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Lineare Gleichungssysteme
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Alles zu dem Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren und dem Gauß-Algorithmus :)
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Lineare Gleichungssysteme Gleichungssysteme mit 2 variablen (Unbekannten) Einsetzungsverfahren Eine Gleichung wird nach einer Variable umgeformt und in die andere eingesetzt Bsp. I 6x +12y = 30 I3x +3y=9 I 6x +12y=30 | I X =3-y I in I | 1-3y 1:3 Зу 6(3-y) +12y=30 6.3+6(-y) +12y=30 18-6y +12y = 30 1-18 by =12 1:6 =2 y in I 6x +12.2=30 6x + 24 =30 1-24 6x = 61:6 = 1 L = {(12)} Gleichsetzungsverfahren Die beiden Gleichungen werden nach der selben variable umgeformt und gleichgesetzt Bsp. 16x +12y=301-12 y 1:6 3x +3y=9|3y 1:3 x = 3-y I=I X = X 5-2y=3-y +2y 1-3 y = 2 y in I X=3-2 X=1 (= {(112)} Lösungen -unlösbares LGS → L= { } (leere Lösungsmenge) ↳ 2. B. wenn in einer Zeile eine falsche Aussage steht - nicht eindeutiges LGS → L= {(C+1;2c-1; c); CER} (Bsp.) - eindeutiglösbares LGS → L = {(x/y/21} Ergebnisse für Variablen von LGS Additionsverfahren Die beiden Gleichungen werden addiert oder Subtrahiert, nachdem beide Gleichungen eine gleiche Anzahl einer Variable enthalten Bsp. I 6x +12y=30 3x +3y 8 9 1.2 1|6x +1²y=30]- I 6x +6y=18 (I-I) I-I: 6y=12 1:6 y = 2 y in I 6x +12-2=30 6x + 24 =30 1-24 = 61:6 6x = X = 1 (= {(112)} Gleichungssysteme mit 3 variablen Additionsverfahren Bsp. I||3x + 3y + 2z=5 Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, können ebenfalls genutzt werden erfordert meistens eine Kombination dieser Verfahren I 2x+4y +32 = 4 I-5x +2y + 4z =-9 Gauss-Verfahren (neue Möglichkeit) → Systematisches Lösungsverfahren von LGS → Ziel: Dreiecksgestalt → Vorgehensweise: mehrfaches Wiederholen des Additionsverfahren I 3x + 3y +22=5 T10x +20y +152 = 20 -Ziel HAA I 3x + 3y +22=5 I 2x +4y +32 = 4 HA# I 6x +6y +42 = 10 I...
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6x +12y +92 = 12 24y +232 = 2 I 3x + 3y +22=5 HA -10x +4y + 8z = -18 + 24y+232 = 2 HAA I 3x + 3y +22=5 -6y-52=-2 24y+232=2 I -24y-202 = -8 24y+232=2 I 3x + 3y +2z = 5 -6y-52=-2 32=-6 I| 3x + 3y + 2z = 5 -6y-52=-2 •Multiplikation einer Gleichung mit reeler zahl, welche nicht 0 ist • vertauschen von Zeilen • Weglassen einer Zeile 1st unmöglich 2=-2 1 1.5 1.2 1.2 1.3 |J- Zeile bleibt erhalten ← Ausgangsgleichung II wird notiert ← Ausgangsgleichung I 1.4 + I 3x + 3y + 2z=5 -6y-5-(-2)=-2 einsetzen HA# I ㅍ I 3x + 3y +22=5 ³x + y=2 HAA I Gleichung mit nur noch 2 Variablen 1:3 HAA I 3x +3-2+2-(-2)=5 I Z=-2 I HAA Z=-2 y = 2 2=-2 X = 1 y=2 2=-2 (1 = {(41121-2)} einsetzen
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