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8. Dez. 2025

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Lineare Gleichungen verstehen und anwenden

L

Leni

@leni.rvs

Lineare Gleichungssysteme sind ein wichtiges Thema in der 9. Klasse... Mehr anzeigen

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Lineare Gleichungen
mit zwei Variablen
Gleichungen des Typen ax+by=e heißen lineare Gleichungen mit ewer Variablen
Für lineare Gleichungen d

Grundlagen linearer Gleichungen mit zwei Variablen

Stell dir vor, du hast eine Gleichung wie 4x + 8y = 16 - das ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Diese Gleichungen haben drei wichtige Eigenschaften, die du dir merken solltest.

Erstens besteht jede Lösung aus einem Zahlenpaar (x, y). Zweitens gibt es unendlich viele Lösungen - nicht nur eine! Drittens bilden alle Lösungen zusammen eine Gerade, wenn du sie in ein Koordinatensystem einträgst.

Um solche Gleichungen zu lösen, stellst du sie einfach nach y um: Aus 4x + 8y = 16 wird y = -0,5x + 2. Wenn du zwei solcher Gleichungen hast, entsteht ein lineares Gleichungssystem - und genau da wird's interessant!

Tipp: Die graphische Darstellung hilft dir immer beim Verstehen - zeichne die Geraden und schaue, wo sie sich schneiden!

Lineare Gleichungen
mit zwei Variablen
Gleichungen des Typen ax+by=e heißen lineare Gleichungen mit ewer Variablen
Für lineare Gleichungen d

Das Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variable aufgelöst sind. Du setzt einfach die rechten Seiten gleich und löst nach der anderen Variable auf.

Nehmen wir das Beispiel: y = 4x + 1 und y = 3x + 2. Da beide nach y aufgelöst sind, setzt du die rechten Seiten gleich: 4x + 1 = 3x + 2. Das ergibt x = 1, und wenn du das einsetzt, bekommst du y = 11/7.

Diese Methode ist super schnell und übersichtlich, besonders wenn die Gleichungen schon in der richtigen Form vorliegen. Du brauchst nur zwei Schritte: gleichsetzen und einsetzen!

Merke: Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert am besten, wenn beide Gleichungen bereits nach y (oder x) aufgelöst sind.

Lineare Gleichungen
mit zwei Variablen
Gleichungen des Typen ax+by=e heißen lineare Gleichungen mit ewer Variablen
Für lineare Gleichungen d

Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt den Ausdruck in die andere Gleichung ein. Klingt kompliziert? Ist es aber nicht!

Beispiel: Du hast 3x + y = 5 und y = 2x + 1/3. Die zweite Gleichung ist schon nach y aufgelöst - perfekt! Jetzt setzt du y = 2x + 1/3 in die erste Gleichung ein: 3x + 2x+1/32x + 1/3 = 5.

Das vereinfachst du zu 5x + 1/3 = 5, also x = 1. Dann setzt du x = 1 zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhältst y. Fertig!

Praxis-Tipp: Löse immer die einfachere Gleichung nach der Variable auf, die weniger kompliziert aussieht.

Lineare Gleichungen
mit zwei Variablen
Gleichungen des Typen ax+by=e heißen lineare Gleichungen mit ewer Variablen
Für lineare Gleichungen d

Das Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist deine Geheimwaffe, wenn die anderen Methoden zu umständlich werden. Du formst die Gleichungen so um, dass beim Addieren eine Variable "wegfällt".

Bei -3x + 4y = 45 und 3x + 5y = 36 siehst du, dass sich die x-Terme schon fast aufheben. Wenn du beide Gleichungen addierst, erhältst du 9y = 81, also y = 9. Dann setzt du y = 9 in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.

Manchmal musst du eine oder beide Gleichungen vorher mit einer Zahl multiplizieren, damit sich eine Variable weghebt. Das ist völlig normal und macht das Verfahren nicht schwieriger!

Strategie: Schaue dir die Koeffizienten an - oft kannst du durch geschicktes Multiplizieren eine Variable schnell eliminieren.

Lineare Gleichungen
mit zwei Variablen
Gleichungen des Typen ax+by=e heißen lineare Gleichungen mit ewer Variablen
Für lineare Gleichungen d

Anwendungsaufgaben meistern

Textaufgaben mit Gleichungssystemen sind dein Ticket zur Realität - hier löst du echte Probleme! Wie bei der Aufgabe mit Sandra und Dirk, die über ihre Mitschüler sprechen.

Der Trick ist ein systematisches Vorgehen: Definiere zuerst deine Variablen x=Ma¨dchen,y=Jungsx = Mädchen, y = Jungs. Dann übersetzt du die Aussagen in Gleichungen: "1,7 mal so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler" wird zu x - 1 = 1,7y.

Löse das System mit deiner Lieblingsmethode und vergiss nicht den letzten Schritt: Schreibe einen Antwortsatz! In diesem Fall hat die Klasse 18 Schülerinnen und 10 Schüler.

Erfolgsformel: Variable definieren → Gleichungen aufstellen → System lösen → Antwortsatz schreiben. Diese vier Schritte führen dich sicher zum Ziel!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Grundlagen linearer Gleichungen mit zwei Variablen

Stell dir vor, du hast eine Gleichung wie 4x + 8y = 16 - das ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Diese Gleichungen haben drei wichtige Eigenschaften, die du dir merken solltest.

Erstens besteht jede Lösung aus einem Zahlenpaar (x, y). Zweitens gibt es unendlich viele Lösungen - nicht nur eine! Drittens bilden alle Lösungen zusammen eine Gerade, wenn du sie in ein Koordinatensystem einträgst.

Um solche Gleichungen zu lösen, stellst du sie einfach nach y um: Aus 4x + 8y = 16 wird y = -0,5x + 2. Wenn du zwei solcher Gleichungen hast, entsteht ein lineares Gleichungssystem - und genau da wird's interessant!

Tipp: Die graphische Darstellung hilft dir immer beim Verstehen - zeichne die Geraden und schaue, wo sie sich schneiden!

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Das Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variable aufgelöst sind. Du setzt einfach die rechten Seiten gleich und löst nach der anderen Variable auf.

Nehmen wir das Beispiel: y = 4x + 1 und y = 3x + 2. Da beide nach y aufgelöst sind, setzt du die rechten Seiten gleich: 4x + 1 = 3x + 2. Das ergibt x = 1, und wenn du das einsetzt, bekommst du y = 11/7.

Diese Methode ist super schnell und übersichtlich, besonders wenn die Gleichungen schon in der richtigen Form vorliegen. Du brauchst nur zwei Schritte: gleichsetzen und einsetzen!

Merke: Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert am besten, wenn beide Gleichungen bereits nach y (oder x) aufgelöst sind.

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Beispiel: Du hast 3x + y = 5 und y = 2x + 1/3. Die zweite Gleichung ist schon nach y aufgelöst - perfekt! Jetzt setzt du y = 2x + 1/3 in die erste Gleichung ein: 3x + 2x+1/32x + 1/3 = 5.

Das vereinfachst du zu 5x + 1/3 = 5, also x = 1. Dann setzt du x = 1 zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhältst y. Fertig!

Praxis-Tipp: Löse immer die einfachere Gleichung nach der Variable auf, die weniger kompliziert aussieht.

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Manchmal musst du eine oder beide Gleichungen vorher mit einer Zahl multiplizieren, damit sich eine Variable weghebt. Das ist völlig normal und macht das Verfahren nicht schwieriger!

Strategie: Schaue dir die Koeffizienten an - oft kannst du durch geschicktes Multiplizieren eine Variable schnell eliminieren.

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Der Trick ist ein systematisches Vorgehen: Definiere zuerst deine Variablen x=Ma¨dchen,y=Jungsx = Mädchen, y = Jungs. Dann übersetzt du die Aussagen in Gleichungen: "1,7 mal so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler" wird zu x - 1 = 1,7y.

Löse das System mit deiner Lieblingsmethode und vergiss nicht den letzten Schritt: Schreibe einen Antwortsatz! In diesem Fall hat die Klasse 18 Schülerinnen und 10 Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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