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2.943
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29. Nov. 2025
•
Sarah Onyeke
@sarahonyeke
Lineare Algebra ist super wichtig für euer Mathe-Abi und kommt... Mehr anzeigen
Du begegnest linearer Algebra überall - von der Berechnung von Produktionskosten bis zur Analyse von Tierpopulationen. Matrizen sind dabei dein wichtigstes Werkzeug und viel einfacher zu verstehen, als sie auf den ersten Blick aussehen.
Die Grundlagen sind schnell drauf: Eine Matrix ist einfach eine rechteckige Anordnung von Zahlen. Du schreibst sie als n×m, wobei n die Zeilen und m die Spalten angibt.
Wichtig für die Klausur: Die Einheitsmatrix hat Einsen auf der Hauptdiagonale und überall sonst Nullen. Vektoren behandelst du einfach als spezielle Matrizen mit nur einer Spalte.
Merktipp: Bei einer 2×3-Matrix denkst du "2 Zeilen, 3 Spalten" - die Reihenfolge ist immer gleich!
Addition und Subtraktion sind kinderleicht: Du rechnest einfach die Zahlen an den gleichen Positionen zusammen. Aber Achtung - das geht nur bei Matrizen mit gleicher Größe!
Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede einzelne Zahl in der Matrix mit deinem Skalar. Das ist wie beim Vergrößern oder Verkleinern aller Werte gleichzeitig.
Die Matrizenmultiplikation ist etwas tricky, aber machbar. Wichtig: A·B funktioniert nur, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Das Ergebnis hat dann so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
Die inverse Matrix A⁻¹ ist diejenige, die mit A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Du findest sie mit dem Gauß-Verfahren, indem du die Einheitsmatrix neben deine Matrix schreibst und beide gleichzeitig umformst.
Klausurtipp: Bei der Matrizenmultiplikation ist die Reihenfolge entscheidend - A·B ≠ B·A!
Einstufige Produktionsprozesse helfen dir zu berechnen, wie viel Rohstoff du für deine gewünschte Produktmenge brauchst. Die Matrix zeigt dir, welche Rohstoffe (Zeilen) für welche Endprodukte (Spalten) nötig sind.
Du multiplizierst einfach deine Bedarfsmatrix mit dem Bedarfsvektor (gewünschte Produktmengen). Das Ergebnis sagt dir genau, wie viel von jedem Rohstoff du bestellen musst.
Bei zweistufigen Produktionsprozessen läuft's über Zwischenprodukte. Du hast zwei Matrizen: Eine für Rohstoffe zu Zwischenprodukten, eine für Zwischenprodukte zu Endprodukten. Multipliziert ergeben sie die direkte Verbindung von Rohstoffen zu Endprodukten.
Die Produktmatrix C = A·B fasst den ganzen Prozess zusammen und zeigt dir den Gesamtbedarf an Rohstoffen für deine Endprodukte.
Praxistipp: Achte darauf, dass die Reihenfolge in deinen Vektoren mit der in den Matrizen übereinstimmt!
Hier geht's nicht um Produktion, sondern um Zustandsveränderungen - wie sich Systeme von einem Zeitpunkt zum nächsten entwickeln. Stell dir vor, du beobachtest Vögel, die zwischen Wald und Lichtung wechseln.
Die Übergangsmatrix ist immer quadratisch und zeigt die Wahrscheinlichkeiten für Wechsel zwischen den Zuständen. Du liest von Spalte nach Zeile - das ist wichtig für die richtige Interpretation!
Für nachfolgende Zustände multiplizierst du einfach: M·v₀ = v₁ für den nächsten Tag, M²·v₀ = v₂ für übermorgen usw. Bei vorangehenden Zuständen löst du ein Gleichungssystem oder multiplizierst mit der inversen Matrix.
Matrixpotenzen verraten dir, wie sich ursprüngliche Verteilungen nach mehreren Schritten entwickeln. Die Einträge zeigen Wahrscheinlichkeiten für Übergänge über mehrere Zeitschritte.
Verstehenshilfe: Die Übergangsmatrix funktioniert wie ein Fahrplan - sie sagt dir, wohin wie viele "Passagiere" von jedem Startort gelangen!
Manche Systeme erreichen irgendwann ein Gleichgewicht - einen Zustand, der sich nicht mehr ändert. Das nennst du stabile Verteilung oder Fixvektor.
Du findest sie, indem du die Gleichung A·v = v löst. Das bedeutet: Die Matrix verändert diesen speziellen Vektor nicht mehr. Mathematisch schreibst du das als Gleichungssystem und löst es - dabei bekommst du meist eine Nullzeile.
Die Grenzmatrix entsteht bei sehr hohen Matrixpotenzen. Alle ihre Spalten sind identisch und entsprechen der stabilen Verteilung. Das zeigt dir das langfristige Verhalten des Systems.
Wichtiger Trick: Für prozentuale Verteilungen ergänzt du die Gleichung x+y+z=1, da alle Anteile zusammen 100% ergeben müssen. Bei konkreten Zahlen nimmst du statt 1 die Gesamtzahl aller Elemente.
Aha-Moment: Wenn alle Spalten der Grenzmatrix gleich aussehen, weißt du sofort, dass das System eine stabile Verteilung erreicht hat!
Wachstumsprozesse beschreiben die Entwicklung von Populationen - perfekt für Bio-Mathe-Aufgaben! Hier analysierst du, ob eine Tierpopulation wächst, schrumpft oder stabil bleibt.
Bei zyklischen Prozessen durchlaufen Lebewesen verschiedene Stadien (wie Ei → Larve → Käfer). Jede Zeile der Matrix zeigt Überlebensraten, jede Spalte Vermehrungsraten.
Für die spezielle 3×3-Zyklus-Matrix mit der Form P = (0,0,c; b,0,0; 0,a,0) berechnest du das Produkt a·b·c. Dieses Produkt entscheidet über das Schicksal der Population!
Die Interpretationsregeln sind einfach: a·b·c = 1 bedeutet konstante Population, a·b·c < 1 führt zum Aussterben, und a·b·c > 1 bedeutet exponentielles Wachstum.
Bio-Tipp: Denk an echte Tiere - hohe Sterblichkeit in einer Phase kann durch hohe Vermehrung in einer anderen ausgeglichen werden!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sarah Onyeke
@sarahonyeke
Lineare Algebra ist super wichtig für euer Mathe-Abi und kommt in vielen praktischen Situationen vor - von Produktionsplanung bis hin zu Populationsentwicklungen. Hier lernt ihr, wie man mit Matrizen rechnet und sie für echte Probleme einsetzt.
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Du begegnest linearer Algebra überall - von der Berechnung von Produktionskosten bis zur Analyse von Tierpopulationen. Matrizen sind dabei dein wichtigstes Werkzeug und viel einfacher zu verstehen, als sie auf den ersten Blick aussehen.
Die Grundlagen sind schnell drauf: Eine Matrix ist einfach eine rechteckige Anordnung von Zahlen. Du schreibst sie als n×m, wobei n die Zeilen und m die Spalten angibt.
Wichtig für die Klausur: Die Einheitsmatrix hat Einsen auf der Hauptdiagonale und überall sonst Nullen. Vektoren behandelst du einfach als spezielle Matrizen mit nur einer Spalte.
Merktipp: Bei einer 2×3-Matrix denkst du "2 Zeilen, 3 Spalten" - die Reihenfolge ist immer gleich!
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Addition und Subtraktion sind kinderleicht: Du rechnest einfach die Zahlen an den gleichen Positionen zusammen. Aber Achtung - das geht nur bei Matrizen mit gleicher Größe!
Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede einzelne Zahl in der Matrix mit deinem Skalar. Das ist wie beim Vergrößern oder Verkleinern aller Werte gleichzeitig.
Die Matrizenmultiplikation ist etwas tricky, aber machbar. Wichtig: A·B funktioniert nur, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Das Ergebnis hat dann so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
Die inverse Matrix A⁻¹ ist diejenige, die mit A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Du findest sie mit dem Gauß-Verfahren, indem du die Einheitsmatrix neben deine Matrix schreibst und beide gleichzeitig umformst.
Klausurtipp: Bei der Matrizenmultiplikation ist die Reihenfolge entscheidend - A·B ≠ B·A!
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Einstufige Produktionsprozesse helfen dir zu berechnen, wie viel Rohstoff du für deine gewünschte Produktmenge brauchst. Die Matrix zeigt dir, welche Rohstoffe (Zeilen) für welche Endprodukte (Spalten) nötig sind.
Du multiplizierst einfach deine Bedarfsmatrix mit dem Bedarfsvektor (gewünschte Produktmengen). Das Ergebnis sagt dir genau, wie viel von jedem Rohstoff du bestellen musst.
Bei zweistufigen Produktionsprozessen läuft's über Zwischenprodukte. Du hast zwei Matrizen: Eine für Rohstoffe zu Zwischenprodukten, eine für Zwischenprodukte zu Endprodukten. Multipliziert ergeben sie die direkte Verbindung von Rohstoffen zu Endprodukten.
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Hier geht's nicht um Produktion, sondern um Zustandsveränderungen - wie sich Systeme von einem Zeitpunkt zum nächsten entwickeln. Stell dir vor, du beobachtest Vögel, die zwischen Wald und Lichtung wechseln.
Die Übergangsmatrix ist immer quadratisch und zeigt die Wahrscheinlichkeiten für Wechsel zwischen den Zuständen. Du liest von Spalte nach Zeile - das ist wichtig für die richtige Interpretation!
Für nachfolgende Zustände multiplizierst du einfach: M·v₀ = v₁ für den nächsten Tag, M²·v₀ = v₂ für übermorgen usw. Bei vorangehenden Zuständen löst du ein Gleichungssystem oder multiplizierst mit der inversen Matrix.
Matrixpotenzen verraten dir, wie sich ursprüngliche Verteilungen nach mehreren Schritten entwickeln. Die Einträge zeigen Wahrscheinlichkeiten für Übergänge über mehrere Zeitschritte.
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Wichtiger Trick: Für prozentuale Verteilungen ergänzt du die Gleichung x+y+z=1, da alle Anteile zusammen 100% ergeben müssen. Bei konkreten Zahlen nimmst du statt 1 die Gesamtzahl aller Elemente.
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Wachstumsprozesse beschreiben die Entwicklung von Populationen - perfekt für Bio-Mathe-Aufgaben! Hier analysierst du, ob eine Tierpopulation wächst, schrumpft oder stabil bleibt.
Bei zyklischen Prozessen durchlaufen Lebewesen verschiedene Stadien (wie Ei → Larve → Käfer). Jede Zeile der Matrix zeigt Überlebensraten, jede Spalte Vermehrungsraten.
Für die spezielle 3×3-Zyklus-Matrix mit der Form P = (0,0,c; b,0,0; 0,a,0) berechnest du das Produkt a·b·c. Dieses Produkt entscheidet über das Schicksal der Population!
Die Interpretationsregeln sind einfach: a·b·c = 1 bedeutet konstante Population, a·b·c < 1 führt zum Aussterben, und a·b·c > 1 bedeutet exponentielles Wachstum.
Bio-Tipp: Denk an echte Tiere - hohe Sterblichkeit in einer Phase kann durch hohe Vermehrung in einer anderen ausgeglichen werden!
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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