Limes und Grenzwert – Grundlagen leicht erklärt

Emi Gräfe

19.8.2025

Mathe

Limes und Grenzwert

Mathematik

Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

Grenzwertgesetze

1.718

•

19. Aug. 2025

•

2 Seiten

Limes und Grenzwert – Grundlagen leicht erklärt

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Emi Gräfe

@emigrf

Der Limes oder Grenzwert ist ein fundamentales Konzept in der... Mehr anzeigen

Limes-Grenzweg
- lim f(x), lim f(x)
x1180 x →zahl
- wie sieht Graph außerhalb d. Zeichnung aus
Limes mit Testeinsetzung:
f(x)=x²
• dimes und

Grenzwertberechnung mit verschiedenen Methoden

Limes (Grenzweg) hilft uns, das Funktionsverhalten außerhalb des sichtbaren Bereichs zu verstehen:

$\lim_{x \to \infty} f(x)$ (für sehr große positive x-Werte)
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$ (für sehr kleine negative x-Werte)

Testeinsetzung am Beispiel $f(x)=x^2$ :

Für positive x-Werte:
- $f(1)=1$
- $f(10)=100$
- $f(100)=10000$
Für negative x-Werte:
- $f(-1)=1$
- $f(-10)=100$
- $f(-100)=10000$

Daraus erkennen wir die Grenzwerte:

$\lim_{x \to \infty} x^2 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$

Strategien zur Termvereinfachung:

Polynomdivision:
- Anwendbar bei Polynomen (mehrgliedrige Terme mit Potenzen)
- Beispiel: $(5x^2+3x-12):(x-4) = 5x+23+\frac{80}{x-4}$
Bruchrechnung:
- Umformung von Brüchen zur einfacheren Grenzwertbestimmung
- $\frac{2x+1}{x} = 2+\frac{1}{x}$

Wichtiger Tipp: Bei $\lim_{x \to \infty} (2+\frac{1}{x})$ wird der Term $\frac{1}{x}$ für große x-Werte immer kleiner und strebt gegen 0, sodass der Grenzwert 2 ist.

Bruchterme und ihre Grenzwerte

Wir unterscheiden drei Hauptkategorien bei Bruchtermen:

1. Wenn die Potenz im Nenner größer ist als im Zähler:

Beispiel: $f(x) = \frac{5x^3 + 7x}{2x^5 + 3}$
Der Grenzwert strebt immer gegen 0: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$
Der Nenner "wächst schneller" und macht den Bruch sehr klein

2. Wenn die Potenz im Nenner gleich der Potenz im Zähler ist:

Beispiel: $f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 + 3x^2}$
Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3}{5}$
Nur die höchsten Potenzen sind entscheidend

3. Wenn die Potenz im Nenner kleiner ist als im Zähler:

Beispiel: $f(x) = \frac{3x^4 + 2x^3 + 7x^2 - 5}{4x^3 + 10}$
Berechnung: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{4x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{4} = \infty$
Für negative Unendlichkeit: $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{4} = -\infty$

Grenzwerte für x gegen einen bestimmten Wert:

Direktes Einsetzen möglich: $\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{3}{-3} = -1$
Bei Unbestimmtheiten wie $\frac{0}{0}$ hilft das Ausklammern:
- Problem: $\lim_{x \to 1} \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)} = \frac{0}{0}$
- Lösung durch Umformung: $\lim_{x \to 1} \frac{(4x + 4)(x - 1)}{-(x - 1)} = -8$
Kürzen gemeinsamer Faktoren: $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 5x^3}{x^3 - 3x^3} = \frac{x^2(x - 5)}{x^2(x - 3)} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$

Strategietipp: Bei unbestimmten Ausdrücken wie $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ sollte man immer versuchen, durch Ausklammern, Kürzen oder andere algebraische Umformungen auf eine bestimmbare Form zu kommen.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist ein Grenzwert in der Mathematik?

Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn sich die Variable einem bestimmten Wert oder Unendlich nähert. Mit Hilfe der Grenzwert Definition können wir verstehen, wie sich Funktionen bei extremen Eingabewerten verhalten. Es ist ein grundlegendes Konzept in der Analysis, das uns hilft zu verstehen, wohin eine Funktion "strebt", auch wenn wir nicht unendlich viele Werte berechnen können.

Wie berechnet man einen Grenzwert bei rationalen Funktionen?

Bei rationalen Funktionen musst du zuerst die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner vergleichen. Je nach Verhältnis dieser Potenzen ergeben sich verschiedene Lösungswege. Mit einem Grenzwert Rechner kannst du die Ergebnisse überprüfen, aber es ist wichtiger, die Methodik zu verstehen. Wenn beispielsweise die Potenz im Nenner größer ist als im Zähler, strebt der Grenzwert für x gegen unendlich in der Regel gegen 0.

Was ist der Unterschied zwischen Testeinsetzung und Termvereinfachung bei Grenzwertberechnungen?

Bei der Testeinsetzung probierst du einfach immer größere (oder kleinere) Werte aus, um eine Tendenz zu erkennen - dies ist besonders nützlich für einfache Funktionen wie Polynome. Die Termvereinfachung hingegen nutzt algebraische Methoden wie Polynomdivision oder Bruchrechnung, um den Ausdruck umzuformen und leichter auswerten zu können. Die Termvereinfachung ist oft effizienter und liefert exakte Ergebnisse, besonders wenn Limes Mathe einfach erklärt werden soll.

Wann würde man Polynomdivision bei der Berechnung von Grenzwerten anwenden?

Polynomdivision wendest du an, wenn du einen Bruchterm hast und im Nenner Faktoren stehen, die den Grenzwert problematisch machen. Mit Polynomdivision mit Rest kannst du den Ausdruck so umformen, dass er leichter zu handhaben ist. Dies ist besonders nützlich, wenn du den Limes x gegen 0 berechnest oder wenn du eine unbestimmte Form wie 0/0 bekommst. Durch die Division wird oft klar, ob ein Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt.

Weitere Quellen

Mathematik Oberstufe: Grenzwerte und Differentialrechnung von Walter Greiner, Klett Verlag 2019, Lehrbuch, Enthält einfache Erklärungen zum Grenzwertbegriff mit vielen Beispielen zur Polynomdivision und Limes-Berechnung - Link
Lambacher Schweizer Mathematik: Grundlagen der Analysis von Heinz Griesel und Andreas Gundlach, Cornelsen 2020, Schulbuch, Umfassende Darstellung der Grenzwertberechnung mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen zu Grenzwerten von Funktionen - Link
Grenzwerte verstehen und berechnen: Ein Leitfaden für die Oberstufe von Thomas Müller, Stark Verlag 2021, Übungsbuch, Fokussiert auf praktische Anwendungen der Limes-Berechnung mit Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Polynomdivision - Link
Mathematik: Grenzwerte und Analysis - Mit dem Taschenrechner zum Erfolg von Lisa Schneider, Duden Verlag 2022, Praxisbuch, Erklärt die Verwendung des Taschenrechners (Casio fx-991DE X) bei der Berechnung von Grenzwerten und enthält Tipps zur effizienten Bearbeitung von Abituraufgaben - Link

Vertiefe dein Wissen

Erstelle eine Grenzwert-Kartei: Schreibe Karteikarten mit den wichtigsten Grenzwert-Regeln auf einer Seite und löse auf der Rückseite jeweils ein passendes Beispiel. Dies hilft dir, die Methoden schnell zu wiederholen.
Untersuche reale Anwendungen von Grenzwerten: Recherchiere, wie Grenzwertberechnungen in der Physik (z.B. Fallgeschwindigkeit) oder Wirtschaft (z.B. Gewinnmaximierung) eingesetzt werden, und stelle Verbindungen zu den gelernten mathematischen Konzepten her.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Der Limes oder Grenzwert ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das uns hilft zu verstehen, wie sich Funktionen verhalten, wenn ihre Variablen bestimmte Werte annähern oder ins Unendliche streben. Dieses mathematische Werkzeug ermöglicht es uns, das Verhalten von Funktionen... Mehr anzeigen

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Grenzwertberechnung mit verschiedenen Methoden

Limes (Grenzweg) hilft uns, das Funktionsverhalten außerhalb des sichtbaren Bereichs zu verstehen:

$\lim_{x \to \infty} f(x)$ (für sehr große positive x-Werte)
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$ (für sehr kleine negative x-Werte)

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Für positive x-Werte:
- $f(1)=1$
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Für negative x-Werte:
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Daraus erkennen wir die Grenzwerte:

$\lim_{x \to \infty} x^2 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$

Strategien zur Termvereinfachung:

Polynomdivision:
- Anwendbar bei Polynomen (mehrgliedrige Terme mit Potenzen)
- Beispiel: $(5x^2+3x-12):(x-4) = 5x+23+\frac{80}{x-4}$
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- Umformung von Brüchen zur einfacheren Grenzwertbestimmung
- $\frac{2x+1}{x} = 2+\frac{1}{x}$

Wichtiger Tipp: Bei $\lim_{x \to \infty} (2+\frac{1}{x})$ wird der Term $\frac{1}{x}$ für große x-Werte immer kleiner und strebt gegen 0, sodass der Grenzwert 2 ist.

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Bruchterme und ihre Grenzwerte

Wir unterscheiden drei Hauptkategorien bei Bruchtermen:

1. Wenn die Potenz im Nenner größer ist als im Zähler:

Beispiel: $f(x) = \frac{5x^3 + 7x}{2x^5 + 3}$
Der Grenzwert strebt immer gegen 0: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$
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2. Wenn die Potenz im Nenner gleich der Potenz im Zähler ist:

Beispiel: $f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 + 3x^2}$
Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3}{5}$
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3. Wenn die Potenz im Nenner kleiner ist als im Zähler:

Beispiel: $f(x) = \frac{3x^4 + 2x^3 + 7x^2 - 5}{4x^3 + 10}$
Berechnung: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{4x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{4} = \infty$
Für negative Unendlichkeit: $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{4} = -\infty$

Grenzwerte für x gegen einen bestimmten Wert:

Direktes Einsetzen möglich: $\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{3}{-3} = -1$
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- Problem: $\lim_{x \to 1} \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)} = \frac{0}{0}$
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Kürzen gemeinsamer Faktoren: $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 5x^3}{x^3 - 3x^3} = \frac{x^2(x - 5)}{x^2(x - 3)} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$

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