Lineare Funktionen und ihre Eigenschaften

Lineare Funktionen sind durch eine Gerade im Koordinatensystem gekennzeichnet. Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet:

y = mx + n

Hierbei ist:

• m der Anstieg (Steigung) der Funktion
• n der y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)

Definition: Der Anstieg einer linearen Funktion gibt an, um wie viel sich der y-Wert ändert, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.

Um eine lineare Funktion zu zeichnen, kann man das Anstiegsdreieck verwenden. Dabei geht man vom y-Achsenabschnitt aus und zeichnet das Dreieck entsprechend dem Anstieg.

Example: Für die Funktion y = 0,5x + 2 würde man vom Punkt (0,2) ausgehen und dann 1 nach rechts und 0,5 nach oben gehen, um den nächsten Punkt zu bestimmen.

Diese Methode ist besonders nützlich, um lineare Funktionen zu zeichnen und ihre graphische Darstellung zu verstehen.

Anstiegsberechnung und Funktionsgleichungen

Der Anstieg einer linearen Funktion kann mit dem Differenzquotienten berechnet werden:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Dabei sind (x₁, y₁) und (x₂, y₂) zwei beliebige Punkte auf der Geraden.

Formula: Der Differenzquotient zur Berechnung der Steigung lautet: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Um die Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

1. Berechne m mit dem Differenzquotienten.
2. Wähle einen der gegebenen Punkte (x, y).
3. Setze m, x und y in die Gleichung y = mx + n ein und stelle nach n um.
4. Gib die vollständige Funktionsgleichung an.

Example: Gegeben sind die Punkte A(1,3) und B(4,5).

1. m = (5-3)/(4-1) = 2/3
2. Wähle A(1,3)
3. 3 = 2/3 · 1 + n → n = 7/3
4. Die Funktionsgleichung lautet: y = 2/3x + 7/3

Diese Methode ist besonders nützlich für Lineare Funktionen Aufgaben, bei denen die Gleichung aus gegebenen Punkten ermittelt werden soll.