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(a) Eigenschaften →> Ableitung: -3 + -Z - 1 f(x) f'(x) f"(x) f " (x) Lerste Ableitung. L> zweite Ableitung: L>dritte Ableitung: f(x) = 5 f(x) = x² 5 f(x): X f (x) = 3.x y-Achse ->Extrem stellen: -1 wendestellen -2 Z Þ erste Ableitung: 1. ANALYSIS ganzrationaler Funktionen 1 Nullstelle Extremstelle. Nullstelle gibt an, wie schnell • Steigung VZW - Kriterium: f'(x) = 0 f'(x) 5.x + Z f'(x) = 1 f'(x) = 3·6·x wenn => 5-1 + 3 6-1 VZW + nach - => HP nach + => ΤΡ • gibt an, wie schnell sich die steigung von f(x) ändert • Änderung der Steigung: „Krümmung" des Graphen L> linksgekrümmt ↳> rechtsgekrümmt ↳geradeaus = = = • Wenn f"(x) = 0 kann eine wendestelle vorliegen L> f (x) < 0 => links →> rechts gekrümmt → wendepunkt L> f" (x) > 0 →wendepunkt rechts-> links gekrümmt VZW - Kriterium. L> f¹" (x) = 0 5x4 + 4 18x5 5 dann WP 6 Wendestelle Extremstelle Nullstelle 7 8 â Wendestelle Extremstelle Nullstelle sich die Funktionswerte von f(x) ändern. 9 Wendestelle Extremstelle f"(x) > 0 TP (f'(x) wächst streng monoton) positiv negativ f"(x)< 0_HP (f '(x) nimmt streng monoton ab) neutral f" (x) = 0 f(x)= 8x5 f'(x) = 40 x 4 f"(x) = 160 x f (x) = 480 x² X-Achse 3 wendestelle zweite Ableitung dritte Ableitung Extremstellen: f(x) = - 1x4 (1) alle Ableitungen bestimmen f'(x) = -1/2 x ³ - x² f"(x)=x² 2x f" (x) = x - 2 X₁ = O (2) notwendige Bedingung. f'(x) = 0 -2x³x² = 0 x² (-1/2 x - 1) = 0 GTR liefert : = (3) hinreichende Bedingung a) zweite Ableitung f'(x) = 0 v f" (x) = 0 f" (0) = f" (0) O f" (-2) = - =-(-2) ² - 2.(-2) f" (-2) = 2 <0 X³ + 1 L> + => - X z = 2 ²/²/0² -2.0 . b)...
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VZW- Kriterium. f'(-3) 4.5 f'(-1) = - 1/2 X = -2 fl-2) = 1/3/3/2 HP (-2/13) (4) Hochpunkt bestimmen: 3x + ² X → wendestellen: => • rechtsgekrümmt HP f(x) = (x³ + 3x² + 3x −7) X^ = -1 rechtsgekrümmt (1) alle Ableitungen bestimmen: f'(x) = (3x² + 6x + 3) f" (x) == (6x + 6) f"(x)= = 6 = 3 (2) notwendige Bedingung: f" (x) = 0 (6x + 6) = O ein Muss O X z = 0 1-4 1. 롭 HP wenn f" (x) = 0 (3) hinreichende Bedingung a) dritte Ableitung: f" (x) = 0 v f" (x) f" (-1) 롭 f"" (0) >> O L> + b) VZW - Kriterium: f" (0) = 4 f" (-2) = 2 = a > O (4) Wendepunkt bestimmen: X = - 1 f(-1)= - 1 (1) Skizze machen: b A = a b 20 = Links → rechts -> Extremwert probleme mit Nebenbedingung: Aufgabe: wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man mit einem 20m langen zaun ein- kann ? zäunen a = 0 U = 2 a + 2. b da U = 20 links rechts links -> rechts (2) Hauptbedingung bestimmen: › passende Funktion aufstellen. L>Formel: Fläche eines Rechtecks 2a + 2 b ein Muss, wenn f" (X). = 0 20 m = 20 m 2b = 2a 10m - b = a 10m-b 2a + 2.b => WP (3) Nebenbedingung aufstellen > gegeben: u = 20m ↳in mathematische Schreibweise umschreiben > U = 20 m. WP WP > Fläche muss maximiert werden (4.) Nebenbedingung umformen. Nebenbedingung so umformen, dass eine variable. allein auf einer Seite der Gleichung steht 1-2b 1:2 (5.) Variable in Hauptbedingung einsetzen: > A = a b (Hauptbedingung) > a durch A = (10m -b) b A = 10m. b-b² (6.) Extremwert berechnen: > bei quadratischen Funktion ist der Extremwert immer der scheitelpunkt > Scheitelpunkt form mit erster Ableitung oder quadratischen Ergänzung ↳ Scheitelpunkt: Minimum oder Maximum einer Parabel (nach oben geöffnet: TP I nach unten geöffnet: HP) 10 2b = 0 = -10 notwendige Bedingung: A(b) = 10b - 6² A' (b) = 10 - 2b. A (6)=0 - 2b b a = 10m - b a = 10m - 5m a = 5m. = 5m (7.) Zweite variable bestimmen: > mithilfe der umgestellten Nebenbedingung →Beispiel 1: -2 -1 10m-b ersetzen. Ergebnisse überprüfen a und 6 in Hauptbedingung einsetzen: A = a b = 5m. 5m = 25m² y 2- 1+ => Zielfunktion. →Ganzrationale Funktionen bestimmen. 10 -2- -3+ H(1/2) 1 - 10 1: (-2) X Antwort: wenn man mit einem 20m langen Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen möchte, dann müssen die Seitenlängen des Rechtecks jeweils sm lang sein. Die Fläche des Rechtecks ist dann maximal und beträgt 25 m ² 1 12 Fig. 1 (1.) überlegen, welchen Grad in die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n+1 Para- metern notieren. hinreichende Bedingung: A(b) = 0 A" (b) 0 A" (b) = -20 : (2.) Aufstellen geeigneter Gleichungen für fi f'.f" aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mind. n+ 1 Gleichungen. (3.) Lösen des linearen Gleichungssystems. (4.) Funktionsgleichung notieren und kontrollieren. HP > Gegeben: HP (1/2) Graph . Hochpunkt berechnen: A(S) = 10m.5-5² = schneidet 3. mal die x- Achse Som 25 25 S(5/25)
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