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Lineare Gleichungssysteme
22.10.2021
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Lineare Gleichungssysteme Gleichungssysteme mit 2 variablen (unbekannten) Einsetzungsverfahren Eine Gleichung wird nach einer Variable umgeformt und in die andere eingesetzt Bsp. 1 | 6x +12y=30 | 1-3y 1:3 3x +3y = 9 ->> 16x +12y=30 I X I in I 1 6(3-y) +12y=30 6.3 +6(-y) +12y=30 18-6y +12y = 30 1-18 6y =12 1:6 =2 y in I 6x +12-2=30 6x + 24 =30 1-24 6x =61:6 X = 1 8 = {412)} Gleichsetzungsverfahren Die beiden Gleichungen werden nach der selben variable umgeformt und gleichgesetzt Bsp. 16x +12y=301-12y 1:6 ³x +3y=91-3y 1:3 I I x = 5-2y X 3-y I= I X = X (1= 5-2y=3-y 1+2y 1-3 y = 2 y in I X=3-2 X=1 = {12)} Lösungen von LGS -unlösbares LGS → L= •{ } (leere Lösungsmenge) ↳ 2. B. wenn in einer Zeile eine falsche Aussage steht - nicht eindeutiges LGS → L= = {(C+1; 2C-1; C); CER} (Bsp.) -eindeutiglösbares LGS → 4= {(xly/2)} Ergebnisse für Variablen Additionsverfahren Die beiden Gleichungen werden addiert oder Subtrahiert, nachdem beide Gleichungen eine gleiche Anzahl einer Variable enthalten Bsp. 1 | 6x +12y=30 | 12 3x +3y = 9 1|6x +12y = 30- I16x +6y = 18 I-I: 6y=12 1:6 y = 2 y in I (I-I) 6x +12-2=30 6x + 24 =30 1-24 6x = 61:6 X = 1 == [12)} Bsp. I 3x + 3y +22=5 I 2x+4y +32 = 4 Gleichung ysteme. Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren können ebenfalls genutzt werden ↳ erfordert meistens eine Kombination dieser Verfahren I 3x + 3y + 2z =5 10x +20y +152 = 20 III-10x +4y +8z = -18 III I 3x + 3y +22=5 Gauss-Verfahren (neue Möglichkeit) →Systematisches Lösungsverfahren von LGS →iel: Dreiecksgestalk → Vorgehensweise: • mehrfaches Wiederholen des Additionsverfahren -Ziel T2x +4y +32 = 4 II I III -5x...
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Alternativer Bildtext:
+2y + 4z = -9 I 6x +6y +42 = 10 I 6x +12y +92 = 12 24y+232=2 I III I 3x + 3y + 2z = 5 -6y-52=-2 24y+232=2 I 24y+232=2 I|3x + 3y + 2z = 5 III I 3x + 3y +22=5 I -6y-52=-2 I 32 = -6 -244-202= -8 24y+232=2 I| 3x + 3y +22=5 -6y-52=-2 2=-2 •Multiplikation einer Gleichung mit reeler zahl, welche nicht 0 ist vertauschen von Zeilen • Weglassen einer Zeile ist unmöglich 1.5 1.2 + mit 3 variab (unbekannten) 1.2 Zeile bleibt erhalten ← Ausgangsgleichung II 1.3 wird notiert Ausgangsgleichung I 1.4 einsetzen I 3x + 3y +22=5 -6y-5-(-2)=-2 НА II I| 3x + 3y +22=5 НАА I II I ← Gleichung mit nur noch 2 Variablen 1.3 Z=-2 I 3x +3·2+2-(-2)=5 III НАЕ y = 2 2=-2 y = 2 Z=-2 X = 1 y = 2 Z=-2 (= {(1121-2)} 1 einsetzen