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Lernzettel_ Vektoren - Geraden und Ebenen

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 Ich kann den Abstand von zwei Punkten berechnen.
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Für den Abstand zweier Punkte A(a, la, la¸) und B (b₁/b₂/b) im
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Lernzettel: Gerdaden - Abstand von zwei Punkten - Punktprobe - Parametergleichung - identisch, parallel, windschief oder schneiden - Winkel Lernzettel: Ebenen - Parameterform - Punktprobe - Lage einer Geraden zur Ebenen

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Ich kann den Abstand von zwei Punkten berechnen. 2 Für den Abstand zweier Punkte A(a, la, la¸) und B (b₁/b₂/b) im dreidimensionalen Koordinatensystem gilt: AB=√ (b₁-a²³+ (b₂-a₂)² + (b3-93)² Betrag mit GTR: norm (a) oder norm ([]) Lernzettel: Geraden Ich kann Punkte einer Geraden angeben. Geradengleichung: -+t3 = Stützvektor t = Parameter 3= Richtungsvektor > um Punkte auf der Geraden anzugeben, muss man einen beliebigen Wert für t einsetzen Ich kann überprüfen, ob bestimmte Punkte auf einer gegebenen Gerade liegen. 1. Punkt mit Geradengleichung gleichsetzen 2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems 3. Auflösung der einzelnen Gleichungen (GTR: linSolve-Befehl) > Wenn für t bei jeder Gleichung der gleiche Wert rauskommt, liegt der Punkt auf der Geraden. Wenn dies nicht der Fall ist, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Ich kann die Parametergleichung einer Geraden bestimmen. 12=2+t. 3 g Formel: ↓ Richtungsvektor Parameter Stützvektor (ein Punkt) b₂-az 63-03, Beispiel: Beispiel: auch möglich zuerst Vektor AS ausrechnen und nur die Ergeb- nisse unter die Wurzel schreiben (+ quadrieren). Geradengleichung t = 1 Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt ungefähr 3,46 LE (Längeneinheiten). g: 4. für t eine Zahl einsetzen: 2. Beispiel: B Ž in g > (:) P (31015) liegt auf der Geraden. I 1 A (31211) B (Tq13) -^ A. Gleichsetzen: IABI= √(5-3)² (4-2)² + (3-1)² 2 3,46 7 2 -1 = S 1-12/ 1-3 AB= Auflösung g (8.9 + t. ·3 -8/ + 1. S + t. -6 des Las: 7=2+5t 5 = St A = t II -12=-3+(-9) t -9 = -9t A = t -9/ A -(3)--(0) -A + t. Gleichung aufstellen: ..:)..:) g³ 1-2 1:5 Beispiel: gegeben: Richtungsvektor bestimmen: 6 · 2 2 AB= |ABI 3 O S | +3 |: (-9) -4 2 → Der Punkt liegt auf der Geraden. A (71-11-12) 2. LGS aufstellen: 7 = 2 + SE I I...

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-1=5+(-6)Ł II-12=-3+ (-9) t A (21411) B (11612) I -^=5+ (-6) t -6= -6t ^=t! 1-5 1:(-6) (daraus Parameter- gleichung bilden) Ich kann entscheiden, ob zwei Geraden identisch oder parallel sind. 1. Richtungsvektor der einen Geradengleichung mit t• den andern Richtungsvektor der anderen Geradengleichung gleichsetzen 2. Überprüfung, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind LGS aufstellen - die erste Zeile der Gleichung nach t auflösen - t in die anderen beiden Zeilen der Gleichung einsetzen > kommt ein wahres Ergebnis heraus? - >ja: Geraden sind parallel & ggf. identisch > nein: Geraden sind windschief zueinander oder schneiden sich Wenn ja: 3. Stützvektor einer Gleichung mit der anderen Gleichung gleichsetzen & vereinfachen 4. erste Zeile der Gleichung nach t auflösen 5. Ergebnis von t in die zweite und dritte Zeile der Gleichung einsetzen - wahre oder falsche Aussage? > wahr: Der Punkt liegt auf der Geraden = die beiden Geraden sind identisch und parallel zueinander > falsch: Der Punkt liegt nicht auf der Geraden = die beiden Geraden sind parallel, aber nicht identisch Ich kann bestimmen, ob Geraden windschief sind oder sich schneiden. 1. Überprüfung, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind >ja: Geraden sind parallel & ggf. identisch > nein: Geraden sind windschief zueinander oder schneiden sich Wenn nein: 2. Gleichsetzung der beiden Geraden 3. das lineare Gleichungssystem vereinfachen 4. das lineare Gleichungssystem aufschreiben 5. LGS mit linSolve-Befehl oder schriftlich lösen - schriftlich: > zwei Zeilen des LGS nach den Parametern auflösen (Addition, Gleichsetzen oder Einsetzen) > Parameter in die übrige Zeile einsetzen > wahre oder falsche Aussage? > wahr: Geraden schneiden sich > falsch: Geraden sind windschief Wenn wahr: 6. Schnittpunkt S bestimmen, indem man einen Parameter in eine der Geradengleichungen einsetzt Beispiel: gegeben: g: 1. Richtungsvektor mitt. = t 2 I 2. Vielfache voneinander ? I = -6 -12 1 à 1 3 = 6 -3/ -9, I 3 (-3) -9 5 At = t = -3 ·18 = t· Ž I Aussage ✓ wahre Aussage. Also sind die beiden Geraden zueinander parallel. 3. Stützvektor mit anderer Gleichung gleichsetzen & vereinfachen 3 3 88-9 18 6 t. 6 H 3.2= 6 3 3 4. erste Zeile noch & auflösen I -3. 3t 1:3 -^= t -A8 = (-1).6 5 = (-1)-9 2 t. 0 ^ -6 -12 + t. S 1: A 3 6 -9, 2 S. & in die anderen beiden Zeilen einsetzen Beispiel: 1 gegeben: g₁ 2 2 + r. 2t = 0 t = 0 O 1 3 1. Vielfache voneinander ? 2 wahre Der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Damit sind g. zueinander parallel, aber nicht identisch. 1:2 Richtungsvektor gleichsetzen 1. (-2) 1:2 1 2 -3 falsche Aussage x falsche Aussage x 5. LGS lösen (schriftlich) A H 2r -S -2x+25= -6 Addition 2s= -5 S = 2,5 2 O 1 O ·-6--0)-(3) S. 1-1/ h: 2 T S ¡ 3 6 O Die Geraden Sind windschief zueinander oder schneiden sich. sin r + 2,5 = 3 r = 0,5 + t. 2 h: x = 3 + 5. 4 t in die anderen Zeilen 0 = 1 I T 2. Gleichsetzen der beiden Geraden & (3) vereinfachen 2 2 [email protected] 1-8-8 3 S. 2 O 1 -1 gund h r-s falsche Aussage 0 = -1 falsche Aussage 4. LGS aufschreiben I 2r T H -S I 3 C 1 9/ 3 ris in I 1-2,5 -0,5=1 falsche Aussage = Die Geraden schneiden sich nicht. Somit sind die beiden Geraden wind- Schiel zueinander. Ich kann die Lage von Geraden allgemein ermitteln. Zwei Geraden g und h des Raumes können: - sich schneiden - zueinander parallel sein - zueinander windschief sein - identisch sein Ich kann entscheiden, ob zwei gegebene Vektoren orthogonal sind. orthogonal: Winkel beträgt 90 Grad ist immer dann, wenn das Skalarprodukt = 0 ist ali 2.b =0 ist allgemeine Formel des Skalarprodukts: Wenn 2. b = a·ba+az b2 + 23-63 Skalarprodukt mit GTR: dotp (a,b) oder dotp ([];[]) Ich kann zu einem Vektor einen orthogonalen Vektor bestimmen. 1. gesuchter Vektor mit Parametern ausfüllen 2. Skalarprodukt mit Parametern ausrechnen, Ergebnis = 0 3. für die Parameter beliebige Zahlen einsetzen, sodass Gleichung stimmt Ich kann den Winkel zwischen Vektoren berechnen. allgemeine Formel: B cas (α) = Tal·151 Ta (Skalarprodukt durch den Betrag) Winkel mit GTR: x= COS dot (a,b) ;)) norm (a)-norm (6) allgemeines Vorgehen: gemeinsamer ja identisch Beispiel: gegeben: Beispiel: gegeben: 3= 3. Punkt? gesuchter X y 2 2.6 -1.6+2·1+ 4·(-1) = -8 Beispiel gegeben: cos x : 3 -4 2. 2 4 überprüfe, ob die Vektoren orthogonal zueinander sind. cos x = x nein cas α = parallel = Die Vektoren & und I sind nicht zueinander orthogonal. २२ betebige 2.5 = 2·2+2-0 + 1. (-4) Richtungsvektoren Vielfache? 2 2 2 à 2. Skalarprodukt mit Parametern ausrechnen 2². B = 2.x + ². y + 1.2. Zahlen einsetzen: = cos-1 1 3 S 2.6 121.151 57° 6 Vektor mit Parametern ausfüllen Geraden schneiden sich دار 19 √√35 √35 A 3·3+ 5·1 gemeinsamer ܘܝ nein Schnittpunkt? S S LD nicht O = 0 3 19 (VESE) 35 35 nein windschief I cos-1 Ich kann Ebenen mithilfe der Parameterform beschreiben. Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form beschreiben (Parametergleichung): + r.U+S· Lernzettel: Ebenen ✓ Ortsvektor Stützrektor Sponnvektoren Hierbei sind die Vektoren und nicht parallel zueinander. Ich kann überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt. 1. Punkt mit Ebenengleichung gleichsetzen 2. lineares Gleichungssystem aufstellen 3. lineares Gleichungssystem lösen (mit GTR linSolve-Befehl oder schriftlich) Ich kann die Lage einer Gerade zu einer Ebene bestimmen. Gegeben ist eine Gerade g-p+t und eine Ebene Ex-a =a+r·v+s·W Falls die Gleichung +=+r.v+s.w - genau eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden g und die Ebene E. - keine Lösung hat, sind die Gerade g und die Ebene E zueinander parallel. - unendlich viele Lösungen hat, liegt die Gerade g in der Ebene E. 1. Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichsetzen 2. lineares Gleichungssystem aufstellen 3. lineares Gleichungssystem lösen (mit GTR: linSolve-Befehl) wenn: - eine Lösung: dann schneiden sich die Gleichungen > es gibt einen Durchstoßpunkt > Parameter t in Geradengleichung einsetzten, um Durchstoßpunkt zu bestimmen - wenn etwas mit c herauskommt, gibt es unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in Ebene - keine Lösung: Gerade & Ebene verlaufen parallel zueinander Beispiel: Parametergleichung der Ebene E erstellen: gegeben: A (11-111); B (1,51110); C (01111) Spannektoren berechnen: 15-1 0,5 AB=1-(-1) = 2 10-1/ \-^/ E: E: X I I I = " OÀ A 2. LGS aufstellen. -A -2 + r. 3 Beispiel: gegeben: E: x = 1. Punkt mit Gleichung gleichsetzen (8-8-8-8 3 Beispiel: gegeben: E: 2 = 7 = 2+r+25 5= 3r + (-A)S -3= 1 + Sr + S 9₁¹ 3. LGS mit linSolve-Befehl lösen: S.AZ 9,5 2 + S. 1-1/ - E und 0-1 A² = 1 - (-₁) = 2 \^-^1 O ()-(:)-(:) 3 Keine Lösung :) Der Punkt liegt nicht in der Ebene E. A. Gleichungen gleich set -2 2. LGS aufstellen 2 2 O -2 -*-:)--(6) 3 2 -8-8-0 3 1 8 setzen. 1-2 (8-0-6-0-8 +r. I -2 + t = -1 + 2r + (-3) s I 6 + 8t = 1 + 3r + 2s IL 3+ (-2)t = 3 + (-1) ² 2 2 3. LGS mit lin Solve-Befehl lösen Keine Lösung gefunden" g verlayen parallel. keine gemeinsamen Punkte ; A (7151-3) 2 2

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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Ergebnis von t in die zweite und dritte Zeile der Gleichung einsetzen - wahre oder falsche Aussage? > wahr: Der Punkt liegt auf der Geraden = die beiden Geraden sind identisch und parallel zueinander > falsch: Der Punkt liegt nicht auf der Geraden = die beiden Geraden sind parallel, aber nicht identisch Ich kann bestimmen, ob Geraden windschief sind oder sich schneiden. 1. Überprüfung, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind >ja: Geraden sind parallel & ggf. identisch > nein: Geraden sind windschief zueinander oder schneiden sich Wenn nein: 2. Gleichsetzung der beiden Geraden 3. das lineare Gleichungssystem vereinfachen 4. das lineare Gleichungssystem aufschreiben 5. LGS mit linSolve-Befehl oder schriftlich lösen - schriftlich: > zwei Zeilen des LGS nach den Parametern auflösen (Addition, Gleichsetzen oder Einsetzen) > Parameter in die übrige Zeile einsetzen > wahre oder falsche Aussage? > wahr: Geraden schneiden sich > falsch: Geraden sind windschief Wenn wahr: 6. Schnittpunkt S bestimmen, indem man einen Parameter in eine der Geradengleichungen einsetzt Beispiel: gegeben: g: 1. Richtungsvektor mitt. = t 2 I 2. Vielfache voneinander ? I = -6 -12 1 à 1 3 = 6 -3/ -9, I 3 (-3) -9 5 At = t = -3 ·18 = t· Ž I Aussage ✓ wahre Aussage. Also sind die beiden Geraden zueinander parallel. 3. Stützvektor mit anderer Gleichung gleichsetzen & vereinfachen 3 3 88-9 18 6 t. 6 H 3.2= 6 3 3 4. erste Zeile noch & auflösen I -3. 3t 1:3 -^= t -A8 = (-1).6 5 = (-1)-9 2 t. 0 ^ -6 -12 + t. S 1: A 3 6 -9, 2 S. & in die anderen beiden Zeilen einsetzen Beispiel: 1 gegeben: g₁ 2 2 + r. 2t = 0 t = 0 O 1 3 1. Vielfache voneinander ? 2 wahre Der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Damit sind g. zueinander parallel, aber nicht identisch. 1:2 Richtungsvektor gleichsetzen 1. (-2) 1:2 1 2 -3 falsche Aussage x falsche Aussage x 5. LGS lösen (schriftlich) A H 2r -S -2x+25= -6 Addition 2s= -5 S = 2,5 2 O 1 O ·-6--0)-(3) S. 1-1/ h: 2 T S ¡ 3 6 O Die Geraden Sind windschief zueinander oder schneiden sich. sin r + 2,5 = 3 r = 0,5 + t. 2 h: x = 3 + 5. 4 t in die anderen Zeilen 0 = 1 I T 2. Gleichsetzen der beiden Geraden & (3) vereinfachen 2 2 [email protected] 1-8-8 3 S. 2 O 1 -1 gund h r-s falsche Aussage 0 = -1 falsche Aussage 4. LGS aufschreiben I 2r T H -S I 3 C 1 9/ 3 ris in I 1-2,5 -0,5=1 falsche Aussage = Die Geraden schneiden sich nicht. Somit sind die beiden Geraden wind- Schiel zueinander. Ich kann die Lage von Geraden allgemein ermitteln. Zwei Geraden g und h des Raumes können: - sich schneiden - zueinander parallel sein - zueinander windschief sein - identisch sein Ich kann entscheiden, ob zwei gegebene Vektoren orthogonal sind. orthogonal: Winkel beträgt 90 Grad ist immer dann, wenn das Skalarprodukt = 0 ist ali 2.b =0 ist allgemeine Formel des Skalarprodukts: Wenn 2. b = a·ba+az b2 + 23-63 Skalarprodukt mit GTR: dotp (a,b) oder dotp ([];[]) Ich kann zu einem Vektor einen orthogonalen Vektor bestimmen. 1. gesuchter Vektor mit Parametern ausfüllen 2. Skalarprodukt mit Parametern ausrechnen, Ergebnis = 0 3. für die Parameter beliebige Zahlen einsetzen, sodass Gleichung stimmt Ich kann den Winkel zwischen Vektoren berechnen. allgemeine Formel: B cas (α) = Tal·151 Ta (Skalarprodukt durch den Betrag) Winkel mit GTR: x= COS dot (a,b) ;)) norm (a)-norm (6) allgemeines Vorgehen: gemeinsamer ja identisch Beispiel: gegeben: Beispiel: gegeben: 3= 3. Punkt? gesuchter X y 2 2.6 -1.6+2·1+ 4·(-1) = -8 Beispiel gegeben: cos x : 3 -4 2. 2 4 überprüfe, ob die Vektoren orthogonal zueinander sind. cos x = x nein cas α = parallel = Die Vektoren & und I sind nicht zueinander orthogonal. २२ betebige 2.5 = 2·2+2-0 + 1. (-4) Richtungsvektoren Vielfache? 2 2 2 à 2. Skalarprodukt mit Parametern ausrechnen 2². B = 2.x + ². y + 1.2. Zahlen einsetzen: = cos-1 1 3 S 2.6 121.151 57° 6 Vektor mit Parametern ausfüllen Geraden schneiden sich دار 19 √√35 √35 A 3·3+ 5·1 gemeinsamer ܘܝ nein Schnittpunkt? S S LD nicht O = 0 3 19 (VESE) 35 35 nein windschief I cos-1 Ich kann Ebenen mithilfe der Parameterform beschreiben. Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form beschreiben (Parametergleichung): + r.U+S· Lernzettel: Ebenen ✓ Ortsvektor Stützrektor Sponnvektoren Hierbei sind die Vektoren und nicht parallel zueinander. Ich kann überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt. 1. Punkt mit Ebenengleichung gleichsetzen 2. lineares Gleichungssystem aufstellen 3. lineares Gleichungssystem lösen (mit GTR linSolve-Befehl oder schriftlich) Ich kann die Lage einer Gerade zu einer Ebene bestimmen. Gegeben ist eine Gerade g-p+t und eine Ebene Ex-a =a+r·v+s·W Falls die Gleichung +=+r.v+s.w - genau eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden g und die Ebene E. - keine Lösung hat, sind die Gerade g und die Ebene E zueinander parallel. - unendlich viele Lösungen hat, liegt die Gerade g in der Ebene E. 1. Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichsetzen 2. lineares Gleichungssystem aufstellen 3. lineares Gleichungssystem lösen (mit GTR: linSolve-Befehl) wenn: - eine Lösung: dann schneiden sich die Gleichungen > es gibt einen Durchstoßpunkt > Parameter t in Geradengleichung einsetzten, um Durchstoßpunkt zu bestimmen - wenn etwas mit c herauskommt, gibt es unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in Ebene - keine Lösung: Gerade & Ebene verlaufen parallel zueinander Beispiel: Parametergleichung der Ebene E erstellen: gegeben: A (11-111); B (1,51110); C (01111) Spannektoren berechnen: 15-1 0,5 AB=1-(-1) = 2 10-1/ \-^/ E: E: X I I I = " OÀ A 2. LGS aufstellen. -A -2 + r. 3 Beispiel: gegeben: E: x = 1. Punkt mit Gleichung gleichsetzen (8-8-8-8 3 Beispiel: gegeben: E: 2 = 7 = 2+r+25 5= 3r + (-A)S -3= 1 + Sr + S 9₁¹ 3. LGS mit linSolve-Befehl lösen: S.AZ 9,5 2 + S. 1-1/ - E und 0-1 A² = 1 - (-₁) = 2 \^-^1 O ()-(:)-(:) 3 Keine Lösung :) Der Punkt liegt nicht in der Ebene E. A. Gleichungen gleich set -2 2. LGS aufstellen 2 2 O -2 -*-:)--(6) 3 2 -8-8-0 3 1 8 setzen. 1-2 (8-0-6-0-8 +r. I -2 + t = -1 + 2r + (-3) s I 6 + 8t = 1 + 3r + 2s IL 3+ (-2)t = 3 + (-1) ² 2 2 3. LGS mit lin Solve-Befehl lösen Keine Lösung gefunden" g verlayen parallel. keine gemeinsamen Punkte ; A (7151-3) 2 2