Lineare Algebra und Analytische Geometrie

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Variabeln - widerspruch ·∞-Lösungen • gibt es genau eine Lösung muss sie für alle Gleichungen gelten ERGEBNIS 1 RECHNEN MIT VEKTOREN 6 qr =a+b (ax + bx + by 9)-(9) räumliche Koordinatensysteme ax a + b = (ay) * 4 ORTSVEKTOR vom Ursprung zu einem Punkt Bsp. Punkt A à oder OA bx by X 3 addition => direkte Verbindung zw. Ausgangs- und Endpunkt skalarprodukt => Multiplikation von 2 Vektoren ã+ b = ( ³ ) * ( 3 ) = - =RAUM a 2 Z₁ a-b -6 Subtraktion -(3)→Koordinaten vom Punkt by 4 3 +2 1 = ax bx + ay·by + a₂b₂ Vektoren durch Lange + Richtung festgelegt 1 | = 1·412·5·3·6 = 4+10+18= 32 2 3 à 4 ax ra=r. ay A(31415) P(X1Y1Z) ↳V-(4) 5 = multiplikation => Veränderung der Länge => Vektor & wird mit einem Skalar r multipliziert (jede Koordinate) RICHTUNGSVEKTOR durch Subtraktion von 2 Punkten Bsp. Punkt A(31415); Punkt B (21112) AB=OB-OA- ()-(3) b-a 6 'r·ax` y r.ay .r.az. merke: →-1.a = Gegenvektor -2-a = Gegenvektor - mit veränderter Lange Lange (Betrag), Orthogonalitāt; Winkel zw. 2 Vektoren 2 BETRAG EINES VEKTORS Länge des Vektors |à |= √à*a = √a₂²+ay²+ a²² ↳ lãl= (-³)=√√₂² + (-4)² + 4² = √36 = 6 LE ABSTAND VON 2 PUNKTEN A(alazlaz) BCb₁lb₂1b3) d (A; B)= IABI= V(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b3-a3)²² KOLLINEARITAT von 2 VEKTOREN →Der Vektor hat zwar andere Werte, aber zeigt genau in die selbe Richtung =r./2 =>r=2 =>r=2 =>r=2 SP MIT KO-ACHSEN →Bsp.: gnx-Achse Geraden sind parallel o. identisch, d.h linear abhängig denn mit r= 2: MITTE ZW Z PUNKTEN ACXAYAIZA); BCXBIYB 12₂) ⇒ Mittelpunkt AB A(21413); B(31612) =... LE 1) () als einsetzen 2) KO-Gleichungen 3) nach Parameter auflösen 4) Parameter in andere Gl. einsetzen (+) ( ² ) = ² · (²¹) = (²) 2. 1 VARIANTE Vielfache vom anderen vektor MEB (KAXO YA+Y₁ | ZA+ZO) . 2 2 • 1/² · (OÀ+OR) 0-4 (1)-(2) (2,5|5|2,5) 3 SKALAR PRODUKT+0 Winkel ausrechnen, wenn Skalarprodukt nicht ist b beispiel COS&=- a a*b+0 = COS L= à #5 Tal 161 (3) * (²) 1·3+2·4+0 ^^ (²3)|-|(3) √√₁² +2²+3² -√√3² +4² = √74² √25² Winkel TR: COS () COS (9588)=53,98° = = 0,588 BEACHTE Wenn Winkel über 90° u. Winkelsumme im Dreieck über 180° →Gegenwinkel berechnen 2.B L=120° 180° - 120° = 60° SKALAR PRODUKT -0 wenn das skalarprodukt von 2 Vektoren a+b=0 ergibt sind sie ORTHOGONAL (im rechten Winkel) a *6=016 ap² * (3) P² ( ² ) + ( 2 ) = -4 + 4 = 0 4 ZWEIPUNKTGLEICHUNG 9:x=OA+r · AB g₁x = (A) +r+ PUNKT PROBE (XB-XA) YB-YA ZB-ZA PC61121-1) Setze Pin gein: (41)-(1)--(4) Geraden 9:X=a+ra//g=()+ r. (2) 16 = 2 + r II 12 = 4 + 2r => r=4 => r=4 -₁ = 3 - r => r=4 →ā: i = Stützvektor/Ortsvektor → weitere Punkte: Streckfaktor / Parameter wählen u. ausrechnen 1) Punkt für einsetzen 2) in KO-Gleichung 3) nach Parameter auflösen 9: x = ( ²7 ) + r. (2) (Punkt liegt auf der Geraden) →r=Parameter →ū= Richtungsvektor A(21413); B(31612) 9: x = ( ² ) +- (²²³) —> 9.x = ($)+r · ( 2 ) +r. ред Q(41512) Setze Qing ein.. 14 = 2 + r = √(=2 IS = 4+2r⇒ r = ²0$9 23- r>r = 1 (Punkt liegt nicht auf der Geraden) LAGEBEZIEHUNG Ivon Geraden g: x=p+ru h: x = a + sv JA 2) Punktprobe: Peh Identisch S=S S-S S=S glih JA Punktprobe →liegt der Punkt Pauf Gerade h Ortsvektor 1) Richtungsvektoren gleichsetzen: (-²13) = ₁. ( ²16 ) S identisch g=*= (2¹)+(-3) h=*=(¯3) + s (-) => S= →Punkt Q (-11114) von h in II-2=-2r r=1 3= 3r r=1 Sind die Richtungs vektoren kollinear; + r. P&h NEIN parallel S=5 S=2 S=9 g (für x) (kollinear) (3)-(¯3) (²3¹) = r (²¹) →KO-Gleichungen (nach Parameter auflösen) I 1= 1r => r=1 1-(3) KEIN WIDER- SPRUCH NEIN gth Gleichsetzen +LGS Schnittpunkt 5=5 →SP berechnen 2) Punktprobe: 1) Richtungsvektoren gleichsetzen. (2) -2 =r. 1 WIDER- SPRUC Windschief 8=24 parallel. g=x²=(²2) +- (²) ² x=(1)¹³ (1) -1. =r₁ VORGEHEN: 1) LGS 2) KO-Gleichungen 3) nach Variabeln auflösen 4) Variabeln in nicht benute Gleich =>r = -2 => r = -2 (kollinear) =>r = -2 →Punkt Q (1 1015) von h in g (für x) (1)-(-₂) + (3) |-(-4²) r. →KO-Gleichungen (nach Parameter auflösen) I-2=-2r => r= 1 II 2 = 16 ⇒ r = 2 3=1r => r=-3 6 Schnittpunkt g: x = ( ² ) + (²₂) ²x - (33) +- (2) 1) Richtungsvektoren gleichsetzen. (1) + (1) =ū+V sind Linear unabhängig 2) g und h gleichsetzen ( 2 ) + ( 2 ) = (₁19) +r. 10 →KO-Gleichungen I 0 + r = 1-S II 2 + 2r = 10 + S III-5-2r = -7 + 25 + S 1 2 →Ordnen alle variabeln auf eine Seite I r + s = 1 II 2r- S = 8 - 2r- 2s =-2 I+II 3r=9=r=3 Setze r=3 in 1 ein 3+5=11-3 S=-2 S=-2 und r=3 in III → beide Parameter in die nicht benutzle Gleichung (-2)-3-2-(-2)=-2 -6+4 =-2 -2=-2 3) Schnittpunkt bestimmen → einer der beiden werte (ro.s) in passende Gleichung einsetzen Vektor r=3mg x = ( 2 ) + 3 (²2) - (1) = ⇒SP(3181-11) Punkt windschief. →gleicher Ablauf wie beim Schnittpunkt >d.h Abhängigkeit testen > LGS lösen → jedoch beim Einserzen beider Parameter in dritte (übrige) Gleichug ✓ WIDER. 5=2 SCHNITTWINKEL von 2 Geraden cosd= Richtungsvektoren der beiden Geracien (0°≤x≤ 90°) ů + v Tul·|v|| ū- (²12); v = (-₂¹) 3 COSL=3₁-0₁,41⁰ L=65,91° 7 SPURPUNKTE • Schnittpunkt der Gerade mit koordinatenebene schnittpunkt mit: x-y Ebene (Spurpunkt Sxy) ↳Z-Koordinate=0 X-2 Ebene (Spurpunkt Sxz) Ly-Koordinate=0 y-z Ebene (Spurpunkt Syz) ➡X-Koordinate=0 BEISPIEL: SP mit xy-Ebene (Sxy) geg: x = ( ²₂ ) + r. (₁) 2-Koordinate 1) z=0 ·2= 2-r 40=2-r lor r=2 2) ring einsetzen 9:-(1)-²-(₁)-(6) > Sxy (41610) 2 PARAMETERFORM E: x=p+r(a)+ s(v) → = Stutzvektor/Ortsvektor ⇒ r = Parameter → u/v = Richtungsvektor NORMALENVEKTOR BESTIMMEN →festgelegt durch 3 Punkle, die nicht auf einer Geraden liegen ñ= uxv= Ebenen 2 /U2 V3-U3 V₂ U3- V₁ U₁-V3 U₁-V2-U₂. V₁/ Richtungsvektoren KOORDINATEN FORM Ex-pn=0 oder oder E: ax+by+cz =d →> (1)= rektorprodukt. Produkt aus 2 Vektoren. Hat als Ergebnis einen Normalen- vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren stent Normalenvektor der Ebene 0₁ 7=² stent senkrecht auf einer Ebene, d.h senkrecht zu beiden Richtungsvektoren NORMALENFORM E: [x-a]* ñ=0 wird der Normalen vektor gesucht, gibt es immer unendlich viele Lasungen, weil er, egal wie lang, immer senkrecht zu beiden Richtungsvektoren stent → å-Stützvektor * = (§) →>> BEISPIEL: n-Normalenvektor ( nu nu = 0 oder ñ=ū× V v=0 (Zahlen siehe Ebene aus 2 Geraden) ` =(2²₂2); v = (-₁); SP gnn (3181-11) /4+2 *-*xv- (²2:21) -(8) - (6) € [*- (*)]*(8) = 0 E: (Vektorprodukt) → Statzvektor g [skalarprodukt: von 2 Richtungsvektoren mit (3) nu nu = 0 ñ v ਨੇ 7 - 0 PE>NE BEISPIEL: NEXPE 1) α-(²); v = (-1) ū= == n₂ 2) I: x + 2y-22=0 -x+y+ 2z=0 **G=0 (9)*()=0 Ill 3y = 0 ⇒y=0 (²) wänie z=C ñ*v-0 (3) * ( AUS I folgt X-2C ==> x=2C 3 koordinaten form: →ablesen: E: n₁x₁ + n₂x₂+n3X3=d (wenn eine koordinate = 0 1) Normalenvektor ʼn berechnen → Kreuzprodukt der Richtungsvektoren) 2) Ortsvektor p von Parameter form übernehmen 3) n und p in Normaten form einsetzen x=2C; y=0; 2=1C 5- (6) ⇒ñ. nicht vorkommt ist sie bei ñ 0) 1) Ortsvektor p von Normalenform übernehmen ,2) Suche nach 2 RV die orthogonal zu ñ sincl 3) p, und u in Parameter form einsehen •Û-(-03) und v = (-1₁) Umwandlung von Ebenengleichungen →nicht eindeutig lösbar, es unterbest. ist da E: × 5- => x = ( ³ ) + × (-~^ ) · ³- (- ? ) — ˜ - ( ) × (-²) (4) › = → p² (3³) ⇒E: [*-(3)]*(A)=0 € [-(₁)] + ( )= 0 P = (²) -(-)-(-2) und +-(~~)-(.*) V= => E-*-( * ) · *· (²2) + s (11) 10 NE KE 1) Ausmultiplizieren → X+ñ=p+ñ 2) Skalarprodukte ausrechnen KFXNF 1)ñan koordinatenform ablesen 2) Oftsvektor & finden (2 Variabeln frei wahlen X₂ U. X3=0 →x₁ bestimmen) 3) Normalen form aufstellen 2 MÖGLICHKEIT: €-(:)]*(4) = 0 → ()+(4²) - ( ² ) + (4) <=>1x₁ + 15x₂ + 2x3= 19 ñ-vektor =>E: 1X₁+ 15x₂+2x3=19 1) LGS aus Parameterform aufstellen 2) Parameter (rs) durch geschicktes Additions verfahren eleminieren E: 1x+ 15x₂ + 2x3= 19 →ñ= (₁5) PEXKE 1MÖGLICHKEIT: PF→ NF → KO 1) Normalen form [-(P)] +ñ=0 <=> x*ñ=p+ñ 2) for Normalenvektor (n=uxv) ⇒E: [ * -(₁8)] + (₁1) = 0 E: X - (²) + ²- (-1) + 5-(-²) r. r + 35 I: x₁ = 2 + II: X₂ = 1 - r - S X₂ = 1 + 7 + 6s AUS +2 X2=0; x3=0 X₁+ 15.0+ 2.0=19=X₁=19 I+II 7.1+1 => E: X₁+ 15x2+2x3=19 muss berechnet werden Y: 17P-(109) x1 + x2 = 3+25 7x2+x3=8-S 11 PEXKE 1MÖGLICHKEIT: 1) Koordinatenform auf Achsenabschnittsform bringen E: 2X₁ +4x2+ 3x3= 12 1:12 ↳durchd u. Spurpunkte ablesen X₁ + X₂ + X² = 1 →→S₂(61010) Х2 X3 2) Ebene aus 3 Punkten aufstellen 3 S₂ (01310) S3(01014) 2 MÖGLICHKEIT: 1) 2 Koordinaten durch Parameter ersetzen 2) Gleichung nach 3. koordinate umstellen 3) Parameter form geschickt aufschreiben => E³ X = ( 8 ) + r. ( 38 ) S₁ S₁52 E: 2x₁+4x₂+3x3=12 X₁=r; X₂=S +5.0 5,53 2r +45+ 3x3= 12 1-251-45 3x3-12-2r-4s 1:3 x3= 4-3-5 r E X-( * ) - ( ¦ ¦ ¦¦ ) -(•)··( 4 ) · ³ (?) : E: X₂ 12 DREIPUNKTGLEICHUNG ACaxlayla)=> B (bylbyl b) => 6 ((Cxlcy1 Cz) => E: X=a+r(AB)+ s (AC) = a + r. (b-â) + s. (c-a) →ein Punkt als Ortsvektor, diesen von den anderen Punkte abziehen, um die 2 Richtungsvektoren zu bilden EBENE AUS ZGERADEN → Statzvektor: aus SP der Geraden → Richtungsvektoren: Die der Geraden |g₁ x=(1) +(₁¹); ³=(4) +- (2) +S. BEISPIEL: GERADE PUNKT →Geradengleichung bleibt bestehen → 2 Vektor für Ebenengleichung wird aus Stützvektor und Punkt AP berechnet parameterform: 1 1) Punkt für & einsetzen +r. U AP g² x=(8)+ (8) ₁ PC31312)→ = -(6-¹)-(³) —>E: ¯¯ = (§) +‹·(1) + ³¹ (³) +r. PUNKTPROBE 1) Punkt für einsetzen 2) Gleichung lasen 1:SP von g und h (durch Gleichsehen u. LGS) ↳SP(3181-11) 2: Richtungsvelcroren G-(2) und v-(₁) aus gunan => E=F= ( 2 ) + r· (¹1) + s-(¯₁1) 2) in KO-Gleichung 3) nach Parameter auflösen auf Ebene r=2 nicht auf Ebene: r = 2 r = 5 r = 2 r=2 r= 8 40=0 beim Skalarprodukt = 0 → auf Ebene beim Skalanprodukt +0 →nicht auf Ebene 45+0 koordinatenform: 1) Umstellen auf Koordinatenform 2 2) Punkt einsetzen und ausrechnen 3) wenn = Legt auf Ebene; wenn # nicht EX= 2x+4y+ 32=3; P(11213) E: 2.1+4.2+3.3=3 14#3 (Punkt liegt nicht auf der Ebene) 13 EBENE IN PARAMETERFORM g⋅ X=ã+ r·ữ¡ E³ x² â+ s·Ñ +r· û 9=ELGS • LGS hat genau eine Lösung, dann schneidet 9 die ebene (DURCHSTOBPUNKT: die aus dem Gleichungssystem erhaltenen Parameter, in zugeharige Gleinsetzen) •LGS hat keine Lösung, dann ist g parallel zu E 0=-94 • LGS hat unendlich viele Lösungen, clann liegt gine EBENE IN KOORDINATENFORM g₁ X=ã+r·; E³ x= ax+by+cz =d Lagebeziehung Gerade & Ebene Prüfe ob (parallel) AEE 0-0 →Punctprobe: Stützveror vong in Esenen →ñ-() Prüfe ob nu, also ob *u=0 NEIN echt gile Cparaiti) 5=9 4 = 4 ⇒g liegt in E Ortsvektor JA güegt in E (identisch) 5=5 h: x=(₁) + r. (-); E: 2x+3y-z=4 =>ñ= (-³) ₁. ñ + ū = ( ³ ) + (-1) = 2·3+1=0 (₁ und & sind orthogonal 2. Setze A(11111) (Stützvektor von g) in E ein: 2·1+3-1-1=4 9:x-(1)• t(); E² X=()+ (1) ₁² (3) ⇒9=E (1) ++ (7) - () - (1) (3) +r. I: 3-t =3+r-S I: 2+3t =5+3r :-1+7t= NEIN (Ornagonal 540) g und E schneiden sich →setze g in Eein, um Durchstoppunkt zu berechnen Ir st=0 Il 3r -3t = -3 Ir+35-7t= -1 Ir- st=0 I3r -3t=-3 -4+=-1 I r- st=0 II 3 -3 -3 3.1+1=4r 41+3=T 0--94 (+35 Widerspruch L = { } →gist parallel zu E → Gleichungssystem ordinen VORGEHEN: 1. Koordinaten vongine 2. nach Parameter aufiesen 3. For SP→ Parameter in entspre chende Gleichung ersetzen 9:-( ² ) +¹₁ (3); E: 2x + 3y-z=4 +5. · (3) · ( ²³² ) = 4 + 3-1 = 7 +0 2. Sene gine 6+45 +6+36-1 2-(3+2)+3 (2+r) -1=4 DURCHSTOPPUNKT →ring einsehen: =4 1-11 75=-7 17 (=-1 * = ( 1 ) + C-^) ( 3 ) · ( 1 ) = P² = P(1/1/1) 14 EBENE IN NORMALENFORM g: x=(²¹) + r (²³^) ; ¤· [¯ × - (-3) ] (1)-0 1. Parallelität überprüfen (-²) + (-²) - 0 S#0 →nicht parallel, a.n Durchstoßpunkt 2) DP berechnen ·gals in N-Form · Zusammenfassen: ausmultiplizieren + subtranieren skavar product Parameter ing WINKEL GERADE EBENE → Richtungsvektor von der Gerade Normalenvektor d. Ebene ñ + ū sin (2)=111u1 [() +¹-(-)-( )] + ( )=0 (²:4) + (-) = 0 Sr+5 -0 => 2=r * = ( 2 ) + (-^) · (-^-^) - (¯3³) ⇒SP(-11311) 15 PUNKT-PUNKT → berechnen der Länge des Vektors A(31211); B(11110) AB= (1)-(3) IABI=√(-2)²+(-1)²+(-1)² PUNKI-EBENE P(p₁|p₂|p3) Abstandsberechnung E n₁₂X₁+n₂x₂+n3x3=α => n = ( ax+by+ cz =d -ñ-( 11 ) / (9) lotfußpunktverfahren *Stelle Lolgerade Lauf mit p als Stutzvektor und n als Richtungsvektor • Koordinaten des Lotfußpunktes F, berechnen (=E(gleichsenen) →Sp Berechne den Albstand vom SP/Lotfußpunkt zum Ausgangspunkt d=1PFI (denn d (PF) = a(P/E)) PUNKT-GERADE GERADE PARALLELE EBENE →wanie beliebigen Punkt auf der Gerade (2.13 Satzvektor) →Absland Punkt-Ebene (siehe oben) PARALLELE EBENE-PARALLELE EBENE LOE →wanie beliebigen Punkt auf der Ebene (2.13 Sützvektor) →Absland Punkt-Ebene (siehe oben) H: N₁X₁+N₂X₂+n₂ X3 = d • sente Pein um d zu erhallen → Stelle Hilfsebene Ht durch den Punkt Pauf, die orthogonal w gist • Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor von H) Berechne Lotfußpunkt/Schnittpunkt (gnH) von g mit H •Berechne Betrag von PF =>d (PF)=IPF) hessische normalen form In+P₁+ N₂ P₂+ M3-P3 | In | d (PE)= P(SMH) ; 9:5= (-) +3 (²2) H: 3x₁+ 2x₂ - 4x3=d Setze Pein 3.5+2·1-4·1=d => H: 3x1 + 2x₂ - 4x3=13 13=d →weiler mit Lotfußpunktvefahren (g=h → Lotfußpunkt) →Abstand PF (d(Pig) = 6 16 SCHATTENWURE деді ·Punkt als Strahlenquelle / Eckpunkt eines Objekts (Spitze) · Richtung d. Stranten als Vektor 1) Stelle eine Hilfsgerade auf → Lichtquelle/Eckpunkt als Stutzvektor → Richtung vektor aus splize + Lichtquelle Aufgaben 2) Durchstoßpunkt von Hilfsgerade und Elbene berechnen (Spurpunkt) REFLEXION 1) Gleichung des Stranis g 2) SP mit KO-Ebene 3) Gleichung des reflektierien Stranis (Gerade n) →Stützvektor: SP der Geraden mit ebene → Richtungsvektor, wie bei g (außer Vorzeichen- anderung bei -0 gesenter Koordinale) 4) SP h und KO-Ebene Spitze S d. Pyramide SC01016) Sonnenlicht o. Lichtquelle P(-21-218) SP mit x,y-Ebene Z=0 0=8-2r 1+2r 2r=8 1:2 r = 4 ring 9²x - ( ²³² ) - 4 - (-)-(6) 9: x= OP + r. ( SPxy r. (PS) 9:* - (-:-) * (1) +r =>SP(61610) Strani gent von Punkt ACO1616) aus lauff in Richtung (1) auf x,y-Ebene) 9:x-(1)-r- (1) Z=06-2r=r=3 SPxy/B(31310) h: x=( 3 ) + 5. (141) S. SP xiz y=0 3-s=0S=3⇒ CC61016) 17