Einführung in das Gauß-Verfahren
Das Gauß-Verfahren, auch bekannt als Gauß-Algorithmus, ist eine fundamentale Methode in der linearen Algebra zur Lösung von Gleichungssystemen. Diese Seite erklärt die Grundlagen und zeigt, wie man das Verfahren Schritt für Schritt anwendet.
Definition: Das Gauß-Verfahren ist eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch schrittweise Umformung in Stufenform.
Der Prozess beginnt mit einem System von linearen Gleichungen und transformiert dieses in eine äquivalente, aber einfacher zu lösende Form. Dies geschieht durch elementare Zeilenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation von Gleichungen.
Example: Ein einfaches Beispiel für ein lineares Gleichungssystem:
2x₁ + 3x₂ = 9
-x₁ + x₂ - 2x₃ = 0
4x₁ + 7x₂ + 3x₃ = 36
Das Ziel ist es, dieses System in Stufenform zu bringen, wobei jede Gleichung eine Variable eliminiert, die in den vorherigen Gleichungen bereits behandelt wurde.
Highlight: Die Stufenform ermöglicht es, die Variablen nacheinander zu bestimmen, beginnend mit der letzten Gleichung und rückwärts arbeitend.
Durch die Anwendung des Gauß-Verfahrens kann man nicht nur eindeutige Lösungen finden, sondern auch feststellen, ob ein System keine oder unendlich viele Lösungen hat. Dies macht es zu einem mächtigen Werkzeug in der linearen Algebra und in vielen praktischen Anwendungen.
