Beispielaufgaben zur analytischen Geometrie

Diese Seite präsentiert konkrete Beispielaufgaben zur analytischen Geometrie, die typisch für Abituraufgaben sind.

Beispiel 1: Schnitt von Gerade und Ebene

Gegeben:

• Ebene E: x₁ - x₂ + 2x₃ = -16
• Gerade g: x = (2,2,4) + r · (1,-1,1)

Aufgabe: Bestimme den Schnittpunkt von g und E.

Lösung:

1. Skalarprodukt: (1,-1,1) · (1,-1,2) = 1+1+2 = 4 ≠ 0, also schneiden sich g und E
2. Einsetzen in Ebenengleichung: (2+r) - (2-r) + 2(4+r) = -16 r + r + 8 + 2r = -16 4r = -24 r = -6
3. Schnittpunkt: x = (2,2,4) + (-6) · (1,-1,1) = (-4,8,-2)

Highlight: Diese Art von Aufgabe ist typisch für Analytische Geometrie Aufgaben mit Lösungen PDF.

Beispiel 2: Lagebeziehung zweier Geraden

Gegeben:

• g₁: x = (2,1,3) + t · (1,2,1)
• g₂: x = (1,0,2) + s · (2,4,2)

Aufgabe: Bestimme die Lagebeziehung von g₁ und g₂.

Lösung:

1. Richtungsvektoren sind kollinear: (1,2,1) = 0.5 · (2,4,2)
2. Punktprobe: (2,1,3) - (1,0,2) = (1,1,1) ist nicht kollinear zu (1,2,1)
3. Ergebnis: Die Geraden sind parallel zueinander

Example: Solche Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden sind häufig Teil von Vektoren Lernzettel PDF für das Abitur.

Diese Beispiele demonstrieren die praktische Anwendung der Konzepte aus der Vektoren Zusammenfassung PDF und sind wichtig für die Vorbereitung auf das Analytische Geometrie Zusammenfassung Abitur.

Ebenen im Raum

Diese Seite behandelt die Darstellung und Eigenschaften von Ebenen im dreidimensionalen Raum, ein wichtiges Thema der analytischen Geometrie.

Darstellung von Ebenen

Eine Ebene kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:

1. Parametergleichung: x = a + r · u + s · v (a: Stützvektor, u und v: Spannvektoren)

2. Normalenform: n · (x - p) = 0 (n: Normalenvektor, p: Punkt in der Ebene)

3. Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d

Definition: Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Wichtige Konzepte

• Spurpunkte: Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen
• Spurgeraden: Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen

Example: Für die Ebene E: 2x₁ + 3x₂ - 6x₃ = 12 sind die Spurpunkte S₁(6,0,0), S₂(0,4,0) und S₃(0,0,-2).

Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden

Um die Lage einer Geraden zu einer Ebene zu bestimmen:

1. Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene berechnen
2. Schnittpunkt berechnen (falls vorhanden)

Highlight: Mögliche Lagebeziehungen: Gerade schneidet Ebene, liegt in der Ebene oder ist parallel zur Ebene.

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis der analytischen Geometrie und bilden einen wichtigen Teil der Vektoren Zusammenfassung PDF für die Abiturvorbereitung.

Geraden im Raum

Diese Seite behandelt die Darstellung und Untersuchung von Geraden im dreidimensionalen Raum, ein zentrales Thema der analytischen Geometrie.

Darstellung von Geraden

Eine Gerade im Raum wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor beschrieben:

g: x = a + t · r

Dabei ist:

• a: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
• r: Richtungsvektor
• t: Parameter

Example: g: x = (1,2,3) + t · (4,5,6)

Lagebeziehungen von Geraden

Um die Lagebeziehung zweier Geraden zu untersuchen, folgt man diesen Schritten:

1. Prüfen, ob die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) sind
2. Falls nicht kollinear, Schnittpunkt berechnen
3. Falls kollinear, Punktprobe durchführen

Highlight: Mögliche Lagebeziehungen sind: sich schneidend, parallel, windschief oder identisch.

Schnittpunktberechnung

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, setzt man ihre Gleichungen gleich und löst nach den Parametern auf.

Example: Für g₁: x = a₁ + t · r₁ und g₂: x = a₂ + s · r₂ gilt am Schnittpunkt: a₁ + t · r₁ = a₂ + s · r₂

Diese Konzepte sind essentiell für die Lösung von Analytische Geometrie Aufgaben mit Lösungen PDF und bilden einen wichtigen Teil der Vektoren Zusammenfassung PDF für das Abitur.