Lerne Rotationskörper Volumen und Kettenregel einfach!

Study with Leni

18.10.2025

Mathe

Lernzettel Mathe Q1 Klausur Nr.2

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Spezielle integrale

2.876

•

18. Okt. 2025

•

2 Seiten

Lerne Rotationskörper Volumen und Kettenregel einfach!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Study with Leni

@studywithleni_cedcf6

Die Zusammenfassung behandelt wichtige mathematische Konzepte für Klausuren, darunter Rotationskörper... Mehr anzeigen

E-Funktion, Logarithmus und Wendetangenten

Dieser Abschnitt behandelt die e-Funktion, die Logarithmus-Funktion und das Konzept der Wendetangenten. Die e-Funktion wird als f $x$ = a · e^x dargestellt, wobei ihre Ableitung f' $x$ = a · d · e^(d·x) ist.

Highlight: Bei der Ableitung der e-Funktion wird die Ableitung des Exponenten vor das e gezogen.

Die Logarithmus-Funktion wird als f $x$ = ln $x$ eingeführt, mit der Ableitung f' $x$ = 1/x.

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus (ln) ist der Logarithmus zur Basis e.

Das Konzept der Wendetangente wird vorgestellt. Eine Wendetangente ist die Tangente an einem Wendepunkt einer Funktion.

Definition: Eine Wendetangente ist eine Gerade, die die Funktion in ihrem Wendepunkt berührt und deren Steigung durch die erste Ableitung an diesem Punkt bestimmt wird.

Die Gleichung einer Wendetangente hat die Form y = mx + b, wobei m mithilfe der ersten Ableitung berechnet wird.

Diese Konzepte sind besonders wichtig für die Analyse von Rotationskörpern und die Lösung von Extremwertaufgaben. Sie bilden die Grundlage für fortgeschrittene mathematische Anwendungen, wie sie in einer Facharbeit Rotationskörper oder bei der Erstellung einer Rotationskörper Präsentation vorkommen können.

Example: Bei der Ableitung Logarithmus Basis 10 oder der Ableitung log zur Basis a werden ähnliche Prinzipien wie bei der Ableitung log(x) angewendet, jedoch mit unterschiedlichen Konstanten.

Diese Themen sind oft Gegenstand von Rotationskörper Animationen und interaktiven Rotationskörper Darstellungen, die das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte erleichtern können.

Rotationskörper und fortgeschrittene Ableitungstechniken

Dieser Abschnitt befasst sich mit den grundlegenden Konzepten von Rotationskörpern und fortgeschrittenen Ableitungstechniken. Rotationskörper entstehen, wenn eine Funktion um eine Achse rotiert wird. Das Rotationsvolumen um die x-Achse wird durch die Formel V = π ∫ (f(x))² dx berechnet.

Definition: Ein Rotationskörper ist ein dreidimensionaler Körper, der durch die Rotation einer zweidimensionalen Fläche um eine Achse entsteht.

Uneigentliche Integrale werden eingeführt als Integrale mit unendlichen oder nicht definierten Grenzen. Sie werden mithilfe von Grenzwerten berechnet:

∫ f $x$ dx = lim $∫ f(x) dx$

Highlight: Bei uneigentlichen Integralen ist es wichtig, einseitige Grenzwerte zu betrachten, insbesondere bei der Annäherung von rechts $0+$ oder links $0-$ .

Die Kettenregel wird als wichtige Ableitungstechnik vorgestellt. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion als Komposition zweier Funktionen dargestellt werden kann:

f' $x$ = u'(v) · v'(x)

Dabei ist u(v) die äußere Funktion und v(x) die innere Funktion.

Beispiel: Für f $x$ = e^ $4x+5$ ergibt die Anwendung der Kettenregel: f' $x$ = e^ $4x+5$ · 4

Die Produktregel wird ebenfalls erklärt. Sie wird verwendet, um das Produkt zweier Funktionen abzuleiten:

f $x$ = u(x) · v(x) f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + u(x) · v'(x)

Beispiel: Für f $x$ = x² · e^ $3x$ ergibt die Anwendung der Produktregel: f' $x$ = e^ $3x$ $2x + 3x²$

Diese Ableitungsregeln sind fundamental für die Differenzfunktion von komplexeren mathematischen Ausdrücken und spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse von Rotationskörpern und der Lösung von Extremwertaufgaben.

Wir dachten, du würdest nie fragen...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

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Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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E-Funktion, Logarithmus und Wendetangenten

Dieser Abschnitt behandelt die e-Funktion, die Logarithmus-Funktion und das Konzept der Wendetangenten. Die e-Funktion wird als f $x$ = a · e^x dargestellt, wobei ihre Ableitung f' $x$ = a · d · e^(d·x) ist.

Highlight Bei der Ableitung der e-Funktion wird die Ableitung des Exponenten vor das e gezogen.

Die Logarithmus-Funktion wird als f $x$ = ln $x$ eingeführt, mit der Ableitung f' $x$ = 1/x.

Vocabulary Der natürliche Logarithmus (ln) ist der Logarithmus zur Basis e.

Das Konzept der Wendetangente wird vorgestellt. Eine Wendetangente ist die Tangente an einem Wendepunkt einer Funktion.

Definition Eine Wendetangente ist eine Gerade, die die Funktion in ihrem Wendepunkt berührt und deren Steigung durch die erste Ableitung an diesem Punkt bestimmt wird.

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Example Bei der Ableitung Logarithmus Basis 10 oder der Ableitung log zur Basis a werden ähnliche Prinzipien wie bei der Ableitung log(x) angewendet, jedoch mit unterschiedlichen Konstanten.

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Rotationskörper und fortgeschrittene Ableitungstechniken

Dieser Abschnitt befasst sich mit den grundlegenden Konzepten von Rotationskörpern und fortgeschrittenen Ableitungstechniken. Rotationskörper entstehen, wenn eine Funktion um eine Achse rotiert wird. Das Rotationsvolumen um die x-Achse wird durch die Formel V = π ∫ (f(x))² dx berechnet.

Definition Ein Rotationskörper ist ein dreidimensionaler Körper, der durch die Rotation einer zweidimensionalen Fläche um eine Achse entsteht.

Uneigentliche Integrale werden eingeführt als Integrale mit unendlichen oder nicht definierten Grenzen. Sie werden mithilfe von Grenzwerten berechnet

∫ f $x$ dx = lim $∫ f(x) dx$

Highlight Bei uneigentlichen Integralen ist es wichtig, einseitige Grenzwerte zu betrachten, insbesondere bei der Annäherung von rechts $0+$ oder links $0-$ .

Die Kettenregel wird als wichtige Ableitungstechnik vorgestellt. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion als Komposition zweier Funktionen dargestellt werden kann

f' $x$ = u'(v) · v'(x)

Dabei ist u(v) die äußere Funktion und v(x) die innere Funktion.

Beispiel Für f $x$ = e^ $4x+5$ ergibt die Anwendung der Kettenregel f' $x$ = e^ $4x+5$ · 4

Die Produktregel wird ebenfalls erklärt. Sie wird verwendet, um das Produkt zweier Funktionen abzuleiten

f $x$ = u(x) · v(x) f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + u(x) · v'(x)

Beispiel Für f $x$ = x² · e^ $3x$ ergibt die Anwendung der Produktregel f' $x$ = e^ $3x$ $2x + 3x²$

Diese Ableitungsregeln sind fundamental für die Differenzfunktion von komplexeren mathematischen Ausdrücken und spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse von Rotationskörpern und der Lösung von Extremwertaufgaben.

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