Lineare Gleichungssysteme

Alternativer Bildtext:

lösen X (17-6x) -5 = (2x-1)(5-3x) Schrittfolge Schritt 1: Schritt 2: Schritt 3: Schritt 4: Alle Klammern der Gleichung auf- lösen. Beide Seiten der Gleichung zu- sammenfassen und anschließend nach Potenzen ordnen. (x², x,...) Nach variable umstellen, um die Lösung der Gleichung zu erhalten. Die Lösung der Gleichung, durch das Einsetzen der berechneten Lösung, proben (in ursprüngliche Gleichung einsetzen). Ist die Lösung beider Gleichungen die selbe, so stimmt. die be- rechnete Lösungsmenge. Rechnung X. (17-6x) -5= (2x-1)(5-3x) 17x6x²-5 = 10x - 6x² -5 + 3x 17 x 6x² 5 = 10x - 6x² 5 + 3x 17x6x²5 = 13X-6x²-5 -6x² + 17x-5 = -6x² + 13x-5 - 6x² + 17x-5 = -6x² + 13x-5 17x5= 13x-5 4x-5 = -5 4x = 0 X = 0 |+6x² 1-13x +5 1:4 Linke Seite: O. (0-6-0)-5=-5 rechte Seite: (2.0-1) (5-3.0) = -5 Lösungsmenge L = {0} wahre Aussage Seite 2 Gleichung mit zwei Variable lösen 4x+6y= 36 Schrittfolge Schritt 1: Schritt 2: Die Gleichung auf die Form y = x +... bringen, um nach zu lösen oder Die Gleichung auf die Form x=y+... bringen, um nach x zu lösen. Beliebige zahlen für y einsetzen und x berechnen (daher gibt es un- endliche Lösungen für so eine Gleichung). mögliche Lösungen: 5 4 3 2. 1. y Lösungen der Gleichung y=-³x+6 5 6 7 8 9 10 Rechnung 4x+6y= 36 6y= 36-4x6 y = 6 - 3x y = =-²/³x+6 4x+6y= 36 BSP. 1-4X : 1-6y 4x-36-64:4 x=9-žy x--$4+9 =-³x+6 1-6 1:(-1/3) 2=- -43X 6 = X Seite 3 Gleichung lösen mit CAS 5x - 3y=9 x berechnen: y berechnen: solve (5-x-3 y=-9, x Solve (5-x-3.y = -9, y X = y = 3 Seite 4 Grundlagen für lineare Allgemeine Definition Lösung ->> Arten: 9 Gleichungssysteme zwei Lineare Gleichungen mit zwei variablen nennt man ein lineares Gleichungssystem. Das lösen eines linearen Gleichungs- system bedeutet gemeinsame lösungen der Gleichungen zu finden - das bedeutet also wertpaare (x,y) zu finden, die die beiden Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Sie bestehen aus zwei linearen Gleichungen. Nutzung Beispiele: • Preiserhöhung in einem Restaurant I I Lösung Gerade y=x+4 zu y = 3x + 3 (erste Gleichung) y = 2x-1 (zweite Gleichung) -5-3-(-2) + 1 -5--5 3 Gerade zu y=x-1 Informationen herleiten (Bsp.: größe eines Möbelstücks im verhältnis zum Preis) Elektrotechnik eindeutige Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen 74 6 3 2 1 -5 2.(-2) - 1 -5--5 ✓ Gerade zu y=x+4 zahlenpaar: A(-2/-5) 2 Gerade zu y=x-1 74 3 1 = Zahlenpaar, welches beide Gleichungen erfüllt ade z 2 +7= XT-1 Gerade zu y=x+2 X Seite 5 Grafisches lösen I I 0 = x+3+y 0= x+y+5 Schrittfolge Schritt 1: Beide Gleichungen nach y umstellen. Schritt 2: Gleichungen zeichnen y = x+3 Steigungsdreieck +3 auf y-Achse 1LE 1LE Schritt 3: Lösung ablesen (Schnittpunkt) Rechnung 0=x+ 3-y y=x+ 3 0=-x-y+5 y = -x + 5 -5 -5 -4 -3 Lösung -2 -1 -1 5 4- 3 2 1 C -2 -3 -4 -S | +y 5 2 4+ 3, 1+y → -2 P -3 -4 -5 y 19 S(1/4) < 1 f(x) g(x) f(x) $(1/4) g(x) 3 5 Seite 6 Gleichsetzungsverfahren I I' x + 2y = 4 X - 4y = 5 Ziel des Gleichsetzungsverfahren, ist es die Gleichung zu man beide Gleichungen gleichsetzt (I = I). Berechnet man hält man den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dieser entspricht der Lösung des Gleichungssystems. X Schritt folge Schritt 1: Gleichungen umformen, indem man nach einer variable (zB. x) um- stellt Lösung/Schnittpunkt Schritt 2: Gleichsetzen, indem man von beiden Gleichungen jeweils die rechte Seite gleichsetzt. Schritt 4: Schritt 3: Aus der entstandenen Gleichung die andere variable (zB.y) be- rechnen. Schritt 5: →→→→nach y umstellen Berechnete variable in die Gleichung I oder I einsetzen um andere variable (zB.x) zu erhalten. →→→→y in I x- und y-Wert als Punkt Schreiben. Rechnung I x + 2y = 4 I x - 4y = 5 I = I X = -24-4 X = 4y + 5 ·2y-4 = 4y + 5 I y = -6 - 24-4 = 4y + 5 - 24 44 + 1 -6y y -7 x + 2y = 4 x+2.(-6)=4 x-3=4 x = 43 P(43/-) lösen, indem dies, er- Schnittpunkt حال 1-24 1 +44 1-4 1-44 1:(-6) Seite 7 Schritt 6 Probe, durch Einsetzen des Punktes in beide Gleichungen, machen. I' x + 2y = 4 43+2-(-3) = 4 4 = 4 ✓ P(43/-) stimmt I x - 4y = 5 43-4-(-3)=5 S-S ✓ Seite 8 Einsetzungsverfahren 3x + 2y = 8 y = x + 4 I I → Ziel des Einsetzungsverfahren, ist es die Gleichung zu lösen, indem man eine der Gleichungen in die andere Gleichung einsetzt (II). Berechnet man dies, erhält man den schnittpunkt der beiden Funk- tionen, dieser Schnittpunkt entspricht der Lösung des Gleichungs- systems. * X Schritt folge Schritt 2 Schritt 1: um das Einsetzungsverfahren anzu - wenden muss ein Term in beiden Gleichungen vorkommen, daher muss man die Gleichungen um- stellen. Außerdem muss der Term, der in beiden Gleichungen vor- handen ist, in einer der Gleichungen alleine auf einer Seite stehen (siehe Beispiel). Beispiel: Lösung/Schnittpunkt Beispiel: I I x + 2 = 44 1.2 2x + 4 = 8y - 4 2x = 84-4 I 2x+4= Nun setzt man eine Gleichung in die andere ein. y = 1x + 1 14 I 2x=y+1 2x = (1x + 1) + 1 Rechnung I 3x + 2y = 8 I y=x+4 y = x +41:2 2y = 2x + 8 3x + 2y = 8 2y = 2x + 8 3x + (2x+8)= 8 Seite 9 Schritt 3: Schritt 4: Schritt 5: Schritt 6: Die entstandene Gleichung nach variable (zB.x) umstellen. Dabei be- ginnt man mit dem Auflösen der Klammern und gegebenenfalls dem zusammenfassen. Die berechnete variable in Gleichung I oder I einsetzen um andere variable (zB.y) zu erhalten. →→→→x in I Den x- und y- wert. als Punkt schreiben Probe machen, indem man die errechneten Punkte in Gleichung I und I einsetzt. 3x + (2x+8)= 8 3x + 2x + 8 = 8 5X + 8 = 8 6x = 0 I 3x + 2y = 8, x = O 3.0+ 2y = 8 2y = 8 y = 4 P(0/4) I 3x + 2y = 8 3.0+ 2.4 8 8 = 8 ✓ |-8 1:5 P(0/4) stimmt 1:2 I y=x+4 4= 0+4 4 = 4 Seite 10 Additionsverfahren 2x + 3y = 4 3x + 4y = 5 I I → Ziel des Additionsverfahren, ist es die Gleichung zu lösen, indem man die Gleichungen I und I mit geeigneten zahlen multipliziert, sodass bei ihrer Addition eine variable weg fällt. Berechnet man dies, erhält man den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dieser Schnittpunkt entspricht der Lösung des Gleichungs-systems. y Schritt folge 1- X Lösung/Schnittpunkt Schritt 1: Um das Additionsverfahren anzuwenden muss eine variable bei der Addition wegfallen. Um dies zu erziehlen. muss ein Term in beiden Gleichungen vorhanden sein, dabei muss be - achtet werden, dass eine Gleichung den Term als negativen Term und die andere lung als positiven Term beinhalten muss. Dafür multipliziert man die Gleichung mit geeigneten zahlen. zB. I y = 1-1x I y = 1 + 1x Schritt 2: Nun addiert man. beid Gleichungen miteinander, sodass eine variable wegfällt. Anschließend muss man die Gleichung nach der variable (zB.y) umstellen. Rechnung I 2x + 3y = 4 I 3x + 4y = 5 I I 2x + 3y = 4 6x + 9 = 12 3x + 4y = 5 -6x - 8y = -10 I 6x + 9 = 12 I -6x8y = -10 ↓ ↓ ↓ 14 = 2 0 = 2 14 y = 2 1:1 1.3 1.(-2) Į+ Seite 11 Schritt 3 Die berechnete variable in Gleichung I oder I einsetzen um andere variable (zB.x) zu erhalten. Schritt 5: Schritt 6 →→→→x in I X- und y- wert als Punkt schreiben. Probe machen, indem man die errechneten Punkte in Gleichung I und I einsetzt. I' 2x + 3y = 4, 3.0+ 2y = 8 2y = 8 y = 4 2x+32 = 4 2x + 6 = 4 2x = X = P(-1/2) -2 1 I 2x + 3y = 4 2.(-1)+ 3.2 = 4 4 = 4 ✓ P(-1/2) stimmt y=2 1:2 1-6 1:2 N I 3x+4y=5 3.(-1) + 4·2=5 5=5 ✓ Seite 12 CAS-Gleichungssysteme lösen 1. grafisch Schritt 1: Gleichungen nach y = mx + b umstellen, um die Funktion zeichnen zu können. Schritt 2: Funktionen in, Graphs zeichnen lassen. ("+") über werkzeuge Graph analysieren und dann Schnittpunkt" auswählen.. Nun die linien vor und hinter dem gesuchten Punkt plazieren. 2. rechnerischi solve-Befehl Schritt 1: Im.Calculator"- Menù unter Abbruch werkzeuge.Algebra", .Gleichungssysteme lösen" und dann, lineare Gleichungs- systeme lösen..." wählen. dann (Bsp.) " Variablen: Anzahl der Gleichungen: Lineares Gleichungssystem lösen 2 x,y Anschließend beide Gleichungen eintragen. OK + solve( 3x + 4y = 5, y) ▬▬▬▬▬▬ solve( 2x + 3y = 4,4) 2. g 444 Lo RAD Bry @ S(-1/2) linSolve y--(3-x-5) e({ 2x + 38.4 = 4₁. (xy)) + -(3.x-5) y = -2.(x-2) y=-2-(x-2) 1. = + {-1,2} Seite 13