Limes und Grenzwert – Grundlagen leicht erklärt

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Emi Gräfe

11.1.2022

Mathe

Limes und Grenzwert

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Potenzregel und faktorregel

Limes und Grenzwert – Grundlagen leicht erklärt

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Der Limes oder Grenzwert ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das uns hilft zu verstehen, wie sich Funktionen verhalten, wenn ihre Variablen bestimmte Werte annähern oder ins Unendliche streben. Dieses mathematische Werkzeug ermöglicht es uns, das Verhalten von Funktionen außerhalb unseres sichtbaren Zeichenbereichs zu untersuchen und vorherzusagen. Im Kern geht es darum, was mit einem Funktionswert passiert, wenn x sich einem bestimmten Wert nähert oder gegen unendlich geht. Die Berechnung von Grenzwerten ist nicht nur für das theoretische Verständnis wichtig, sondern bildet auch die Grundlage für die Differential- und Integralrechnung.

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11.1.2022

1704

Limes-Grenzweg
- lim f(x), lim f(x)
x1180 x →zahl
- wie sieht Graph außerhalb d. Zeichnung aus
Limes mit Testeinsetzung:
f(x)=x²
• dimes und

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Grenzwertberechnung mit verschiedenen Methoden

Limes $Grenzweg$ hilft uns, das Funktionsverhalten außerhalb des sichtbaren Bereichs zu verstehen:

$\lim_{x \to \infty} f(x)$ $für sehr große positive x-Werte$
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$ $für sehr kleine negative x-Werte$

Testeinsetzung am Beispiel $f(x)=x^2$ :

Für positive x-Werte: $f(1)=1$ $f(10)=100$ $f(100)=10000$
Für negative x-Werte: $f(-1)=1$ $f(-10)=100$ $f(-100)=10000$

Daraus erkennen wir die Grenzwerte:

$\lim_{x \to \infty} x^2 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$

Strategien zur Termvereinfachung:

Polynomdivision: Anwendbar bei Polynomen $mehrgliedrige Terme mit Potenzen$ Beispiel: $(5x^2+3x-12):(x-4) = 5x+23+\frac{80}{x-4}$
Bruchrechnung: Umformung von Brüchen zur einfacheren Grenzwertbestimmung $\frac{2x+1}{x} = 2+\frac{1}{x}$

Wichtiger Tipp: Bei $\lim_{x \to \infty} (2+\frac{1}{x})$ wird der Term $\frac{1}{x}$ für große x-Werte immer kleiner und strebt gegen 0, sodass der Grenzwert 2 ist.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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11. Jan. 2022

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Limes und Grenzwert – Grundlagen leicht erklärt

Emi Gräfe

@emigrf

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Für positive x-Werte: $f(1)=1$ $f(10)=100$ $f(100)=10000$
Für negative x-Werte: $f(-1)=1$ $f(-10)=100$ $f(-100)=10000$

Daraus erkennen wir die Grenzwerte:

$\lim_{x \to \infty} x^2 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$

Strategien zur Termvereinfachung:

Polynomdivision: Anwendbar bei Polynomen $mehrgliedrige Terme mit Potenzen$ Beispiel: $(5x^2+3x-12):(x-4) = 5x+23+\frac{80}{x-4}$
Bruchrechnung: Umformung von Brüchen zur einfacheren Grenzwertbestimmung $\frac{2x+1}{x} = 2+\frac{1}{x}$

Wichtiger Tipp: Bei $\lim_{x \to \infty} (2+\frac{1}{x})$ wird der Term $\frac{1}{x}$ für große x-Werte immer kleiner und strebt gegen 0, sodass der Grenzwert 2 ist.

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Bruchterme und ihre Grenzwerte

Wir unterscheiden drei Hauptkategorien bei Bruchtermen:

1. Wenn die Potenz im Nenner größer ist als im Zähler:

Beispiel: $f(x) = \frac{5x^3 + 7x}{2x^5 + 3}$
Der Grenzwert strebt immer gegen 0: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$
Der Nenner "wächst schneller" und macht den Bruch sehr klein

2. Wenn die Potenz im Nenner gleich der Potenz im Zähler ist:

Beispiel: $f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 + 3x^2}$
Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3}{5}$
Nur die höchsten Potenzen sind entscheidend

3. Wenn die Potenz im Nenner kleiner ist als im Zähler:

Beispiel: $f(x) = \frac{3x^4 + 2x^3 + 7x^2 - 5}{4x^3 + 10}$
Berechnung: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{4x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{4} = \infty$
Für negative Unendlichkeit: $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{4} = -\infty$

Grenzwerte für x gegen einen bestimmten Wert:

Direktes Einsetzen möglich: $\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{3}{-3} = -1$
Bei Unbestimmtheiten wie $\frac{0}{0}$ hilft das Ausklammern: Problem: $\lim_{x \to 1} \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)} = \frac{0}{0}$ Lösung durch Umformung: $\lim_{x \to 1} \frac{(4x + 4)(x - 1)}{-(x - 1)} = -8$
Kürzen gemeinsamer Faktoren: $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 5x^3}{x^3 - 3x^3} = \frac{x^2(x - 5)}{x^2(x - 3)} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$

Strategietipp: Bei unbestimmten Ausdrücken wie $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ sollte man immer versuchen, durch Ausklammern, Kürzen oder andere algebraische Umformungen auf eine bestimmbare Form zu kommen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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