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der Richtungstektoren! = →linear abhängig j) KREUZPRODUKT (VEKTOR PRODUKT) 2 gegebenen rektoren der zu den beiden jeweils orthogonal steht dritter vektor 1 astby) = aib₁ + a₂²b₂ + az.bz = 0 N /a₂b3 - az bz 93 b1 91b3 anba az bn - 5 Geraden im Raum Untersuchung: 1. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig/kollinear? 2. Ja: Punktprober Z 3. Ja ↳identisch 5 3. Nein Sparallel. // 35 Beispiel: g: =(1) +5 (3) 9: − +s 1. Kollinear? 2² = k· b >- (*)-(.*) S. 3 2. Schnittpunkt LAGE BEZIEHUNGEN in III: aus III in I: ⇒ nicht parallel /identisch : 2. Nein Schnitt punkt ↳ Geracengleichungen gleichseben ✓ 3. Ja 3. Nein 4 schneiden sich windschief XL X S ³- ()-(-) + - - () S- 3 t 1 I 2 S=1 II 3s=3 S=A I gnh? ( ₁² ) · ³ ( 3³ ) - (-²) + + · ( §) 1-(3) S. 3 2 S=-12 = A 2. (-1+t) = t 2+2t nx-(-²^²)+ --(3) h = 11. HEE : I 2=-t 2=t aus III: S=1 4 in I: 2=1 y z 1-26 25= t 3S=-3+3t S = −1+t in II 3.1 = -3+3·2 3=-3+6 3=3 ✓ 6 3. Schnittpunkt 1. Beispiel: g: ² = ( 1 ) + + . (²) (9-0) 8 ⇒kollinear parallel 1+2 ³³² · () ₁ ₁ · ( 3 ) - ( 1 ) - (²) S(31413) = २ 1+3 2+1 3 I s oder & in Geradengleichung t t. t = 1 12t=4 #4t=8 +2 identisch 6 in III: 2. Punkt probe (seize Stützrektor glach Gleichung) 1-1 1:2 (2444) 3+t h: 2: 4 in II: oder identisch HE I 1+2t = 3 2+4t=6 3+t=4 2 +4·1= 6₁ 3+1=4 2·2=4 4·2=8 ✓ V 7 -Ebenen in Raum- auf einer -3 punkte, die nicht. Geraden liegen legen eine fest → 1 Sukarektor & 2 linear unabhängige spamrektores r.SER,₁0² 70₁ 770 x²=p²+r. 0³ +5.² 7 个 Parameter gleichung der Ebene BSP. x² = OA² + t∙AB + S⋅ AC E: X= -2 (3) +S. NORMALENFORM ñ ↳steht senkrecht auf e n⋅ (x-³) = 0 ↑ Normalenvektor +t irgendein Punkt in Ebre (Stutzrektor) KOORDINATENGLEICHUNG UM FORMEN: î2 11 782-8 n₁ x₁ +n₂・xz +nz⋅ x3 = n₁ P₁+ n₂ Pz +03 P3 Koordinaten form: n₁x₁² n₂x₂ +3+3=d 6 222² +2²= 6·P 5 E · X · () + r. ( 2 ) + S-( ³ ) E: 1) Spannrektoren kreuzen. 5 1-4-0 ^² = ( ²3 ) × ( ² ()--) =-15-2 8-1 -10 V Skalarprodukt (zahl) <-4 2 -1 558557 2 8 2) Namalengleichung: €₁ (2 - ( 1 ) ) · (+) = 0 E -17 10 E: (P) n = 0 A ↑ Sto terektor Normalenvektor 3) in koordinaten form :( Normaleniektor) E: -4₁ -17×₂-10×3=9 des Sikrektors einsetzen: *3 →E: -4.3 - 17 - 1 - 10 - 2 = -12 -17 -20 = -49 -10x3 = -49 =E: -4XA 4x₁ - 17×₂ SPURPUNKTE 4 Schnitipunkte mit koordinaterachsen ⇒ S₁ (S₂1010) (>x₂ = x3 =0) 4 Schnittpunkt mit X₂-Achse ⇒ S₂ (01 S₂10) (→7×₁²×3=0) =) S₂ (01015₂) (→7×₁=x₂=() Spurgeraden: Schnittgeraden zwischen Ebren & Bsp 2: Koordinaterachse - wenn in Koordinatengleichung fehlt: Bsp. E: 2x₁ + 3x3-6 4 Ebine hat nur 2 Spur punkle => parallel aur X₂-Achse 2x₁=6 I - Ebene (x₂ & x3 fehlen) (St parallel zur X₂ X3- Ebene g Gegenseitige Inge LonEber Geraden 9 Geracle daa P² + t Ebene: €:ax +D 7₂ +C+z=d UNTERSUCHUNG 1. J² ⋅ R² = ² ? 1 2.5².870 E 3. Durchstyspunkt ↳g in E einseken -nach & auflösen ⇒+ in g einsetzen 4D(x₁1x₂1x3) ⇓ E & g schneiden Sich in 1 Punkt g do ( UA 0₂ Richtungsrektor (Rightings rektor Gerade mal Normaterveldor oler Ebene) Lon-Ebenen 7 E R-(8) b 2.8.7²=0 ↳ Skalarprodukt orthogonal ↓ 3. Punktprobe (Stützrektor g in E) 1 4. keine gemeinsamen 4. alle punkte Punkte ⇓ g in E E & g sind parallel Ereinander 9 liegt in E n Richtungsvektor ist orthogonal zv Normalen rektor 07 E A îd 3,9 10 EISPIEL 1) E= X₁ - 7 = 2x3 = -16 9 x²= (₁) 1. Skalarprodukt : ²³.1 ²0 (4)-(3) - -7 224 = Schneiden sich 2. Durch Stoßpunkt. bestimmen gin E 1·(2+r) - 7 (2-r) - 2 · (^-r) = = 16 2 + r −14+7r - 2 er = -16 -14 3. einsetzen in g 2+ 2+ g: x A +10r = -16 10r = -2 A tr = 1·1 +7 +2 = 670 9 Skalar produkt م رادان (²) 3. g liegt "1 asth 2) E: >₁ - 7>₂-2×3 = -16 5 С 2+r 2-r ^-Y 5 R.3 ZO (+14 1:10 → D (²² | | §) 5 A (-3) Sparallel oder identisch 2. Punktprobe (01211) in 0-7-2-2-1 = -16 -14-2 = -16. -16=-16 in E (5) = 5-7 +2=O Ebene ✓ gemeinsamer Punkt ^^ -Gegenseitige lage von Oberuen— E₁= a₁ + b₂ +₂ +6₁*3=0²₂ 5² UNTERSUCHUNG 1. Kollinear ? n₁ = k· n Nein K 2. LGS (koordinatengi. von E₁ dE₂) 93 3. eine kanable gleich mit Parameter (r/t/...) 4. X₂ & X₂ berechnen 5. Schnittgerade bestimmen X1 2-(-;-) x = () +- () 13 schneiden sich. E₁ 2₁. auseinander - E ziehen TO E₂ Ez nz- N E₂:a₂²+₁ +1₂ +₂ +6₂ +==9/² R-(62) » Ja 2. Punkt probe 3. Keine gemein- 3. alle punkte Samen Punkte sind gemeinsame Punkte =)E₁4 E₂ sind identisch n =) En & E₂ Ел sind parallel Beinander 02 BU E₁ D nz 12 BEISPIEL E₁: >₁- x₂ +2+3=7 E₂ 6x₁ + x₂ - x3 = -7 ^. A H.N n²=³² k. 7²₂² 2. L6S →schneiden sich îx HE I fx I + II 7x₁ + x3 = 0 4. 6 (1) *K. (5) 2 5. Schnitt gerade 2² = x ₂ +-7-135 (-²) 10-fr 7r+ x3 = 0 3 O 6x₁ + x₂ = x3 = -7 I + II 3. Parameter TE² 1-7c =(1) -7 -13r 0~75 (13) 6 R₂-(5) 2 setze x₁ = r in I: r-x₂+2 · (-x) = 7 - - 2 ² -14- = 7 -135 - x₂ = 71+₁3 r x₂ = 7+13:r 1:(-1) = -4 -13r 13 -Hessesche Normalform- 4 zur Abstandsberechnung eines Punkles zu einer Geraden oder Ebene E (2₂²-P²) R²₂=0 d (E;R) = 1 (2-7) 1 d (E; R) = 1 a/n + a₂√₂ +93²3-b 2 √a₁ ² + a₂² +az² E: antaz₂+9z+z=b BEISPIEL b E: 2×₁ -10×₂ +^^x3=0 C (11313) Sin Formel einsetzen: 2×1 d (E; C) = 2² +10 2.1-10·3+11 3 4 +100+ 121 . 10×2 + 11 +3 + 11² 7 2. 11 R (G₂1211₂) 2 = 30 + 33 V225 HNF 3+³³. 15 sto 3 (LE) 14 Lotfußpunkt E ⇒ Punkt auf g oder € der den kleinsten Abstand einen gegebenen punkt p hat 20 4 senkrechte Abstand zu einer Geraden / Ebene, also Strecke Pcías , lot" ANLEITUNG 1. Lotgerade aufstellen →senkrecht zur Ebene 48℃ (von gegeberem punkt) als Stuterektor Koordinaten aus 2. Gerade in Ebene einsetzen unachr auflösen 3. r in Geradengleichung =) Lotfußpunkt p(x1x₂1xz) 4. Abstand von c & P 1521=(82) =d 3-P3 C (-31-31-4) B SP.: 1. Gerade: Ebene als Riching stektor g: x - (-3) +- (€/ E = 3x2+4×3=O 2. gine E· 3 · (−3+3₁) +4·(-4+48) = 0 - 9+gr + 16 +16r = 0 -25 +25r -0 1+25 25 r = 25 1P²1-1(38) He H (3) 1:25 3. ing: 2-(32)+7 (2) - (2+3)=(6) P(31010) R ·3+3 4: Alsstand