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Lineare Funktionen und Gleichungssysteme: Formel, Beispiele & Aufgaben

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Laura Sophie

2.10.2025

Mathe

Lineare Funktionen/ Gleichungssysteme

Mathematik

Lösungen und Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem

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2. Okt. 2025

•

2 Seiten

Lineare Funktionen und Gleichungssysteme: Formel, Beispiele & Aufgaben

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Laura Sophie

@laurasophiestudies

Lineare Funktionen und Gleichungssysteme sind grundlegende Konzepte der Algebra, die... Mehr anzeigen

Eine Lineare Funktion ist eine Gleichung von einer Geraden im Koordinatensystem. Dabei besitzt jeder x-wert einen zugeordneten y-wert. allge

Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei linearen Gleichungen mit mindestens zwei Variablen. Sie sind ein wichtiges Werkzeug zur Lösung komplexerer mathematischer Probleme und finden in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik Anwendung.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Es gibt verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Die Wahl der Methode hängt oft von der Komplexität des Systems und den persönlichen Präferenzen ab. Hier sind einige gängige Verfahren:

  1. Grafisches Lösungsverfahren: Bei diesem Verfahren werden die Gleichungen als Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Schnittpunkt der Geraden, falls vorhanden, ist die Lösung des Systems.

  2. Gleichsetzungsverfahren: Hier werden die Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und die resultierenden Terme gleichgesetzt.

  3. Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, und dieser Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt.

Example: Für das System { y + 3 = x, 2y + 4x = 6 } ergibt das Einsetzungsverfahren die Lösung x = 2 und y = -1.

Es ist wichtig zu beachten, dass lineare Gleichungssysteme verschiedene Lösungsmengen haben können:

  • Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  • Keine Lösung: Die Geraden sind parallel.
  • Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch.

Highlight: Die Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen, ist fundamental für viele fortgeschrittene mathematische Konzepte und reale Anwendungen, von der Optimierung bis zur Modellierung komplexer Systeme.

Für komplexere Systeme, wie lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen, werden oft erweiterte Methoden wie das Gauß'sche Eliminationsverfahren verwendet. Diese Methoden ermöglichen es, auch größere Systeme effizient zu lösen.

Vocabulary: Gauß'sches Eliminationsverfahren - Eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch schrittweise Elimination von Variablen.

Die Beherrschung dieser Techniken und das Verständnis der zugrunde liegenden Konzepte sind essentiell für Studierende der Mathematik und verwandter Disziplinen. Regelmäßiges Üben mit verschiedenen Gleichungssysteme lösen Übungen hilft dabei, die Fertigkeiten zu verbessern und ein tieferes Verständnis für die Materie zu entwickeln.

Eine Lineare Funktion ist eine Gleichung von einer Geraden im Koordinatensystem. Dabei besitzt jeder x-wert einen zugeordneten y-wert. allge

Lineare Funktionen: Grundlagen und Eigenschaften

Lineare Funktionen sind ein zentrales Konzept in der Mathematik und bilden die Grundlage für viele komplexere mathematische Modelle. Eine lineare Funktion Erklärung beginnt mit ihrer Definition: Es handelt sich um eine Funktion, die durch eine Gerade im Koordinatensystem dargestellt wird.

Die lineare Funktionen Formel lautet allgemein:

y = mx + n

Hierbei steht m für die Steigung der Geraden und n für den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Definition: Eine lineare Funktion ist eine Funktion, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird, und deren Graph eine Gerade bildet.

Zu den wichtigsten linearen Funktion Eigenschaften gehören:

  1. Der Definitionsbereich und der Wertebereich umfassen alle reellen Zahlen (ℝ).
  2. Die Steigung m bestimmt, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0).
  3. Je größer der Betrag von m, desto steiler ist die Gerade.

Highlight: Die Steigung m einer linearen Funktion kann als "Änderungsrate" interpretiert werden - sie gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 zunimmt.

Um lineare Funktionen zu berechnen, benötigt man oft zwei Punkte auf der Geraden. Mit diesen kann man die Steigung m bestimmen:

m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁

Example: Für die Punkte P₁(0,1) und P₂(2,2) berechnet sich die Steigung wie folgt: m = 2−12 - 1 / 2−02 - 0 = 1/2 = 0,5

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn man eine lineare Funktion zeichnen möchte, da man mit der Steigung und einem bekannten Punkt leicht weitere Punkte der Funktion bestimmen kann.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Lineare Funktionen und Gleichungssysteme sind grundlegende Konzepte der Algebra, die in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen eine wichtige Rolle spielen. Sie ermöglichen die Modellierung und Lösung zahlreicher praktischer Probleme.

• Lineare Funktionensind durch ihre konstante Steigung und... Mehr anzeigen

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Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei linearen Gleichungen mit mindestens zwei Variablen. Sie sind ein wichtiges Werkzeug zur Lösung komplexerer mathematischer Probleme und finden in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik Anwendung.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Es gibt verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Die Wahl der Methode hängt oft von der Komplexität des Systems und den persönlichen Präferenzen ab. Hier sind einige gängige Verfahren:

  1. Grafisches Lösungsverfahren: Bei diesem Verfahren werden die Gleichungen als Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Schnittpunkt der Geraden, falls vorhanden, ist die Lösung des Systems.

  2. Gleichsetzungsverfahren: Hier werden die Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und die resultierenden Terme gleichgesetzt.

  3. Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, und dieser Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt.

Example: Für das System { y + 3 = x, 2y + 4x = 6 } ergibt das Einsetzungsverfahren die Lösung x = 2 und y = -1.

Es ist wichtig zu beachten, dass lineare Gleichungssysteme verschiedene Lösungsmengen haben können:

  • Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  • Keine Lösung: Die Geraden sind parallel.
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Highlight: Die Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen, ist fundamental für viele fortgeschrittene mathematische Konzepte und reale Anwendungen, von der Optimierung bis zur Modellierung komplexer Systeme.

Für komplexere Systeme, wie lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen, werden oft erweiterte Methoden wie das Gauß'sche Eliminationsverfahren verwendet. Diese Methoden ermöglichen es, auch größere Systeme effizient zu lösen.

Vocabulary: Gauß'sches Eliminationsverfahren - Eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch schrittweise Elimination von Variablen.

Die Beherrschung dieser Techniken und das Verständnis der zugrunde liegenden Konzepte sind essentiell für Studierende der Mathematik und verwandter Disziplinen. Regelmäßiges Üben mit verschiedenen Gleichungssysteme lösen Übungen hilft dabei, die Fertigkeiten zu verbessern und ein tieferes Verständnis für die Materie zu entwickeln.

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Lineare Funktionen: Grundlagen und Eigenschaften

Lineare Funktionen sind ein zentrales Konzept in der Mathematik und bilden die Grundlage für viele komplexere mathematische Modelle. Eine lineare Funktion Erklärung beginnt mit ihrer Definition: Es handelt sich um eine Funktion, die durch eine Gerade im Koordinatensystem dargestellt wird.

Die lineare Funktionen Formel lautet allgemein:

y = mx + n

Hierbei steht m für die Steigung der Geraden und n für den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Definition: Eine lineare Funktion ist eine Funktion, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird, und deren Graph eine Gerade bildet.

Zu den wichtigsten linearen Funktion Eigenschaften gehören:

  1. Der Definitionsbereich und der Wertebereich umfassen alle reellen Zahlen (ℝ).
  2. Die Steigung m bestimmt, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0).
  3. Je größer der Betrag von m, desto steiler ist die Gerade.

Highlight: Die Steigung m einer linearen Funktion kann als "Änderungsrate" interpretiert werden - sie gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 zunimmt.

Um lineare Funktionen zu berechnen, benötigt man oft zwei Punkte auf der Geraden. Mit diesen kann man die Steigung m bestimmen:

m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁

Example: Für die Punkte P₁(0,1) und P₂(2,2) berechnet sich die Steigung wie folgt: m = 2−12 - 1 / 2−02 - 0 = 1/2 = 0,5

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn man eine lineare Funktion zeichnen möchte, da man mit der Steigung und einem bekannten Punkt leicht weitere Punkte der Funktion bestimmen kann.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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