ortsvektor eines beliebigen Punktes. der Hierbei sind die vektoren. u und V nicht zueinander parallel. Der Vektor P heißt Stützvektor und die beiden Vektoren u und V heißen. Spannvektoren. Die Gleichung XP+r+S.V heißt Parametergleichung der Ebene. -1 15:5 + S 126 C(0/1/1) -1 8.0.3 2 gilt: mit 0 x 180° €5 Punktprobe gleich wie bei Gleichung 54° lineares Gleichungssystem → Lagebeziehung von Ebenen und Geraden Gegeben ist eine Gerade 9:x-p+tu Falls die Gleichung p+t. ū = 9+r. V +S. W (1) genau eine Lösung hat, schneiden keine Lösung hat, sind die Gerade (3) unendlich viele Lösungen hat, liegt und eine Ebene EX+V + S.W. Gerade g und auf stellen und die Ebene E sich die die Ebene g und zueinander parallel die Gerade g in der Ebene E E lösen Ebene ist. → Geometrische objekte und situationen im Raum Mithilfe von Geraden - und Ebenengleichungen kann man. viele Fragestellungen zu geometrischen objekten und anderen sach zusammenhängen bearbeiten Will man z. B. untersuchen, ob die zwei Punkte P. (11/22/-2). Pe (-1/-1/2) auf derselben Seite einer gegebenen Ebene E liegen, lässt sich das mithilfe einer Geraden g durch P. und P₂ lösen: mit der Ebene E und ermittelt, ob dieser zwischen P₁. Man bestimmt. den Schnittpunkt der Geraden g P₂ liegt oder nicht. Eine Gleichung der Geraden g Den Schnitt punkt der Geraden g satz : 11 + t P(-1/2/1) Normalen form: ; GTR : -42 -23 بود 4 2 = (3/-217) X₁ → Das Vektorprodukt X 18.0 -5 6 34 Die beiden spann vektoren der Ebene E durch die Punkte mit der 1 0 0 - 1 Teelel 2 Ebene 3 -2 + S A 1 - 1 1 P₁ E: X Die Strecke zwischen PA und P₂ wird mithilfe der Geradengleichung. ist, liegt der Schnitt punkt. liegen beide Punkte auf →→> Normalengleichung und Koordinatengleichung durch Jede Ebene E lässt sich beschreiben eine Normalengleichung (x -P) = 0 mit einem stützvektor p und einem. - eine koordinatengleichung. 2x₁ + bx₂ + cx3 =d d = p., bei der mindestens einer der koeffizienten. a, b, c ungleich Ist ax + bxz + cx3 = d eine koordinatengleichung der Ebene & Normalenvektor n wobei 1 0 4 →Der Normalenvektor ist orthogonal zu beiden und P₂. S = 0 -5 III = 6 11 - 12+ = I 22 23t = g für ost = 1. von PA aus betrachtet außerhalb der Strecke PA P₂ derselben Seite der Ebene E. ist gegeben durch: + r 2 1 1 6+or+ S - 2 + 4t = 34+ or + 45 O 2 1 O -5 ros ·schnürsenkelprinzip: bei dem. opperator "berechne" beide spannvektoren mit u und v definieren: Buch cross P (u, v) + S mit null O ist. 50 ist o 9³x² = (8) Koordinaten form: 2 3x₁ + (-2)x+ 7x3 +1 -2 -1 = 0 = 3x₁ - 2X₂ + 7x32 = 0 3x₁2x2 + 7x3 = 2 Spannvektoren der Ebene E ^^ zz + t GTR Liefert: t = 24 (= -1.2 -1.0. erhält man mit dem 11-12 - 12 -23 beschrieben. Da += 2³² > 1 hinter dem Punkt Pz. Somit ein Normalen vektor = und sonst geht auch GTR: := menu - 7-1-1 3 zeilen. S=- 24 २५ von E. 1 Spalte E: X² = O 0 a x b S 000 ↳ mithilfe (:) DEFINITION (B) t 2 Tipp zur Berechnung 1 ... (2) X 3 4 G O X +t 2 1 az bs as bz a 3 ba la. be - a bo az ba 1 : (3) Ebene in koordinaten form: X₁ = 3 + 2 t X₂= 4 + t x3 = 7 - t रे O G THA O 2 O o 1-19 VEKTOR PRODUKT Schnürsenkelprinzip ->> Lage beziehung: Gerade und Ebene 1:10 des Vektorprodukt kann man den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen: EX= 2X₁ + 5x₂ = x3 = 49 g in E einsetzen. EX'= 2 (3+2+) + 5. (4+t) - (7-t) = 49 A 6 + 4+ + 20+ St - 7 +t = ५१ = 19 + 10t = 49 = 10t= 30 heißt das 3 xb Ap= la xbl axb orthogonal zu a' und b 0.100 0.01.2 2.0-0.0 = Vektor produkt von ā und b sind und bo' nicht kollinear 13xb|= √(-6)² +4² + 6²¹ #9,38 t = 3 in 9: einsetzen. für den Durchstoß punkt Es gilt trotzdem: (1) genau eine Lösung hat, schneiden. sich die keine Lösung hat, sind die Gerade 9 ... (3) unendlich viele Lösungen hat, liegt 0 -2 O A = 9,38 FE Gerade g und die Ebene E und zueinander die Ebene E die Gerade g in der Ebene E so ist der vektor parallel 9 h: x = I E 2 X₁ 2 3 t 2 (99) 3 8 3 3 4 + 5x₂ - XS =49 S₁ = ( 61010) Sz=(0/0/0) 53= (0/0/5) ++ + t E₁ 5x1+ 6xs = 30 • Analytische Geometrie parallel zu Xa - Ebene 2 -1 |XA| = √² → Abstand: Punkt - Ebene 2 3* X₁ X₂ und x3 in E einsetzen: 9. x² = 3 7 3 r in g einsetzen um zu ermitteln. Beispiel g Für die Gerade g gilt r X₁ = 3+at √25 = 5 X₂ = 25 r X 3 = Gegeben. EX. 3x² + 4x3 = 0 Abstand der Punkte A, B und ( von. der Ebene Beispiel mit A: Gerade aufstellen: Einsetzen in E 4-t 7-t 2 (3+2t) S-(4-+)-(7-+) = 49 64 ++ 20 - St-? +t = 49 19 = 49 M → E und g Ea X₁ Zxs = 6 SA (6/0/01 32 (0/0/0) S5 = (0/01-3) • parallel zu xa-Ebene (Lotfußpunkt - verfahren) O 3 sind parallel A(3/-1/7) B(6/8/19) 4 3 (113r) +4·(7+4r) = 0 - 3+ gr + 28 + 16 = 0 25 +25r = - X₁ = X₂ = = -1 -25 zueinander x3 = 7+45 ((-3/-31-4). => Abstand A zur 3+ or - 1 3r 1 - 25 1:25 3 + (-1) 3 @ 00 3 7 4 3 Ebene E Beispiel hi 2 (3+2)+5 (8-t) - (-3-4)= ५१ + 40-5t +3+t = ५१ = 49 6 + 4 49 →h liegt in E Beispiel i 2 (3+at)+5. (4++)-(7-6) = 49 = 49 6 + 4+ + 20+St-t 19 + 10t = 49 X 10t t i = 30 3 und E 3 = t = 3 in i + 3 schneiden sich einsetzen (Schnittpunkt) 2 XA = 1 Es 4X- 20 = 0 = 5₁ = (0/0/0) Sz= (0/0/0) 53= (0/0/5) •parallel zu 3 3 -1- (-4) 9 X₁ X₂ Ebene 7-3 7 O 3 SP (91714) Lotfußpunkt Beispiel: L Abstand, R. zu E 9 x² = 5 +S 2 07: -4 -2 3 R(51-4/3) (3) 2 2 RI 2 E (X-a) no = 0 11000 TENE Normaleneinheitsvektor: -> Abstand 3 → Hesse 'sche Normalen form Abstand. E: 2x₁2xz + x3 = 0 2. (5+25)-2-(-4-25) + 1 (3+5) = 0 Hesse' sche Normalenform Hierbei handelt es sich un eine Normalengleichung der Ebene, in der nominiert ist, d. h. die länge Incl - 1 besitzt => no Normaleneinheitsvektor P und 10+45 +8+45 +3+5 = 0 E₁ al+ 95 0 Hesse sche Normalen form bestimmen. = d= 95 | |= √₁² +2° +3²²¹ = √14 Hesse'sche Normalen form von S 0 X Punkt Ebene: P (4/4/5) E = -21 IX R1 = √(5)² + ( 5 ) ² + ( ³3³ ) ³ (Hessesche - verfahren) R für x einsetzen E 00€ E: X1 Xz -√49 = 7 X₁ 10010 [0010** 2 X3 = 0 2 = ormalenvektor n verwendet. wird, der ≈4.90 → Abstand Punkt - Gerade Ebene und Punkt gegeben - X₁ + 3x₂ + x3 = 9 E 1 orthogonale (Gerade). *0*0 5 schnitt punkt von g und E r = -2 9₁² = 3 Abstand F und FP. 0 -1-1) + 3 (5+3r) - 2+ra -9 - 5 5 -3 5 - (-1) -2 - (-4) 2 Gerade und Punkt g: x². + S P + (-2) 000 ૩૧૭ - S8 S = 2 s in gx² 3 Abstand 10-01- 3 Hilfsebene H₁ 3x1₁+ 2x2 - 4x3. = a 2 9: x² = 5 +2 Ir in g einsetzen) H: 3.5+ 2.1-4-1 = 13 zu = √36 6 -2 6 gegeben bestimmen. 1:29 = P (0151-2) E durch P bestimmen. X₁ = -r xz = 5+ 3r zwischens und P mit Hilfsgerade x3 = -2 +r ergibt den Punkt P in H einsetzen. um a zu erhalten P (5/1/1) Schnittpunkt von g und H bestimmen H: 35+ 35) 2-(-5+23) 4. (5-45) = 13 -15 + gs 10+ 45-20 + 16 S = 13 -45+295 = 13 I ૫ડ 000* 2 IFPI √(-2) 6² +2²¹ = √ 36 = 6 = F - 1 -3 F S →Abstand zweier windschiefer Geraden 9x = 3 3 Punkt G und Punkt H G(3-2r/2+r/ ₁+2r). H(4+33/3-23/3-23). Abstand G und H. ermitteln GH = (435) (3 + 2r) I: 1+35+ 25 (3-25)-(2-r). 1(3-25)-(1-2 r). 1-25-r GH 12-25-2r rund s 3-125 gr = g GH mal die Richtungsvektoren von 9:x² und in G und G(3-21/2+r/ ₁+ar). Abstand G und -2 2 -₁-(-3) 1333 9:x= 3 2 5 lineares Gleichungssystem : GTR 5-1 + r X 3 -2 -2 -2 - 2 1 H 2 H einsetzen. = (3-2-(3)/2 + (3) / 1+2· (3)) = (-3 / 3 / 4 ) H(4+33/3-25/3-25) = (4 + 3 · (-1)/3-2 · (-1)/3-2 · (-1)) = (-1/5/5) ermitteln. 2 h: x 3 2 = 0 3 1+ 35+2r 1-23-r 2-25-2r →Abstand zweier windschiefer Geraden 4 h: x = 3 3 II 135 +2r 4 1-25 3 -3 + 175 + 12 = 0 In= 12-232r liefert IGHT= √(-4) ()*(¹-√√ h:x² 3 #10 -2 -2 + S Normalen vektor der beiden Richtungsvektoren von h und g bilden 2 3 2 3 -2 O S= mithilfe einer Hilf sebene -1 = √2+2+1²²= √5 3 2 Ebene in Normalen form aufstellen. 3 000 X E 2 2 Hesse' sche Normalen form mit To X₁ To[ee] d (P,E) = 9: x² = → Schnitt winkel von Gerade und Ebene unter dem schnitt winkel y einen Geraden g und einer Ebene E versteht man den winkel zwischen der Geraden g und der Geraden s, welche durch senkrechte Projektion. der Geraden g auf die Ebene E entsteht. Er liegt zwischen 0° und 90° schnittpunkt Sin y = im²1.161 m' 2 2 3 00 0010 1 5 Im= √√√2 + 1² + (-2)² = √T 178²-71 Sin y 1.11 3 von g sin (0,2673) = 15.5° Im = वयाप O (e) stochastik 3 2 o = √(np) (1-P) > 3 E: und E: schnittwinkel 2 3 00 1 1-2 In²1 √√3² 1² +2²¹ = -√√/14² 0,2 673 3.6=2 Stochastische unabhängigkeit = 2.3 3 Fº 0 +11+ (-2) 2 = 6+1+(-4) = 3 P (ANB) = P(A) P(B) Die stochastische unabhängigkeit von Ereignissen impliziert, dass das Eintreten des einen keine Auswirkung nennt das Ereignis A stoch- P(A) nicht davon beeinflusst auf die wahrscheinlichkeit des Eintreten des anderen Ereignis hat. Man astisch unabhängig von dem Ereignis B. wenn die wahrscheinlichkeit. wird Dabei ist es egal, ob das zweite Ereignis eintritt oder. nicht. Laplace Bedingung Bedingungen Bernoulli - Experiment: 4 nur zwei mögliche Ereignisse 9 1. P ↳n-malige Durchführung ohne Änderung der wahrscheinlichkeit Komulierte Wahrscheinlichkeit ↳ höchstens k Treffer P (x≤ K) 4 weniger als K-Treffer P(x<K) - P(x (K-1)). ↳mindestens K-Treffer P(XZK) 4 mehr als K-Treffer P(x >K) 4 mindestens k und Binomialverteilung Bernoulli Experiment = Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen • Binomialverteilung X ist Bin nip - verteilt ↳n - Länge der Bernoulli Kette 4 P-Treffer wahrscheinlichkeit · wahrscheinlichkeit für genau k-Treffer: (2) von Bernoulli: P(X=K) = 4 Formel ↳ GTR binompdf" höchstens 1-Treffer • Erwartungswert (mü) 4 N= n.P · Standard abweichung. 나 o vin・p). (^-P)' • Komulierte wahrscheinlichkeit (höchstens k- Treffer) ↳ P(x = k) = P(X=0) + P(x=1)... + P(x= n) ↳G TR: "binomcdf" 2 Fragestellungen (1.) P(x= k) oder •Histogramm = Darstellung der Wahrscheinlichkeiten für jeden Treffer k in einem th 3 (2.) n gesucht (4.) k gesucht: 7 8 9 (3.) p gesucht ausprobieren "Lists" P(Ks XS () 10 ausprobieren ph n P(x≤ K) gesucht → GTR (1-р) п-к Definition Binominiallisions Mit Hilfe des Binominiallifizienten wann beredinet werden, auf wie viele Arten man k Objelite aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen lam (ohne zurüchigen, ohne Beachtung der Rheinfolge). Der Bino- niathoefficient ist also die Anzahl der l-elementigen Tailmenge einer n-ele- mortigen Menge. Er berechnet sich so (~) = (0-1)... (0-l+ 1) Beachte is gilt. () 1. GTR: menu-S53 Balkendiagramm & Regeln (gelten wenn & > 3); Testen von Hypothesen •Einseitiger Hypothesentest 4 Stichprobenumfang n. wahrscheinlichkeit p und Signifikanzniveau x festlegen 4 Anwendung. 4 PIN- & X= N+Q) 68,8%. PIN-20 ≤ x ≤ N + 20) = 95,4%. PIN-30s x = N+30) * 99,7%. 4 L wenn man vermutet, dass p in wirklichkeit größer, bzw. kleiner ist es wird eine Stichprobe vom Umfang gemacht x ist B nipo verteilt. L linksseitiger Test • Nullhypothese Ho PZ Po • Gegen hypothese H₁. pe po • Ablehnungsbereich: [09₁] → P (x≤g₁) s -N-O Entscheidungsregel Anwendung: -zweiseitiger Hypothesen test Stichprobenumfang n, wahrscheinlichkeit p und signifikanzniveau - Но : р= Ро rechtsseitiger Test . Nullhypothese Ho p> po • Gegen hypothese H₁ Ablehnungsbereich. [g₂; n] → P(x = g₂) - 1- P(x=g₂-1) → NO wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich landet wird Ho verworfen Ansonsten wird Ho angenommen. Sigma-Umgebungen man überprüft, ob die Annahme zweifelt werden muss es wird eine Stichprobe vom Umfang n durchgeführt X ist Bpin- verteilt. Nullhypothese Signifikanzniveau 10% Signifikanzniveau 5% Signifikanzniveau 1% dass die 4 Gegen hypothese H₁. P + Po Ablehnungsbereich A = [o; g₁] und [ga in] • P(x9₁) == und P(x=g₂) = 1- P(x² g ₂-1) == pe po Treffer wahrscheinlichkeit genau Po ist, be - als po festlegen Entscheidungsregel: wenn das Stichproben ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird Ho worfen. Anstonsten wird Ho angenommen. zweiseitiger Test 1,64 σ 1,96 0 2,58 σ einseitiger Test 1,28 o 1,64 o 2,33 0 ver- · Fehler erster Art: ↳ Ho Hypothese wird verworfen, obwohl Ho wahr ist. → Irrtumswahrscheinlichkeit. P(x g₁) / P(x=9₂) / P(x² g₁) u. P (X= ga) → man berechnet den Ablehnungsbereich • höchstens so groß wie das signifikantniveau •Fehler 2 Art: Ho Hypothese wird nicht verworfen, obwohl man hat eine zweite wahrscheinlichkeit gegeben ↳man rechnet. Pn, neue wahrscheinlichkeit (Annahmebereich) Ho falsch ist Glücksspiel ,,Tor" oder ,,Rot" Ein Glücksrad ist in drei Felder mit den Bezeichnungen T, O und R geteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zei- ger auf einem bestimmten Feld stehen bleibt, beträgt P(T) = 0,5 bzw. P(R)=P(O)=0,25. Es gelten die folgenden Spielregeln: Das Glücksrad darf maximal dreimal gedreht werden. Gewinne gibt es für die Ergebnisse,,TOR", "ROT" sowie für „TTT", ,000" und, RRR". Wenn kein Gewinn mehr möglich ist, endet das Spiel vorzeitig. a) Begründen Sie, dass mit 2-0,5-0,252 +0,53 +2.0,253 die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dass ein beliebiger Gewinn erzielt wird. Vervollständigen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Tabelle. Ergebnis Wahrscheinlichkeit TOR 32 Ergebnis Auszahlung ROT 0.5-0.252 32 TOR 20 € b) Das Spiel wird mit einem Einsatz von 3,50 € gespielt. Die Tabelle enthält die Auszahlungsbeträge im Fall eines Gewinns. TTT ROT 20€ TTT 5€ 000 64 000 50€ Rechnen Sie im Folgenden mit p = weiter. 16 RRR 0.255 RRR 50€ sonstige 500 00 sonstige 0€ Weisen Sie rechnerisch nach, dass ein Spieler langfristig einen Verlust von 6,25 Cent pro Spiel macht. Bestimmen Sie eine veränderte Auszahlung für den Fall,TTT", sodass das Spiel fair ist. c) Die Wahrscheinlichkeit p steht für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spiel vorzeitig nach dem zweiten Dreh endet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p. Es werden 2000 Spiele betrachtet. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl an Spielen, die vorzeitig nach dem zweiten Drehen enden. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X binomialverteilt ist. Bestimmen Sie das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% liegen. Als Länge Leiner 20-Umgebung wird die Differenz zwischen der oberen und der unte- ren Grenze der Umgebung bezeichnet. Bei einer unbekannten Anzahl an Spielen hat die 20-Umgebung eine Länge von L = 84. Bestimmen Sie eine zugehörige Anzahl an Spielen. d) Y sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert 875 und der Standardabweichung o = 22,19 Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 1-875;22.19(x) dx für reelle Zahlen a und b mit a ≤ b. Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Werte von Y mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% liegen. STOCHASTIK